Resume Matrice

Algèbre linéaire : A ij J : colonne I : ligne λA, on multiplie chaque membre de la matrice A par λ. Le produit A B n'est possible que si et seulement si le nombre de colonne de A est égal au nombre de ligne de B, on obtient : [matrice de type (n n,p)]x[matrice de type (p,q q)] ⇒ [matrice de type (n n,q q)] Avec AB=C -Le produit du 1er terme de la i-ème ligne de A avec le 1er terme de la jème colonne de B -Le produit du 2ème terme de la i-ème ligne de A avec le 2ème terme de la j-ème colonne de B -Etc….

Matrice carré : son nombre de colonnes est égal à son nombre de lignes, on la notre Mx alieu de Mxx. Matrice diagonale : matrice où tous les membres non nuls sont sur la diagonale. Matrice scalaire : matrice où tous les membres de la diagonale sont égaux. Matrice unité/identité : matrice où tous les membres de la diagonale sont égaux a 1. Matrice carré symétrique : matrice ou es termes sont symétriques par rapport à la diagonale (A= transversale de A ) matrice carré antisymétrique : matrice où les signes sont symétriquement opposés par rapport à la diagonale ( A = - transversale A ) Matrice triangulaire supérieure : tous les termes situés sous la diagonale sont nuls Matrice triangulaire inférieure : tous les termes situés au-dessus de la diagonale sont nuls Matrice strictement triangulaire: en plus d'être triangulaire, les termes sur la diagonale sont nus. Commatrice de A : noté com(A); c'est la matrice du cofacteur

Déterminant : Pour Mx avec x = 1, Det (M)=x

Mineur de aij dans A : déterminant ∆ d'ordre n-1, obtenu à parir de ∆ en supprimant la ligne et la colonne de aij. Det (AB)=det(A)*det(B) Le déterminant permet de savoir si une matrice est inversible ou non, si le déterminant est différent de 0, elle l'est. Une matrice A de Mn(¡) est inversible si il existe une matrice A’ de Mn(¡) telle que : AxA’ = In et A’xA = In L’inverse de A est notée A-1 Matrice d'ordre 2 :

Matrice d'ordre 3 :

Déterminant d'une matrice triangulaire : On calcule le produit des termes sur la diagonale.

Si A est une matrice carrée inversible d’ordre n, alors, son inverse est donnée par la formule suivante :

Exemple : détermination de l'inverse en dimension 2

A inversible ⇒ tA inversible et (tA)-1 = t(A-1) A inversible et symétrique ⇒A-1 symétrique A inversible et antisymétrique ⇒A-1 antisymétrique

Fonctions linéaires :

(S )

 x +5z = 2  x − y + z = 0 5  x −2 y =1 3

   A =    

1

0

1

−1

5 3

−2

La matrice permet de réécrire différentes fonctions linéaires sous formes réduites :

(S )

A la matrice du systeme :

a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 p x p = b1  a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 p x p = b 2  … … … … a x + a x + … + a x = b n 2 2 np p n  n1 1

 5   1   0  

 a 11   a 21 A =  .   . a  n1

a 12

.

.

.

.

.

.

.

.

a 22

a n1

a1p   a2p  .   .  a n p 

X la matrice colonne :

 x1     x2  X =       x   p B la matrice colonne :

 b1  b2 B =    b  n

       

On obtient : AX=B Par exemple :

− z = 5 2 x   x + y + z = −1

devient :

2  1 Résolution d'un systeme :

0 1

x  −1    5   y  =   1    −1  z 

L'équation linéaire est de forme a*x + b y = c Exemple :

y+ z= 3  x + 2y + 3z= 8 x - y + z= 0 

L1 L2 L3

y+ z= 3  ⇔ 3y + 2z = 8 X - y+ z= 0 

x - y + z= 0  ⇔ 3y + 2z = 8 L1 ← L3 y+ z= 3 

L2 ← L2 - L3

x - y + z= 0  ⇔ -z = - 1 L2 ← L2 - 3L3 y+ z= 3 

x - y + z= 0 x= 1   ⇔ z= 1 L2 ← - L2 ⇔ y = 2 y= 2 z= 1 L3 ← L3 + L2  

(p a r s u b s titu tio n )

2nd exemple :

x + 2y + 3z = 5  2 x + 3 y + z = 4 3 x + y + 2 z = 3  y  ⇔ y x  z  ⇔ y x 

x + 2y + 3z = 5  2 x + 3 y + z = 4 x + y + z = 2 

⇔

+ 2z= 3

L1 ← L1 - L3

- z= 0

L2 ← L2 - 2L3

L 3 ← (L 1 + L 2 + L 3 )/6

+ y + z= 2 = 1

L 1 ← (L 1 - L 2 )/3

= 1

L 2 ← (L 1 + 2 L

2

)/3

⇔ (x , y , z) = (0 ,1 ,1 ).

+ y + z= 2

2 équations, 2 inconnus :

(S )

a x + b y = c  d x + ey = f

le couple solution est (Xo;Yo), déterminant du système = ae-db -Substitution : On exprime X en fonction de Y ( ou inversement ), on résoud alors une équation à une seule inconnue. Ensuite on remplace le résultat de l'équation pour résoudre la seconde. Exemple :

x +3 y = 2 (S )  2 x − y = 1

Déterminant = (1*-1)-(2*3) = -7 ; différent de 0 donc matrice réversible et admet une solution unique. x+3y=2 <=>x=2-3y 2x-y=1 <=>2(2-3y)-y=1 <=>4-6y-y=1 <=>y=3/7 x=2-3y <=>x=(14/7)-(9/7) <=>x=5/7 Pour résumer :

x +3 y = 2  2 x − y = 1

x = 2 −3 y x = 2 −3 y ⇔  ⇔  2 x − y = 1  2(2 − 3 y ) − y = 1

x = 2 −3 y x = 2 −3 y x = 2 −3 y ⇔  ⇔  ⇔  4 − 6 y − y = 1 7 y = 3   y = 3 /7  x = 2 − 3(3 / 7 ) x =14 /7 −9 /7 = 5 /7 5 3 ⇔  ⇔  ⇒ (x,y) = ( , ) 7 7 y = 3 /7 y = 3 /7

-Combinaison linéaire On multiplie les équations par un réel pour obtenir des coefficients communs (x ou y …). On additionne/soustrait les 2 équations pour obtenir une équation simplifiée de manière à obtenir l'un des inconnus. Comme pour la substitution on remplace la valeur trouvée dans une des équations pour obtenir l'autre inconnu. Résumé :

3 x + y = 1 0 (1 ) (× 3 )  9 x + 3 y = 3 0 ( 1 ') ⇒   -9 x - 2 y = 4 (2 )  - 9 x - 2 y = 4 ( 2 ') ( 1 ') + ( 2 ') ⇒ 9 x - 9 x + 3 y - 2 y = 3 0 + 4 ⇒ y = 34 (1 ) : 3 x + 3 4 = 1 0 ⇔ 3 x = -2 4 ⇔ x = -8 (x , y ) = (-8 ,3 4 ) O n re p o rte d a n s

Quand le déterminant est nul, il n'y a aucune ou une infinité de solutions. Systeme triangulaire