Resume Kalkulus Bab 2 Dan 3.docx

BAB II FUNGSI dan LIMIT

2.1 Fungsi dan Grafiknya Sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek x dalam suatu himpunan,yang disebut daerah asal ,dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua.himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil(jelajah)fungsi tersebut (lihat gambar 1) fungsi

Daerah asal

Daerah hasil

Gambar1 Daerah Asal dan Daerah Hasil 

Daerah asal adalah himpunan elemen elemen pada mana fungsi itu mendapatkan nilai.



Daerah hasil adalah himpunan nilai nilai yang diperoleh secara demikian.

Notasi Fungsi Untuk memberikan nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f (atau g atau F). Oleh karena itu, f(x) dibaca "f dari x" atau "f pada x" menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Jadi jika f(x)=x3−4 maka f(1)=13−4=−3.

Grafik Fungsi Bilamana daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan riil, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat.dan grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y=f(x).

2.2 Operasi Pada Fungsi JUMLAH, SELISIH,HASIL KALI, HASIL BAGI, PANGKAT. Pandanglah fungsi- fungsi f dan g dengan rumus- rumus f(x) =

𝑥−3

g(x) = √𝑥

2

(f + g)(x) = f(x) + g(x) =

𝑥−3

+ √𝑥

2

Fungsi- fungsi f – g, f . g, dan f/g diperkenalkan dengan cara analog. Dengan anggapan bahwa f dan g mempunyai daerah asal alamiah, kita mempunyai yang berikut : Operasi pada Fungsi

Rumus dan Contoh

Jumlah

(f + g) (x) = f(x) + g(x) =

Selisih

(f - g) (x) = f(x) - g(x) =

(f . g) (x) = f(x) . g(x) = Hasil Kali

𝑓

Hasil Bagi

( 𝑔 ) (x) =

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)

=

Daerah asal 𝑥−3 2

𝑥−3 2

𝑥−3 2

+ √𝑥

- √𝑥

[ 0, ∞ )

[ 0, ∞ )

. √𝑥 [ 0, ∞ )

𝑥−3 2√𝑥

( 0, ∞ )

Kita harus mengecualikan 0 dari daerah asal f/g untuk menghindari pembagian oleh 0. Kita juga boleh memangkatkan suatu fungsi. Dengan fn, kita maksudkan fungsi yang menetapkan nilai [f(x)]n pada x. Jadi, f2(x) = [f(x)]2 = [

𝑥−3 2

]2 =

𝑥 2 − 6𝑥 + 9 4

dan g3(x) = [g(x)]3 = ( √𝑥 )3 = x3/2 Satu-satunya pengecualian pada aturan ini untuk n dalam fn adalah n = -1 KOMPOSISI FUNGSI. Sebelumnya, anda diminta untuk membayangkan sebuah fungsi sebagai sebuah senapan. Sekarang diminta memikirkan fungsi f sebagai sebuah mesin. Fungsi ini menerima x sebagai masukan, bekerja pada x, dan menghasilkan f(x) sebagai keluaran. Dua mesin seringkali dapat diletakkan berdampingan untuk membuat sebuah mesin yang lebih rumit demikian juga halnya dengan dua fungsi f dan g. Jika f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) untuk mehasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa kita telah menyusun g dengan f. Fungsi yang dihasilkan, disebut komposit g dengan f, dinyatakan oleh g o f. Jadi, ( g o f )(x) = g(f(x)) Ingat kembali contoh kita terdahulu, f(x) = (x- 3)/2 dan g(x) = √𝑥 . Kita dapat menyusunnya dalam dua cara, 𝑥−3

𝑥−3

2

2

( g o f )(x) = g(f(x)) = g(

)=√

( f o g )(x) = f(g(x)) = f( √𝑥 ) =

√𝑥 − 3 2

Segera kita perhatikan satu hal: Susunan (komposisi) fungsi tidak komutatif; gof dan fog umumnya berlainan.

CONTOH 2. Andaikan f(x) = 6x/(x2 – 9) dan g(x) = √3𝑥. Pertama, cari ( fog )(12),kemudian cari (fog)(x) dan berikan daerah asalnya. Penyelesaian ( f o g )(12) = f(g(12)) = f (√36 ) = f(6) =

36

= 27

4 3

( f o g )(x) = f(g(x)) = f (√3𝑥 ) 6√3𝑥

= (√3𝑥

6√3𝑥

)2 −9

= 3𝑥−9 =

2√3𝑥 𝑥−3

Daerah asal fog adalah [0, 3) ∪ ( 3, ∞ ) TRANSLASI. Dengan mengamati bagaimana sebuah fungsi dibentuk dari yang paling sederhana dapat membantu Anda dalam menggambar grafik. Mungkin anda akan bertanya: Bagaimana grafik- grafik dari y = f(x – 3)

y = f(X)

y = f(x) + 2

y =

f(x – 3) + 2 apakah berkaitan satu sama lain? Ambillah f(x) = |𝑥| sebagai contoh. Keempat grafik yang bersesuaian ini dapat anda lihat pada gambar

2 3

y = |𝑥|

y = |𝑥 − 3|

2 3

y = |𝑥| + 2 y=|𝑥 − 3| + 2

Apa yang terjadi dengan f(x) = |𝑥| adalah khas. Perhatikan bahwa keempat grafik tersebut mempunyai bentuk yang sama, tiga yang terakhir hanyalah penggeseran (translasi)

dari yang pertama. Dengan mengganti x oleh x – 3 akan menggeser grafik itu 3 satuan luas ke kanan, dengan menambahkan 2 berarti menggesernya ke atas sebesar 2 satuan. KATALOG SEBAGIAN DARI FUNGSI. Sebuah fungsi berbentuk f(x) = k, dengan k adalah konstanta (bilangan riil) disebut fungsi konstan. Grafiknya berupa garis mendatar. Fungsi f(x) = x disebut fungsi identitas. Grafiknya berupa sebuah garis yang melaui titik asal dengan kemiringan 1. Dari fungsi-fungsi sederhana ini, kita dapat membangun banyak fungsi- fungsi kalkulus yang penting.

Fungsi Konstan

Fungsi identitas

Sebarang fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstan dan fungsi identitas dengan memakai operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian disebut fungsi polinom. Ini sama saja dengan mengatakan bahwa f adalah fungsi polinom jika berbentuk f(x) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑥−1 + … + 𝑎1 𝑥 +𝑎𝑜 dengan koefisien- koefisien a berupa bilangan riil dan n adalah bilangan bulat tak negative. Jika 𝑎𝑛 ≠ 0, maka n adalah derajat dari fungsi polinommya. Khususnya, f(x) = ax + b adalah fungsi derajat satu, atau fungsi linear, dan f(x) = ax2 +bx + c adalah fungsi derajat dua, atau fungsi kuadrat Hasil bagi fungsi- fungsi polinom disebut fungsi rasional. Jadi f adalah fungsi rasional jika dibentuk 𝑎 𝑥𝑛 + 𝑎

f(x) = 𝑏 𝑛 𝑥 𝑚 + 𝑏𝑛−1 𝑚

𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎1 𝑥 +𝑎𝑜

𝑚−1 𝑥

𝑚−1 + … + 𝑏𝑥 +𝑏 𝑜

Sebuah fungsi aljabar eksplisit adalah fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstan dan fungsi identitas melalui operasi penambahan , pengurangan, perkalian, pembagian, dan penarikan akar. Contohnya adalah 5

f(x) = 3x2/5 = 3 √𝑥 2

g(x) =

(𝑥+2)√2 3

𝑥 3 + √𝑥 2 −1

Fungsi – fungsi yang didaftarkan sedemikian jauh, bersama- sama dengan fungsifungsi trigonometri, balikan trignometri, eksponen, dan logaritma (akan diperkenalkan nanti), merupakan bahan baku yang mendasar untuk kalkulus kita.

2.3 Fungsi Trigonometri Definisi Perhatikan gambar berikut :

Definisi fungsi trigonometri didasarkan pada lingkaran satuan , yaitu lingkaran yang berjari-jari 1 dan berpusat di titik asal. Andaikan A adalah titik (1,0) dan andaikan t adalah sembarang bilangan positif. Maka terdapat satu titik P (x,y) sedemikian rupa sehingga panjang busur AP , yang diukur menurut arah berlawanan dengan putaran jarum jam dari A sepanjang lingkaran satuan sama dengan t (gambar 1). Jika arah putaran searah jarum jam, maka t < 0.

Definisi Fungsi Sinus dan Kosinus Andaikan t menentukan titik P (x,y) seperti ditunjukkan di atas, maka

sin t  y dan cos t  x Sifat-sifat Dasar Fungsi Sinus dan Kosinus 1. Daerah hasil untuk fungsi sinus dan kosinus adalah selang  1,1 2. sin  t  2   sin t dan cos t  2  = cos t 3. sinus adalah fungsi ganjil, sedangkan kosinus adalah fungsi genap,

     t   cos t dan cos   t  =sin t 2  2 

4. sin 

5. sin 2 t  cos2 t  1

Grafik Sinus dan Kosinus Berikut ini gambar grafik sinus

Berikut ini grafik fungsi kosinus

Empat Fungsi Trigonometri Lainnya sin t cos t 1 sec t  cos t tan t 

cos t sin t 1 csc t  sin t cot t 

Hubungan Dengan Trigonometri Sudut Sudut biasanya diukur dengan derajat atau dalam radian. Satu radian didefinisikan sebagai sudut yang berpadanan dengan busur sepanjang 1 unit lingkaran. 1800   radian  3,1415927 radian

1 radian  57, 29578 10  0,0174533

Panjang busur s dari potongan busur sebuah lingkaran dari sebuah lingkaran berjarijari r dengan sudut pusat t radian memenuhi s t  2 r 2

Atau

s  rt

2.4 Pendahuluan Limit Definisi. Pengertian Limit Secara Intuisi. Mengatakan bahwa lim f  x   L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan dari c, x c

maka f x dekat ke L.

Contoh: Carilah lim 4 x  5 x 3

Penyelesaian Bilamana x dekat 3; maka 4 x  5 dekat terhadap 4  3  5  7 . Kita tuliskan lim 4 x  5  7 x 3

Limit-limit Sepihak Bilamana suatu fungsi mempunyai lompatan, maka limit tidak ada pada setiap titik lompatan. Untuk fungsi-fungsi yang demikian, adalah wajar untuk memperkenalkan limitlimit sepihak. Anggaplah lambang x  c  berarti bahwa x mendekati c dari kanan, dan andaikan x  c  berarti bahwa x mendekati c dari kiri. Definisi Limit Kiri dan Limit Kanan Mengatakan bahwa lim f x   L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi pada sebelah kanan x c

c, maka f x dekat ke L. Hal yang serupa, mengatakan bahwa lim f  x   L berarti bahwa x c

bilamana x dekat tetapi pada sebelah kiri c, maka f x adalah dekat ke L.

Teorema

lim f  x   L jika dan hanya jika lim f  x   L dan lim f x   L x c

x c

x c

2.5 Pengkajian Mendalam tentang Limit Definisi Pengertian yang tepat tentang limit Mengatakan bahwa lim f  x   L , berarti bahwa untuk tiap   0 yang diberikan x c

(betapapun kecilnya), terdapat   0 yang berpadanan sedemikian sehingga f x   L   asalkan bahwa 0  x  c   , yakni,

0  x  c    f x   L  

2.6 Teorema Limit Teorema A : Teorema Limit Utama 1.

k = k;

2.

kf(x) = k f(x);

3.

x= c;

4. │f(x) + g(x)│= f(x) + g(x) 5. │f(x) - g(x)│= f(x) - g(x) 6. │f(x) . g(x)│= f(x) . g(x)

Teorema B : Teorema Subtitusi Jika f fungsi polinomial atau fungsi rasional, maka f(x) = f(c) asalkan f(c) terdefinisi. Dalam kasus fungsi rasional, ini bermakna bahwa nilai penyebut pada c tidak nol.

Teorema C :Jika f(x) = g(x) untuk semua x di dalam suatu interval terbuka yang mengandung bilangan c, terkecuali mungkin pada bilangan c sendiri, dan jika g(x) ada, maka f(x) ada dab f(x) = g(x)

Teorema D : Teorema Apit Misalkan f, g, dan h adalah fungsi yang memenuhi f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x dekat c, terkecuali mungkin pada c. Jika f(x)= h(x)= L maka g(x)= L

2.7 Kontinuitas Fungsi Kata kontinu menyatakan proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak. Definisi : Kontinuitas di satu titik Misalkan f teedefinisi pada suatu interval terbuka yang mengandung c. Kita katakan bahwa f kontinu di c jika : f(x) = f(c) Dengan definisi ini bermaksud menyaratkan tiga hal : 1. f(x) ada, 2. f(c)ada, (yakni c berada dalam derah asal f),

\Teorema A Kontinuitas Fungsi Polinomial dan Rasional Fungsi polinomial kontinu di setiap bilangan real C. Fungsi rasional kontinu disetiap bilangan real c dalam daerah asalnya, yaitu kecuali dimana penyebutnya nol.

Teorema B Kontinuitas Fungsi Nilai Mutlak dan Fungsi Akar ke-n Fungsi nilai mutlak adalah kontinu disetiap bilangan real c. Jika n ganjil, fungsi akar ke-n kontinu disetiap bilangan real c. Jika n genap, fungsi akar ke-n kontinu disetiap bilangan real positif c.

Teorema C Kontinuitas di dalam Operasi Fungsi Jika f dan gkontinu di c, maka demikian juga kf, f + g, f – g , f . g, f/g (asalkan g(c) ≠ 0, fndan f (asalkan f(c)> 0 jika n genap).

Teorema D Kontinuitas Fungsi-fungsi Trigonometri Fungsi sinus dan kosinus kontinu disetiap bilangan real c. Fungsi tax x, cot c, sec x, dan csc x kontinu disetiap bilangan real c dalam daerah asalnya.

Teorema E Teorema Limit Komposit g(x)= Ldan jika f kontinu di L, maka : f( g(x)) =f( L) Khususnya, jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c), maka fungsi komposit f . g Definisi Kontinuitas Pada Interval Fungsi fadalah kontinu kanan pada a jika f(x)= f(a) dan kontinu kiri pada b jika f(x)= f(b). Kita katakan, fkontinu pada suatu interval terbuka jika f kontinu pada setiap titik dari interval tersebut. Dia kontinu pada sebuah interval tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b), kontinu kanan pada a, dan kontinu kiri pada b.

Teorema F Teorema Nilai Antara Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] dan misalkan W bilangan antara f(a) dan f(b). Jika f kontinu pada [a,b], maka terdapat paling sedikit sebuah bilangan c diantara a dan b sedemikian rupa sehingga f(c) = W

BAB III TURUNAN

3.1 Dua Masalah dengan Satu Tema Definisi garis singgung Garis singgung pada kurva y=f(x) di titik P(c,f(c)) adalah garis yang melalui P dengan kemiringan 𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐) ℎ→0 ℎ

𝑚tan 𝑔 = lim 𝑚𝑠𝑒𝑐 = lim ℎ→0

asalkan bahwa limit ini ada dan bukan ∞ atau -∞ 3.2 Turunan Jika limit ini memang ada, dikatakan bahwa f terdiferensiasi di c. Pencarian turunan disebut diferensiasi, bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial. Ø Bentuk-bentuk Setara untuk Turunan Tidak ada yang keramat tentang penggunaaa huruf h datam mendefinisikan f(c). Misalkan, perhatikan bahwa 𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐) ℎ→0 ℎ 𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐) 𝑓(𝑥) = lim ℎ→0 𝑝 𝑓(𝑥) = lim

𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐) ℎ→0 ℎ

𝑓(𝑥) = lim

Ø Keterdiferensiasian Mengimplikasikan Kontinuitas Jika sebuah kurva mempunyai sebuah garis singgung di sebuah titik. maka kurva itu tidak dapat melompat atau sangat berayun di titik tersebut. Perumusan yang presisi dari fakta ini merupakan sebuah teorema penting. Teorema A Keterdiferensian Mengimplikasikan Kontinutas Jika f(c) ada maka f kontinu di c.

3.3 Aturan Pencarian Turunan Aturan Konstanta dan Pangkat Grafik fungsi konstanta f(x) = k adalah sebuah garis mendatar. yang karenanya mempunyai kemiringan nol di mana-mana. ini merupakan suatu cara untuk memahami teorema pertama kita.

Teorema A Aturan Fungsi Konstanta Jika f(x)=k,dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x,f(x)=0;yakni, Dx(k)=0 Teorema B Aturan Fungsi Satuan Jika f(x)=x, maka f(x) =1;yakni , Dx(x)=1 Teorema C Aturan Pangkat Jika f(x)=xn,dengan n bilangan bulat positif ,maka f(x)=nxn-1 yakni, Dx(xn)= nxn-1 Teorema D Aturan Kelipatan Konstanta Jika k suatu konstanta d,an f suatu fungsi yang terdiferensiasikan,maka (kf)’(x)=k.f’(x) yakni, Dx[k.f’(x)]=k.Dxf(x) Teorema E Aturan Jumlah Jika f dan g adalah fungsi fungsi yang terdiferensiasikan,maka (f+g)’(x)=f’(x)+g’(x) yakni, Dx[f(x)+g(x)]=Dxf(x)+ Dxg(x) Dalam kata- kata ,turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari turuna – turunan. Teorema F Aturan Selisih Jika f dan g adalah fungsi fungsi yang terdiferensiasikan ,maka (f-g)’(x)=f’(x)-g’(x) yakni, Dx[f(x)-g(x)]=Dxf(x)-Dxg(x) Teorema G Aturan Hasil Kali Jika f dan g adalah fungsi fungsi yang terdiferensiasikan,maka (f . g)’(x) = f(x)g’(x) + g(x)f(x) Yakni Dx[f(x)g(x)]=f(x)Dxg(x)+g(x)Dxf(x)

3.4 Turunan Sinus dan Kosinus Teorema A Fungsi f(x) = sin x dan g(x) =cos x keduanya terdiferensiasikan, dan Dxsin(x) = cos x

Dxcos(x) = -sin x

Teorema B Untuk semua titik x di dalam daerah asal fungsi, Dxtan x =sec2 x

Dx cot x =-csc2 x

Dxsec x = sec x tan x

Dx csc x = -csc x cot x

3.5 Aturan Rantai Teorema A Aturan Rantai Misalkan y =f(u) dan u = g(x),Jika g terdiferensiasikan di x dan f terdifernsiasikan di u=g(x),maka fungsi komposit f ° g,yang didefinisikan oleh (f ° g) (x) = f(g(x)) adalah terdiferensiasikan di x dan, (f ° g)’ (x) = f(g(x))g’(x) Yakni Dx(f(g(x))) = f’(g(x))g’(x) Atau 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = = 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 3.7 Turunan Tingkat Tinggi Operasi diferensiasi mengambil sebuah fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsi baru f. Jika f’ sekarang kita difereniasikan, kita masih tetap menghasilkan fungsi lain, dinyatakan oleh f (dibaca “f dua aksen”) dan disebut turunan kedua dari f. Pada gilirannya dia boleh didiferensiasikan lagi. dengan demikian menghasilkan f’. yang disebut turunan ketiga dari f. Turunan keempat dinyatakan turunan kelima dinyatakan dan seterusnya.

3.8 Diferensiasi Implisit Teorema A Aturan Pangkat Misalkan r sebarang bilangan rasional.maka untuk x>0, Dx(xr)=rxr-1 Jika r dapat dituliskan dalam suku terendah sebagai r =p/q,di mana q ganjil,maka Dx(xr)=rxr-1 untuk semua x. Bukti Karena r rasional, maka r dapat dituliskan sebagai p/q, di mana p dan q bilangan bulat dan q > 0. Misalkan y=xr=xp/q maka yq = xp dan, dengan diferensiasi implisit, qyq-1Dxy=pxp-1 jadi,

𝑝𝑥 𝑝−1

𝑝

Dxy=𝑞𝑦 𝑞−1 = 𝑞

𝑥 𝑝−1 𝑝 𝑞−1 (𝑥 𝑞 )

𝑥 𝑝−1

𝑝

=𝑞

𝑥

𝑝 𝑝− 𝑞

3.9 Laju Yang Berkaitan Masalah Laju yang Berhubungan dengan Grafik Seringkali dalam situasi kehidupan nyata, kita tidak mengetahui rumus untuk suatu fungsi tertentu, tetapi hanya mempunyai grafik yang ditentukan secara empinis. 3.10 Diferensial dan Aprosimasi Aproksimasi diferensial akan memainkan beberapa peranan dalam buku ini,tetapi untuk sekarang penggunaan utamanya adalah dalam penyedian aproksimasi.kita telah menunjuk hal ini sebelumnya. Misalkan bahwa y = f(x) seperti yang diperlihatkan dalam gambar 3.pertambahan ∆x menghasilkan pertambahan yang berkorespodensi ∆y dalam y, yang dapat dihampiri oleh dy.jadi f(x+∆x)dihampiri oleh f(x+∆x)=f(x)+dy=f(x)=f’(x) ∆x Aproksimasi Linear jika f terdiferensiasi di a, maka dari bentuk kemiringan-titik suatu garis ,yaitu garis singgung terhadap f pada (a,f(a))diberikan oleh y = f(a) + f’(a)(x-a).fungsi L(x)=f(a)+f’(a)(x-a) Disebut aproksimasi linear terhadap fungsi f pada a, dan dia sering merupakan aproksimasi yang sangat bagus terhadap f ketika x dekat ke a.