Resolucion Prueba IV 1.- Considere la siguiente función:
x < −2 x + 2c; f ( x ) = 3cx + k ; − 2 ≤ x ≤ 1 3 x − 2k ; 1 < x Determina los valores de las constantes c y k que hagan a la función f continua. R:
lim x + 2c = lim+ 3cx + k
x →−2−
x →−2
y
lim 3cx + k = lim+ 3 x − 2k
x →1−
x →1
Por lo tanto.
−2 + 2 c = 3 ⋅ −2 ⋅ c + k
Y
−2 + 2 c = − 6c + k
3c ⋅1 + k = 3 ⋅1 − 2 k 3c + k = 3 − 2 k 3k = 3 − 3c
8c − 2 = k
k = 1− c 8c − 2 = k 1− c = k 8c − 2 = 1 − c 9c = 3 1 1 2 c = ⇒ k = 1− = 3 3 3
Comprobación;
lim− x + 2c = lim+ 3cx + k
x →−2
x →−2
=
1 1 2 − 2 + 2 ⋅ = 3 ⋅ ⋅ −2 + 3 3 3 2 2 −2 + = −2 + 3 3
2- El volumen V comprendido entre dos esferas concéntricas se esta ensanchando. El radio de la esfera exterior crece a razón constante de 2 m/h, mientras que el radio de la esfera interna decrece con rapidez 1 m/h. ¿a que razón esta variando V cuando el radio exterior constante de 2 es de 3 m, y el radio interior de 1 m?
4 ⋅ π r 3 esfera. 3 dV 4 dR = π ⋅ 3r 2 dt 3 dt
R: V =
dR =2 dt dR Esfera 2.= −0.5 dt dV dV dV (total ) = (esfera1) − (esfera 2) dt dt dt
Esfera 1.-
Por lo tanto.dV = 4π 32 ⋅ 2 − 4π ⋅ 12 ⋅ −0.5 dt dV = 4π (18 + 0.5 ) dt m3 dV = 74π dt h
3.- Sea f ( x ) = 1 − x 2 . (a) escribe la función f como una función definida por ramas. (b) muestra, analíticamente, que la función es continua en todo ℝ . (c) Dibuja la función f . (d) muestra, analíticamente, los puntos donde la función no es diferenciable. − (1 − x 2 ) x < −1 (a) f ( x) = (1 − x 2 ) −1 ≤ x ≤ 1 2 x >1 − (1 − x )
(b) lim− − (1 − x 2 ) = lim+ (1 − x 2 )
x →−1
x →−1
y lim− (1 − x 2 ) = lim+ − (1 − x 2 ) x →1
x →1
− (1 − 1) = (1 − 1)
(1 − 1) = − (1 − 1)
0=0
0=0
Los límites laterales son iguales, por lo tanto es continua en todo ℝ .
c)
d)
la grafica es
f ' ( x ) = lim
f ( x + h ) − f ( x)
h →0
h
de − (1 − x 2 ) .f ' ( x ) = lim
(
− 1 − ( x + h)
h →0
de (1 − x
2
2
h
)
) − − (1 − x ) = f ' ( x ) = lim −1 + x 2
h →0
(1 − ( x + h ) ) − (1 − x ) = f ' ( x ) = lim 1 − x f ' ( x ) = lim 2
h →0
2
h→0
h
2
2
+ 2hx + h 2 + 1 − x 2 = 2x h
− 2hx − h 2 − 1 + x 2 = −2 x h
Por lo tanto. x < −1 2x f '( x) = −2 x −1 ≤ x ≤ 1 2x x >1 Ahora ver si los limites de las derivadas laterales son iguales y se comprueba si es diferenciable. lim 2 x = lim+ − 2 x
x →−1−
x →−1
⇒ 2 ⋅ − 1 = −2 ⋅ − 1
Y
lim− − 2 x = lim+ 2 x x →1
x →1
⇒ −2 ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 −2 = 2
−2 = 2 Las derivadas laterales no son iguales en esos puntos. Por lo tanto la función no es diferenciable en x=-1 y x=1
−1 que es normal 3 a la grafica de f ( x ) = x 2 − x . Además, escribe la ecuación de la recta tangente.
4.- Encuentre la ecuación de la recta con pendiente m =
Como f ' ( x ) = pendiente de la recta tangente en un punto de la funcion. f '( x) = 2 x − 1 = pendiente de la recta tangente. Tambien se sabe que la recta normal es perpendicular a la recta tangente. −1 Por lo tanto mt ⋅ mn = −1 como mn = , la pendiente de la recta tangente 3 debe ser 3.
f '( x ) = 2 x − 1 = 3 2x = 4 x=2
Esto dice que en el punto x=2, la recta tangente tiene pendiente 3.
F(2)= 22 − 2 = 2 En el punto (2,2) la recta tangente tiene pendiente 3. Como las rectas tienen la forma y = mx + b −x +b 3 Recta tangente: y = 3 x + b Sabemos que la recta normal y la recta tangente pasan por el punto 2,2. Entonces queda así.
Recta Normal:
y=
Recta normal: 2 =
−2 8 + b, b = 3 3
Recta tangente: 2 = 3 ⋅ 2 + b, b = −4
Plassssssssss
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y=
−x 8 + 3 3 y = 3x − 4