Resolucion Prueba Iv

Resolucion Prueba IV 1.- Considere la siguiente función:

x < −2   x + 2c;   f ( x ) = 3cx + k ; − 2 ≤ x ≤ 1  3 x − 2k ; 1 < x    Determina los valores de las constantes c y k que hagan a la función f continua. R:

lim x + 2c = lim+ 3cx + k

x →−2−

x →−2

y

lim 3cx + k = lim+ 3 x − 2k

x →1−

x →1

Por lo tanto.

−2 + 2 c = 3 ⋅ −2 ⋅ c + k

Y

−2 + 2 c = − 6c + k

3c ⋅1 + k = 3 ⋅1 − 2 k 3c + k = 3 − 2 k 3k = 3 − 3c

8c − 2 = k

k = 1− c 8c − 2 = k 1− c = k 8c − 2 = 1 − c 9c = 3 1 1 2 c = ⇒ k = 1− = 3 3 3

Comprobación;

lim− x + 2c = lim+ 3cx + k

x →−2

x →−2

=

1 1 2 − 2 + 2 ⋅ = 3 ⋅ ⋅ −2 + 3 3 3 2 2 −2 + = −2 + 3 3

2- El volumen V comprendido entre dos esferas concéntricas se esta ensanchando. El radio de la esfera exterior crece a razón constante de 2 m/h, mientras que el radio de la esfera interna decrece con rapidez 1 m/h. ¿a que razón esta variando V cuando el radio exterior constante de 2 es de 3 m, y el radio interior de 1 m?

4 ⋅ π r 3 esfera. 3 dV 4 dR = π ⋅ 3r 2 dt 3 dt

R: V =

dR =2 dt dR Esfera 2.= −0.5 dt dV dV dV (total ) = (esfera1) − (esfera 2) dt dt dt

Esfera 1.-

Por lo tanto.dV = 4π 32 ⋅ 2 − 4π ⋅ 12 ⋅ −0.5 dt dV = 4π (18 + 0.5 ) dt  m3  dV = 74π   dt  h 

3.- Sea f ( x ) = 1 − x 2 . (a) escribe la función f como una función definida por ramas. (b) muestra, analíticamente, que la función es continua en todo ℝ . (c) Dibuja la función f . (d) muestra, analíticamente, los puntos donde la función no es diferenciable.  − (1 − x 2 ) x < −1   (a) f ( x) = (1 − x 2 ) −1 ≤ x ≤ 1  2 x >1  − (1 − x )

(b) lim− − (1 − x 2 ) = lim+ (1 − x 2 )

x →−1

x →−1

y lim− (1 − x 2 ) = lim+ − (1 − x 2 ) x →1

x →1

− (1 − 1) = (1 − 1)

(1 − 1) = − (1 − 1)

0=0

0=0

Los límites laterales son iguales, por lo tanto es continua en todo ℝ .

c)

d)

la grafica es

f ' ( x ) = lim

f ( x + h ) − f ( x)

h →0

h

de − (1 − x 2 ) .f ' ( x ) = lim

(

− 1 − ( x + h)

h →0

de (1 − x

2

2

h

)

) − − (1 − x ) = f ' ( x ) = lim −1 + x 2

h →0

(1 − ( x + h ) ) − (1 − x ) = f ' ( x ) = lim 1 − x f ' ( x ) = lim 2

h →0

2

h→0

h

2

2

+ 2hx + h 2 + 1 − x 2 = 2x h

− 2hx − h 2 − 1 + x 2 = −2 x h

Por lo tanto. x < −1  2x  f '( x) =  −2 x −1 ≤ x ≤ 1  2x x >1  Ahora ver si los limites de las derivadas laterales son iguales y se comprueba si es diferenciable. lim 2 x = lim+ − 2 x

x →−1−

x →−1

⇒ 2 ⋅ − 1 = −2 ⋅ − 1

Y

lim− − 2 x = lim+ 2 x x →1

x →1

⇒ −2 ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 −2 = 2

−2 = 2 Las derivadas laterales no son iguales en esos puntos. Por lo tanto la función no es diferenciable en x=-1 y x=1

−1 que es normal 3 a la grafica de f ( x ) = x 2 − x . Además, escribe la ecuación de la recta tangente.

4.- Encuentre la ecuación de la recta con pendiente m =

Como f ' ( x ) = pendiente de la recta tangente en un punto de la funcion. f '( x) = 2 x − 1 = pendiente de la recta tangente. Tambien se sabe que la recta normal es perpendicular a la recta tangente. −1 Por lo tanto mt ⋅ mn = −1 como mn = , la pendiente de la recta tangente 3 debe ser 3.

f '( x ) = 2 x − 1 = 3 2x = 4 x=2

Esto dice que en el punto x=2, la recta tangente tiene pendiente 3.

F(2)= 22 − 2 = 2 En el punto (2,2) la recta tangente tiene pendiente 3. Como las rectas tienen la forma y = mx + b −x +b 3 Recta tangente: y = 3 x + b Sabemos que la recta normal y la recta tangente pasan por el punto 2,2. Entonces queda así.

Recta Normal:

y=

Recta normal: 2 =

−2 8 + b, b = 3 3

Recta tangente: 2 = 3 ⋅ 2 + b, b = −4

Plassssssssss [email protected] Tiempo estimado: 75minutos.

y=

−x 8 + 3 3 y = 3x − 4