Resolucion Del 3er Examen Parcial

RESOLUCION DEL 3er EXAMEN PARCIAL Calcule el área de la sección cerrada comprendido entre la parábola con vértice en V(-3,1), eje paralelo al eje Y, pasa por P(3,7), y la circunferencia con centro en (-1,-2) y radio R=9(u). Encuentre los limites de integración por Newton-Raphson y el área por el método de los trapecios. Asumir n=12 y E=0.001

• Puntos Sabiendo que la parábola tiene su eje paralelo al eje Y Asumimos por simetría que un punto pasaría por (-9,-7)

x

y

-9

7

-3

1

3

7

• Dados los puntos hallamos la ecuación por el polinomio de Lagrange

7 * ( x − ( −3)) * ( x − 3) ( x − ( −9)) * ( x − 3) 7 − ( x − ( −9)) * ( x − ( −3)) y= + + 72 − 32 72

• Simplificando tenemos la ecuación de la parábola

x + 6 x + 15 yp = 6 2

• Para la circunferencia tenemos un centro de (-1,-2) y un R=9, entonces la ecuación seria la siguiente

( x + 1) + ( y + 2) = 9 2

2

2

• Despejando la ecuación respecto de Y tenemos

( y + 2) = 81 − ( x + 1) 2

y + 2 = 81 − ( x + 1)

2

2

y p = 81 − ( x + 1) − 2 2

• Ahora igualando las dos ecuaciones obtenemos una tercera ecuación que convierte el sistema no lineal en un ecuación no lineal con dos incógnitas, la cual seria igual.

yc − y p = 0

• Entonces la ecuación resultante seria

x + 6 x + 15 f ( x ) = ( 81 − ( x + 1) − 2) − ( ) 6 2

2

• Resolviendo por Newton Raphson tenemos: N

xn

f (x ) 0.3456

f ' ( x)

x n +1

Obs.

0

-7.3

2.4135 -7.4432 0.1432

1

-7.4432 -0.0066

2

-7.4405 -0.000002 2.5047 -7.4405 0.0000009

2.5064 -7.4405 0.0026

• Entonces la primera solución y primer limite de integración a = -7.4405

N

xn

0 1 2

2.5 0.2498 -2.2554 2.6107 0.1107 2.6107 -0.0029 -2.3082 2.6095 0.0012 2.6097 -0.0000003 -2.3076 2.6095 0.0000001

f (x )

f ' ( x)

x n +1

Obs.

• Entonces la segunda solución y limite de integración b será igual a 2.6095

∫

b

a

∫

f ( x )dx

2.6095

− 7.4405

2 x + 6 x + 15 2 81 − ( x + 1) − 2 − ( )dx 6

b−a h= n

2.6095 − ( −7.4405) h= 12

h = 0.8375

N

x

F(x)

0

-7.4405

0.0001

1

-6.603

1.8795

2

-5.7655

3.3601

3

-4.928

4.478/

4

-4.0905

5.2545

5

-3.253

5.7027

6

-2.4155

5.8310

7

-1.578

5.6444

8

-0.7405

5.1453

9

0.097

4.3343

10

0.9345

3.295

11

1.772

7.7671

12

2.6095

0.00006

h A = * ( y 0 + 2 y1 + 2 y 2 + ............ + 2 y n − 2 + 2 y n −1 + y n ) 2

A = 39.0334(u ) 2