Resistencias

Resistividade em Baixas Temperaturas Thiago Pacheco Carneiro 30 de abril de 2008 Resumo Iremos verificar o comportamento da resistividade da platina (Pt), um condutor, e do germˆ anio (Ge), um semi-condutor, quando submetidos a temperaturas entre −196◦ C e 25◦ C.

Introdu¸ c˜ ao A resistividade de condutores e semi-condutores ´e fun¸c˜ao da temperatura em que se encontram. Diversos fatores, como varia¸c˜oes na amplitude de vibra¸c˜ao dos ´ atomos em torno de suas posi¸c˜oes de equil´ıbrio nos cristais, varia¸c˜oes na distribui¸c˜ ao de momento dos el´etrons, etc., influenciam na capacidade de condu¸c˜ao de el´etrons do material. Os condutores s˜ ao afetados, basicamente, pelas varia¸c˜oes nas amplitudes de vibra¸c˜ ao dos ´ atomos: quanto maior a amplitude de vibra¸c˜ao dos ´atomos, maior ´e a sua se¸c˜ ao de choque e, portanto, mais freq¨ uentemente ocorrem choques entre os “el´etrons livres” e os ´atomos. Isso diminui a condutividade que ´e, basicamente, fun¸c˜ ao linear do tempo m´edio entre as intera¸c˜oes, τ : σ=

ne2 τ m

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J´ a os semicondutores tamb´em s˜ao afetados pela mudan¸ca, com a temperatura, na distribui¸c˜ ao de energia dos el´etrons. Conforme a temperatura aumenta, aumenta a possibilidade de que el´etrons no limite energ´etico superior da faixa de valˆencia adquiram energias superiores `a do gap de energia entre as camadas, passando ` a faixa de condu¸c˜ ao. Aqui temos tamb´em a mobilidade de el´etrons na faixa de valˆencia, devido ao “vazio” deixado pelos el´etrons que passaram `a faixa de condu¸c˜ ao. A condutividade dos semi-condutores ´e dada por: 3

σ = 2eU (µe + µh )T 2 exp(−

g ) 2kB T

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Onde e ´e a carga do el´etron, µe e µh s˜ao as mobilidades dos el´etrons e dos “vazios” e U ´e uma constante. Quando estamos lidando com temperaturas baixas, o termo exponencial domina a express˜ ao, permitindo a aproxima¸c˜ao ρ = σ −1 = Cexp(

1

g ) 2kB T

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Procedimento Experimental O procedimento experimental consistiu em agrupar um termopar, um resistor de platina e outro de germˆ anio e levar este grupo a diferentes temperaturas, com o aux´ılio de nitrogˆenio l´ıquido. O termopar serviu como termˆometro, para podermos calcular a que temperatura os resistores estavam submetidos. Ele estava ligado a um volt´ımetro e, com sua tabela de calibra¸c˜ ao em m˜aos, obtivemos as temperaturas. No resistor de platina a medi¸c˜ao da resistˆencia era direta, enquanto que no resistor de germˆ anio utilizamos um volt´ımetro para medir a tens˜ao VGe entre suas pontas, enquanto outro vol´ımetro, colocado em s´erie, media a tens˜ao Vp nas pontas de um resistor com resistˆencia Rr conhecida, `a temperatura ambiente. A resistˆencia do germˆ anio era, ent˜ao calculada pela equa¸c˜ao RGe =

VGe Rp VGe = = VGe I Vp /Rp Vp

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Note que, apesar de estarmos interessados na resistividade dos materiais, o que foi medido foi a resistˆencia daqueles corpos. No entanto, como a varia¸c˜ao do volume ´e desprez´ıvel em rela¸ca˜o `as varia¸c˜oes de resistividade, a dependˆencia da resistˆencia com a temperatura ser´a dominada pela dependˆencia da resistividade com a mesma e portanto estudar uma ´e, aproximadamente, o mesmo que estudar a outra.

Resultados Experimentais Conforme podemos apreciar no gr´afico abaixo, a resistˆencia da platina varia linearmente com a temperatura:

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Com uma rela¸c˜ ao ∂R(T ) = 0, 407 ± 0, 001ΩK−1 (5) ∂T J´ a a resistˆencia do germˆ anio varia de forma bem mais complexa, sendo apro ximada por R(T ) = Cexp( 2kBg T ) para as temperaturas mais baixas:

A partir da aproxima¸c˜ ao, pudemos obter g = 2kB

∂ln(R(T )) = 1, 47×10−21 ±2×10−23 J = 9, 2×10−3 ±1×10−4 eV (6) ∂(1/T )

Conclus˜ ao Comparando os resultados experimentais para a dependˆencia da resistˆencia da platina com a temperatura com o valor esperado (0, 43ΩK−1 ). conclu´ımos que o resultado foi satisfat´ orio, com uma discrepˆancia de aproximadamente 6%. Infelizmente n˜ ao possuimos valores esperados para o germˆanio, pois a amostra utilizada possu´ıa uma dopagem desconhecida. No entanto, foi poss´ıvel apreciar a validade da aproxima¸c˜ ao para baixas temperaturas, pois o ajuste exibiu margens de erro baixas para o conjunto de pontos escolhidos. Al´em disso, pudemos verificar a diminui¸c˜ ao apreci´avel do gap de energia para a amostra dopada, em rela¸c˜ ao ao valor esperado de 5, 4eV para o germˆanio puro.

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