Resistencia De Materiales.docx

1. Deflexión en vigas: Todos los cuerpos reales se deforman bajo la aplicación de una carga, elástica o plásticamente. Un cuerpo puede ser tan insensible a la deformación que el supuesto de rigidez no afecte en grado suficiente a un análisis para asegurar un tratamiento norígido. Si después se comprueba que la deformación del cuerpo no era despreciable, entonces la declaración de rigidez fue una decisión errónea, no un supuesto equivocado. Un cable metálico es flexible, pero en tensión puede ser prácticamente rígido y se distorsiona mucho si se somete a cargas de compresión. El mismo cuerpo puede ser rígido o no rígido. El análisis de la deflexión influye en las situaciones de diseño en muchas formas. A menudo, el tamaño de una pieza se determina de acuerdo con las deflexiones, en vez de calcularse con base a los límites de esfuerzo y algunas veces, los elementos mecánicos se diseñan para que tengan una característica particular de la relación fuerza-deflexión. Es de particular interés la determinación de la máxima deflexión de una viga bajo ciertas condiciones de cargas pues las especificaciones de diseño de la misma generalmente incluyen un valor máximo admisible para dicha deflexión. También será de interés conocer las deflexiones para el análisis de vigas indeterminadas (aquellas en las que el número de reacciones excede al de ecuaciones de equilibrio) Para una viga prismática sometida a flexión pura la misma se flexa un arco de circunferencia en el cual, dentro del rango elástico, la curvatura de la superficie neutra se calcula de la siguiente forma:

De aquí que este valor de deformación es válido en cualquier lugar y se concluye que la deformación normal longitudinal x varía linealmente con la distancia y desde la superficie neutra.

La deformación x alcanza su valor máximo en c que es la distancia mayor desde la superficie neutra por lo que el máximo valor absoluto de dicha deformación es.

donde M es el momento flector, E el módulo de elasticidad e I el momento de inercia de la sección transversal en su eje neutro Cuando una viga es sometida a cargas transversales, la ecuación anterior sigue siendo válida para cualquier otra sección transversal, sin embargo, tanto el flector como la curvatura de la superficie neutra podrán variar de sección a sección. Llamando x a la distancia de la sección desde la izquierda de la viga, podemos escribir:

Consideremos, por ejemplo, una viga cantiléver AB de longitud L, sometida a una carga concentrada P en su extremo A. Tendremos que M(x)=-Px por lo que quedaría:

Lo cual muestra que la curvatura de la superficie neutra varía linealmente con x, desde cero en A, donde A es , a –PL/EI en B donde. B=EI/PL

Notamos que el mayor valor de la curvatura (i.e., el menor valor del radio de curvatura) ocurre en el soporte C, donde M es máximo. De la información obtenida de la curvatura, tendremos una idea aproximada de la deformación de la viga. Sin embargo, el análisis y diseño de una viga usualmente requiere mayor información precisa de la deflexión y de la pendiente en varios puntos. El conocimiento de la máxima deflexión de la viga será de particular importancia a) Ecuación de la elástica Del análisis matemático se sabe que la curvatura de una curva plana en un punto Q(x,y) de la curva puede ser expresada como

Pero en el caso de la curva elástica de una viga, la pendiente dy/dx es muy pequeña, y su cuadrado es despreciable comparado con la unidad. De aquí que:

La ecuación obtenida es una ecuación diferencial lineal de segundo orden. El producto EI es conocido como rigidez flexional. Para el caso de vigas de sección transversal constante:

Llamando (x) al ángulo medido en radianes que forma la tangente a la curva elástica con la horizontal y observando que dicho ángulo es muy pequeño, tendremos:

De aquí que se puede escribir la ecuación anterior de forma alternativa:

Integrando:

Las constantes C1 y C2 se determinan con las condiciones de borde o, más precisamente con las condiciones impuestas por la soportación de la viga.

b) Determinación de la elástica a partir de la distribución de las cargas

Recordamos de CMM1 que, cuando una viga soporta una carga distribuida w(x), tenemos que: dM/dx = V y dV/dx =-w para cualquier punto de la viga. Luego:

De lo anterior concluimos que, cuando una viga prismática está sometida a una carga distribuida w(x) su curva elástica se encuentra gobernada por la siguiente ecuación diferencial lineal de cuarto orden:

Las cuatro constantes de integración pueden determinarse mediante las condiciones de borde. Dichas condiciones incluyen (a) las condiciones impuestas en la deflexión o pendiente de la viga, y (b) la condición de que V y M son cero en el extremo libre de una viga cantiléver:

c) Ecuaciones fundamentales

d) Funciones de singularidad o de Macaulay Las 4 funciones de singularidad definidas en la tabla anterior, utilizando los paréntesis   , constituye un medio útil y sencillo para integrar a través de discontinuidades. Mediante su utilización, las expresiones generales para cortante y flector pueden ser escritas cuando la viga es cargada con fuerzas y momentos concentrados. Como se puede ver en la tabla, los momentos y fuerzas concentradas son cero para todos los valores de x diferentes de a y están indefinidas para valores de x=a. Observar que el escalón unidad y las funciones rampa son cero solamente para valores de x menores que a. Las primeras dos integraciones de q(x) para V(x) y M(x) no requieren de constantes de integración.

e) Superposición. Cuando una viga es sometida a varias cargas distribuidas o concentradas, es muchas veces conveniente computar separadamente las pendientes y deflexiones causadas por cada una de las cargas en cuestión. La pendiente y la deflexión debido a cargas combinadas se obtienen aplicando el principio de superposición y sumando los valores de las pendientes o deflexiones correspondientes a las cargas mencionadas. f) Método de las «Áreas – Momento». En la primera parte de este capítulo utilizamos un método matemático basado en la integración de una ecuación diferencial para determinar la deflexión y pendiente de una viga en cualquier punto. El momento flector fue expresado como una función M(x) de la distancia x medida a lo largo de la viga, y dos integraciones sucesivas llevan a las funciones (x) e y(x) que representan respectivamente, la pendiente y la deflexión en cualquier punto de la viga. En esta parte veremos como las propiedades geométricas de la curva elástica pueden ser utilizadas para determinar la deflexión y la pendiente de una viga en un punto específico. Consideremos una viga AB sometida a alguna carga arbitraria (Fig. a). Representamos el diagrama que representa la variación a lo largo de la viga de la cantidad M/EI (Fig. b). Vemos que, excepto por la diferencia en las escalas de las ordenadas, este diagrama es el mismo que el de flector si la rigidez a la flexión de la viga es constante

Consideremos ahora dos puntos P y P’ localizados entre C y D, a una distancia dx uno de otro (ver figura). Las tangentes a la elástica por P y P’ interceptan a la vertical por C determinando un segmento de longitud dt La pendiente  en P y el ángulo d formado por las tangentes en P y P’ son ambas pequeñas cantidades, por lo que podremos asumir que dt es igual al arco de radio x subtendido el ángulo d. Tendremos, por ende:

Ahora integramos la ecuación anterior desde C a D. Notamos que, el punto P describe la curva elástica desde C a D, la tangente en P barre la vertical a través de C desde C a E. La integral de la parte izquierda es entonces igual a la distancia vertical desde C a la tangente en D. Esta distancia se denota por tC/D y es llamada la desviación tangencial de C respecto de D. Tenemos, por lo tanto:

Observamos que (M/EI) dx representa un elemento de área bajo el diagrama (M/EI), y x1 (M/EI) dx el momento de primer orden de este elemento respecto a un eje vertical por C.

. El miembro de la derecha representa el momento de primer orden respecto del eje del área localizada bajo el diagrama (M/EI) entre C y D. Podemos, por consiguiente, establecer el segundo teorema del área-momento (2° teorema de Mohr): La desviación tangencial t C/D de C respecto de D es igual al primer momento respecto a un eje vertical por C del área bajo el diagrama (M/EI) entre C y D. Recordando que el primer momento de un área respecto de su eje es igual al producto del área por la distancia desde su centroide al eje, podemos expresar el segundo teorema de la siguiente forma:

(Mecanica de materiales Octava edicion, 2016) (Rusell Johnston, Beer, DeWolf, & Mazurek, 2013)

Bibliografía (2016). En J. Gere, & B. Goodno, Mecanica de materiales Octava edicion. Mexico: CENGAGE LEARNING. Rusell Johnston, E., Beer, F., DeWolf, J., & Mazurek, D. (2013). En E. Rusell Johnston, F. P. Beer, J. T. DeWolf, & D. F. Mazurek, Mecanica de materiales Sexta edicion (pág. 635). Mc Graw Hill.