Representacion

ANÁLISIS DE LA LÍNEA SENO B

Línea Seno

su

P(x;y)

90°

Es la

1

perpendicular

θ Q

O

1

A

Trazada desde el Extremo del arco

Diámetro horizontal

-1

270°

∀θ ∈

'

AA

sus

• En el Triángulo rectángulo OQP:

Sen AP = Senθ = PQ = y

0

P(x;y)

Hacia el

B´

PQ y Sen θ = = OP 1 Por lo tanto: Sen θ = y • De la figura:

0°

180°

−1 ≤ sen θ ≤ 1 Valores cuadrantales

CUADRANTE

su

Variación cuadrantal

SENO

-∞

0

π/2

π

3π/2

2π

0

1

0

-1

0

VARIACIÓN COMPORTAMIENTO

SIGNO

Q1

0a1

CRECE

(+)

Q2

1a0

DECRECE

(+)

Q3

0 a -1

DECRECE

(-)

Q4

-1 a 0

CRECE

(-)

Sen θ

A´

+∞

Análisis de la línea seno

ANÁLISIS DE LA LÍNEA COSENO B

Línea Coseno

N

1 A´

O

θ

θ

P(x;y)

90°

Análisis de la línea

su

Es la

0°

180° perpendicular

Q

A

Trazada desde el

270° Extremo del arco

P(x;y)

-∞

-1

Hacia el

B´

Diámetro vertical

−1 ≤ cos θ ≤ 1

∀θ ∈

BB'

sus

Valores cuadrantales

coseno

• En el Triángulo rectángulo PNO: NP x Cos θ= = OP 1 Por lo tanto: Cos θ = x • De la figura: Cos AP = Cosθ = NP = x

su Variación cuadrantal

1

0 Cos α

0

π/2

π

3π/2

2π

1

0

-1

0

1

Cuadrante

Variacíon

Comportamiento

Signo

Q1

1a0

DECRECE

(+)

Q2

0 a -1

DECRECE

(-)

Q3

-1 a 0

CRECE

(-)

Q4

0a1

CRECE

(+)

∞

ANÁLISIS DE LA LÍNEA TANGENTE

Línea Tangente

+∞

Análisis de la línea

su

90° T(1;Y1)

Es una

Parte de la tangente geométrica

B P

180°

Trazada por el

Origen de arcos

θ

A´

O

1

B´

A(1;0)

∀θ ∈

A Se mide desde este origen y termina en la intersección de la tangente geométrica con el radio prolongado que pasa por el extremo del arco

sus

Tg AP = Tgθ = AT = y1

270°

Valores cuadrantales

Tg

Tg θ=

• De la figura:

π ;n ∈ 2

Tg θ ∈

• En el Triángulo rectángulo TAO: y AT = 1 OA 1 Por lo tanto: Tg θ = y1

− ( 2n + 1)

0°

su Variación cuadrantal

0

π/2

π

3π/2

2π

0

∃

0

∃

0

-∞

CUADRANTE

VARIACIÓN

Comportamiento

Signo

Q1

0 a +∞

CRECE

(+)

Q2

-∞ a 0

CRECE

(-)

Q3

0 a +∞

CRECE

(+)

Q4

-∞ a 0

CRECE

(-)

ANÁLISIS DE LA LINEA COTANGENTE 0 Línea Cotangente

-∞ Análisis de la línea

su

+∞

es

90° Parte de la tangente geométrica

T( X1 ; 1)

B

θ

P(x;y)

A´

Origen de complementos

θ

O

Que pasa por el

1

B(0;1)

∀θ ∈

A

− nπ ; n ∈

cot θ ∈

Valores cuadrantales

sus

Se mide desde este origen y termina en la intersección de la tangente geométrica mencionada con el radio prolongado que pasa por el extremo del arco .

B´

• En el

Cotg

270°

0

π/2

π

3π/2

2π

∃

0

∃

0

∃

rectángulo TBO:

x BT Ctg θ= = 1 BO 1 ∴ Ctg θ = x1

0°

180°

su Variación cuadrantal

CUADRANTE

VARIACIÓN

Comportamiento

Signo

Q1

+∞ a 0

DECRECE

(+)

0 a -∞

DECRECE

(-)

Q2

• De la figura:

Q3

+∞ a 0

DECRECE

(+)

Ctg AP = Ctgθ = BT = x1

Q4

-∞ a 0

DECRECE

(-)

90°

ANÁLISIS DE LA LÍNEA SECANTE Línea Secante

su

Análisis de la línea

B es

P(x;y) Parte del diámetro prolongado

1 θ

A´

A

O

T( X 2 ; 0)

270 °

Que pasa por el

Origen de arcos

-∞ B´

• En el

rectángulo OPT:

x OT = 2 OP 1 ∴ Sec θ = x2 Sec θ=

• De la figura: Sec AP = Sec θ = OT = x2

+∞ -1

Se empieza a medir desde el centro de la circunferencia y termina en la intersección del diámetro prolongado con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco .

∀θ ∈ sus

π − ( 2n + 1) ; n ∈ 2

Sec α ≤ -1 ∪ Sec α ≥ 1

Valores cuadrantales Cotg

su

Variación cuadrantal

+1

0

π/2

π

3π/2

2π

0

∃

-1

∃

1

CUADRANTE

VARIACIÓN

Comportamiento

Signo

Q1

1 a +∞

CRECE

(+)

- ∞ a- 1

CRECE

(-)

Q3

-1 a - ∞

DECRECE

(-)

Q4

+∞ a 1

DECRECE

(+)

Q2

+∞

ANÁLISIS DE LA LÍNEA COSECANTE T(0; Y2 )

Línea Cosecante

su

Análisis de la línea

B θ

+1

es

P(x;y) Parte del diámetro prolongado

1

0° 360°

180°

θ

A´

O

A

que pasa por el

Origen de complementos

B´ • En el

rectángulo OPT:

Y OT = 2 OP 1 Cosec θ = Y2

Cosec θ=

∴

-1

Se empieza a medir desde el centro de la circunferencia y termina en la intersección del diámetro prolongado con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco.

sus

Valores cuadrantales

∀θ ∈

Cotg

Cosec α ≤ -1 ∪ Cosec α ≥ 1

− nπ ; n ∈

0

π/2

π

3π/2

2π

∃

1

∃

-1

∃

• De la figura: Cosec AP = Cosec θ = OT = y2

-∞

su Variación cuadrantal

CUADRANTE

VARIACIÓN

Comportamiento

Signo

Q1

+∞ a 1

Decreciente

(+)

1 a + ∞

Creciente

(+)

- ∞ a -1

Creciente

(-)

-1 a - ∞

Decreciente

(-)

Q2

Q3 Q4

Línea Seno Verso o verso (vers)

Línea Coseno Verso o Coverso (cov)

Línea ex-secante o external (ex-sec) es

es

es

Lo que le falta al coseno de un arco para valer la unidad

B

B

P(x;y)

El verso se empieza a medir a partir del

1 θ

A´

O

1

Q

A

P(x;y)

N

1

1

Lo que le falta al seno de un arco para valer la unidad

A

O

Origen de versos

P(x;y) El coverso se empieza a medir en el

1

B´

B

θ

θ

A´

El exceso de la secante respecto a la unidad

Se mide a partir del

1 θ

A´

O

1

Q

A

T Origen de ex secantes

Origen de coversos

B´

B´

Que viene a ser el origen de arcos A (1; 0), y termina en el pie de la perpendicular trazada desde el extremo del arco al diámetro horizontal . El verso siempre es positivo.

Que viene a ser el origen de complementos B (0;1), y termina en el pie de la perpendicular trazada desde el extremo del arco al diámetro vertical . El coverso siempre es positivo.

Que viene a ser el origen de arcos A (1; 0), y termina en el punto donde acaba la secante de ese arco . Si la secante se mide hacia la derecha del origen de exsecantes es positiva y en caso contrario es negativa .

• Por definición: Vers θ = 1 - Cos θ ... ( I)

• Por definición: cov θ = 1 - Sen θ ... ( I)

• Por definición: Ex-sec θ = Sec θ - 1 ... ( I)

• De la figura : Vers θ = QA

• De la figura : Cov θ = BN

• De la figura : Ex-sec θ = AT

• En el Triángulo rectángulo OQP:

• En el Triángulo rectángulo ONP: NO NO Sen θ = = OP 1 ∴ Sen θ = NO ... ( II)

• En el Triángulo rectángulo OPT:

Cos θ =

∴ Cos θ

OQ OQ = OP 1

= OQ ... ( II)

Reemplazando: ( II) en ( I)

∴

Vers θ = 1 − OQ Vers θ = QA

Reemplazando: ( II) en ( I)

∴

Cov θ = 1 − NO Cov θ = BN

Sec θ =

∴ Sec θ

OT OT = OP 1

= OT ... ( II)

Reemplazando: ( II) en ( I)

∴

Ex-sec θ = OT-1 Ex-sec θ = AT