ANÁLISIS DE LA LÍNEA SENO B
Línea Seno
su
P(x;y)
90°
Es la
1
perpendicular
θ Q
O
1
A
Trazada desde el Extremo del arco
Diámetro horizontal
-1
270°
∀θ ∈
'
AA
sus
• En el Triángulo rectángulo OQP:
Sen AP = Senθ = PQ = y
0
P(x;y)
Hacia el
B´
PQ y Sen θ = = OP 1 Por lo tanto: Sen θ = y • De la figura:
0°
180°
−1 ≤ sen θ ≤ 1 Valores cuadrantales
CUADRANTE
su
Variación cuadrantal
SENO
-∞
0
π/2
π
3π/2
2π
0
1
0
-1
0
VARIACIÓN COMPORTAMIENTO
SIGNO
Q1
0a1
CRECE
(+)
Q2
1a0
DECRECE
(+)
Q3
0 a -1
DECRECE
(-)
Q4
-1 a 0
CRECE
(-)
Sen θ
A´
+∞
Análisis de la línea seno
ANÁLISIS DE LA LÍNEA COSENO B
Línea Coseno
N
1 A´
O
θ
θ
P(x;y)
90°
Análisis de la línea
su
Es la
0°
180° perpendicular
Q
A
Trazada desde el
270° Extremo del arco
P(x;y)
-∞
-1
Hacia el
B´
Diámetro vertical
−1 ≤ cos θ ≤ 1
∀θ ∈
BB'
sus
Valores cuadrantales
coseno
• En el Triángulo rectángulo PNO: NP x Cos θ= = OP 1 Por lo tanto: Cos θ = x • De la figura: Cos AP = Cosθ = NP = x
su Variación cuadrantal
1
0 Cos α
0
π/2
π
3π/2
2π
1
0
-1
0
1
Cuadrante
Variacíon
Comportamiento
Signo
Q1
1a0
DECRECE
(+)
Q2
0 a -1
DECRECE
(-)
Q3
-1 a 0
CRECE
(-)
Q4
0a1
CRECE
(+)
∞
ANÁLISIS DE LA LÍNEA TANGENTE
Línea Tangente
+∞
Análisis de la línea
su
90° T(1;Y1)
Es una
Parte de la tangente geométrica
B P
180°
Trazada por el
Origen de arcos
θ
A´
O
1
B´
A(1;0)
∀θ ∈
A Se mide desde este origen y termina en la intersección de la tangente geométrica con el radio prolongado que pasa por el extremo del arco
sus
Tg AP = Tgθ = AT = y1
270°
Valores cuadrantales
Tg
Tg θ=
• De la figura:
π ;n ∈ 2
Tg θ ∈
• En el Triángulo rectángulo TAO: y AT = 1 OA 1 Por lo tanto: Tg θ = y1
− ( 2n + 1)
0°
su Variación cuadrantal
0
π/2
π
3π/2
2π
0
∃
0
∃
0
-∞
CUADRANTE
VARIACIÓN
Comportamiento
Signo
Q1
0 a +∞
CRECE
(+)
Q2
-∞ a 0
CRECE
(-)
Q3
0 a +∞
CRECE
(+)
Q4
-∞ a 0
CRECE
(-)
ANÁLISIS DE LA LINEA COTANGENTE 0 Línea Cotangente
-∞ Análisis de la línea
su
+∞
es
90° Parte de la tangente geométrica
T( X1 ; 1)
B
θ
P(x;y)
A´
Origen de complementos
θ
O
Que pasa por el
1
B(0;1)
∀θ ∈
A
− nπ ; n ∈
cot θ ∈
Valores cuadrantales
sus
Se mide desde este origen y termina en la intersección de la tangente geométrica mencionada con el radio prolongado que pasa por el extremo del arco .
B´
• En el
Cotg
270°
0
π/2
π
3π/2
2π
∃
0
∃
0
∃
rectángulo TBO:
x BT Ctg θ= = 1 BO 1 ∴ Ctg θ = x1
0°
180°
su Variación cuadrantal
CUADRANTE
VARIACIÓN
Comportamiento
Signo
Q1
+∞ a 0
DECRECE
(+)
0 a -∞
DECRECE
(-)
Q2
• De la figura:
Q3
+∞ a 0
DECRECE
(+)
Ctg AP = Ctgθ = BT = x1
Q4
-∞ a 0
DECRECE
(-)
90°
ANÁLISIS DE LA LÍNEA SECANTE Línea Secante
su
Análisis de la línea
B es
P(x;y) Parte del diámetro prolongado
1 θ
A´
A
O
T( X 2 ; 0)
270 °
Que pasa por el
Origen de arcos
-∞ B´
• En el
rectángulo OPT:
x OT = 2 OP 1 ∴ Sec θ = x2 Sec θ=
• De la figura: Sec AP = Sec θ = OT = x2
+∞ -1
Se empieza a medir desde el centro de la circunferencia y termina en la intersección del diámetro prolongado con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco .
∀θ ∈ sus
π − ( 2n + 1) ; n ∈ 2
Sec α ≤ -1 ∪ Sec α ≥ 1
Valores cuadrantales Cotg
su
Variación cuadrantal
+1
0
π/2
π
3π/2
2π
0
∃
-1
∃
1
CUADRANTE
VARIACIÓN
Comportamiento
Signo
Q1
1 a +∞
CRECE
(+)
- ∞ a- 1
CRECE
(-)
Q3
-1 a - ∞
DECRECE
(-)
Q4
+∞ a 1
DECRECE
(+)
Q2
+∞
ANÁLISIS DE LA LÍNEA COSECANTE T(0; Y2 )
Línea Cosecante
su
Análisis de la línea
B θ
+1
es
P(x;y) Parte del diámetro prolongado
1
0° 360°
180°
θ
A´
O
A
que pasa por el
Origen de complementos
B´ • En el
rectángulo OPT:
Y OT = 2 OP 1 Cosec θ = Y2
Cosec θ=
∴
-1
Se empieza a medir desde el centro de la circunferencia y termina en la intersección del diámetro prolongado con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco.
sus
Valores cuadrantales
∀θ ∈
Cotg
Cosec α ≤ -1 ∪ Cosec α ≥ 1
− nπ ; n ∈
0
π/2
π
3π/2
2π
∃
1
∃
-1
∃
• De la figura: Cosec AP = Cosec θ = OT = y2
-∞
su Variación cuadrantal
CUADRANTE
VARIACIÓN
Comportamiento
Signo
Q1
+∞ a 1
Decreciente
(+)
1 a + ∞
Creciente
(+)
- ∞ a -1
Creciente
(-)
-1 a - ∞
Decreciente
(-)
Q2
Q3 Q4
Línea Seno Verso o verso (vers)
Línea Coseno Verso o Coverso (cov)
Línea ex-secante o external (ex-sec) es
es
es
Lo que le falta al coseno de un arco para valer la unidad
B
B
P(x;y)
El verso se empieza a medir a partir del
1 θ
A´
O
1
Q
A
P(x;y)
N
1
1
Lo que le falta al seno de un arco para valer la unidad
A
O
Origen de versos
P(x;y) El coverso se empieza a medir en el
1
B´
B
θ
θ
A´
El exceso de la secante respecto a la unidad
Se mide a partir del
1 θ
A´
O
1
Q
A
T Origen de ex secantes
Origen de coversos
B´
B´
Que viene a ser el origen de arcos A (1; 0), y termina en el pie de la perpendicular trazada desde el extremo del arco al diámetro horizontal . El verso siempre es positivo.
Que viene a ser el origen de complementos B (0;1), y termina en el pie de la perpendicular trazada desde el extremo del arco al diámetro vertical . El coverso siempre es positivo.
Que viene a ser el origen de arcos A (1; 0), y termina en el punto donde acaba la secante de ese arco . Si la secante se mide hacia la derecha del origen de exsecantes es positiva y en caso contrario es negativa .
• Por definición: Vers θ = 1 - Cos θ ... ( I)
• Por definición: cov θ = 1 - Sen θ ... ( I)
• Por definición: Ex-sec θ = Sec θ - 1 ... ( I)
• De la figura : Vers θ = QA
• De la figura : Cov θ = BN
• De la figura : Ex-sec θ = AT
• En el Triángulo rectángulo OQP:
• En el Triángulo rectángulo ONP: NO NO Sen θ = = OP 1 ∴ Sen θ = NO ... ( II)
• En el Triángulo rectángulo OPT:
Cos θ =
∴ Cos θ
OQ OQ = OP 1
= OQ ... ( II)
Reemplazando: ( II) en ( I)
∴
Vers θ = 1 − OQ Vers θ = QA
Reemplazando: ( II) en ( I)
∴
Cov θ = 1 − NO Cov θ = BN
Sec θ =
∴ Sec θ
OT OT = OP 1
= OT ... ( II)
Reemplazando: ( II) en ( I)
∴
Ex-sec θ = OT-1 Ex-sec θ = AT