Remidial Uas Matematika Semester 1.docx

Remidi UAS Matematika Nama : Sahala Boy Mangatur Manullang Nim : 55718110040 Prodi : Magister Teknik Sipil

SOAL 1 Dalam suatu polisi terhadap banyaknya kecelakaan yang ditimbulkan oleh para pengendara mobil didata menurut umur, hasilnya adalah sebagai berikut : Banyaknya kecelakaan

Umur pengendara mobil <30 31-40 41-50 >50 0 130 120 300 100 1 75 70 61 125 2 45 40 20 30 >2 25 8 5 20 Apakah ada hubungan yang cukup kuat antara umur dan banyknya kecelakaan yang ditimbulkan, cari persamaan regresinya. Penyelesaian : Untuk mencari persamaan regresi dari data diatas, maka dibutuhkan tabel sebagai berikut : y

Jumlah

x1 130 75 45 25 275

0 1 2 3 6

x2 120 70 40 8 238

x3 300 61 20 5 386

y2

x4 100 125 30 20 275

0 1 4 9 14

x12 16900 5625 2025 625 25175

x22 14400 4900 1600 64 20964

x32 90000 3721 400 25 94146

x42 10000 15625 900 400 26925

x1y 0 75 90 75 240

x2y 0 70 80 24 174

Dimana :

a

x3y 0 61 40 15 116

x4y 0 125 60 60 245

x1x2 15600 5250 1800 200 22850

x1x3 39000 4575 900 125 44600

x1x4 13000 9375 1350 500 24225

x2x3 36000 4270 800 40 41110

x2x4 12000 8750 1200 160 22110

Persamaan Matriks :

 n    x1  x  2   x3  x  4

 x  x  x  x   a    y   x  x x  x x  x x   b    x y   x x  x  x x  x x   b    x y   x x  x x  x  x x  b    x y   x x  x x  x x  x  b   x y  1 2

2

3

4

1

1 2

1 3

1 4

1

1

1 2

2 2

2 4

2

2

1 3

2 3

2 3 2 3

3

3

1 4

2 4

3 4

3 4 2 4

4

4

Bentuk Umum Persamaan Regresi Liner Berganda : Y  a  b1 X1  b2 X 2  b3 X 3  b4 X 4

det A3 det A5 det A1 det A2 det A4 ; b1  ; b2  ; b3  ; b4  ; det A det A det A det A det A

x3x4 30000 7625 600 100 38325

Matriks A :

 n    x1  x  2   x3  x  4

 x  x  x  x   4  x  x x  x x  x x  275  x x  x  x x  x x   238  x x  x x  x  x x  386  x x  x x  x x  x  275 1 2

275

238

386

2

3

4

1

1 2

1 3

1 4

1 2

2 2

2 4

1 3

2 3

2 3 2 3

25175 22850 44600 22850 20964 41110

1 4

2 4

3 4

3 4 2 4

44600 41110 94146 24225 22110 38325

275 24225 22110   38325 26925

Determinan A =-0.199 Matriks A1 :

 y    x1 y  x y  2   x3 y  x y  4

 x  x  x  x   6  x  x x  x x  x x  240  x x  x  x x  x x   174  x x  x x  x  x x  116  x x  x x  x x  x   245 1 2

275

238

386

2

3

4

1

1 2

1 3

1 4

1 2

2 2

2 4

1 3

2 3

2 3 2 3

25175 22850 44600 22850 20964 41110

1 4

2 4

3 4

3 4 2 4

44600 41110 94146 24225 22110 38325

275 24225 22110   38325 26925

Determinan A1 =0.132 Matriks A2 :

 n    x1   x2    x3  x  4

y x y x y x y x y 1

2

3

4

 x  x  x   4  x x  x x  x x  275  x  x x  x x   238  x x  x  x x  386  x x  x x  x  275

6 240 174 116 245

y x y x y x y x y

2

3

4

1 2 2 2

1 3

1 4

2 4

2 3

2 3 2 3

2 4

3 4

3 4 2 4

238 22850 20964 41110 22110

386 44600 41110 94146 38325

275 24225 22110   38325 26925

275 25175 22850 44600 24225

6 240 174 116 245

386 44600 41110 94146 38325

275 24225  22110   38325  26925

275 25175 22850 44600 24225

238 22850 20964 41110 22110

Determinan A2 =-0.005 Matriks A3 :

 n    x1   x2    x3  x  4

x x x x x x x x

1 2 1

1 2 1 3

1 4

1

2

3

4

 x  x   4  x x  x x  275  x x  x x   238  x  x x  386  x x  x  275 3

4

1 3

1 4

2 3 2 3

2 4

3 4

3 4 2 4

Determinan A3 =0.01 Matriks A4 :

 n    x1   x2    x3  x  4

x x x x x x x x x x x x x x x x 1 2 1

2

1 2

1 2 2 2

1 3

2 3

1 4

2 4

Determinan A4 =0.0006

y x y x y x y x y 1

2

3

4

 x   4  x x  275  x x   238  x x  386  x  275 4

1 4

2 4 3 4 2 4

6 240 174 116 245

275 24225  22110   38325  26925 

Matriks A5 :

 n    x1   x2    x3  x  4

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 2 1

2

3

1 3

1 2

1 2 2 2

1 3

2 3

2 3 2 3

1 4

2 4

3 4

 y   4  x y  275  x y   238  x y  386  x y  275 1

2

3

4

275 25175 22850 44600 24225

238 22850 20964 41110 22110

386 44600 41110 94146 38325

6 240  174   116  245

Determinan A5 =0.001

0.132 0.005 0.01  0.663; b1   0.023; b2   0.049 0.199 0.199 0.199 0.0006 0.001 b3   0.003; b4   0.005 0.199 0.199 a

Jadi, persamaan regresinya adalah :

Y=-0.663+0.023X1 -0.049X2 -0.003X3 -0.005X4 Untuk mengetahui apakah terdapat hubungan yang cukup kuat antara umur dan banyaknya kecelakaan yang ditimbulkan, maka dapat diketahui dari nilai koefisien korelasi berganda. Koefisien korelasi berganda dirumuskan sebagai berikut :

RY 1,2,3,4 

b1  x1 y  b2  x2 y  b3  x3 y  b4  x4 y

y

Dimana :

( Y ) 2

2

62  5.00 n 4 ( X ).( Y ) 275.6  x1 y   X1Y   1n   240  4  172.5 ( X ).( Y ) 238.6  x2 y   X 2Y   2n   174  4  183 ( X ).( Y ) 386.6  x3 y   X 3Y   3n   116  4  463 ( X ).( Y ) 275.6  x4 y   X 4Y   4n   245  4  167.5 0.023(172.5)  0.049(183)  0.003(463)  0.005(167.5) RY 1,2,3,4  5 RY 1,2,3,4  1.202

 y  Y  2

2

 14 

Karena nilai RY 1,2,3,4  1.202 , maka dapat disimpulkan ada hubungan yang sangat kuat antara umur dan banyaknya kecelakaan yang ditimbulkan.

SOAL 2 Dalam uji hipotesis dengan model probabilitas normal, diketahui σ=15.0. Hipotesisnya dirumuskan sebagai : H0 :μ=40 dan H0 :μ≠40 Jika dalam uji hipotesis ini digunakan sampel random dengan menggunakan n=38, tingkat signifikansi ∝=0.05 hitunglah probabilitas kesalahan jika μ yang benar adalah 40. Penyelesaian : Uji Hipotesa Satu Rata-rata Diketahui : σ =15.0 μ0 = 40 n = 38 (sampel besar) α = 0.05 Ditanya : Probabilitas kesalahan jika μ yang benar adalah 40 Solusi : a) Menggunakan Distribusi Normal (Z) Kurva Normal bakunya adalah : P(Z>Ztabel) = 0.025 P(Z>1.96) = 0.025

Z

X 



 Z .    X

Untuk μ=40, X=(1.96)(15)+40=69.4 Untuk μ=40, X=(1.96)(15)+40=69.4 0  69.4  69.4   0%   69.4  69.4

μ yang benar adalah 40, maka kesalahannya adalah 

SOAL 3 Suatu data dari hasil pengukuran dengan : Metode A mempunyai deviasi standart σ1=20.2 ; μ1=12; n1=35 Metode B dianggap lebih baik mempunyai deviasi standart σ2=35.1 ; μ2=16; n2=25 Kesimpulan apakah yang dapat kita tarik diatas? Gunakan tingkat signifikansi ∝=0.05 Penyelesaian : Diketahui : Metode A : σ1=20.2 ; μ1=12; n1=35 Metode B : σ2=35.1 ; μ2=16; n2=25 α =0.05 Ditanya : Kesimpulan dari data diatas? Solusi : 1. Pengujian hipotesis beda dua rata-rata a) Rumusan Hipotesis Ho : μ1= μ2 Ho : μ1< μ2 (one - sided) b) Penentuan nilai α dan nilai Ztabel (Zα) α =0.05 Dari tabel Z diperoleh Zα = 1,64

c) Kriteria pengujian hipotesis : H0 ditolak jika Z0 < -1.64 H0 diterima jika Z0 ≥ -1.64 d) Menentukan nilai Z0

Z0 

X1  X 2

X

1X 2

dengan  X 1  X 2 

 12 n1



 22 n2

maka :

X

1X 2

X

1X 2

20.22 35.12  35 25  7.806



Z0 

12  16  0.512 7.806

e) Kesimpulan : Karena Z0=-0.512≥-1.64 maka H0 diterima. Jadi tidak terdapat perbedaan yang signifikan antara metode A dan metode B. 2. Pengujian hipotesis beda dua varians a) Rumusan hipotesis : Ho : σ22= σ12 Ho : σ12> σ22 (one - sided) b) Menentukan nilai F tabel α =0.05 v1=n1-1=34 v2=n1-1=24

f ( )  v1 , v2   f (0.05)  34, 24   f (0.05)  30, 24  

 f (0.05)  34, 24   1.94 

34  30  f(0.05)  40, 24   f(0.05)  30, 24   40  30

4 1.89  1.94  10

 1.92 c) Kriteria pengujian hipotesis : H0 ditolak jika F0 ≥ 1.92 H0 diterima jika F0 < 1.92 d) Menentukan nilai F0 𝐹0 =

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙

𝐹0 =

35.12 20.22

𝜎2

= 𝜎22 1

= 3.019

e) Kesimpulan : Karena F0=3.019 ≥1.92, maka H0 ditolak. Jadi benar bahwa metode B dianggap lebih baik daripada metode A.

SOAL 4 Seorang dokter menyelidiki apakah cara pengobatan tertentu menyebab pasien kehilangan tidur. Dengan menggunakan sampel 10 pasien, sehingga didapat data sebagai berikut :

Pasien Sebelum

1

Sesudah

56

2 48

3 52

4 48

5 62

6 55

7 65

8 50

9 48

10 52

47

46

61

45

58

49

52

47

50

50

Uji hipotesis bahwa pengobatan tersebut tidak mengurangi tidur seseorang (signifikansi ∝=0.05). Penyelesaian : Uji Hipotesis Beda Dua Rata-rata : 1) Rumusan Hipotesis Ho : μ1= μ2 Ho : μ1> μ2 (one- sided) μ1= lama tidur sebelum pengobatan μ2= lama tidur sesudah pengobatan 2) Taraf signifikansi dan nilai t tabel (sampel kecil) ∝=0.05 N=10 V=n-1=10-1=9

ttabel  t ;v  t0.05;9  1.833

3) Kriteria pengujian hipotesis : Ho ditolak jika t0 > 1.833 Ho diterima jika t0 ≤ 1.833 4) Nilai thitung :

Pasien Sebelum Sesudah

d d2 Sd2 

d

2

n 1



t0 

d Sd n

1 56 47 9 81

( d ) 2

n(n  1)

2 48 46 2 4



3 52 61 -9 81

4 48 45 3 9

5 62 58 4 16

6 55 49 6 36

7 65 52 13 169

8 50 47 3 9

9 48 50 -2 4

10 52 50 2 4

d  d2

31 413

413 (31) 2   45.889  10.678  35.211 9 10(9)

Sd  35.211  5.934

31 10 t0  10  (3.1).  1.652 5.934 5.934 10 5) Karena t0=1.652 < 1.833 , maka H0 diterima , jadi cara pengobatan tersebut tidak menyebabkan pasien kehilangan tidur.