Relatividade E Modelizacao

IADE Ciência Aplicada ao Design 2008/9 Exercícios de Relatividade e Modelização Constantes:

c = 3 × 108 m/s

Relatividade Equações importantes: Adição das velocidades de Galileu: v = v 0 + u Adição das velocidades de Lorentz: v =

v0 + u 0 1 + vc2u

Dilatação dos tempos: ∆t = q

∆t0 1− r

Contracção dos espaços: ∆`0 = ∆`

u2 c2

1−

u2 c2

1. Uma nave desloca-se à velocidade de u = 0,9c em relação ao planeta X. Qual a velocidade da luz emitida pelos faróis da nave em relação a esse planeta (a) segundo a Relatividade Clássica?  a) v = 0,9c  b) v = c  c) v = 1,9c  d) v = 0 m/s. (b) segundo a Relatividade Restrita?  a) v = 0,9c  b) v = c  c) v = 1,9c  d) v = 0 m/s. 2. Um neutrão em repouso decai num protão, num electrão e num neutrino ao fim de 11min. Ao fim de quanto tempo se dará este decaimento se o neutrão estiver à velocidade de 0,5c? Resposta: Dilatação dos tempos: ∆t0 11 11 ∆t = q =q =√ = 12,7 min. 2 2 1 − 0,25 1 − uc2 1 − (0,5c) c2

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3. Enuncia o paradoxo dos gémeos. Apresenta a sua solução com seguinte exemplo: segundo o gémeo na Terra, o seu irmão viajou durante 10 anos à velocidade de 0,8c. Resposta: Enunciado: O paradoxo dos gémeos consiste no seguinte raciocínio: Um de dois gémeos faz uma viagem espacial numa nave a uma velocidade próxima da da luz, enquanto que o seu irmão fica na Terra. Designemos por A o gémeo que viaja e por T o que fica na Terra. Para o gémeo que ficou na Terra (T ), o seu irmão A envelheceu menos, devido à contracção dos tempos: ∆t0 ∆t = q . u2 1 − c2 (Nota que ∆t0 é o tempo que passou na nave do ponto de vista da Terra e que u é a velocidade da nave em relação à Terra.) No entanto, o gémeo que viajou (A) pode afirmar que ele é que esteve imóvel e que o irmão na Terra (T ) é que se afastou e aproximou. Segundo este gémeo A, foi irmão T que sofreu a contracção dos tempos e que envelheceu menos. Tem-se novamente ∆t0 , ∆t = q 2 1 − uc2 mas agora ∆t0 é o tempo que passou na Terra do ponto de vista da nave e u é a velocidade da Terra em relação à nave (portanto, simétrico da velocidade anterior). Temos assim um paradoxo: segundo T , A está mais novo; segundo A, é T quem está mais novo. Afinal, quem tem razão? Resolução: Este é um paradoxo falso. Os gémeos não estão em situações simétricas. Para que os gémeos se encontrem e possam comparar as idades, um terá que voltar para trás. Nesse momento de mudança de direcção, irá notar a desaceleração e a aceleração, e a simetria fica quebrada. Existem assim 3 pontos de vista inérciais: o do gémeo na Terra (T ), o do gémeo na nave (A) durante a viagem de ida e o do gémeo da nave durante a viagem de regresso. Com os dados do enunciado, podemos fazer os seguintes cálculos:

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Gémeo na Terra (T ): O meu irmão A viajou 5 anos para lá e 5 anos para cá. A distância máxima que esteve foi: u=

∆x0 ∆x0 ⇐⇒ 0,8c = ∆t 5 ⇐⇒ ∆x0 = 5 × 0,8c = 4c = 4 anos-luz

Para mim, o tempo na nave do meu irmão gémeo passou mais devagar: ∆t0 ∆t0 ⇐⇒ 10 = q ∆t = q 2 2 1 − uc2 1 − (0,8c) c2 p ⇐⇒ ∆t0 = 10 1 − 0,64 = 6 anos. Portanto o meu irmão A afastou-se da Terra durante 5 anos à velocidade de 0,8c, ficando a 4 anos-luz. Depois voltou com a mesma velocidade e demorou os mesmos 5 anos. Dentro da nave passou apenas 6 anos (3 anos na ida e 3 anos no regresso). Gémeo na nave (A): Eu vi a Terra a afastar-se de mim à velocidade de 0,8c durante os primeiros 3 anos e depois a aproximar-se de mim com a mesma velocidade durante outros 3 anos. Enquanto nos afastámos, notei que na Terra o tempo passou mais devagar: ∆t0 ∆t0 ∆t = q ⇐⇒ 3 = q 2 2 1 − uc2 1 − (0,8c) c2 p ⇐⇒ ∆t0 = 3 1 − 0,64 = 1,8 anos. Pode parecer então que, para o gémeo na nave, passam apenas 2 × 1,8 = 3,6 anos na Terra. No entanto, durante a viagem de regresso o gémeo da nave não pode acrescentar que na Terra o tempo passa mais devagar, devido à dilatação dos tempos. Esta dilatação só é verificada na primeira parte do movimento, enquanto a Terra se afasta da nave. Na segunda parte, quando a Terra se aproxima da nave, a simetria é finalmente quebrada e o gémeo A vê o gémeo T a envelhecer muito mais depressa que ele, até se obter o resultado de 10 anos para o gémeo T. 4. A figura seguinte representa o diagrama espaço-tempo de um acontecimento A. Coloca nesse diagrama os seguintes novos acontecimentos: (a) Um acontecimento que possa ser influenciado por A. (b) Um acontecimento que possa ter influenciado A. (c) Um acontecimento que A não possa influenciar. 3

(d) Um acontecimento que não possa influenciar A. Resposta: ct a)

c) d)

a)

45º

A

45º

b)

c)

d)

x

b)

Modelização 5. Calcula a equação da potência do motor de um guindastre (P ), sabendo que depende da velocidade a que consegue elevar massas (v) e da força (F ) que consegue suportar. Nota que: [F ] = N = Kg m/s2 , [P ] = W = Kg m2 / s3 .

Resposta: Começamos por admitir que a equação da potência do motor será do tipo: P ∝ F AvB . Temos que calcular o valor de A e B. Segundo a nossa hipótese, as unidades da potência serão: [P ] = [F ]A [v]B   Kg m A  m B = s2 s KgA mA mB s2A sB A A+B Kg m = . s2A+B =

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Por outro lado, do enunciado sabemos que [P ] =

Kg m2 . s3

Igualando estas duas expressões temos que:  (  A = 1 A=1 ⇐⇒ A+B =2  B = 1.  2A + B = 3 Ou seja, a equação é: P ∝ F v.

6. Descobre a fórmula para o cálculo da potência (P ) de uma turbina, admitindo que depende da densidade do ar (d), do raio das pás (r) e da sua velocidade de rotação (v). Lembra que as unidades de potência são [P ] = W = Kg m2 / s3 e que as de densidade são [d] = Kg/m3 . Resposta: Começamos por admitir que a equação da potência será do tipo: P ∝ dA rB v C . Temos que calcular o valor de A, B e C. Segundo a nossa hipótese, as unidades da potência serão: [P ] = [d]A [r]B [v]C   Kg A B  m C = m m3 s KgA B mC m m3A sC A −3A+B+C Kg m = . sC =

Por outro lado, do enunciado sabemos que [P ] =

Kg m2 . s3

Igualando estas duas expressões temos que:     A = 1 A = 1 −3A + B + C = 2 ⇐⇒ B = 2     C=3 C = 3. 5

Ou seja, a equação é: P ∝ d r2 v 3 .

7. Admite que a equação da potência de uma turbina é P = d r2 v 3 . (a) Quanto aumentará a potência de fizer uma turbina 5× maior? (b) Fez-se um modelo 5× menor. Quantas vezes mais rápido terá que rodar a turbina do modelo para ter a mesma potência que a turbina real? Resposta: 2 v 3 a potência do modelo e P = d r 2 v 3 a potência da Seja Pm = dm rm r r r r m turbina real.

(a) Neste caso, dm = dr , 5rm = rr e vm = vr . Então: Pr = dr rr2 vr3 3 = dm (5rm )2 vm 2 3 = 25(dm rm vm )

= 25Pm . Aumentará a potência 25×. (b) Neste caso, dm = dr , 5rm = rr e Pm = Pr . Então: 2 3 2 3 dm rm vm = dr rr2 vr3 ⇐⇒dm rm vm = dm (5rm )2 vr3 3 = 25vr3 ⇐⇒vm p ⇐⇒vm = 3 25vr3 3 ⇐⇒vm = 2,9vr .

O modelo terá que rodar 2,9 vezes mais rápido. 8. Qual a expressão para o período T de oscilação de uma mola, sabendo que depende da massa m pendurada na mola, da constante de elasticidade K da mola e da aceleração da gravidade g? Nota que [K] = N/m = Kg/s2 . Resposta: Podemos assumir que T ∝ mA K B g C .

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Por outro lado, sabemos que: [m] = Kg, [K] = N/m = Kg s−2 , [g] = m s−2 [T ] = s. Então, [T ] = KgA (Kg s−2 )B (m s−2 )C = KgA KgB s−2B mC s−2C = KgA+B mC s−2B−2C . Ora como temos que [T ] = s, podemos escrever:   1   A + B = 0  A = 2 ⇐⇒ C = 0 C=0     B = − 12 . −2B − 2C = 1 A expressão final fica então: r T ∝

m , K

que não depende de g, ao contrário do que era sugerido no enunciado.

9. Construi-se um modelo da suspensão de um carro. As molas do modelo têm uma constante de elasticidade 100× menor que as molas reais e a massa do modelo do carro é 50× menor que a massa do carro real. Qual a relação entre o período das vibrações da suspensão do modelo e do carro real? (Usa a equação da pergunta anterior.) Resposta: Temos que mr = 50mm Kr = 100Km ,

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logo, r Tr =

mr Kr

r

50mm 100Km r r 50 mm = 100 Km =

= 0,71Tm .

10. A resistência de uma raquete é proporcional à área da secção do braço da raquete. Um modelo de uma nova raquete quebra-se quando sujeito a uma força de 80 N, e é 10× menor que a raquete real. Qual a resistência da raquete real? Resposta: Seja Fm a força a que o modelo resiste, enquanto que Fr é a mesma força para a raquete real. Se a raquete real é 10× maior que o modelo, então a área é 102 = 100× maior. Logo a resistência aumenta 100×, passando para 80 × 100 = 8000 N.

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