Relasi

RELASI •

Relasi sebagai himpunan pasangan terurut didefinisikan sebagai berikut: o Definisi a) Jika A dan B masing-masing adalah himpunan tak hampa, maka suatu relasi dari A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. b) Dalam kasus sederhana, relasi diberi lambang R, dan dikatakan bahwa R adalah suatu relasi pada A x B, jika A = B, maka suatu relasi R pada himpunan A x A dinamakan relasi pada A c) Lambang xRy berarti kita mempunyai suatu relasi R pada himpunan A x B dan (x,y) ∈ R. Bilamana (u,v) bukan anggota dari relasi R, (u,v) ∉ R, maka kita tulis u R/ v. o Contoh: a) Misalkan A = {x|x mahasiswi UIN Malang} dan B = {x|x mahasiswa UIN Malang}. R1 adalah relasi pada himpunan A x B yang didefinisikan oleh hubungan x R1 y ⇔ x adalah pacar dari y. Disini R1 berarti bahwa x bukan pacar dari y. b) Misalkan A = {x|x segitiga} dan B = {x|x bilangan rasional}. R 2 adalah suatu relasi pada himpunan A x B yang didefinisikan oleh hubungan xR2 y ⇔ Luas segitiga x adalah bilangan rasional y. Disini xR2 y berarti bahwa luas segitia x bukan bilangan rasional. c) A = {1, 2, 3} dan B = {2, 3, 4} R3 adalah suatu relasi pada A x B yang didefinisikan oleh hubungan (x,y) ∈ R ⇔ 2 x ≤ y V x ∈ A dan y ∈ B Maka unsur-unsur dari relasi R adalah (1,2), (1,3), (1,4), dan (2,4). Dalam hal ini sering kali ditulis: R = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,4)}. d) Jika A = B = R = himpunan bilangan real, maka lengkungan derajat dua, parabola, elips, hiperbola dan lainnya adalah suatu relasi pada RxR. o Pada contoh (a) dan (c) adalah relasi berhingga dan contoh (b) dan (d) adalah relasi tak berhingga. o Tidak semua unsur himpunan A dan B mempunyai pasangan, artinya terdapat beberapa unsur x di A sehingga (x,y) ∉ R. o Himpunan semua unsur di A yang mempunyai pasangan dikenal sebagai daerah definisi relasi sedangkan himpunan semua unsur di B yang mempunyai pasangan dikenal sebagai daerah nilai relasi. o Definisi Jika R adalah suatu relasi pada himpunan A x B, maka himpunan semua unsur x ∈ A sehingga (x,y) ∈ R dinamakan daerah definisi (daerah asal/wilayah/domain) relasi R dan himpunan semua unsur y ∈ B sehingga (x,y) ∈ R dinamakan daerah nilai (daerah hasil/jelajah/rangkunman/range) relasi R.

o Pada kasus sederhana, daerah definisi relasi R diberi lambang DR sedangkan daerah nilainya RR, singkatan dari domain R dan range R. Ditulis dengan lambang ini. DR = {x ∈ A | (x,y) ∈ R, R relasi pada A x B} RR = {y ∈ B | (x,y) ∈ R, R relasi pada A x B} o Daerah definisi dan daerah nilai relasi dapat dengan mudah ditentukan bilamana kita telah mengetahui unsur-unsur di relasinya. o Untuk menentukan unsur relasi R seringkali digunakan deagram panah, diagram kartesian atau dengan cara mengidentifikasi sifat relasinya. o Contoh:  Diberikan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 5, 6, 7}, R1 dan R2 masing-masing adalah relasi pada A x B yang didefinisikan oleh persamaan (x,y) ∈ R1 ⇔ 3 x < y V x ∈ A dan y ∈ B (x,y) ∈ R2 ⇔ x faktor dari y, V x ∈ A dan y ∈ B. Tentukan daerah definisi dan daerah nilai dari kedua relasi tersebut Jawab: Daerah Definisi dan daerah nilai pada kasus ini (relasi berhingga yang sederhana) dapat ditentukan dengan diagram panah atau diagran kartesis

Panah yang menhubungkan 1 ∈ A dan 5 V B berarti (1,5) ∈ R atau 3.1 < 5. Begitu juga dengan unsur-unsur lainnya di A yang mempunyai relasi dengan unsur di B. Dalam hal ini, DR1 = {1, 2} dan RR1 = {5, 6, 7}. Unsur-unsur dari R1 adalah (1,5), (1,6), (1,7), (2,6) dan (2,7). Tugas  untuk relasi R2 dikerjakan dengan cara yang sama