Relasi 2.docx

RELASI DAN FUNGSI Disusun Oleh: Nama Kelompok : 1. ZIA PRATIWI

16150162

2. DESSY FERAWATI SAMOSIR

16150169

3. RISDA SIMARMATA

16150156

4. MELDA AYU SARAGI

16150173

5. YAN MEI SITUMORANG

16150165

6. DAILIM OTAVIA TAMBUNAN

16150178

7. SULISTIYANTI

16150179

8. DESI HERAWATI MARBUN

16150145

9. TANTRI CLARISA SIAGIAN

16150161

10. AYU TRIYANI

16150132

11. RONIKA TANJUNG

16150144

12. RINTO PARDEDE

16150158

13. RINA SIMANJUNTAK

16150133

MATA KULIAH

: MATEMATIKA DASAR

DOSEN PENGASUH

: JULI ANTASARI SINAGA, S.Pd.,M.Pd

GRUP

:

D

UNIVERSITAS HKBP NOMENESEN PEMATANGSIANTAR T.A 2016/2017 1

KATA PENGANTAR

Puji syukur Penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan rahmat dan karunianya sehingga makalah “Relasi dan Fungsi” inidapat terselesaikan tepat pada waktunya. Dengan terselesainya makalah ini, penulis mengucapkan terimakasih kepada: 1. Ibu July Antasari Sinaga,M.Pd. Yang telah membimbing dan membantu hingga makalah ini dapat terselesaikan. 2. Teman-teman semua yang telah mendukung, bekerja sama serta memberikan motivasi dan semangat sehingga makalah ini terselesaikan. Penulis menyadari bahwa penyusunan makalah ini masih jauh dari sempurna. Maka dari itu penulis mengharap kritik maupun saran yang bersifat membangun. Semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca.

2

DAFTAR ISI Kata Pengantar ...............................................................................................................................2 Daftar Isi.........................................................................................................................................3 BAB I PENDAHULUAN..............................................................................................................4 A. Latar Belakang....................................................................................................................4 B. Rumusan Masalah...............................................................................................................5 C. Tujuan Penelitian................................................................................................................5 BAB II PEMBAHASAN...............................................................................................................6 Peta Konsep....................................................................................................................................6 1.Relasi...........................................................................................................................................7 1.1 Definisi Relasi..........................................................................................................................7 1.2 Jenis-Jenis Relasi......................................................................................................................7 2. Fungsi.......................................................................................................................................10 2.1 Definisi Fungsi.......................................................................................................................10 2.2 Sifat-Sifat Fungsi....................................................................................................................10 2.3 Jenis-Jenis Fungsi...................................................................................................................11 2.4 Operasi Pada Fungsi...............................................................................................................13 BAB III KESIMPULAN.............................................................................................................15 DAFTAR PUSTAKA..................................................................................................................16

3

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Fungsi dan Relasi adalah bagian dari pelajaran matematika, dimana fungsi dan relasi ini saling berhubungan satu dengan yang lain. Dalam banyak hal. fungsi diterapkan dalam berbagai bidang untuk menyelesaikan persoalan-persoalan baik dalam bidang teknik, ekonomi, dan bidang lain yang mempelajari hubungan-hubungan antar variable, dimana variable satu sama lainnya saling mempengaruhi dan dapat diukur, seperti jarak dan waktu dapat diukur, sehingga dapat dikatakan bahwa jarak adalah fungsi dari waktu. Di dalam fungsi dan relasi ada yang namanya daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil. Daerah asal disebut domain, daerah kawan disebut kodomain, sedangkan daerah hasil disebut range. Adapun hubungan antara fungsi dan relasi adalah fungsi atau pemetaan merupakan suatu relasi yang bersifat khusus, karena tidak semua relasi merupakan suatu pemetaan, tetapi setiap fungsi adalah relasi.

4

A. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, penulis merumuskan beberapa masalah sebagai berikut: 1. Apa pengertian dari relasi? 2. Bagaimana cara menyatakan relasi? 3. Apa pengertian dari fungsi?

B. Tujuan Makalah Berdsasarkan rumusan masalah yang telah disebutkan diatas, maka tujuan penulisan dari makalah ini yaitu: 1. Untuk mengetetahui apa yang dimaksud relasi. 2. Untuk mengetahui cara menyatakan relasi. 3. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan fungsi. 4. Untuk menentukan nilai fungsi.

5

BAB II PEMBAHASAN

Peta Konsep RELASI dan FUNGSI

FUNGSI

RELASI Definisi Relasi

Definisi Fungsi

Jenis-jenis Relasi

Sifat-Sifat Fungsi

Jenis-Jenis Fungsi 1.Fungsi Identitas 2.Fungi Linear 3.Fungsi Komposisi 4.Fungsi yang Sama

1.Fungsi Surjektif 2.Fungsi Injektif 3.Dungsi Bijektif

6

Operasi pada Fungsi 1.Invers Fungsi 2.Fungsi Komposisi

1.RELASI 1.1 Pengertian Relasi Relasi adalah hubungan yang memasangkan anggota anggota himpunan A dengan anggota anggota himpunan B, atau yang menghubungkan anggota himpunan ke himpunan lain. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah menghubungkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Contoh : Diketahui jika himpunan A = {Rani, Rina, Rini, Rana} , himpunan B ={MTK, IPA, IPS},maka relasi yang didapat adalah “suka dengan mata pelajaran”

1.2 Jenis-jenis Relasi a.Relasi Invers setiap relasi R dari A ke B mempunyai satu relasi invers dari B ke A yang didefinisikan oleh 𝑅 −1={(b,a)(a,b) є R}. Contoh : A= {1,2,3} dan B={a,b}.maka R={(1,a),(1,b),(3,b)}adalah suatu relasi dari A ke B. Relasi invers dari R adalah 𝑅 −1={(a,1),(b,1),(b,3)}.

7

b.Relasi Refleksi Suatu relasi R yang dapat pada himpunan A disebut bersifat refleksi apabila (a,a) є R untuk setiap a є A, dengan kata lain, suatu relasi refleksi bila ada a є A sedemikian sehingga (a,a) ∉ R Contoh: Misalkan A = {1,2,3,4} dan relasi R ialah relasi “≤” yang didefinisikan pada himpunan A. Jawab: R = (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)} Terlihat bahwa: (1,1),(2,3),(3,3),(4,4) merupkan unsure dari R, maka dari itu, disebut dengan sifat refleksi. c. Relasi Simetris Misalkan 𝑅 sebuah relasi pada sebuah himpunan 𝑃, relasi 𝑅 dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 berlaku (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅 Contoh : Himpunan 𝑃 = {1,2,3} didefinisikan relasi 𝑅 pada himpunan𝑃 dengan 𝑅 = {(1,1)(1,2)(1,3)(2,2)(2,1)(3,1)(3,3)}. Relasi 𝑅 tersebut bersifat simetris untuk setiap (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 berlaku(𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅.

d.Relasi Antisimetris Suatu relasi R dalamsebuahhimpunanA,yaitusebuahhimpunandari A x A,disebutsuatuantisimetrisika (a,b) ∈ R dan (b,a) ∈ R makaberarti a=b. Denganperkataanlain , jika a=b makamungkin a berhubungandengan b danmungkin b berhubungandengan a. tetapitidakkedua-duanya. Misalkan R sebuahrelasipadasebuahhimpunan P. Relasi R dikatakanbersifatantisimetris, apabilauntuksetiap (x,y) ∈ R dan (y,x) ∈ R berlaku x= y.

8

Contoh soal: 1.A= {(-2,-1,0,1,2) dan R={(x,y)ǀx,y∈A,y=ǀx} Periksaapakahrelasitersebutantisimatrisatautidak Penyelesaian: MxM=

{(-2,-2),(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1), (-1,2),(0,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(1,-2),(1,-1),(1,0), (1,1),(1,2),(2,2),(2,-1),(2,0),(2,1),(2,2)}.

Dari hasil Kali kitamemperoleh: R = {(-2,2),(-1,1),(1,1),(0,0),(2,2)} Dari siniterlihatjelasbahwauntuksetiap (x,y) ∈ R berlaku (y,x) ∈ R denganx,y∈ A. Jadi R adalahsebuahrelasi yang anti simetris.

e.Relasi Transitif Suatu relasi R dalam sebuah himpunan A adalah relasi transitif, jika a berhubungan dengan b, b berhubungan dedngan c, maka c berhubungan dengan a. Contoh: Misalkan, diketahui sebuah himpunan A = {a,b,c} dan R = {(a,b),(b,c),(b,a),(a,c)}. Tentukan apakah R relasi transitif? f.Relasi Ekivalen Suatu relasi R dalam himpunan A adalah suatu relasi ekuivalen jika R adalah merupakan relasi refleksif, simetris dan transitif. Contoh: Misalkan A={1,2,3} dan R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)} Maka R merupakan relasi ekuivalen.

9

2.FUNGSI 2.1 Definisi Fungsi Fungsi adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari fungsi tersebut disebut daerah hasil ( Range). 2.2 Sifat-Sifat Fungsi a. Fungsi Onto ( Surjektif ) Fungsi f : A → B disebut onto jika setiap anggota B mempunyai pasangan anggota A. Sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range). Atau dapat dikatakan semua anggota kawan (kodomain) habis terpasang (memiliki pasangan dari domain).

b. Fungsi Satu-Satu ( Injektif ) Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f : A→B adalah fungsi injektif . ( Untuk anggota B yang mempunyai pasangan dengan Anggota A, pasangan tersebut hanya satu ). Atau dengan kata lain anggota kodomain hanya mempunyai satu pasangan dari domain.

10

c. Fungsi Korespondensi Satu-satu ( Bijektif ) Fungsi f : A → B disebut korespondensi satu-satu jika fungsi tersebut injektif dan sekaligus surjektif.

2.3 Jenis-Jenis Fungsi a. Fungsi Identitas Misalkan f:A→B adalah fungsi dari A ke B maka f disebut fungsi identitas jika dan hanya jika range f = kodomain atau f(A)=B. b. Fungsi Linear Fungsi linear adalah fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a ≠ 0 . Contoh Soal Fungsi Linear : Tentukan Persamaan dari data dibawah !

.

11

Penyelesaian : f(x) = ax + b

9 = a +b

9 = a+b

11 = 2a + b

11 = 2a + b

-2 = -a

9=a+b 9=2+b b=7

a = 2 Jadi,Persamaannya adalah f(x) = 2x + 7 → y = 2x + 7

c. Fungsi komposisi Fungsi komposisi merupakan penggabungan dua fungsi atau lebih. Jika f dan g merupakan fungsi, fungsi komposisi f dan g (ditulis f ₀ g) dirumuskan sebagai berikut: (f ₀ g)(x) = f (g(x)) (f ₀ g) dibaca f bundaran g atau f komposisi g. Artinya, mula-mula unsur x € 𝐷𝑔 dipetakan oleh g ke g(x), kemudian g(x) dipetakan oleh f ke f(gx)). Dengan cara yang sama diperoleh komposisi fungsi berikut: (g ₀ f)(x) = g(f(x)) (f ₀ g ₀ h)(x) = f(g(h(x))) Sifat-sifat fungsi komposisi Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diataranya:  Tidak bersifat komutatif (g ₀ f)(x) ≠ (f ₀ g)(x)  Komposisi fungsi bersifat asosiatif (f ₀ (g ₀ h))(x) – (f ₀ (g ₀ h)(x) = ((f ₀ g)₀ h)(x)  Dalam komposisi fungsi terdapat sebuah fungsi identitas, yaitu I(x) = x sehingga (f ₀ I)(x) = ( I ₀ f)(x) = f(x)

d.fungsi yang sama Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang didefinisikan pada ranah D yang sama dan jika f(a)=g(a) untuk setiap a є D,maka fungsi-fungsi f dan g adalah sama dan kita tulis f=g

12

2.4 Operasi pada fungsi 1. Invers Fungsi Misalkan F suatufungsidariAkedalam B danmisalkan b ∈ B maka invers dari b dinyatakan oleh𝑓 −1 yang terdiri atas elemen-elemen A yang di petakan pada b yaituelemen- elemen dalam A yang memiliki b sebagai bayangannya.Dengan kata lain invers suatufungsiadalah kebalikansuatufungsi, sehinggafungsi invers disebutugafungsibalikan.

F : A→B 𝐴

𝐵

a

b

Langkahmenentukan invers suatufungsi : 1. Ganti f(x)dengan y 2. Ubahpersamaan y =.. menjadi x… 3. Ganti x→ 𝑓 −1(x) y→ x Contoh : Dik:f(x)=x+1 𝑑𝑖𝑡 ∶ 𝑓 −1 (𝑥) = ⋯ ? Penyelesaian : F(x)=x+1 Y =x+1 −𝑥=−𝑦+1 x(-1) 𝑥=𝑦−1 (x)=x-1 2.Fungsi komposisi Fungsi komposisi merupakan penggabungan dua fungsi atau lebih. Jika f dan g merupakan fungsi, fungsi komposisi f dan g (ditulis f ₀ g) dirumuskan sebagai berikut: (f ₀ g)(x) = f (g(x)) (f ₀ g) dibaca f bundaran g atau f komposisi g. 1.Diketahui f(x) = 3x-4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f ₀ g)(x) dan (g ₀ f)(x)…

13

Jawab:  (f ₀ g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x



(f ₀ g)(x) = 3(2x) - 4 (f ₀ g)(x) = 6x – 4 (g ₀ f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x (g ₀ f)(x) = 2(3x – 4) (g ₀ f)(x) = 6x – 8

2. Misal fungsi komposisi (f ₀ g)(x) = -4x + 4 dan f(x) = 2x + 2. Tentukan fungsi g(x)… Jawab: (f ₀ g)(x) = -4x + 4 F(g(x)) = -4x + 4 2 (g(x)) + 2 = -4x + 4 2 g(x) = -4x + 2 4𝑥+2 g(x) = 2 g(x) = -2x + 1 jadi, fungsi g (x) = -2x + 1

14

BAB III KESIMPULAN

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggotaanggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Fungsi (pemetaan) dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Jika x anggota A atau domain dan y anggota B atau kodomain maka fungsi f yang memetakan x ke y dinotasikan dengan f: x→y, dibaca fungsi f memetakan x ke y atau x dipetakan ke y oleh fungsi f. Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = A dan banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) = B maka: 1. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah 𝑏 𝑎 . 2. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah 𝑎𝑏 . Jika nilai variable suatu fungsi berubah maka akan menyebabkan perubahan pada nilai fungsinya. Dua himpunan A dan B dikatakan berkorespodensi satua-satu jika semua anggota A dan B dapat dipasangkan sedemikian sehingga setiap anggota A berpasangan de ngan tepat satu anggota B dan setiap anggota B berpasangan dengan tepat satu angga A.

15

DAFTAR PUSTAKA

Dewi, Tri. 2008.Matematika Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas VIII SMP dan MTs 2. Jakarta: Departement Pendidikan Nasiaonal. Cholik, Sugiono. 2005.Matematika 2A Edisi ke dua kedua untuk SMP kelas VIII semester 1. Jakarta: Erlangga

16