Relaciones Y Funciones.docx

Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ciencias Económicas Curso: Matemática II Jornada: fin de semana Edificio: S-3 Horario: 10:30 a 1:00

Trabajo Investigación documental Unidad I y II Relaciones y Funciones

Docente: Melvin Gamaliel Madrid Aldana

Gamarro Zacarías German Eduardo Carné: 201711332

Guatemala, 27 de enero de 2019

Relaciones a. Par ordenado Un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un elemento y otro. El par ordenado cuyo primer elemento es A y cuyo segundo elemento es B se denota como (a, b). Un par ordenado (a, b) no es el conjunto que contiene a A y B, denotado por {a, b}. Un conjunto está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de estos es también parte de su definición. b. Pares iguales Los pares ordenados son iguales si y solo si sus primeros componentes son iguales y sus segundos componentes también lo son entre sí (a,b)=(c,d) si y solo si a=c & b=d

c. Plano cartesiano Es el espacio físico donde se definen los pares ordenados que en conjuntos numéricos podemos hacer su representación gráfica en donde a la línea recta horizontal (x) se le llama “eje de las abscisas” o eje “x” y a la línea recta vertical (y) se le llama “eje de las ordenadas” o eje “y”

d. Producto cartesiano entre los números reales Es una operación entre dos conjuntos A Y B, en la cual se obtienen parejas (x, y) de modo que el primero elemento (x) pertenece al conjunto A y el segundo elemento (y) pertenece al conjunto B. El producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto.

e. Calculo de parejas de un producto cartesiano se determina multiplicando los elementos del conjunto “A” por los del conjunto “B” el resultado es el número de parejas ordenadas (el primer elemento de cada una de las parejas ordenadas debe ser un elemento del conjunto “A”)

f. Relación Es la interdependencia que existe en unos valores respecto a otros.

g. Calculo de número de relaciones en un producto

h. Relación reflexiva Es cuando cada elemento esté relacionado con el mismo, es decir que si el conjunto tiene 3 elementos en la relación deben de existir 3 pares idénticos.

i. Relación simétrica Si un elemento está relacionado con otro elemento y este otro está relacionado con el primero se dice entonces que la relación es simétrica.

j. Relación transitiva Si el primer elemento está en relación con el segundo y este con el tercero, entonces el primero esta con el tercero.

k. Relaciones de identidad Una relación de identidad es una relación de uno con uno. Debe haber un rol gestionado definido en la relación de identidad, que representa el tipo de datos genérico y está gestionado por el servicio de relaciones.

Una relación de no identidad difiere ligeramente de la relación de identidad

l. Relación de equivalencia Se dice que una relación de equivalencia se da cuando es reflexiva, simétrica y transitiva.

m. Relación de orden Es la que debe de ser reflexiva, anti simétrica y transitiva, y se le llamará “de orden parcial”

n. Semiplano Se utiliza en el ámbito de la geometría para denominar a las porciones de un plano que están delimitadas por cualquiera de sus rectas, cabe destacar que cada recta divide al plano en dos porciones, es decir, en dos porciones.

o. Tipos de semiplano

Funciones 1. Función Es una regla que asigna a cada número de entrada exactamente el número de salida 2. Ley de la correspondencia

3. Dominio de una función Al conjunto de los números de entrada para los cuales se aplica la regla a esto se le llama dominio. El dominio debe estar compuesto con números que no sean negativos Es el conjunto de todos los valores admisibles que puede tomar la variable independiente “x”. 4. Contradominio de una función Son el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente “y”

5. Imágenes de una función Es el conjunto contenido en “y” formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función.

6. Rango de una función Al conjunto de todos los números de salida se le llama rango.

7. Función inyectiva Una función es inyectiva si a elementos distintos de conjunto “x” le corresponden elementos distintos del conjunto “y” 8. Función biyectiva Una función es biyectiva si al mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva, es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida. 9. Función biunívoca Es la que supone que la correspondencia inversa también resulta univoca (es decir a cada elemento del contra dominio le corresponde un solo elemento del dominio) 10. Función real Son aquellas en las cuales el dominio es un subconjunto de números y el contra dominio o rango también lo es 11. Función identidad En matemáticas una función identidad es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento.

12. Función constante Se le llama así a la función en cuyos elementos del dominio tienen la misma imagen en el contra dominio y su gráfica es una paralela al eje de “x” en el valor de la contante.

13. Función potencia simple La Función potencia, son todas aquellas funciones que son de la forma:

14. Función valor absoluto Es una función que tiene una expresión algebraica dentro de los símbolos de valor absoluto, (el valor absoluto de un número es su distancia desde 0 en la recta numérica)

15. Función radical simple Las funciones radicales son aquellas en las que la variable se encuentra bajo el signo radical.

16. Función racional En matemáticas, una función racional de una variable es una función que puede ser expresada de la forma:

donde P y Q son polinomios y “x”

una

variable,

siendo Q distinto

del

polinomio nulo, esta fracción es irreducible, es decir que las ecuaciones P(x) = 0 y Q(x) = 0 carecen de raíces comunes. Esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando polinomios de varias variables.

17. Función línea recta una función lineal es una función polinómica de primer grado, es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

Donde “y” son constantes reales “y” es una variable real. La constante determina la pendiente o inclinación de la recta, y la constante determina el punto de corte de la recta con el eje vertical.

18. Función cuadrática Una función cuadrática de una variable es una función polinómica definida por:

con a = 0 también se da el caso que se le llame Trinomio cuadrático. También

se

denomina función

cuadrática a

funciones

definidas

por polinomios cuadráticos de más de una variable.

19. Ceros de una función Los ceros de una función son los puntos en los que la gráfica corta al eje x. Así, en la siguiente gráfica, podemos ver que la función tiene tres ceros o raíces:

Entonces, encontrar los ceros o raíces de una función f: A ® B / y = f(x), implica resolver la ecuación f(x) = 0. Así, por ejemplo:   

la función y = x2 + 1 no tiene ceros, la función y = x3 tiene un cero en x0 = 0, y la función y = sen(x) tiene infinitos ceros en los valores de la forma xk = k.p, con k entero.

20. Plano y semiplano Semiplano: Se utiliza en el ámbito de la geometría para denominar a las porciones de un plano que están delimitadas por cualquiera de sus rectas. Plano: Es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es un concepto fundamental de la geometría junto con el punto y la recta.

21. Utilización de la discriminante en la función cuadrática 22. Fórmula de vértice de la función cuadrática Es la fórmula que se utiliza para calcular el vértice de cualquier parábola cuadrática.

23. Condición de los planos superior e inferior abierto 24. Condición de los planos superior e inferior cerrado 25. Composición de funciones 26. Función inversa Se le llama función inversa o reciproca de f a otra función 𝑓 −1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f − 1 (b) = a.

27. Función logarítmica Se trata de la función cuya expresión genérica se puede apreciar en la imagen.

En estas funciones a es la base, que tiene que ser positiva y diferente de 1. La forma oficial de leer esta ecuación es la siguiente: “la función de x es igual al logaritmo base a de x”. cabe mencionar que también podría expresarse sin el uso de la expresión f(x), sino con una variable tal como y, ya que de este modo podríamos reflejar con mayor claridad que el resultado es un elemento diferente, de otro conjunto. 28. Función exponencial Es una función de la forma

en el que el argumento x se presenta

como un exponente. Una función de la forma

también es una

función exponencial, ya que puede reescribirse como: Como funciones de una variable real, las funciones exponenciales se caracterizan únicamente por el hecho de que la tasa de crecimiento de dicha función (es decir, su derivada) es directamente proporcional al valor de la función.

En base a lo investigado a los temas de relaciones y funciones responda lo siguiente Imagen 1 Escriba el conjunto dominio y el contra dominio A: (1,2,3)

B: (1,2,3,4,5)

Escriba las parejas del producto cartesiano AxB: ((1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5)) Escriba 5 relaciones del producto cartesiano: (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,3) Escriba 5 funciones del producto cartesiano: (1,1), (2,1), (3,2) Imagen 2 ¿Qué parejas forman una relación? A, B ¿Qué parejas forman una función? E, D, C, F, G Sea el conjunto A: (x/x ϵ Z, x=n+2, n ϵ N, 0 ≤ n ≤ 4) ¿Cuántas parejas se obtienen del producto de AxA? 25 Escriba en forma enumerativa el producto de AxA A: (2,3,4,5,6)

Escriba las parejas que cumplen con las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva -

Reflexiva: (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)

-

Simétrica: (2,3), (3,2), (2,4), (4,2), (2,5), (5.2), (3,4), (4,3), (3,5), (5,3), etc.

-

Transitiva: (2,3), (3,4), (4,2), (2,4), (4,3), (3,2), etc.

Represente el producto de AxA en un plano cartesiano

¿Cuántas relaciones existen en el producto de AxA? 25

Imagen 3 ¿Es función o relación? Es una función ¿Cómo se define? F(x) / f(x) = ax2+bx+c Si es función ¿Cuál es el nombre? ¿cuál es el dominio? ¿cuál es el contra dominio? Nombre: función cuadrática o de segundo grado Dominio: (-∞, ∞) Contra dominio: (-2, ∞) Escriba 5 parejas ordenadas que le pertenecen (-4,-6), (-3,0), (-2,-2), (-1,0), (0.6)

Imagen 4 De la imagen representa el movimiento que trazo un caracol ¿el desplazamiento represente una función? Si, se llama función polinomial de tercer grado Si es una función, entonces, escriba las parejas ordenadas que la definen y represente en forma matemática (0,1), (1,2), (2,0), (3,3)

Agrafía https://www.portaleducativo.net/cuarto-medio/7/funcion-potencia https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/a bsolute-value-functions https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/o rdered-pair.html http://recursostic.educacion.es/eda/web/geogebra/materiales/eduardo_ timon_p3/radicales/f_radicales.htm https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_racional https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica http://www.frsn.utn.edu.ar/funciones/ceros.html https://matematicasmodernas.com/ecuaciones-cuadraticas-que-es-eldiscriminante/ https://historiaybiografias.com/formula_vertice_parabola/ https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial https://definicion.de/funcion-logaritmica/