Recta Y Plano Vectorial

Recta y Plano Vectorial

Dos puntos determinan una recta. Si esos puntos son extremos de vectores (linealmente independientes), podríamos generalizar diciendo que dos vectores determinan una recta. La diferencia entre ambos vectores nos daría un vector colineal con esa recta, vector dirección o pendiente de la recta. Sean dos vectores w = (2, 3) y v = (5, 2) determinan una recta cuya pendiente es m, de manera que m = w − v = (− 3, 1). De esa manera podemos escribir la ecuación de la recta vectorial como: L = t(− 3, 1) + (5, 2). El vector que suma al vector pendiente puede ser cualquier vector perteneciente a la recta. Designamos como "t" a un escalar de manera que cualquier vector perteneciente a esta recta se obtiene al dar distintos valores a t.

(x , y) = t (− 3, 1) + (5, 2) Llamada ecuación paramétrica de la recta. Definición: Dado en Rn un vector m no nulo (m ≠ 0) y un punto v, la ecuación vectorial de la recta que pasa por v en la dirección m es: L = t.m + v (para t ∈ R). Sólo para R2 tenemos que:

En el caso de los sistemas en R2 la ecuación paramétrica (x, y) = t.m + v puede escribirse como ax + by = c. En cambio para sistemas de Rn donde n > 2 no alcanza con una ecuación lineal. Rectas Paralelas y Perpendiculares Siempre que hablemos de sistemas en R2 o en R3 , dos rectas son paralelas si sus direcciones son paralelas (si un vector dirección es combinación lineal del otro). Evidentemente si los vectores dirección fueran perpendiculares entre sí, las rectas también lo serían. ¿Cómo determinamos que dos vectores sean perpendiculares?. El producto escalar de ambos deben dar cero (cos 90º = 0).

Plano en R3 Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano. Si en vez de la recta tomamos un vector dirección, vector N, y un punto p de R3 podemos escribir la ecuación del plano Π que pasa por P y es perpendicular a N como: Π : (Q − P) . N = 0 El plano es el conjunto de puntos Q tales que Q − P es perpendicular a N. No olvidar que un vector perpendicular a otro se denomina vector normal, así lo denominaremos a N. Si Q – P = (x, y, z) y N = (a, b, c) la ecuación resulta Π : ax +by +cz = 0 (Representa al Plano que pasa por el origen de coordenadas) Existen infinidad de planos que no pasan por el origen de coordenadas, sencillamente podemos desplazarlos sumando o restando un número (al que llamaremos d) Π : ax +by +cz – d = 0 (despejando) Π : ax +by +cz = d Es interesante destacar que el valor de d se obtiene multiplicando (escalarmente) cualquier punto de Π por el vector normal del plano. Así d = P . N Otra interesante cuestión para destacar es que si tenemos dos planos perpendiculares, sus normales han de ser perpendiculares y si los planos son paralelos sus vectores normales también lo son. Distancia de un punto y un plano Q es un punto exterior a un plano Π cuya normal es N, definimos como la distancia de Q al plano como la distancia entre Q y P, d(PQ), donde P en un punto del plano. P debe pertenecer a la recta perpendicular al plano que pasa por Q (la distancia más corta es la perpendicular).

En R3 si Q = (xo, yo, zo) y Π: ax + by + cz = d, entonces la distancia puede escribirse como: