Recta

Condición para que 3 puntos estén alineados.

A( x A , y A ), B ( x B , y B ), C ( x C y C ) Estarán alineados cuando los vectores AB y BC tengan

la misma dirección, esto ocurre cuando son proporcionales. xB − xA y − yA = B xC − x B yC − y B

Punto medio de un segmento. Extremos = A( x A , y A ), B ( x B , y B )

Punto medio = M

 x + xB y A + yB  M = A ,  2 2  

Ecuaciones de la recta. Ecuación vectorial: O es el origen

OX = p + k v

X es un punto de la recta

p es un vector posición que nos sitúa sobre la recta v es el vector dirección (paralelo a la recta) k es un parámetro. Al variar t, varía X sobre la recta. Ecuaciones paramétricas: En la ecuación vectorial sustituimos los vectores por sus coordenadas:

( x, y ) = ( p1 , p 2 ) + k ( v1 , v 2 )

Y expresamos las variables por separado: Ecuación paramétrica

 x = p1 + kv1   y = p 2 + kv 2

Ecuación continua de la recta: Despejamos k e igualamos:

x − p1   x = p1 + kv1  v1    y − p2   y = p 2 + kv 2 → k  v 2  →k

x − p1 y − p 2 = v1 v2

Ecuación implícita o general:

x − p1 y − p 2 = v1 v2 ( x − p1 ) v 2 = ( y − p 2 ) v1 xv 2 − p1 v 2 = yv1 − p 2 v1 xv 2 − yv1 − p1 v 2 + p 2 v1 = 0 Cambio de variables: [ A = v 2 B = −v1

C = p 2 v1 − p s v 2 ]

Ax + B y + C = 0 El vector (A, B) es perpendicular a la recta r v ⊥ _ al _ v _ director

Ecuación explícita de la recta r.

Ax + B y + C = 0

− C − Ax B −A −C n= Cambio de variables: [ m = ] B B y=

y = mx + n Pendiente:

[ m( x 0 + 1) + n] − [ mx0 + n] = mx 0 + m + n − mx0 − n = m tgα = m

Para obtener la pendiente de una r a partir de 2 puntos: Puntos: P1 ( x1 , y1 ) y m = tgα =

P2 ( x 2 , y 2 )

y 2 − y1 ∆y = x 2 − x1 ∆x

Forma punto pendiente de la ecuación de una recta: Conocemos un punto

y = y 0 + m( x − x 0 )

P( x 0 , y 0 ) y su pendiente m , la ecuación es:

Simétrico de un punto respecto de otro.

A( x, y ) , El punto de simetría P(α , β ) , y el punto a averiguar A′( x ′, y ′) : x + x′  α= 2  y + y′   β= 2 

Punto

Angulo entre dos rectas: Se coge el más pequeño y se obtiene a partir de los

cos α =

v d de las dos rectas.

d ⋅d′ d ⋅ d′

Paralelismo: Si

( d1 , d 2 )

es un

v d de la recta r y k ≠ 0,

Cualquier recta con Perpendicularidad: Cualquier recta con

v d = ( d 1 , d 2 ) o proporcional ( kd 1 , kd 2 ) , es paralela o coincide con r. v d = ( d 2 ,−d 1 ) o proporcional ( kd 2 ,−kd 1 ) es perpendicular a r.

Ángulo de dos rectas a partir de la pendiente:

•

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente

•

Si las rectas don

•

En general:

m1 = m 2

⊥ , entonces: m1 ⋅ m 2 = 1 o bien: m 2 = −

tgϕ =

m 2 − m1 1 + m 2 ⋅ m1

tgϕ = tg (α − β ) =

1 m1 m 2 − m1 tgα − tgβ = 1 + tgα ⋅ tgβ 1 + m 2 ⋅ m1

Posición relativa de rectas dadas en forma general:

r ⇒ Ax + By + C = 0

y

s ⇒ A′x + B ′x + C ′x = 0

 Ax + By + C = 0   A′x + B′x + C ′x = 0 •

Si tiene solución única, las rectas se cortan.

A B ≠ A′ B ′

•

Si no tiene solucion, las rectas son paralelas.

A B C = ≠ A′ B ′ C ′

•

Si tiene soluciones infinitas son la misma recta.

A B C = = A′ B ′ C ′

Posición relativa de rectas dadas :

Dadas las rectas

 x = a ′ + b ′t s  y = c ′ + d ′t

 x = a + bk r  y = c + dk

Para hallar su posición relativa resolvemos el sistema con 2 incognitas, k y s:

 a + bk = a ′ + b ′t Igualamos las x y las y de las 2 rectas.   c + dk = c ′ + d ′t • El sistema tiene solución única ( k 0 , t 0 ) , las rectas se cortan en un punto cuyas cordenadas se obtienen sustituyendo en r, k por k 0 , o bien en s, t por t 0 . • El sistema no tiene solución, las rectas son paralelas. • El sistema tiene infinitas soluciones, son la misma recta. Distancias La distancia entre dos puntos

dist ( P, Q ) = PQ =

(x

P( x P , y P ) , q ( x Q , y Q ) es el módulo del vector PQ :

− x P ) + ( yQ − y P ) 2

Q

2

P( a, b ) a la recta r : Ax + By + C = 0 es: Aa + Bb + C

La distancia de un punto

dist ( P, r ) =

A2 + B 2

TEMA 5:

Producto escalar

( ) ^

u ⋅ v = ux ⋅ vx + u y ⋅ vy

Es un número. ||

u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos u , v

|| u ⋅ v =

u +u

2 y

⋅ v +v

Módulo de un vector:

u = u x2 + u y2

Es un número

Cos del ángulo de 2 vectores:

( ) ^

cos u , v =

u⋅v u⋅v

=

u x ⋅ vx + u y ⋅ v y u x2 + u y2 ⋅ v x2 + v y2

Combinación lineal (CL): Vectores

x e y Escalares a y b Vector CL de

x e y =

ax + by

Coordenadas del vector CL

u = ( u x , u y )   = au + b y = ( au x + bv x , au y + bv y ) v = ( v x , v y ) 

( ) ^

2 x

Es un número

2 x

2 y

⋅ cos u , v