Raspuns Geom_analitica 1

Algoritm de alegere şi notare Fiecare subiect va contine 10 (zece) itemi, respectiv alese dupa cum urmeaza: A_3 (trei) itemi B_3 (trei) itemi C_2 (doua) itemi D_1 (un) item E_1 (un) item Fiecare item va fi notat cu 10%. Nu se acorada puncte din oficiu.

Gemetrie Analitica A_Spatii vectoriale MULTIPLE CHOICE 1. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si fie B = {e1, e2 ,..., en } o baza a lui V.

Daca B ′ este o alta baza a lui V, atunci a.

b.

c.

2. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si fie B = {e1, e2 ,..., en } o baza a lui V, iar

x ∈ V \ {0} un vector arbitar a.i. Atunci a. b. c.

, unde

.

este o baza a lui V este o multime liniar independenta

3. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si fie B = {e1 , e2 ,..., en } o baza a lui V, iar

x ∈ V \ {0} un vector arbitar a.i. Atunci a. b. c.

, unde

.

este o baza a lui V este o multime liniar independenta

4. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si fie B = {e1 , e2 ,..., en } o baza a lui V, iar

x ∈ V \ {0} un vector arbitar a.i. Atunci a. b. c.

, unde

.

este o baza a lui V este o multime liniar independenta

5. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si fie B = {e1, e2 ,..., en } o baza a lui V, iar

x ∈ V \ {0} un vector arbitar a.i. Atunci a.

este o baza a lui V

, unde

.

b. c.

6. In

este o multime liniar independenta

\4

cu structura canonica de

\

- spatiu vectorial, se considera multimea:

⎧ ⎫ ⎧ ⎪ x1 + x2 − 2 x4 = 0⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ − x3 = 0⎬ W = ⎨( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ (S ) : ⎨ x1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 0 x x x + − = ⎪ ⎪ ⎪ 2 3 4 ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ Atunci W este un subspatiu vectorial de dimensiune a. b. c. d.

7. In

4 3 1 2

\4

cu structura canonica de \ - spatiu vectorial, se considera multimea:

⎧ ⎫ ⎧ ⎪ x1 + x2 − 2 x4 = 0⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ − x3 = 0⎬ W = ⎨( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ (S ) : ⎨ x1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x + x − 2x = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 4 ⎪ ⎩ 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ Atunci spatiul generat de W notat Sp(W) nu contine vectorul a. b.

e = (2,3,1,0)

c.

8. In

\4

cu structura canonica de

\

- spatiu vectorial, se considera multimea:

⎧ ⎫ ⎧ ⎪ x1 + x2 − 2 x4 = 0⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ − x3 = 0⎬ W = ⎨( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ ( S ) : ⎨ x1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x + x − 2x = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 3 4 ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ Atunci, din punct de vedere geometric, spatiul generat de W notat a. un plan b. un subspatiu de dimensiune 3

este

c. o dreapta

\4

9. In

cu structura canonica de \ - spatiu vectorial, se considera multimea:

⎧ ⎫ ⎧ ⎪ x1 + x2 − 2 x4 = 0⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ − x3 = 0⎬ W = ⎨( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ ( S ) : ⎨ x1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x2 + x3 − 2 x4 = 0 ⎭ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ Atunci, din punct de vedere geometric, spatiul generat de W este a.

, cu

{α ⋅ e + β ⋅ f + γ ⋅ g α, β , γ ∈ \} unde,

b.

e = (2,3,1, 0) , f = (−1, −2, 0,1) si

g = (1, −1, 2,1) c.

cu

10. Fie

f : \ 3 → \ 2 o aplicatie definita prin:

f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − x3 , −x1 + x2 ) . Atunci f este o a. functionala liniara b. forma patratica

11. Fie

c. forma biliniara d. aplicatie liniara

f : \ 3 → \ 2 o aplicatie liniara definita prin:

f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − x3 , −x1 + x2 ) . Atunci, matricea A, a aplicatiei f relativ la baza canonica este a.

b.

⎛ 1 −1⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ A = ⎜⎜ 0 1 ⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝−1 0 ⎠⎟⎟

c.

12. Fie

f : \ 3 → \ 2 o aplicatie liniara definita prin:

f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − x3 , −x1 + x2 ) . Atunci, nucleul aplicatiei f, notat

este

a. b.

ker f = {α ⋅ e α ∈ \ } unde, e = (1,1,1)

c. d. e.

13. Fie

unde,

f : \ 3 → \ 2 o aplicatie liniara definita prin: f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − x3 , −x1 + x2 ) .

Atunci, nucleul aplicatiei f si imaginea sa notate egale cu a. b. c. d. e.

14. Fie

si

sunt de dimensiuni, respectiv,

0 si 3 1 si 2 2 si 3 3 si 0 2 si 1

f : \ 3 → \ 2 o aplicatie liniara definita prin: f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − x3 , −x1 + x2 ) .

Atunci, imaginea aplicatiei f, notata

este

a. b. c. d.

unde, unde, e = (1,1,1)

e.

15. Fie V3 un spatiu vectorial cu trei dimensiuni peste

\ si B = {e1, e2 , e3 } o baza a lui V3 .

Se considera S = { f1 , f 2 , f3 , f 4 } un sistem de vectori din V3 ai carui vectori sunt definiti prin relatiile: f1 = e1 + 2e2 + e3 , f 2 = e1 + 7e2 + 4e3 , f 3 = −e1 + e2 + e3 , f 4 = e1 + 4e2 + 2e3

Sa se caracterizeze mutimea S. a. Multimea S formeaza un sistem de generatori de dimensiune 2. b. Multimea S formeaza un subspatiu de dimensiune 1. c. Multimea S formeaza o baza a spatiului . d. Multimea S formeaza un sistem de generatori de dimensiune 3. 16. Fie V3 un spatiu vectorial cu trei dimensiuni peste \ si B = {e1, e2 , e3 } o baza a lui V3 .

Se considera S = { f1, f 2 , f3 , f 4 } un sistem de vectori din V3 ai carei vectori sunt dati dati prin relatiile: f1 = e1 + 2e2 + e3 , f 2 = e1 + 7e2 + 4e3 , f 3 = −e1 + e2 + e3 , f 4 = e1 + 4e2 + 2e3

Sa se determine spatiul generat de S, notat

si sa se precizeze o baza

a lui S

a.

, b.

,

c.

,

d.

,

17. Fie V3 un spatiu vectorial cu trei dimensiuni peste

Se considera

o alta baza a lui V3 ai carei vectori sunt dati prin relatiile:

Sa se determine cordonatele vectorului a.

\ si B = {e1, e2 , e3 } o baza a lui V3 .

in baza

.

b. c. d.

18. Fie V3 un spatiu vectorial cu trei dimensiuni peste

Se considera

\ si B = {e1, e2 , e3 } o baza a lui V3 .

o alta baza a lui V3 ai carei vectori sunt dati dati prin relatiile:

Sa se determine matricea de trecere de la baza B baza a.

.

b.

c.

19. Fie V3 un spatiu vectorial cu trei dimensiuni peste

Se considera

⎛ 3 −5 8 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ C −1 = ⎜⎜−1 2 −3⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ 1 −1 5 ⎠⎟⎟

\ si B = {e1, e2 , e3 } o baza a lui V3 .

o alta baza a lui V3 ai carei vectori sunt dati dati prin relatiile:

Sa se determine formulele de trecere de la baza B baza

.

a.

e1 = 3 f1 − f 2 + f3 , f 2 = −5 f1 + 2 f 2 − 3 f 3 , f 3 = 8 f1 − 3 f 2 + 5 f 3

b. c. d.

e1 = 3 f1 − 5 f 2 + 8 f 3 , f 2 = − f1 + 2 f 2 − 3 f 3 , f 3 = f1 − 3 f 2 + 5 f 3

20. In

\4

cu structura canonica de

\ - spatiu vectorial, se considera multimea:

⎧ ⎫ ⎧ x1 − x2 + x3 − x4 = 0⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ , , , : W =⎨ x x x x S ∈ \ ( ) ( ) ⎨ ⎬ ⎪ 1 2 3 4 ⎪ x1 − 2 x3 − x4 = 0⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎩ ⎭ Atunci, din punct de vedere geometric, spatiul generat de W este a. un plan b. o dreapta c. 4

\

d. un hiperplan de dimensiune 3

21. In

\4

cu structura canonica de

\ - spatiu vectorial, se considera multimea:

⎧ ⎫ ⎧ ⎪ x1 − x2 + x3 − x4 = 0⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ W = ⎨( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ ( S ) : ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ x1 − 2 x3 ⎪ − x4 = 0⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎭ Atunci spatiul generat de W nu contine vectorul a. b. c.

22. In

\4

cu structura canonica de

\ - spatiu vectorial se considera multimea:

⎧ ⎫ ⎧ ⎪ x1 − x2 + x3 − x4 = 0⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ W = ⎨( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ ( S ) : ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ x1 − 2 x3 ⎪ − x4 = 0⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎭ Atunci, spatiul generat de W este dimensiune a. b. c. d.

23. In

3 2 1 4

\4

cu structura canonica de

\ - spatiu vectorial, se considera multimea:

⎧ ⎫ ⎧ x1 − x2 + x3 − x4 = 0⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ W =⎨ x , x , x , x S : ∈ \ ( ) ( ) ⎨ ⎬ ⎪ 1 2 3 4 ⎪ x1 − 2 x3 ⎪ − x4 = 0⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎩ ⎭ Atunci spatiul generat de W este a.

cu

b. c.

24. Fie in spatiul vectorial real

, cu cu

M2 ( \ ) sistemele de vectori:

⎧ ⎛1 0⎞⎟ ⎛0 1⎞⎟ ⎛0 0⎞⎟ ⎛1 0⎞⎟⎫ ⎪ ⎪ ⎟⎟ , A2 = ⎜⎜ ⎟⎟ , A3 = ⎜⎜ ⎟⎟ , A4 = ⎜⎜ ⎟⎟⎪ S =⎪ ⎨ A1 = ⎜⎜⎜ ⎬ ⎜ ⎜ ⎜ ⎪ ⎝0 0⎠⎟ ⎝1 0⎠⎟ ⎝0 1⎠⎟ ⎝0 1⎠⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

si

⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ B = ⎜⎛⎜1 0⎞⎟⎟ , B = ⎜⎛⎜1 2⎞⎟⎟ , B = ⎜⎛⎜0 0⎞⎟⎟ , B = ⎛⎜⎜1 0⎞⎟⎟⎬ ⎪ S′ = ⎨ 1 2 3 4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎪ ⎪ ⎝0 2⎠ ⎝2 0⎠ ⎝0 1⎠ ⎝0 1⎠⎪ ⎪ ⎩ ⎭

Atunci spatiile generate de

si

sunt de dimensiuni, respectiv egale cu:

a. 1 si 3 b. 2 si 4

c. 3 si 4 d. 3 si 3

25. Baza canonica a spatiului vectorial

M2 ( \ ) al matricelor de dimensiune 2x2 cu elemente

numere reale este multimea a.

b.

c.

26. Spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult egal cu 5 notat a. 5

b. 6

c. 4

27. Spatiul vectorial al functiilor reale definite pe , notat a. b. 1

este de dimensiune

F

este de dimensiune

c. 2 d. 0

28. Spatiul vectorial complex a. 3 b. 4

este de dimensiune egala cu c. d. 2

29. Baza canonica a spatiului vectorial al polinoamelor de grad cel mul 4 cu coeficienti din

notat

este multimea

a. b. c.

30. Fie in spatiul vectorial real M2 ( \) sistemele de vectori :

⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ A = ⎜⎜⎛1 0⎞⎟⎟ , A = ⎜⎛⎜0 1⎞⎟⎟ , A = ⎛⎜⎜0 0⎞⎟⎟ , A = ⎛⎜⎜1 0⎞⎟⎟⎬ ⎪ S =⎨ 1 2 3 4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎪ ⎪ ⎝0 0⎠ ⎝1 0⎠ ⎝0 1⎠ ⎝0 1⎠⎪ ⎪ ⎩ ⎭

si

⎧ ⎛1 0⎞⎟ ⎛1 2⎞⎟ ⎛0 0⎞⎟ ⎛1 0⎞⎟⎫ ⎪ ⎪ ⎟⎟ , B2 = ⎜⎜ ⎟⎟ , B3 = ⎜⎜ ⎟⎟ , B4 = ⎜⎜ ⎟⎬⎪ S ′ = ⎨⎪ B1 = ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝0 2⎠⎟ ⎪ ⎝⎜2 0⎠⎟ ⎝⎜0 1⎠⎟ ⎝⎜0 1⎠⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

Sa se stabileasca natura acestora. a.

si

liniar dependente

b.

si

liniar independente

31. Fie

si

c.

liniar dependenta si liniar independenta d. liniar independenta si liniar dependenta

doua subspatii ale spatiului vectorial real M2 ( \ ) , iar

, si ,

respectiv doua baze ale acestora. Sa se scrie formulele de trecere de la baza a. b. c.

la baza

32. Fie in spatiul vectorial real M2 ( \) sistemele de vectori:

⎧ ⎛1 0⎞⎟ ⎛0 1⎞⎟ ⎛0 0⎞⎟ ⎛1 0⎞⎟⎫ ⎪ ⎪ ⎟⎟ , A2 = ⎜⎜ ⎟⎟ , A3 = ⎜⎜ ⎟⎟ , A4 = ⎜⎜ ⎟⎬⎪ S = ⎨⎪ A1 = ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎪ ⎝0 0⎠ ⎝1 0⎠ ⎝0 1⎠ ⎝0 1⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ si

⎧ ⎫ ⎛1 0⎞⎟ ⎛1 2⎞⎟ ⎛0 0⎞⎟ ⎛1 0⎞⎟⎪ ⎪ ⎟ , B2 = ⎜⎜ ⎟ , B3 = ⎜⎜ ⎟ , B4 = ⎜⎜ ⎟⎬⎪ . S ′ = ⎨⎪ B1 = ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜⎝0 2⎠⎟ ⎪ ⎝⎜2 0⎠⎟ ⎝⎜0 1⎠⎟ ⎝⎜0 1⎠⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

Sa se indice subspatiile generate de

si

, notate respectiv prin

si

.

a.

b.

c.

si

33. O baza a lui , ca spatiu vectorial real, poate fi multimea: a.

b.

34. Nucleul unei aplicatii liniare

c.

este

a. un subspatiu vectorial al lui b. multimea vida daca este injectiva c. un subspatiu vectorial al lui 35. Imaginea unei aplicatii liniare

este

a. multimea V daca este surjectiva. b. un subspatiu vectorial al lui c. un subspatiu vectorial al lui 36. Fie

cu

o aplicatie liniara. Notam si nucleul respectiv imaginea aplicatiei , iar dimensiunea acestora. Atunci una din afirmatiile de mai jos este falsa:

a. Daca este surjectiva b. este subsaptiu al lui W c.

d. Daca e.

este injectiva atunci

37. Fie

doua spatii vectoriale de dimensiuni n si respectiv m, iar liniara.Una dintre urmatoarele de mai jos este falsa. Precizati care este aceasta.

o aplicatie

a. Daca T este surjectiva atunci T este un izomorfism de spatii vectoriale b. c. d. Daca T este injectiva atunci T este un izomorfism de spatii vectoriale e. 38. Fie

un sistem finit de vectori ai unui spatiu vectorial finit dimensional V. Presupunem ca contine cel putin un vector nenul. Care afirmatie este falsa ?

a. Daca S este liniar independent, atunci S poate fi completat pana la o baza a lui V; b. Daca S este baza a lui V, atunci ea este strict inclusa intr-un sistem de vectori liniar

independenti din V. este un sistem de generatori atunci formeaza o baza a lui V. este liniar independent atunci formeaza o baza a lui V.

c. Daca d. Daca 39. Fie

o aplicatie liniara.Notam

. Atunci una dintre

afirmatiile de mai jos este falsa. a.

este un spatiu liniar in raport cu operatiile de adunare si inmultire cu scalari

b. c. Daca d.

se mai noteaza cu si se mai noteaza cu

si se mai numeste dualul spatiului vectorial atunci si se mai numeste dualul spatiului vectorial V

40. Fie sistemele de vectori

si Atunci un dintre afirmatiile de mai jos este falsa. a. b. V si W genereaza acelasi subspatiu c. d. e.

41. Fie sistemele de vectori

si Atunci una dintre afirmatiile de mai jos este adevarata. a. b. c. d. e. 42. Spatiul vectorial al polinoamelor cu coeficienti reali notat a.

b. 4

43. Fie

c. 3

este de dimensiune. d. 0

multimea matricelor de dimensiune 2x2 cu coeficienti intr-un corp comutativ , iar si

, multimea matricelor simetrice, repectiv antisimetrice. Atunci una dintre

afirmatiile de mai jos este adevarata. a. b. c.

Multimea

formeaza baza a subsp.

d.

Multimea

44. Fie

formeaza baza a subsp.

multimea matricelor de dimensiune 2x2 cu coeficienti intr-un corp comutativ , iar si

, multimea matricelor simetrice, repectiv antisimetrice. Atunci una dintre

afirmatiile de mai jos este falsa. a. b.

si sunt subspatii ale lui

c. d.

Multimea

formeaza baza a subspatiului

e.

Multimea

formeaza baza a

subspatiului 45. Fie

multimea matricelor de dimensiune 2x2 cu coeficienti intr-un corp comutativ , iar si

, multimea matricelor simetrice, repectiv antisimetrice. Atunci una dintre

afirmatiile de mai jos este falsa. a.

sunt subspatii ale lui

b.

Multimea

formeaza baza a subspatiului

c.

Multimea

nu formeaza

baza a spatiului d.

, unde e.

si

46. In spatiul vectorial real \ 3 [ X ] se considera multimea S = { f0 , f1 , f 2 , f3 , f 4 } unde,

f0 = 1, f1 = x, f 2 = x ( x −1) , f3 = x ( x −1)( x − 2) , f4 = x ( x −1)( x − 3) Atunci una dintre afirmatiile de mai jos este falsa: a. b. c. Multimea

nu formeaza baza a lui

d. Multimea

este liniar independenta

e. Multimea S formeaza o baza a lui \ [ X ] 3 47. In spatiul vectorial real

se considera multimea S = { f0 , f1 , f2 , f3 , f4 } unde,

f0 = 1, f1 = x, f 2 = x ( x −1) , f3 = x ( x −1)( x − 2) , f4 = x ( x −1)( x − 3) Atunci una dintre afirmatiile de mai jos este adevarata. a. Multimea S formeaza o baza a lui b. Daca multimea

lui sunt:

este baza canonica a

atunci formulele de trecere de la baza

c. Multimea

la baza

este liniar independenta

d.

Exista scalarii

a.i

unde

este baza canonica a lui \ 3 [ X ] e. Multimea

48. In spatiul vectorial real

nu formeaza baza a lui se considera bazele

si Atunci matricea de trecere de la baza

baza

a.

c.

b.

d.

49. In spatiul vectorial real

este

se considera bazele

a subspatiului

si . . Atunci formulele de de trecere de la baza

Fie sunt:

baza

a. b. c.

50. În spaţiul vectorial

\ 3 peste corpul numerelor reale \ , se consideră sistemele de vectori:

B = {e1 = (−1,0,1) , e2 = (1,1,0) , e3 = (0, −1,1)} si

B ′ = { f1 = (0,1,1) , f 2 = (1,0, −1) , f3 = (1, −1,0)}

iar

\3 . Sa se stabileasca care dintre urmatoarele afirmatii sunt false: (1) Multimile

si

formeaza baze ale spatiului vectorial

(2) Matricea de trecere de la baza

(3) Matricea de trecere de la baza

la baza

la baza

este

este

(4) Matricea de trecere de la baza canonica la baza

este

\3

(5) Coordonatele vectorului x relativ la baza

sunt

(6) Formulele de trecere da la baza

sunt

(7) Formulele de trecere de la baza

a. (4), (5)

la baza

la baza

b. (2), (7)

sunt

c. (1), (2), (3), (5)

51. Fie

doua spatii vectoriale si Care dintre urmatoarele afirmatii sunt false:

d. (6), (7)

o aplicatie liniara.

(1) T injectiva (2) T surjectiva T inversabila atunci (3) Daca T injectiva si (4) Pentru orice V si W are loc descompunerea (5) Daca atunci . a. (3), (4)

b. (3), (5)

52. Fie

c. (1), (2)

doua spatii vectoriale si Care dintre urmatoarele afirmatii sunt false:

o aplicatie liniara.

(1) dimensiunea nucleului se mai numeste rangul lui T, iar dimensiunea imaginii se numeste defectul lui T. . (2) Daca T este injectiva atunci (3) si (4) Daca T este surjectiva atuci T este inversabila. a. (3)

b. (2), (3)

c. (2), (4)

d. (1)

53. Sa se cerceteze care dintre urmatoarele aplicatii nu sunt liniare:

(1) (2) (3) (4) (5)

unde

este derivata formala a polinomului

a.

54. Fie

b.

(3), (4)

spatiul vectorial real si

Sa se scrie vectorul

c. (1), (2),(3)

(1), (2), (5)

baza canonica a sa.

in raport cu baza a lui

a. b.

55. Fie

c. d.

spatiul vectorial real si

Sa se scrie vectorul

baza canonica a sa.

in raport cu baza din

a. b.

.

c. d.

56. Fie

spatiul euclidian real tridimensional. Folosind procedeul de ortogonalizare GrammSchmidt, sa se gaseasca o baza ortonormata pentru subspatiul generat de vectorii . a. b. c.

57. Fie

o aplicatie liniara, iar

baza canonica a lui

Sa se precizeze care dintre urmatoarele afirmatii sunt false

. Se stie ca

(1) Matricea aplicatiei linare in baza canonica este (2) (3) (4) Daca

atunci

(5) Matricea aplicatiei

a. (2) 58. Fie

b.

relativ la baza canonica este

(1), (3)

c. (3)

o aplicatie liniara, iar

d.

(4), (5)

baza canonica a lui

. Se stie ca

Sa se precizeze care dintre urmatoarele afirmatii sunt adevarate:

(1) Matricea aplicatiei linare in baza canonica este (2) (3) atunci (4) Daca (5) Valorile proprii asociate operatorului T sunt a. (3), (4), (5) 59. Fie

b. (3), (5)

o aplicatie liniara, iar

matricea asociata in baza canonica este

c. (2)

d.

(1), (3)

baza canonica a lui

. Se stie ca

Sa se precizeze care dintre urmatoarele afirmatii sunt false: (1) (2)

, unde

(3) (4) (5) Valorile proprii asociate operatorului T sunt a. (3), (5) 60. Fie

b. (2),(5)

c.

(1), (3), (4),

o aplicatie liniara, iar

d.

(1)

baza canonica a lui

. Se stie ca

matricea asociata in baza canonica este

Sa se precizeze care dintre afirmatiile de mai jos sunt false: (1) (2) T este un endomorfism injectiv. (3) Valorile proprii corespunzatoare marticei A sunt (4) Subspatiul propriu asociat valorii proprii

este

(5) a. (3), (4),(5) b. (1), (2)

c. , (1), (2), (3), (4),(5) d. (2)

61. Se dau sistemele de vectori din

sunt liniar independente:

S1 = {(−4, −2, 2) , (6,3, −3)} si Care dintre afirmatiui de mai jos sunt false:

unde

(1) S1 este liniar dependenta (2) S1 şi S 2 nu formeaza sisteme de generatori (3) S 2 este liniar independenta, dar nu formeaza sistem de generatori pentru (4) (5) a. (5) b. (1), (2), (4), (5)

c. (3), (4) d. (1), (2)

62. Se dau sistemele de vectori din

sunt liniar independente:

S1 = {(2,3, −1) , (0, −2,1) , (−1, −1, −1)} si S2 = {(−1, 2,1) ,(−1,1, 2) ,(−1, −1, 4)} Care dintre afirmatiui de mai jos sunt adevarate: (1) (2) S 2 nu formeaza sistem de generatori pentru (3) S 2 este liniar independenta, dar nu formeaza sistem de generatori pentru (4) (5) a. (5) b. (1), (2), (5)

c. (1), (2) d. (3), (4)

63. Se dau sistemele de vectori:

S1 = {(1, α, 0), (α,1,1), (1,0, α )} si

unde, α, β , γ ∈ \ . Sa stabileasca care dintre urmatoarele afirmatii sunt adevarate: (1) S1 este liniar independent ⇔ α = 0 sau α = ± 2 (2) S 2 este liniar dependent ⇔ γ = 0 sau γ =

1 β ± β ( β + 4) , unde 2

(

β ∈ (−∞, −4] ∪ [0, +∞) (3) Daca (4) Pentru

(5) Pentru a.

(3), (5)

atunci S1 este liniar dependent si S 2 formeaza un sistem de generatori si si c. (1), (3)

)

b. (3), (4)

d.

(2) ,(5)

64. In \ 3 , cu structura canonica de spatiu vectorial peste campul \ , se considera sistemele

de vectori:

S1 = {e1 = (0,1, −1) , e2 = (−1, 0,1) , e2 = (1, −1, 0)}

S 2 = {e1 = (1, 0, −1) , e2 = (0, −1, 2), e2 = (1, −1, 0)} S3 = {e1 = (1,1,1), e2 = (0,1, −1), e3 = (−1, 0 − 2), e4 = (2,1,3)} S4 = {e1 = (−1,1,1) , e2 = (1, −1, 0) , e3 = ( 0, 0,1) , e4 = (1, 0, −1)} Sa se precizeze care dintre urmatoarele afirmatii sunt false: (1) S1 , S 2 şi S3 sunt liniar independente, S 4 este liniar dependent, S 3 este un sistem de generatori iar, S3 formeaza o baza an \ 3 . (2) S1 , S 2 şi S 4 sunt liniar independente, S3 este liniar dependent, S1 nu este un sistem de generatori, iar, S 2 şi S 4 formeaza o baza an \ 3 . (3) S1 , S3 şi S 4 sunt liniar dependente, S 2 este liniar independent, S 2 şi S 4 sunt sisteme de generatori, iar, S 2 formeaza o baza an \3 . (4) S 2 , S3 şi S 4 sunt liniar dependente, S1 este liniar independent, S1 şi S 4 sunt sisteme de generatori şi S1 formeaza o baza an \3 (5) a. (1), (2), (4) b. (2), (3) c. (3) , (4) d. (5) 65. Care dintre urmatoarele multimi nu formeaza subspatiu peste \ 4 , cu structura canonica de \

- spatiu vectorial: ⎧ ⎪ x1 − x2 + x3 − x4 = 0 (1) ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ x1 − 2 x3 − x4 = 0 ⎧ x1 + x2 − 2 x4 = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (2) ⎨ x1 − x3 = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x2 + x3 − 2 x4 = 0

(3) x1 + x2 + x3 + x4 = 1

⎧ x1 − x2 + x3 − x4 = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x1 − 2 x2 − x3 + x4 = 0 (4) ⎪ ⎨ ⎪ x1 + 3x2 + 2 x3 + x4 = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩−2 x1 + x3 − 2 x4 = 1

a. b.

(2) şi (4) (2) şi (3)

c. d.

(1) şi ( 4) (3) şi (4)

66. Fie P n ( K) multimea polinoamelor de grad cel mult n cu coeficienti an corpul K . Aplicatia

Φ :P n (K ) → K definita prin: 1

Pk 6 Φ ( Pk ) = ∫ Pk ( x) dx 0

este: a. forma biliniara b. forma liniara

c. forma patratica d. automorfism de spatii vectoriale

67. Fie P n ( K) multimea polinoamelor de grad cel mult n cu coeficienti an corpul K . Aplicatia

T : P n ( K) → P n+1 ( K) definita prin:

este a. forma biliniara b. operator liniar 68.

c. automorfism de spatii vectoriale d. forma patratica

Fie V un K – spatiu vectorial. şi g : V ×V → K o aplicatie biliniara cu proprietatea G G g v, v = 0

( )

Atunci g este: a. simetrica b. antisimetrica

c. forma liniara d. forma polara

69. Fie V un K – spatiu vectorial, şi g : V ×V → K o aplicatie biliniara. Atunci,

q : V → K definita prin q ( x) = g ( x, x) este a. forma biliniara b. forma patratica

c. automorfism de spatii vectoriale d. aplicatie liniara

70. Fie o baza B = {(1,3,5) , (6,3, 2) , (3,1, 0)} in spatiul aritmetic real \ 3 . Atunci coordonatele

vectorilor bazei canonice a lui \ 3 an raport cu noua baza B sunt respectiv: a. b.

(1, 0,0) ,(0,1, 0) ,(0, 0,1) (2, −5,9) , (6,5, −8) ,(13, −2,5)

(1, 2,3), (−2,3,1), (3, −1, 0) (−2,5, −9), (6, −15, 28), (−3,8, −15)

c. d.

71. Care dintre urmatoarele afirmatii sunt false:

(1) Multimea, S=

{( x , x , x , x ) ∈ \ 1

2

3

4

4

}

2 x1 − x2 + x3 − x4 = 1

formeaza un subspatiu vectorial de dimensiune 3. (2) In spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult egal cu 3, notat \ 3 [ X ] , multimea

{

B = 2 + X ,1 + X + X 2 ,1− X 2 ,1 + X + 2 X 2 − X 3

}

este liniar independenta (3) Intr – un spatiu infinit dimensional V , orice sistem de vectori S = {v1, v2 ,..., vn } liniar independent formeaza o baza a lui V . (4) Intr – un spatiu finit dimensional V , orice sistem de vectori S = {v1, v2 ,..., vn } liniar independent este un sistem de generatori pentru V . a. (2) (3) (4) b. (2) (3)

c. (1) (2) (3) d. (4)

72. Care dintre urmatoarele afirmatii sunt adevarate:

{

}

(1) Sistemul de vectori S = 1, 2, 3, 5 din spatiul vectorial \ peste corpul \ , este liniar independent. (2) In spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult egal cu 3, notat \ 3 [ X ] , multimea

{

B = 2 + X ,1 + X + X 2 ,1− X 2 ,1 + X + 2 X 2 − X 3

este liniar independenta (3) Multimea, S=

{( x , x , x , x ) ∈ \ 1

2

3

4

4

}

}

x1 − x2 + 3 x3 − 2 x4 = 0

formeaza un subspatiu vectorial de dimensiune 3. (4) Intr – un spatiu finit dimensional V , orice sistem de vectori S = {v1, v2 ,..., vn } liniar independent este un sistem de generatori pentru V . a. (3) (4) b. (2)

c. (1) (2) (3) (4) d. (1) (4)

73. Ca re dintre urmatoarele asertiuni sunt adevarate:

(1) In spatiul polinoamelor de grad cel mult egal cu n, notat \ n [ X ] multimea

{

}

B = 1, X , X 2 ,..., X n este un sistem de genratori.

(2) Fie V un spatiu vectorial peste campul K si W ⊂ V un subspatiu al lui V. Atunci, ∀α, β ∈ K si ∀x, y ∈ W avem: αu + βv ∈ V (3) Multimea S a solutiilor unui sistem liniar neomogen cu m ecuatii si n necunoscute, n

∑ aij x j = bi ,

aij , bi ∈ \ (i = 1,..., m)

j =1

formeaza subspatiu vectorial al lui \ n peste corpul \ .

{

}

(4) Fie L = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ 4 2x1 − x2 + x3 − x4 = 0, x1 + x2 − x3 + 2 x4 = 0 . Atunci subspatiul generat de L este

⎛ 1 1 ⎞ ⎧ 1 ⎫ ⎪ ⎪ Sp ( L) = {αe1 + βe2 α, β ∈ \} unde, e1 = ⎜⎜⎜− , , −1, 0⎟⎟⎟ si e2 = ⎨0, , 0,1⎬ ⎪ 3 ⎪ ⎝ 3 3 ⎠ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

a. (4) b. (3)

c. (1) (2) (4) d. (1) (2)

74. Care dintre urmatoarele afirmatii sunt false:

{

}

(1) Sistemul de vectori S = 1, 2, 3, 5 din spatiul vectorial \ peste corpul \ , este liniar independent. (2) Multimea, S=

{( x , x , x , x ) ∈ \ 1

2

3

4

4

}

x1 − x2 + 3 x3 − 2 x4 = 0

formeaza un subspatiu vectorial de dimensiune 3.

{

}

(3) Fie L = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ 4 2x1 − x2 + x3 − x4 = 0, x1 + x2 − x3 + 2 x4 = 0 . Atunci, subspatiul generat de L este Sp ( L) = {αe1 + βe2 α, β ∈ \ } unde, e1 = {−1,3,3, 0} si e2 = {0,1,0,3} (4) Multimea S a solutiilor unui sistem liniar omogen cu m ecuatii si n necunoscute, n

∑ aij x j = 0,

aij ∈ \ (i = 1,..., m)

j =1

nu formeza subspatiu vectorial al lui \ n peste corpul \ . a. (3) (4) b. (1) (3) (4)

c. (1) (4) d. (1) (2)

75. Care dintre urmatoarele asertiuni sunt false:

{

}

(1) Fie L = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ 4 2x1 − x2 + x3 − x4 = 0, x1 + x2 − x3 + 2 x4 = 0 . Atunci, subspatiul generat de L este

Sp ( L) = {αe1 + βe2 α, β ∈ \ } unde, e1 = {−1,3,3, 0} si e2 = {0,1, 0,3} (2) Multimea S a solutiilor unui sistem liniar omogen cu m ecuatii si n necunoscute, n

∑ aij x j = 0,

aij ∈ \ (i = 1,..., m)

j =1

formeaza subspatiu vectorial al lui \ n peste corpul \ . (3) Fie subspatiile vectoriale: E ′ = ( x, y ) ∈ \ 2 3 x − 2 y = 0 si E ′′ = ( x, y ) ∈ \ 2 2x + y = 0 din \ 2 .

{

}

Atunci, \ 2 = E ′ ⊕ E ′′

{

{

}

}

(4) Sistemul de vectori S = 1, 2, 3, 5 din spatiul vectorial \ peste corpul \ , este liniar dependent. a. (2) b. (3)

c. (1) (4) d. (4)

76. Care dintre urmatoarele asertiuni sunt adevarate:

{

}

(1) Fie subspatiile vectoriale: E ′ = ( x, y ) ∈ \ 2 3 x − 2 y = 0 si

{

}

E ′′ = ( x, y ) ∈ \ 2 2x + y = 0 din \ 2 .Atunci,

{

}

(2) Fie L = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ 4 2x1 − x2 + x3 − x4 = 0, x1 + x2 − x3 + 2 x4 = 0 . Atunci subspatiul generat de L este ⎛ 1 1 ⎞ ⎧ 1 ⎫ Sp ( L) = {αe1 + βe2 α, β ∈ \} unde, e1 = ⎜⎜− , , −1, 0⎟⎟⎟ si e2 = ⎪⎨0, , 0,1⎪⎬ ⎜⎝ 3 3 ⎪ ⎪ ⎠ ⎪ 3 ⎪ ⎩ ⎭ (3) Multimea, S=

{( x , x , x , x ) ∈ \ 1

2

3

4

4

x1 − x2 + 3 x3 − 2 x4 = 0

}

formeaza un subspatiu vectorial de dimensiune 4 (4) In spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult egal cu 3, notat \ 3 [ X ], multimea

{

B = 2 + X ,1 + X + X 2 ,1− X 2 ,1 + X + 2 X 2 − X 3

}

este liniar dependenta a. b.

c. d.

(1) (2) (3) (4)

(1) (2) (3)

77. Care dintre urmatoarele asertiuni sunt false:

(1) Fie subspatiile vectoriale: E ′ = ( x, y ) ∈ \ 2 x − 2 y = 0 si E ′′ = ( x, y, z ) ∈ \ 3 2x + y − z = 0

{

}

{

din \ 2 . Atunci, subspatiul generat de multimea E ′ ∩ E ′′ este,

}

Sp ( E ′ ∩ E ′′) = {α ⋅ e α ∈ \} , unde e = (2,1,5) (2) In spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult egal cu 3, notat \ 3 [ X ], multimea

{

B = 2 + X ,1 + X + X 2 ,1− X 2 ,1 + X + 2 X 2 − X 3

}

formeaza un sistem de generatori

{

}

(3) Fie L = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ 4 2x1 − x2 + x3 − x4 = 0, x1 + x2 − x3 + 2 x4 = 0 . Atunci, subspatiul generat de L nu este Sp ( L) = {αe1 + βe2 α, β ∈ \} unde, e1 = {−1,3,3, 0} si e2 = {0,1, 0,3} (4) Rangul unui sistem de vectori S este egal cu numarul minim de vectori liniari independenti din S a. b.

c. (3) d. (3) (4)

(1) (2) (2) (4)

78. Care dintre urmatoarele asertiuni sunt adevarate:

(1) Fie subspatiile vectoriale: E ′ = ( x, y ) ∈ \ 2 x − y = 0 si E ′′ = ( x, y ) ∈ \ 2 x + 2 y = 0 din \ 2 .

{

}

{

}

Atunci, intersectia subspatiilor este E ′ ∩ E ′′ ≠ {0 \ 2 } (2) In spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult egal cu 3, notat \ 3 [ X ], multimea

{

B = 2 + X ,1 + X + X 2 ,1− X 2 ,1 + X + 2 X 2 − X 3

nu formeaza un sistem de generatori (3) Multimea, S=

{( x , x , x , x ) ∈ \ 1

2

3

4

4

}

}

x1 − x2 + 3 x3 − 2 x4 = 0

nu formeaza un subspatiu vectorial de dimensiune 3. (4) Rangul unui sistem de vectori S este egal cu numarul maxim de vectori liniari independenti din S a. b.

c. d.

(2) (3) (2) (4)

(1) (3) (4)

79. Care dintre urmatoarele asertiuni sunt adevarate:

(1) Fie subspatiile vectoriale: E ′ = ( x, y ) ∈ \ 2 x − 2 y = 0 si E ′′ = ( x, y, z ) ∈ \ 3 2x + y − z = 0 din \ 2 .

{

}

{

}

Atunci, subspatiul generat de multimea E ′ ∩ E ′′ este, . Sp ( E ′ ∩ E ′′) = {α ⋅ e α ∈ \} , unde (2) Multimea, S=

{( x , x , x , x ) ∈ \ 1

2

3

4

4

}

2 x1 − x2 + x3 − x4 = 1

nu formeaza un subspatiu vectorial de dimensiune 3.

(3) In spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult egal cu 3, notat \ 3 [ X ] , multimea

{

B = 2 + X ,1 + X + X 2 ,1− X 2 ,1 + X + 2 X 2 − X 3

}

formeaza baza pentru \ 3 [ X ] (4) Fie T : Vn → Wm o aplicatie liniara, unde n, m sunt dimensiunile spatiilor V, respectiv W . Notam: Im (T ) - imaginea aplicatiei liniare. Atunci: daca m ≠ n ⇒ T este bijectiva a. (2) b. (1) (3) (4)

c. (1) (3) d. (1) (4)

80. Care dintre urmatoarele asertiuni sunt false:

(1) Fie T : Vn → Wm o aplicatie liniara, unde n, m sunt dimensiunile spatiilor V, respectiv W . Notam: Im (T ) - imaginea aplicatiei liniare. Atunci, daca m ≠ n ⇒ T este surjectiva. (2) Fie V/K – un spatiu vectorial si 1V : V → V aplicatia identitate a multimii V.Atunci, 1V este liniara (3) Fie V si W doua K – spatii vectoriale si T : V → W o aplicatie liniara a.i. G G G x 0 ∈ ker (T ) , x 0 ≠ 0 . Atunci, T este injectiva. (4) Fie T : V → W o aplicatie liniara, iar ker (T ) - nucleul aplicatiei liniare. Atunci:

ker (T ) este un subspatiu al lui W. a. (2) b. (1) (2) (3)

c. (1) (3) (4) d. (3) (4)

81. Care dintre urmatoarele asertiuni sunt false:

(1) Fie U, V si W , K – spatii vectoriale peste acelasi camp de scalari K , iar S si T doua aplicatii liniare, definite prin: S T U ⎯⎯ → V ⎯⎯ →W avand matricele asociate relativ la bazele A, respectiv, B. Atunci, T D S este o aplicatie liniara, avand matricea C asociata, relativ la B a spatiului V, egala cu C = A ⋅ B (2) Fie T : V → W o aplicatie liniara si A, matricea aplicatiei relativ la o baza B . Atunci: exista un vector b ∈W a.i. T ( x) = Ax + b ∀x ∈ V (3) Fie T : Vn → Wm o aplicatie liniara, unde n, m sunt respectiv, dimensiunile spatiilor peste acelasi corp K. Daca T este injectiva ⇒ m = n (4) Matricea aplicatiei biliniare, g : \ 3 × \ 3 → \ , definita prin:

g ( x, y) = x1 y2 − x2 y3 + x3 y1 relativ la baza canonica a lui

este

⎛0 1 0⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ A = ⎜⎜0 0 1⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝1 0 0⎠⎟⎟ a. (2) (3) (4) b. (2) c. (1) (2) (3) (4)

d. (1) (2) (4) e. (2) (4)

82. Care dintre urmatoarele asertiuni sunt adevarate:

(1) Fie \ 3 - spatiul euclidian real si sistemul de puncte: S = { A0 = (1, 1, 1) , A1 = (0, 1, 1) , A2 = (1, 0, 1) , A3 = (0, 0, 0)}

Atunci multimea de vectori

este liniar independenta.

(2) Fie A n un spatiu vectorial n – dimensional si K n spatiul vectorial standard n – dimensional. Atunci A n si K n sunt izomorfe (3) Fie V/K – un spatiu vectorial si T : V → V o aplicatie liniara. Atunci, T se mai numeste si endomorfism al spatiului V. (4) Fie T : V → W o aplicatie liniara, iar ker (T ) - nucleul aplicatiei liniare. Atunci: este un subspatiu al lui W. a. b. c. d.

(1), (2), (1), (1),

(2) (3) (2), (3), (4) (4)

Geometrie Analitica B_Algebra Vectoriala MULTIPLE CHOICE 1. Fie vectorii

. Sa se precizeze care

dintre afirmatiile de mai jos sunt adevarate: (1) Vectorii (2) Vectorii (3)

sunt coplanari sunt necoplanari

(4) (5) a. (5) b. (3), (4) 2. Notam

c. (2), (3), (5) d. (2)

multimea vectorilor liberi si fie vectorii ,

unde adevarate:

sunt necoplanari. Sa se precizeze care dintre afirmatiile de mai jos sunt

sunt coplanari (1) Vectorii (2) Pentru orice numere reale a.i. (3) Exista numere reale nu toate nule a.i. nu pot forma o baza in spatiul (4) Vectorii (5) Daca

atunci

a. (3), (5) b. (1), (4)

3. Fie trei vectori

rezulta ca

c. (2), (5) d. (2)

. Notam prin

.Notam:

Atunci: a.

c.

b.

d.

4. Sa se calculeze unghiul obtuz format de medianele corespunzatoare laturior congruente ale

unui triunghi dreptunghic isoscel. a.

c.

b.

d.

5. Vectorii

si

formeaza intre ei un unghi de masura Caculati masura unghiului format de vectorii

a.

c.

b.

d.

6. Vectorii

.

formeaza intre ei un unghi de masura . Caculati c.

b.

d.

7. Vectorii

si au lungimile egale respectiv cu .

a.

formeaza intre ei un unghi de masura Caculati c.

b.

d.

8. Vectorii

si au lungimile egale respectiv cu .

a.

formeaza intre ei un unghi de masura

cu

Caculati c.

b.

d.

a.i.

si au lungimile egale respectiv .

a.

9. Fie

si au lungimile egale respectiv cu

. Atunci

a. b.

10. Fie

c. d.

a.i.

. Atunci

a. b.

c. d.

11. Sa se precizeze care dintre urmatoarele asertiuni sunt false:

(1) Daca sunt doi vectori necoliniari atunci, masura unghiului format de vectorii este egala cu masura unghiului format de vectorii si (2) Daca sunt doi vectori necoliniari atunci, si reprezinta ca vectori . diagonalele paralelogramului construit pe laturile vectorilor (3) Vectorul este ortogonal pe vectorul (4)

si

.

(5) a. (2) b. (2), (3), (4), (5)

c. (1) d. (4), (5)

12. Sa se precizeze care dintre urmatoarele asertiuni sunt false:

(1) Daca sunt doi vectori necoliniari atunci, masura unghiului format de vectorii este egala cu masura unghiului format de vectorii si (2) Daca sunt doi vectori legati atunci, si reprezinta ca vectori . diagonalele paralelogramului construit pe laturile vectorilor (3) Vectorul este coliniar cu vectorul (4) .

(5) a. (1) b. (4), (5)

c. (2) d. (1), (2), (3), (5)

13. Se dau vectorii

calculeze a. 22 b.

avand lungimile respectiv . c. d. 51

. Sa se

si

14. Se dau vectorii

avand lungimile respectiv

. Sa se

calculeze a. 22 b. 24

15. Se dau vectorii

c. d.

avand lungimile respectiv

. Sa se

calculeze a. b. 20

16. Se dau vectorii

c. 24 d.

avand lungimile respectiv

. Sa se

calculeze a. 22 b.

c. 20 d.

17. Sa se puna in corespondenta relatiile (1), (2), (3) cu afirmatiile (A), (B), (C).

(1)

; (2)

; (3)

.

este ascutit (A) Unghiul dintre (B) Vectorii sunt ortogonali (C) Unghiul dintre este obtuz a. (1) si (B), (2) si (A), (3) si (C) b. (1) si (B), (2) si (C), (3) si (A)

c. (1) si (C), (2) si (A), (3) si (B) d. (1) si (A), (2) si (C), (3) si (B)

18. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC format de punctele

din spatiul geometriei

euclidiene, iar O originea spatiului. Atunci a.

GA + GB + GC

OG

OA + OB + OC

GA

b.

c. GA + GB + GC 0 d. OA + OB + OC 0

19. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC format de punctele

din spatiul geometriei euclidiene, iar O originea spatiului. Atunci doua dintre afirmatiile de mai jos sunt adevarate

(1) GA + GB + GC GA + GB + GC 0;

OG; (2) OA + OB + OC (5) GA + GB + GC

a. (2) si (4) b. (3) si (4)

OG; (3) OA + OB + OC

GA; (4)

OG; (6) OA + OB + OC 0.

c. (1) si (6) d. (3) si (5)

20. Trei forte P, Q si S sunt pe directiile a trei drepte perpendiculare doua cate doua si au

marimile respectiv, egale cu Sa se determine marimea rezultantei R. a. b.

c. d.

21. Trei forte P, Q si S sunt pe directiile a trei drepte perpendiculare doua cate doua si au

marimile respectiv, egale cu Sa se determine marimea rezultantei R. a. b.

c. d.

22. Fie vectorii

. Atunci proiectia vectorului

pe axa Ox

este de lungime a.

c.

b.

d. 1

23. Fie vectorii

. Atunci proiectia vectorului

pe axa Ox

. Atunci proiectia vectorului

pe planul

este de lungime a. 1 b.

c. d.

24. Fie vectorii

yOz este de lungime a. b.

c. 8 d.

25. Fie vectorii

laturile vectorilor

. Atunci aria paralelogramului construit pe este

a. b.

c. 25 d.

26. Fie vectorii a. b.

coliniari. Atunci: c. d.

si si

si si

27. Fie vectorii a. b.

necoliniari. Atunci: c. d.

si si

si

28. Fie vectorii a. b.

coplanari. Atunci: c. d.

si

si si

29. Fie vectorii

Atunci:

a. b. Pentru

si

,

sunt

c.

, coplanari.

d.

si necoplanari.

necoliniari.

si

sunt ,

30. Fie vectorii a.

, si coliniari b. Pentru si necoliniari.

Atunci: sunt sunt

c.

si sunt necoplanari. d. Daca atunci sunt necoplanari.

31. Fie vectorii

vectorul a. b.

. Sa se descompuna dupa directiile vectorilor

.

c. d.

32. Fie vectorii

vectorul

sunt

. Sa se descompuna dupa directiile vectorilor

.

a. b.

c. d.

33. Se da triunghiul ABC in care AB a. Exista b. Oricare c.

Oricare

si AC

si

are loc descompunerea AM are loc descompunerea AM

. Atunci: cu

are loc descompunerea AM

34. Se da triunghiul ABC in care AB

si AC

si

bisectoarea unghiului A unde

si AC

si

a.i

. Atunci:

si AC

si

a.i

. Atunci:

si AC

si

a.i

. Atunci:

Atunci: a.

AD b.

AD c.

AD

unde

35. Se da triunghiul ABC in care AB a.

AM b. c.

AM AM

36. Se da triunghiul ABC in care AB a. b. c.

AM AM AM

37. Se da triunghiul ABC in care AB a.

AM

.

b.

AM

c.

AM

38. Se da triunghiul ABC in care AB

si AC

si

a.i

. Atunci:

a.

AM b. c.

AM AM

39. Se dau vectorii

care fac intre ei doi cate doi un unghi de masura stiind ca .

modulul vectorului a.

c.

b.

d.

40. Se dau vectorii

care care satisfac conditia

. Sa se determine

. Sa se calculeze

stiind ca

.

a. b.

c. d.

41. Se dau vectorii unitate

care care satisfac conditia

. Sa se calculeze

. a. b.

c. d.

42. Presupunand ca vectorii

din

sunt diferiti de vectorul

pentru ca sa existe egalitatea a. Egalitatea este adevarata b. sa fie coliniar cu c. d.

sa fie coplanari sa fie perpendicular pe planul determinat de

si

sa se gaseasca o conditie

43. Intr-un cerc de centru O se duc coardele AB si CD care se intersecteaza perpendicular in

punctul P. Atunci a. PA+PB+PC+PD b. PA+PB+PC+PD c. PA+PB+PC+PD

OP PO

44. Fie M, N, P respectiv mijloacele laturilor unui triunghi

si O un punct oarecare din planul

triunghiului. Atunci a. OM+ON+OP=OA+OB+OC b. 2(OM+ON+OP)=OA+OB+OC c. OM+ON+OP=2(OA+OB+OC)

45. Fie vectorii

necoliniari. Atunci vectorul

a. perpendicular pe b. coliniar cu

46. Fie vectorii

c. coliniar cu d. perpendicular pe

necoplanari. Atunci vectorul

a. perpendicular pe b. perpendicular pe

determine proiectia vectorului

48. Fie punctele

b.

,

punctul D la planul a.

49. Fie punctele

punctul D la planul

este

c. coliniar cu d. coliniar cu

47. Fie vectorii

a.

este

b.

,

, Sa se determine pe dreapta suport a vectorului c.

d.

, si . Sa se determine distanta h de la utilizand doar operatiile cu vectori. c.

d.

, si . Sa se determine distanta h de la utilizand doar operatiile cu vectori.

a.

b.

c.

d.

50. Sa se calculeze lucrul mecanic efectuat de o forta F 3i 2j 5k pentru a deplasa punctul ei de

aplicatie rectiliniu intre punctele

si

a.

c.

b.

. d.

51. Sa se calculeze lucrul mecanic efectuat de o forta F i 2j 3k pentru a deplasa punctul ei de

aplicatie rectiliniu intre punctele

si

a.

c.

b.

. d.

52. Sa se calculeze lucrul mecanic efectuat de rezultanta a trei forte N

Q

i

3i 2j k, P 3i 4j 2k, k, pentru a deplasa punctul ei de aplicatie rectiliniu intre punctele si

j .

a.

b.

c.

d.

53. Sa se determine sinusul unghiului format de vectorii

si a.

c.

b.

d.

54. Sa se determine parametrul real

.

pentru care vectorii si

sunt perpendiculari. a.

b.

c.

55. Sa se determine parametrii reali

d.

pentru care vectorii si

sunt perpendiculari. a.

b.

,

,

c.

,

d.

,

56. Sa se gaseasca un vector

coliniar cu vectorul

a.

c.

b.

d.

astfel incat

57. Se dau punctele

. Care dintre asertiunile de

mai jos sunt adevarate: (1) Punctele sunt coplanare (2) Vectorii AB, AC, AD sunt necoplanare (3) Vectorii AD si BC sunt coliniari (4) Vectorii AC si BD sunt ortogonali a. (2), (3), (4) b. (1)

c. (2), (4) d. (1), (2), (3)

58. Se dau vectorii

. Determinati vectorul

stiind ca este

ortogonal pe axa Oz si verifica relatiile:

a. b.

c. d.

59. Se dau vectorii

. stiind ca verifica relatiile:

Determinati vectorul

a. b.

c. d.

60. Sa se determine proiectia vectorului a a.

i

j

b.

61. Sa se determine proiectia vectorului a i

.

c.

j

k pe dreapta de ecuatie

.

d.

k pe dreapta avand cosinusii directori

a.

b.

c.

d.

62. Sa se determine proiectia vectorului a

i j k pe dreapta care face cu axele Ox, Oz iar, cu axa Oy un unghi ascutit.

respectiv unghiurile a.

b.

c.

d.

63. Sa se determine proiectia vectorului a i

j k pe dreapta care face cu axele Ox, Oz iar, cu axa Oy un unghi ascutit .

respectiv unghiurile a.

b.

c.

d.

64. Sa se determine proiectia vectorului determinat de punctele

pe iar, cu axa Oz un

dreapta care face cu axele Ox, Oy respectiv unghiurile unghi obtuz . a.

b.

c.

65. Calculati proectia vectorului

d.

pe dreapta suport a vectorului

. a.

b.

c.

66. Se dau vectorii

. Calculati

a.

c.

b.

d.

67. Se dau vectorii

d.

. Calculati

a.

c.

b.

d.

68. Se dau punctele

. Sa se calculeze proiectia

vectorului AB pe directia vectorului CD. a.

b.

69. Se dau vectorii

c.

care formeaza intre ei un unghi de masura

stind ca a.

70. Se dau

si b. 12

71. Se dau

si

a. 30

b.

72. Vectorii

73. Vectorii

c.

d.

. Calculati c. 2

d. 16

. Calculati c. 16

d. 2

sunt ortogonali. Sa se calculeze

stiind ca a. b.

. Sa se determine

. b. 10

a.

d.

. , ,

c. d.

formeaza intre ei un unghi de masura

, ,

. Calculati numerele:

stiind ca a. b.

. ,

c. d.

, ,

74. Fie vectorii

,

,

. Atunci

b.

c.

si

a.

76. Fie vectorii

, ,

necoliniari a.i.

a.

75. Fie vectorii

,

. Atunci b.

c.

a.i

a. ortogonali 77. Se dau vectorii oarecare

. Atunci vectorii b. arbitari

sunt c. coliniari

. Atunci vectorii

sunt a. coliniari

78. Se dau vectorii oarecare

b. coplanari

c. necoplanari

care verifica egalitatea

. Atunci

a. b. c.

79. Se dau vectorii oarecare

care verifica egalitatile: .

Atunci

a. b.

c.

sunt coliniari sunt coplanari

80. Se dau vectorii oarecare

sunt coplanari sunt coliniari

d.

care verifica egalitatile: .

Atunci a. b.

c. d.

sunt coplanari sunt coliniari

81. Fie vectorii

sunt coliniari sunt coliniari Sa se calculeze:

a. b. c. d.

82. Se dau punctele

a.

Calculati:

,

b.

,

83. Se dau punctele a. 13

c.

,

Calculati aria triunghiului b. 11

c.

d. 14

84. Se dau punctele

.

e. 9

Calculati lungimea inaltimii duse din

latura a.

c. 5

b. 13

d.

85. Calculati sinusul unghiului format de vectorii

si

pe

a.

b.

c.

86. Vectorul

este ortogonal pe vectorii un unghi obtuz. Determinati coordonatele vectorului

a.

c.

b.

d.

d.

si stiind ca

87. Un vector

, ortogonal pe axa si pe vectorul unghi ascutit. Determinati coordonatele vectorului stiind ca

a.

c.

b.

d.

88. Determinati un vector

, perpendicular pe vectorii

si formeaza cu axa

, formeaza cu axa .

si

, care

satisface conditia . a.

c.

b.

d.

89. Fie vectorii

a.

Sa se calculeze

,

b.

c.

,

90. Fie vectorii

, Sa se calculeze

a.

c.

b.

d.

un

91. Fie un triedru avand ca directii vectorii

. Precizati care dintre. Precizati care dintre

triedrele de mai jos sunt drept orientate (4) (5) (6)

(1) (2) (3) a. (1), (5), (6) b. (2), (5), (6)

c. (2), (4), (6) d. (1), (3), (4)

92. Fie un triedru avand ca directii vectorii

. Precizati care dintre. Precizati care dintre

triedrele de mai jos sunt drept orientate (1) (2) (3)

(4) (5) (6)

a. (1), (4) b. (1), (3), (4)

c. (2), (5), (6) d. (2), (4), (6)

93. Fie un triedru avand ca directii vectorii

mixt

stiind ca

a. 24 b. 26

94. Vectorul

, ortogonali doi cate doi. Calculati produsul . c. d. 10

este ortogonal pe vectorii

Calculati produsul mixt

care formeaza intre ei un unghi de masura

stiind ca

a. b.

. c. 27 d. 36

95. Fie trei vectori

si

produsul mixt al lor. Notam: .

Atunci: a.

b.

c.

d.

.

96. Fie trei vectori

iar,

produsul scalar, respectiv produsul mixt al

lor. Notam: ,

.

Atunci: a. b.

c. d.

97. Fie trei vectori a.

iar

. Atunci:

coplanari ortogonali doi cate

b.

c. d.

doi 98. O conditie necesara si sufucienta ca vectorii a. Egalitatea b. Sa existe c. Egalitatea

99. Fie

sa fie fie coplanari este ca

sa fie satisfacuta pentru nu toti nuli a.i. sa aiba loc egalitatea sa fie satisfacuta

numere reale

trei vectori arbitrari iar .

Atunci: a.

b.

c.

2

ortogonali doi cate doi 100. Fie trei vectori

.

Sa se determine a. b. c.

101. Fie vectorii a. necoplanari

.Atunci vectorii b.

coliniari

c. coplanari

sunt

102. Fie vectorii

.Atunci vectorii

a. necoplanari

b.

sunt

c. coplanari

coliniari

103. Fie vectorii

.Atunci vectorii

sunt a. coplanari

b.

c. necoplanari

coliniari

104. Punctele

sunt

a. varfurile unui

b. coplanare

c. varfurile unui tetraedru

paralelogram de arie 5

de volum 13

105. Punctele

sunt

a. varfurile unui

b. coplanare

c. varfurile unui tetraedru

paralelogram de arie 5

de volum 13

106. Fie punctele

planul

. Atunci distanta de la punctul D la este egala cu

a.

b.

107. Se da un tetraedru

c. 11

. Se dau coordonatele varfurilor , , Sa se determine coordonatele punctului D stiind ca este situat pe axa .

a.

,

de volum

b.

c.

108. Care este relatia de calcul pentru dublul produs vectorial a trei vectori

a. b. c.

109. Care dintre urmatoarele relatii sunt false:

(1) (2) (3) a. (2) b. (1), (2), (3)

c. (1), (2) d. (1), (3)

110. Care dintre urmatoarele relatii sunt adevarate:

(1) (2) (3) a. (1), (2) b. (1), (2), (3)

c. (3) d. (1), (3)

111. Care dintre urmatoarele relatii sunt false:

(1) (2) (3) a. (1), (2) b. (2), (3)

c. (1) d. (1), (2), (3)

112. Care dintre urmatoarele relatii sunt false:

(1) (2) (3) a. (1), (2) b. (1)

c. (2), (3) d. (3)

113. Care dintre urmatoarele relatii sunt adevarate:

(1) (2) (3) a. (2), (3) b. (1), (2), (3)

c. (1), (2) d. (1)

114. Care dintre urmatoarele relatii sunt adevarate:

(1) (2) (3) a. (1), (2), (3) b. (2), (3)

c. (1), (2) d. (1)

115. Care dintre urmatoarele relatii sunt false:

(1) (2) (3) a. (1) b. (1), (2)

c. (2), (3) d. (1), (2), (3)

116. Care dintre urmatoarele relatii sunt adevarate:

(1) (2) (3) a. (1), (2) b. (3) 117. Care dintre urmatoarele relatii sunt false:

c. (2) d. (1)

(1) (2) (3) a. (1), (2) b. (2)

c. (2), (3) d. (3)

118. Care dintre urmatoarele relatii sunt adevarate:

(1) (2) (3) a. (3) b. (1), (2)

c. (2), (3) d. (2)

119. Care dintre urmatoarele relatii sunt adevarate:

(1) (2) (3) a. (2), (3) b. (1), (3)

c. (1), (2) d. (2)

120. Care dintre urmatoarele relatii sunt false:

(1) (2) (3) a. (2), (3) b. (1), (2)

c. (3) d. (2)

Geometrie Analitica C_Dreapta si planul in spatiu MULTIPLE CHOICE

, spatiul euclidian real raportat la reperul cartezian R = {O; e1, e2 , e3 } . Sa se scrie scrie ecuatia planului care trece prin originea reperului şi are subspatiul director determinat de vectorii v1 = e1 + e2 + e3 şi v2 = e1 − e2 + e3 .

1. Fie

a. b.

2. Fie

c.

x1 − x 2 + x3 = 0 x1 − x 2 − x3 = 0

x1 − x 3 = 0

d.

, spatiul euclidian real raportat la reperul cartezian R = {O; e1, e2 , e3 } .Sa se scrie

ecuatia generala a planului ce trece prin punctul P0 (2,1, −1) şi are directia determinata de vectorii v1 = 3e1 + e2 + e3 şi v2 = e1 − e2 + 2e3 a.

x 2 + x3 = 0 b. 3 x1 − 5 x 2 − 4 x 3 − 5 = 0 3. Fie

c.

x1 + x 3 −1 = 0 d. 3 x1 − x 2 + 5 x 3 = 0

, spatiul euclidian real raportat la reperul cartezian R = {O; e1, e2 , e3 } .Sa se scrie

ecuatia generala a planului ce trece prin punctul Q0 (5, −3, 2) şi este paralel cu planul x1Ox3 . a. b.

x1 + 2 x 2 + x3 −1 = 0 x3 − 2 = 0

c.

x1 − x 2 − 4 x3 = 0 d. 3 x1 − x 2 + 5 x 3 = 0

, spatiul afin real raportat la reperul cartezian R = {O; e1, e2 , e3 } , se considera dreptele afine:

4. In spatiul afin real

⎧ ⎪ x1 − 2 x 2 + x3 − 4 = 0 x1 − 2 x 2 + 3 x3 + 1 ⎪ = = şi ( d 2 ) : ( d1 ) : ⎨ 1 2 3 ⎪ 2 5 −2 ⎪ ⎩2 x + x − x + 2 = 0

Sa se scrie ecuatiile generale ale dreptelor care se sprijina pe (d1 ) şi ( d 2 ) şi au subspatiul director, vectorul v = −e1 + 2e2 + e3 . a.

1 2 3 ⎧ ⎪ ⎪5 x + 6 x − 2 x − 8 = 0 ⎨ 1 2 3 ⎪ ⎪ ⎩ x − 6 x − 2 x + 12 = 0

c.

1 2 3 ⎧ ⎪ ⎪−7 x + 6 x + 5 x + 12 = 0 ⎨ 1 2 3 ⎪ ⎪ ⎩ 8x − 5x − 2 x + 3 = 0

b. ⎪ ⎧7 x1 + 6 x 2 − 5 x3 + 12 = 0 ⎪

d. ⎪ ⎧5 x1 + 6 x 2 − 2 x3 + 8 = 0 ⎪

⎨ 1 2 3 ⎪ ⎪ ⎩ 8x + 5x − 2 x − 3 = 0

5. In spatiul afin real

⎨ 1 2 3 ⎪ ⎪ ⎩8 x + 5 x − 2 x − 3 = 0

, spatiul afin real raportat la reperul cartezian R = {O; e1, e2 , e3 } ,

se considera dreptele de ecuatii:

(d ) :

x1 −1 x 2 − 2 x3 + 1 x1 + 1 x 2 − 3 x 3 + 1 = = = = şi (d ′ ) : −1 −2 1 2 2 4

Sa se determine distanta antre dreptele ( d ) şi a.

b.

103 4

6. Ecuatia

c.

17 4

reprezinta in

a. un punct

(d ′) d.

137 4

:

b. un plan

c. o dreapta

d. multimea vida

raportat la reperul cartezian R = {O; e1, e2 , e3 } , se considera dreptele de ecuatii:

7. In spatiul afin real

(d ) :

x1 −1 x 2 − 2 x3 + 1 = = şi 1 2 −1

Sa se determine pozitia relativa a dreptelor (d ) şi a. drepte diferite b. drepte concurente 8. Ecuatia

(1) o dreapta in a. (1),( 2) 9. Multimea punctelor

( d ′)

c. drepte confundate d. drepte paralele

reprezinta (2) un plan in b.

11 4

(1) care verifica:

(3) o dreapta in plan c. (2), (3)

reprezinta: a. doua plane

b. o dreapta

10. Multimea punctelor

c.

un plan

care verifica:

reprezinta: a. un plan b. un plan c. un plan daca 11. Punctel

care verifica:

reprezinta: a. un punct nesiuat situat in plan b. un punct situat in plan 12. Punctul

care verifica:

reprezinta: a. un punct situat in plan b. un punct nesiuat situat in plan 13. Multimea punctelor

care verifica:

reprezinta: a. un plan care trece prin punctul b. un plan care trece prin origine c. un plan care trece prin punctul

14. Ecuatiile parametrice ale planului ce trece prin punctul

este

si are directiile

(1) (2) a. (1)

b. (2)

15. Planul care trece prin punctul

(1) a.

si este paralel cu palnul

are ecuatia:

(2) b.

(1)

(2)

16. Ecuatia planului ce trece prin prin punctul

si are directiile

este

(1)

(2)

a. (1)

b.

(2)

17. Ecuatia planului ce trece prin prin punctele

vectorul

,

este

(1)

(2)

a. (1)

b.

(2)

18. Ecuatia planului ce trece prin prin punctul

(1)

si este paralel cu planul

este

(2)

a. (2)

b. (1)

19. Ecuatia planului ce trece prin prin punctele

vectorul

, paralel cu

este

si

si este paralel cu

a.

b.

c.

20. Planul ce trece prin prin punctele

si

si este perpendicular pe planul

are ecuatia generala: a.

b.

c.

21. Ecuatia planului ce trece prin punctele a.

este

b.

c.

22. Determinati versorul normalei la suprafata de ecuatie:

a.

b.

23. Determinati versorul normalei la suprafata de ecuatie:

a.

b.

24. Sa se stabileasca pozitia relativa a planelor:

si a. paralele

b. secante

c. confundate

25. Sa se stabileasca pozitia relativa a planelor:

si a. paralele

b. secante

c. confundate

26. Sa se determine intersectia planelor:

si

a. b.

dreapta de ecuatie: dreapta de ecuatie:

c. multimea vida 27. Sa se determine unghiul diedrul al planelor:

si a.

b.

c.

28. Sa se determine unghiul diedru al planelor:

si a.

b.

c.

29. Sa se determine unghiul diedrul al planelor:

si a.

b.

c.

30. Sa se determine unghiul diedru al planelor:

si a.

b.

31. Determinati valorile parametrilor si

c.

a.i. planele: si

sa fie paralele. a.

b.

32. Determinati valorile parametrilor si

c.

a.i. planele: si

sa fie paralele.

a.

b.

33. Determinati valorile parametrilor si

c.

a.i. planele: si

sa fie perpendiculare. a.

b.

34. Determinati valorile parametrilor si

c.

a.i. planele: si

sa fie perpendiculare. a.

b.

c.

35. Sa se determine unghiul diedru ascutit al planelor:

si a.

b.

c.

36. Sa se determine unghiul diedru ascutit al planelor:

si a.

b.

c.

37. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin origine si este paralel cu planul:

a.

b.

38. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul

c.

si este paralel cu planul:

a.

b.

c.

39. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul a.

b.

si este paralel cu planul c.

40. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul

si are normala data de

directia dreaptei:

a.

b.

c.

41. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul

si are normala data de

directia dreaptei:

a.

b.

c.

42. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul

si are normala data de

directia dreaptei:

a.

b.

c.

43. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin origine si este perpendicular pe dreapta:

a.

b.

c.

44. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin origine si este perpendicular pe dreapta:

a.

b.

c.

45. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin origine si este perpendicular pe planele:

.

, a.

b.

c.

46. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul

si este perpendicular pe

planele: si a.

b.

c.

47. Care este pozitia relativa a planelor: \\

, a. Au un punct comun

,

b. Au o dreapta comuna

c. Secante doua cate doua

48. Care este pozitia relativa a planelor:

, a. secante doua cate doua

,

b. au o dreapta comuna

c. au un punct comun

49. Care este pozitia relativa a planelor:

, a. au un punct comun

,

b. secante doua cate doua

50. Determinati valorile parametrilor reali

c. au o dreapta comuna

si a.i. planele:

,

,

sa aibe un punct comun. a.

b.

c.

,

51. Determinati valorile parametrilor reali

si a.i. planele:

,

,

sa aibe o dreapta comuna. a.

,

b.

,

c.

,

52. Determinati valorile parametrilor reali

si a.i. planele:

,

,

sa fie secante doua cate doua. a.

b.

c.

,

,

53. Sa se determine planul care taie axele de coordonate in punctele in care planele

, intersecteaza respectiv, aceste axe. a.

b.

c.

54. Sa se scrie ecuatia planului perpendicular pe planul

in punctele

respectiv,

a.

si taie axele

. b.

c.

55. Sa se stabileasca pozitia punctului a. punct situat in plan

fata de planul

.

b. punct exterior planului

56. Sa se stabileasca pozitia punctului a. punct exterior planului

fata de planul

.

b. punct situat in plan

57. Sa se stabileasca pozitia dreptei

fata de planul . a. dreapta paralela cu

b. dreapta continuta in

planul 58. Sa se stabileasca pozitia dreptei

plan

c. dreapta inteapa planul

si

fata de planul . a. dreapta inteapa planul

b. dreapta continuta in

c. dreapta paralela cu

plan

planul

59. Sa se stabileasca pozitia dreptei

fata de planul . a. dreapta continuta in

b. dreapta inteapa planul

c. dreapta paralela cu

plan

planul

60. Sa se calculeze distanta de la punctul

la planul .

a.

b.

61. Sa se calculeze unghiurile

cu axele de coordonate si distanta

c.

formate de normala la planul

de la origine la acelasi plan.

a. b. c. 62. Sa se calculeze unghiurile

cu axele de coordonate si distanta a. b.

formate de normala la planul

de la origine la acelasi plan.

c. 63. Sa se calculeze unghiurile

formate de normala la planul

de la origine la acelasi plan.

cu axele de coordonate si distanta a. b. c.

64. Sa se calculeze distanta d de la punctul

, a.

la planul ce trece prin punctele

. b.

c.

65. Sa se calculeze distanta d dintre planele:

, a.

.

b.

c.

66. Sa se calculeze distanta d dintre planele:

, a.

b.

c.

67. Doua fete ale unui cub coincid cu planele

si

.

Calculati volumul V al cubului. a.

b.

68. Sa se determine un punct pe axa

c.

situat la distanta

de planul .

a.

b.

,

69. Sa se determine un punct pe axa

c.

, echidistant cu punctul

, si cu planul

. a.

,

b.

70. Sa se determine un punct pe axa

c.

,

,

echidistant cu planele si

a.

,

b.

,

c.

71. Sa se scrie ecuatiile dreptelor de intersectie ale planului

cu planele de coordonate. a.

b.

c.

72. Dreapta

contine a. axa

b. axa

c. axa

,

73. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta obtinuta din interesectia planelor

, si este paralela cu axa

.

a.

b.

c.

74. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta obtinuta din interesectia planelor

, si este paralela cu axa

.

a.

b.

c.

75. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta obtinuta din interesectia planelor

, si este paralela cu axa a.

. b.

c.

76. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta obtinuta din interesectia planelor

, si contine punctul a.

. b.

c.

77. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta de interesectie a planelor

, una din directiile sale fiind vectorul . a.

b.

c.

78. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta de interesectie a planelor

,

si este perpendiculara pe planul . a.

b.

c.

79. Sa se scrie ecuatia planului sttind ca proiectiile sale pe planele de coordonate sunt

reprezenztate de dreapta

si este perpendiculara pe planul . a.

b.

c.

80. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta

si este perpendiculara vectorul

, de extremitati .

a.

b.

c.

81. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta de interesectie a planelor

, una din directiile sale fiind vectorul . a. b. c. 82. Sa se scrie proiectiile dreptei

pe planele de coordonate. a.

b.

c.

83. Sa se scrie proiectiile dreptei

pe planul

a.

b.

c.

84. Sa se scrie ecuatia planului a carei proiectie pe planul

este dreapta

a.

b.

85. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei

c.

a.

b.

c.

86. Sa se scrie ecuatiile vectoriale ale dreptei

a.

b.

c.

87. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul

vectorul a.

si are ca directie

. b.

c.

88. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul

si este paralela cu

dreapta

a.

b.

c.

89. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul

dreapta

a.

b.

c.

si este paralela cu

90. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul

si este paralela cu

axa a.

b.

c.

91. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul

si este paralela cu

axa a.

b.

c.

92. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul

si este paralela cu

axa a.

b.

c.

93. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctele a.

b.

94. Sa se scrie ecuatiile vectoriale ale dreptei

a. b. c.

95. Sa se scrie ecuatiile vectoriale ale dreptei

c.

si

.

a.

b.

c.

96. Sa se scrie ecuatiile vectoriale ale planului a.

,

b.

c.

,

97. Fie triunghiul

de varfuri parametrice ale medianei dusa din varful C.

a.

sa se scrie ecuatiile

b.

c.

98. Fie triunghiul

de varfuri canonice ale bisectoarei intreioare unghiului B.

a.

b.

sa se scrie ecuatiile c.

99. Sa se determine cosinusul unghiului format de dreptele

si

a.

b.

c.

100. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta

si este paralela cu dreapta

a.

b.

,

c.

Geometrie Analitica D_Conice MULTIPLE CHOICE 1. Sa se precizeze natura conicei

si sa scrie ecuatiile tangentelor

paralele cu dreapta .

a.

b.

Cerc;

c.

Elipsa;

Hiperbola;

2. Sa se determine centrul conicei

daca exista si sa se determine punctele de intersectie cu axele de coordonate a. Hiperbola;

;

b. Elipsa;

,

;

,

c. Nu exista;

3. Determinati punctele de intersectie ale parabolelor

; a.

,

,

,

b.

,

c.

,

4. Sa se precizeze natura conicelor punand in corespondenta (1) (5) cu

(1) (2) (3) (4) (5) a. (1) elipsa reala; (2) hiperbola nedegenerata; (3) elipsa imaginara; (4)hiperbola

degenerata b. (1) elipsa reala; (2) parabola; (3) hiperbola nedegenerata; (4) elipsa degenerata c. (1) elipsa reala; (2) elipsa imaginara; (3) hiperbola nedegenerata; (4) elipsa

degenerata

5. Sa se precizeze centrul fiecareia dintre urmatoarele conice, daca acesta exista:

(1) (2) (3) (4) (5)

a. (1)

; (2)

b. (1) c. (1 ) -

; (2) ;

(2) -

; (3) ; (3) ; (3)

;

(4)

;

(4) ; (4)

; (5) -

; (5) ; (5)

6. Sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt cu centru

(1)

;

(2) (3) (4) (5) a. (1)

(2) (4) (5)

b. (5)

c. (1)

7. Sa se reduca la forma canonica conica

a.

b.

c.

8. Sa se reduca la forma canonica conica

a.

b.

c.

9. Sa se reduca la forma canonica conica

a.

b.

c.

10. Sa se reduca conica la forma canonica

. a.

b.

c.

(2) (5)

11. Sa se reduca conica la forma canonica

. a.

b.

c.

12. Sa se precizeze natura conicei

. a. hiperbola degenerata in doua puncte b. hiperbola echilatera c. hiperbola degenerata in doua drepte

13. Sa se precizeze natura conicei

. a. elipsa imaginara b. elipsa degenerata in doua puncte c. elipsa degenerata intr-un punct

14. Sa se precizeze natura conicei

. a. hiperbola degenerata in doua drepte b. hiperbola imaginara c. hiperbola reala

15. Sa se precizeze natura conicei

.

a. elipsa reala b. elipsa imaginara c. elipsa degenerata in doua drepte

16. Sa se reduca conica la forma canonica:

a.

b.

c.

17. Calculand eventual invariantul , corespunzator fiecarei conice, sa se precizeze natura

conicelor: (1) (2) (3) (4) (5) (6) asociind numerelor (1) (5), codurile

respectiv elipsei, parabolei si hiperbolei.

a. (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

b. (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

c. (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

18. Calculand eventual invariantul , corespunzator fiecarei conice sa se precizeze care dintre

urmatoarele conice este cu centru (1)

(2) (3) (4) (5) (6) a. (3) (4) (5) (6)

b. (2) (3) (4) (6)

c. (1) (2) (4) (6)

19. Calculand eventual invariantul , corespunzator fiecarei conice sa se precizeze care dintre

urmatoarele conice sunt fara centru (1) (2) (3) (4) (5) (6) a. (3) (5)

b. (1) (2) (4)

c. (4) (6)

20. Sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt de tip parabolic:

(1) (2) (3) (4) (5)

a. (3)

c. (1) (2) (3) (4) (5)

b. (1) (4) (5)

d. (1) (2) (5)

21. Sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt de tip eliptic:

(1) (2) (3) (4) (5)

a. (1) (2) (3) (4) (5) b. (1) (2) (5)

c. (1) (4) (5) d. Nici una

22. Sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt de tip hiperbolic:

(1) (2) (3) (4) (5)

a. Nici una

c. (1) (2) (5)

b. (1) (2) (3) (4) (5)

d. (1) (4) (5)

23. O conica care poate fi scrisa sub forma:

este de tip

a. hiperbola

b. elipsa

c. paraba

24. Pentru o conica de tip parabola, numarul

defineste a. panta dreptei dierctoare b. produsul semiaxelor

a parabolei

c. parametrul parabolei

a si b

25. Sa se determine parametrul fiecareia dintre urmatoarele parabole:

(1) (2) (3) (4)

a. (1)

(2)

(3)

(4)

(2)

(3)

(4)

(2)

(3)

(4)

(2)

(3)

(4)

b.

(1) c. (1) d.

(1)

26. Matricea asociata unei conice este o matrice a. oarecare

27. Invariantii conicei

b. simetrica

c. antisimetrica

sunt: a.

,

b.

,

c.

,

28. Invariantii conicei

sunt: a.

,

b.

,

c.

,

29. Conica

este de tip a. hiperbola

b. elipsa

c. parabola

b. un punct dublu

c. doua punctesimetrice

30. Conica

este degenerata in a. doua drepte care trec

prin centrul conicei

fata centrul conicei

Geometrie Analitica E_Cuadrice MULTIPLE CHOICE 1. Cuadrica de ecuatie

reprezinta a. un paraboloid eliptic

d.

b. o cuadrica degenerata

e. o sfera

un hiperboloid cu o panza

c. un elipsoid

2. Cuadrica de ecuatie

reprezinta a.

un hiperboloid cu o panza

b. un paraboloid eliptic

d. un elipsoid e. o cuadrica degenerata

c. o sfera

3. Cuadrica de ecuatie

reprezinta a. un elipsoid

d. o sfera

b. un paraboloid eliptic

e.

c. o cuadrica degenerata

4. Cuadrica de ecuatie

un hiperboloid cu o panza

reprezinta a.

un hiperboloid cu o panza

b. o sfera

d. un elipsoid e. o cuadrica degenerata

c. un paraboloid eliptic

5. Cuadrica de ecuatie

reprezinta a. un elipsoid

d. o cuadrica degenerata

b. un paraboloid eliptic

e.

un hiperboloid cu o panza

a. un paraboloid eliptic

d.

un hiperboloid cu o panza

b. o cuadrica degenerata

e. un paraboloid de rotatie

c. o sfera

6. Cuadrica de ecuatie

reprezinta

c. un paraboloid hiperbolic

7. Cuadrica de ecuatie

reprezinta

a.

un hiperboloid cu o panza

b. un paraboloid de rotatie

d. un paraboloid eliptic e. un paraboloid hiperbolic

c. o cuadrica degenerata

8. Cuadrica de ecuatie

reprezinta a.

un hiperboloid cu o panza

b. o cuadrica degenerata

d. un paraboloid de rotatie e. un paraboloid hiperbolic

c. un paraboloid eliptic

9. Precizati natura conicei de intersectie dintre cuadrica

si planul

a. Elipsa de centru

c.

b. Elipsa de centru

d. Hiperbola de centru

Parabola de parametru

10. Precizati pozitia planului

fata de cuadrica

a. plan tangent

b. plan secant

c. plan exterior

11. Pentru ce valori ale parametrului real

planul

este tangent la elipsoidul

a.

b.

c.

d.

12. Sa se stabileasca pozitia relativa a planului

fata de elipsoidul

.

a. plan exterior

b. plan secant

c. plan tangent

13. Sa se stabileasca pozitia relativa a planului

fata de cuadrica

. a. plan secant

b. plan tangent

14. Sa se determine o valoare a parametrului real

este tangent la elipsoidul

c. plan exterior

pentru care planul

. a.

b.

c.

15. Sa se precizeze natura cuadricei

a. paraboloid eliptic

c. paraboloid hiperbolic

b. hiperbolid cu doua panze

d. hiperbolid cu o panza

16. Sa se precizeze natura cuadricei

a. hiperbolid cu o panza

c. paraboloid hiperbolic

b. paraboloid eliptic

d. hiperbolid cu doua panze

17. Sa se gaseasca punctele de intersectie dintre suprafata

si dreapta

a.

,

b.

,

18. Sa se gaseasca punctele de intersectie dintre suprafata

c.

,

si dreapta

a.

b.

,

c.

,

19. Sa se scrie ecuatia planului tangent la parabolidul

in punctul a.

b.

c.

20. Fie cuadrica de ecuatie generala

. Sa se calculeze invariantul

corespunzator si sa decida natura cuadricei.

a.

b.

.

c.

.

.

Cuadrica degenerata

Cuadrica nedegenerata

Cuadrica nedegenerata

21. Fie cuadrica de ecuatie generala

. Sa se calculeze invariantul

corespunzator si sa decida natura cuadricei.

a.

b.

Conica nedegenerata

c.

Conica degenerata

Conica nedegenerata

22. Fie cuadrica de ecuatie generala

. Determinati invariantul a.

si precizati daca cuadrica este cu centru. b.

.

.

c.

.

Cuadrica cu centru

Cuadrica fara centru

Cuadrica fara centru

23. Fie cuadrica de ecuatie generala

. Sa stabileasca pozitia punctelor

si

.

a. A este pe cuadrica

d. A interior si B exterior

b. Ambele puncte sunt pe cuadrica

e. Ambele puncte sunt exterioare

c. Ambele puncte sunt interioare

24. Fie cuadrica de ecuatie generala

. si

Sa stabileasca pozitia punctelor

.

a. A este pe cuadrica

d. A interior si B exterior

b. Ambele puncte sunt pe cuadrica

e. Ambele puncte sunt exterioare

c. Ambele puncte sunt interioare

25. Fie cuadrica de ecuatie generala

. Sa se calculeze centrul cuadricei, daca acesta exista. a.

b.

c.

26. Fie cuadrica de ecuatie generala

. Sa se calculeze invariantii , , a.

,

,

b.

,

,

c.

,

,

27. Fie cuadrica de ecuatie generala

. Sa se scrie matricea formei patratice asociate. a.

b.

c.

28. Fie cuadrica de ecuatie generala

. Sa se scrie matricea formei patratice asociate. a.

b.

c.

29. Fie cuadrica de ecuatie generala

. Sa se scrie matricea formei patratice asociate. a.

b.

c.

30. Fie cuadrica de ecuatie generala

. Sa se scrie matricea

corespunzatoare.

a.

c.

b.

d.

31. Fie cuadrica de ecuatie generala

. Sa se scrie matricea

corespunzatoare.

a.

c.

b.

d.

32. Fie cuadrica de ecuatie generala

. Sa se calculeze invariantul

corespunzator si sa stabileasca natura cuadricei.

a.

b.

c.

Cuadrica degenerata

Cuadrica nedegenerata

Cuadrica nedegenerata

33. Fie cuadrica de ecuatie generala

. Sa se calculeze cuadricei, daca acesta exista. a.

b.

c.

34. Fie cuadrica de ecuatie generala

. Sa se scrie forma patratica asociata. a. b. c.

35. Fie cuadrica de ecuatie generala

. Sa se scrie forma patratica asociata. a. b. c.

36. Cuadrica de ecuatie generala

. este o a. Cuadrica nedegenerata

b. Cuadrica degenerata

cu centru

c. Cuadrica nedegenerata

fara centru

fara centru

37. Fie cuadrica de ecuatie generala

. Sa se calculeze invariantii si corespunzatori. a.

b.

,

c.

,

,

38. Matricea asociata unei cuadrice este a. arbitrara

b. simetrica

c. antisimetrica

39. Cuadrica de ecuatie generala

. reprezinta a. un elipsoid

40. Daca A si

b. un paraboloid

c. un hiperboloid

sunt matricele asociate unei cuadrice, iar ,

a.

,

,

c.

b.

,

,

d.

si corespunzatori, atunci

,

, ,

,