Rapis Dane

i

I STATYSTYKA RACHUNEKPRAWDOPODOBIENSTWA Spis poj96 teoretycznych pojgcia: do6wiadczenie zdarzenielosovre,przestrzeri losowe,zdarzenieelementa,rne, 1. Podstawowe zdarzei elementa,rnych,zbi6r zdtzert losowych, zd,arzenieprzeciwne,zd.arzeniawykluczajqce sig itp. . 2. Aksjomatycznadefinicjaprawdopodobieristwa. 3. Wlasno6cifunkcji prawdopodobieristwa. 4. Pr zestr zeir probabilistyczna. - zdarzeniaelementa.rne jednakowoprawdopodobne. 5. Klasycznadefinicjaprawdopodobieristwa warunkowe. 6. Prawdopodobieristwo dwochzda,rzef. 7. NiezaleinoSc 8. Zupelny uklad zdarzef. Twierdzenie o prawdopodobiefistwiezupelnym. Twierdzenie Bayesa. - definicja. 9. Zmiennalosowajednowymia,rowa 10. Dystrybuantazmiennejlosowejjednowymiarowej- definicja,wlasno6ci. typu skokowego- definicja,rozklad prawdopodobieristwa 11. Zmiennalosowajednowymia,rowa zmiennej losowejtypu skokowego,dystrybuanta zmiennej losowejtypu skokowego. zmitypu ci4glego- definicja.Ggstodcprawdopodobiefstwa 12. Zmiennalosowajednovrymiarowa ennej losowejjednowymia,rowej- definicja i wlasno6ci.Wasnodci funlcji prawdopodobieristwa zmiennejlosowejtypu ciq,glego. 13. Warto6coczekiwana- definicjai wlasno6ci. 14. Wariancja- definida i wlasno6ci. - definicja,kiedy jest r6wne zero. 15. Odchyleniestanda,rdowe 16. Kwantyl - definicja,wlasno6ci.Mediana,kwartyle. 17. Moda. 18. Niezaleinod6zmiennychlosowych. 19. Rozkladjednopunktowy,n-punktowy,dwupunktowy. 20. Rozkladdwumianowy(Bernoulliego).Interpretacja(schematBernoulliego).Wskainik struktury. 21. RozkladPoissona.Przybliianie rozkladudwumianowegorozklademPoissona. 22. Rozkladjednostajny. 23. Rozkladnormalny(Gaussa).Krzywa Gaussa.Standardowyrozkladnormalny.Dystrybuanta standardowegorozkladu normalnego. Standaryzacja zmiennej losowej o rozkladzie normalnym. Regulatrzech sigm. 24. Rozkladt-Studenta,rozklad chlkwadrat. rozkladu dwumianowegorozklademnormalnym. 25. Przybli2a,nie 26. Statystyka - czym sig zajmuje. Podstawowepojgcia: popularja generalna,pr6ba, pr6ba losowa,dystrybuantaempirycznaitp. 27. Sposobyzbieraniada.nychstatystycznych(szeregistatystyczne). 28. Parametryempiryczne- dredniaz pt6by,,waria.ncjaz pr6by.

29. Estymacjapunktowa. 30. Przedzialyufnodci- definicja, rodzaje i wlasno6ci. Poziom ufno6ci. Przedzialyufno6cidla warto6cioczekiwanej,wariancji i v/skarinikastruktury - wyb6r modelu. Metoda wyznaczania przedziahtufno6ci. 31. Wyznaczanieminimalnejliczno6cipr6by. 32. Weryfikacjahipotez statystycznych. Podstawowepojgcia: test statystyczny,test parametryczny,test istotno6ci,test zgodno6ci,hipotezazerowa,hipotezaa.lternatywna,zbi6r kytyczny,bl4d 1-goro&aju, bIEd 2-gorodzaju. 33. Wer5fikacjahipotez statystycznychptzy uiyciu test6w istotno6ci.Poziomistotno6ci.Weryfikacja hipotez przy pomocykrytycznegopoziomuistotno6ci. 34. Weryfikacjahipotez dotycz4cychwa,rto6cioczekiwanej,wa,riancjii wskaznikastruktury - wyb6r modelu. 35. Werldlacja hipotezstatystycznychprzy pomocytestu zgodno6cichi-kwadrat. Uwagi: jest wymaganaalenie wyszczeg6lniajq, Podanepojgciaobejmujq,caly materiai,kt6regoznajomo66 co nale2yumie6. Przykladowoprzy rozkladachprawdopodobieristwa wszystkiegoszczeg6iowo nalezy znat defrncjg zmiennej losowej o da,nymrozkladzie prawdopodobieistwa, jej wartodi oczekiwanqi wariancjg. Zestaw pyta,rl na egzaminie sklada6 sig bgdzie z 4 zad.ai: trzech zadafr 6wiczeniowych(jedi dw6chze statystyki) i jednegozadaniateoretycznego negoz rachunkuprawdopodobieristwa logiczng,naleiy oceni6. @4cego zestawem15 zda,Ii,kt6rych wa,rtoSc Zasady zaliczenia przedmiotu Do liczby punkt6w uzyskanydrpodczasiwiczeri (max. 40 punkt6w) doliczanajest liczba punkt6wuzyskanychw czasieegzaminu(max. 60 punkt6w). Uzyskanasumapunkt6w sta,nowi podstawgdo wyznaczeniaocenyz przedmiotuRAPiS wedlugnastgpujqcego a,lgor)'tmu: punkt6w 3.0 51 60 61 - 70 punkt6w - 3.5 71 - 80 punkt6w - 4.0 81 - 90 punkt6w - 4.5 91 - *oo punkt6w - 5.0. Wa.runkamikoniecznymi dla uzyskaniapozytywnej oceny z przedmiotu RAPiS s4: zaliczenieiwiczeri (tzn. uzyskaniez cwiczef co najmniej 21 punkt6w) oraz (tzn. uzyskaniez egzaminuco najrnniej *30 punk6w, w tym co najmniej zdanieegza,rninu +10 punkt6w za zadanie4 testowe). Do egzaminumoina przystqpii: bez za)iczonychcwiczeri. Zd,anyegzaminmoina poprawiac w kolejnych terminach a,'2do konca da,negoroku akademickwcze6niejwyniku. Przy wystawianiu oceny z przedmiotu iego bez ryzyka utraty uzyska.nego bra,nyjest pod uwaggnajlepszywynik na egzaminiez calegobiezqcegoroku akademickiego. W przypadkuuzyskaniana egzaminiew sumieco najmniej 30 punkt6w,w kolejnychterminach egzaminumoZnapisactylko teorig (tzn.zadanie4 testowe).

3 Przykladowy

zestaw zadair egzaninacyjnych:

postaci: P(X : -2): zad.i) (1O plct) ZmiennalosowaX ma rozkladoprawdopodobieristwa 0 . 5 ,P ( X : 0 ) : 0 . 1 ,P ( x : 1 ) : 0 . 4 . Obticza) dystrybuantgzmiennejlosowejX, b) wariancjqX, c) kwantylgrzgdu0.4 zmiennejlosowej X, d) media,ngX, e) modg. pewnejreakcji. chemicznymbadanoczaszakoriczenia zad.2)(10 pkt) W pewnymeksperymencie : Dokonanon : 100nieza,leinychdo6wiadczerii otrzyma.noz nich dredniq7 46 sek. oraz odchylenie standardowes : 13 sek. Na poziomieufno6ci0.98 znajdi przedzialufnodcidla 6redniegoczasu tej reakcji. potrzebnegona zakoriczenie zad.3) (f0 pkt) Przy kontroli pracy dwu central telefonicznychw pewrym losowowybranym dniu dniu stwierdzono,irc na 200 pol4czeriw centrali A 16 bylo pomylkowych.Natomiastna 100 polqczefiw centra,liB pomylkowychbylo 10. Czy na poziomieistotno6cio : 0.05moina twierdzic, jest wigkszyw centra.liB. 2e procentpomylkowychpolq,czeri zad..) (za ka.id4 prawidlow4 odpowiedZ: f 2 pkt, za l
4

Przykladowe zadania A) RACHUNEKPRAWDOPODOBTENSTWA l. zorgarizowano nastgpujq,c4, grg. Rzucamy dwiema kostkami. Je6li suma oczek jest r6wna 2 jeizeli otrzymujemy 5 zl, 3- 3 zi, a w kaidym innym przypadku placimy l zI. Niech X oznacza wygrang. ZnaleZcfunkcjg prawdopodobief stwa i dystrybuantg zmiennej losowej X.

2. ZmtennalosowaX przyjmuje warto6ci 11 :: - 1, 12 - 1, rs - 4 odpowiednio z pral,vp1 _ +, pz - +, ps _ c. Znaleii, stalq, c oraz dystrybuantg zmiennej dopodobierlstwami losowejX. 3. Dana jest funkcja prawdopodobieristwa zmiennejlosowejX: P(X : 0) : O.4,P(X: -1) : 0.3, P(X : 1) : 0.1, P(X :2) : c. Znaf,eita) stal4 c, b)dystrybuantgzmiennejlosowejX, 4. Dana jest funkcja prawdopodobieristwa zmiennejlosowejX: P(X : I) :0.2,, P(X: -1) : 0.2, P(X : Z) : 0.3, P(X : 3) : 0.3. ZnaJei:ia)dystrybuantgzmiennejlosowejX, b) P(-1< X <2). 5. ZmiennalosowaX ma funkcjgprawdopodobiefistwa postaci: P(X : -l): 0.2, P(X : 0) : = 1 ) : 0 . 1 , : 0 . 1 . 0.3,P(X P(X:2):0.3,P(X:3) Z n a 1 e i ; dday) s t r y b u a n t q , b ) w a . r t o 6 i oczekiwa,nq, c) wa.riancjg,d) modg,e) mediang,f) kwantyl rzgdu0.4 zmiennejlosowejX. 6. Zmienna losowaX ma funkcjg prawdopodobieristwa postaci: P(X -- -2) : 0.3, P(X : -I) :0.2, P(X : l) : 0.1,P(X :2) :0.4. Znalelca)wa.rto6i oczekiwanq, b) wariancig,c) modg,d) mediange) kwantyl rzgdu 0.7 zmiennejlosowejX. 7. Ggsto6czmiennejlosowejX ma postac: 0
ObliczP(0<X<3) 10. ZmiennalosowaX ma rozklad B(100,0.1). Ile wynosi a) warto6i oczekiwana,b) waria,ncja tej zmiennejlosowej?c) Oblicz P(X : 2). 11. Spodr6dcalej populacjiMikolaj6w wyiosowanolG'elementowqpr6bk9i zmierzonodlugo66ich brody. Otrzymanonastgpujqcewynili (w cm.) 5,6,6,6,7,8,8,8,8 ,8. Znaleift.rozklad liczno6ci w pr6bie. Obliczyi 6redniqz pr6by,wariancjgz pr6by,je6li bada.n4cechqjest dlugo66brody Mikolaia.

B)STATYSTYKA dokladno6cipewnegoprzyrzqdupomia,rowego dokonanon : 16pomiar6w 1. W celuoszacowania tej samej wieiko6cii otrzymano wariancjg z pr6by s2 : 20. Przy wsp6lczynnikuufno6ci 1.- a:0.98 znaleL(.przedzialufno6cidla nieznanejwa,riancjipomia,rutym przyrz4dem. 2. Wiadomo,Zepomia.rypewnym przyrzqdemmajq, rozklad N(m,a}). Ile pomiar6w trzeba warto6ci wykonadaby przy wsp6lczynnikuufno6ci1-a : 0.96maksymalnyblqd oszacowania oczekiwanejtych pomiar6wwyni6sl 20? 3. Dokonanoz: 10 pomiar6w czasupotrzebnegona wykonaniepewnegopodzespolu.Otrzymano drednigz pr6by T : 3ls oraz wariancjgz pr6by s2 : 0.5 Przy wspolczynnikuufno6ci | - a : 0.9 znalei:,6przedzialufno6cidla 6redniegoczasupotrzebnegona wykonanietego podzespolu.Wiadomo,he czre potrzebnyna wykonaniema rozklad normalny. wykonano400pomia,r6wtym urzqdzeniem. 4. W celuzbadaniawaria.ncjiurzqdzeniapomiarowego Otrzymano wariancjg z pr6by s2 : 12 Przy wspolczynniku ufnodci | - a : 0.98., znalei(, przedzialufnodcidla wa,riancjipomia,r6wtym urzqdzeniem.Wiadomo, 2e wyniki pomiar6w majq rozklad normalny. 5. W6r6d nr :100 zbadanychkobiet 17 potrafilo rozwiqzatto zadanie.Natomiastw6r6dn2: mgLczyzn25 potrafilo rczwi4zai to zadanie. Czy na poziomieistotno6cio : 120 zbada.nych 0.05moina twierdzi6,,zew bada,nejpopulacjimghczyiniczg6ciejpotrafig rczwi4zaito zadanie niz kobietv. 6. Spodr6d 120 student6w pewnej uczelni losowo wybranych do badania podczas egzaminu 70 Sciqgalo. C"y na poziomie istotno6ci a - 0.01 mozna twierdzid, ze studenci tej uczelni spelniajq,"polsk4," normg m6wigcq,,ze podczas egzaminu co najmniej 50% og6lu student6w 6ciq,ga? 7. Wykonano 12 pomiar6w woltomierzem pewnego napigcia pr4du i otrzymano wariancjg z tej prdby s2 : 0.9. Na poziomie istotnoScie : 0.1 sprawdzi(,hipotezg) ze wariancja pomiar6w tym woltomierzemjest mniejsza riz L.0

8. Wykonano badaniestanu zawarto6cialkoholu we krwi u student6w dw6ch uczelni. Otrzymano Sredniq, zawarto6ia,lkoholu7t :1.5 i wariancjgz pr6by sl : 1 dla nr : 10 student6wuczelni zawa,rto66 alkoholuwe krwiE2 :2.4 i wariancjg omz dIanz: 12student6wuczelniB. 6redniq, z pr6by s|: t.Z Wiadomo,2e pozioma.lkoholuwe krwi ma w badanychpopulacjachrozklad normalny. Czy na poziomieistotno6cia : 0.05 mo2na twierdzii, 2e studenci uczelni B posiadajqprzecigtniewigksz4zawartodia.lkoholuwe krwi niZ studenciuczelniA. ODPOWIEDZI

b) 1 3'

E

A ) 1 ) P ( x : - l ) : * @p, ( x : 3 ) : # , P ( x : 5 ) : * . z ) " : i . s ) " : 0 . 2 .4 ) b ) 0 . 55- ) e ,) -2d. )7 ) a ) $ , b ) l , c ) c ), 2 0 . 8 , cr ). 8 6 , d ) 0 . 2 , e ) i - 0 , r rel="nofollow"> , f ) 0 . 6 ) a ) b . 1 , b ) 3<.-019, r, > , ) d ( 0 . 8-)0 Q . 2 ) . 1 0 ) a1)0 r, ) s , c ) ( 1 ! 0 ) ( o . r ) ' ( 0 . e1)1e)8 . 8 ) ( T ) ( 0 . r ) ' ( 0 . ee))u" ). N ( - 1 , b ) b

-- n

f .

^2-'tr)

J

nych ODPOWIEDZIdo PrzykladowegoZestawuZadafiEgzaminacyj 49.02).3) .^//E a) a)NIE,b) TAK, c) NIE, d)NIE, 1 ) b ) 2 . 0 4c, ) - 2 , d ) < - 2 ; 0 > , e ) -2. 2) (42.98; e) NIE, f) TAK, s) TAK, h) NIE, i) NIE, j) TAK, k) TAK, 1)TAK, m) TAK, n) NIE, o) NIE. PRZYJEMI{EJI\AUKI !!!

l" irrul(rr\rl q: ' ft ;, -{ O-

t1"t !J1J\Jt a.!'! *- r*} fU r

ru ru !*i t\''J O \r? tD -J Cf\

r,1'. l\l il} |\} f\) U-r rtr\lJ f.|J J

|1lr -.|

F F \.r\.r\r,

LLt kt fi\\f

L t tr, \rr l- ir) lti

L"!',,rf hl h: |\l : (frI}{D *J

h:tu\ttur\l (3ulS\d r

|\lJ'rri

: ts:PPJ

.

,

a

r

a

a

r

,

l

t

a

5 +. t r*!L1 -l J* r lf,f .b $l&\lr'r\P

tr\}$tt$r -r gi.F -r -J E?\\^, \.O r5 rti

.r -r CJ (JVl +. qf fi\.)19

SS sw

t*rlr).uf

\lr\+lLlrrtrl t.J t\] J

1\:|\JI\'|\''rJ

i

FAL, f\) o\D

.

i$

UJ

F:i P:' j'

,

1

N) i

a

CC -J -J ;lrL1 '*fi \O \.J *ri] rt:,'r,rt uL'r 0F

Ln,}}'.JLit i.) c1\.o r O ..; .r'.O

ArtrJrS& *J {'1f'L^r

55r.rl*t\rl - +t"d (i -J

\,1\.rt

t\)

N .} (l\,

r

t

-.: grri +r 1*.: -+ -i *l Ct\.'l !D n Nl f\\ct

\JtLflFi|t

+-*.+-ss

F'*r\.f (J\*a{

(D r!',rJi \rl 1t €ft-Oltfi {}l.}\.rt ht

D \D -.t L1 S t-r:35'CBru \:'\, r.'|\n l\l

|\} ff tP *l\,'l g.,lgrlrlr :\-J tr\ it-.i

t r s O OCg' Er.Oct-Fl r.-lvrv?

.5 -s -& .Ia V) rl, fU r (J tO

leJ \rt Ur\t|\'\i,r -J g\tnbt \t

f

\Jt\t

l. a

!1\t

yl-\loF

Ui \,1! Ltl.

PPr:*f

r$r r cl g1s tr tu\t fiv) -: lU) g c\o O\ $ {Xrut' rJl gJ \.J t\' rtp +

T- F.

f

FF;iPl

--l\Jr \t J tO r;t -; fi;rrll r.O q5 11 5t\'!0, Lfl'Jl

a

Ln t-r t-n .ts *=

i - i F-"1. " ' '}F

.

t

a

.

+\tt|u).,. Oq -lrI t l * c{t Lrt-"i -:rer\n $S +'*s ita\,,n,tr \d r l

{

t

l

a

r

.

a

a

cl\o C0 -t (n 5$ur|\Jtu -l r\Jr0O r

'"tr$ Nl r ro\gip-r g1 $e\etQ

l

+

l

-I

t

l

l

l.r"-..PFJ

q;61-r ! -I *l+ f,tlr0\lt

h +.

f\'w -l (n r$ (p (DL/

\rt -1. i\

.T} F +rrl g

a

t

r o f i r.'jt\o 0 \,r c)\rt iJ CDrE fu

.

t

a

l

FPPFP fi oto\ c1*1

E B E g5

-l0l i) |Ue rr t

4

rt

-t'

i+

r:'r

clctGc: t

O\crr.lc\(3 ct '-1i] F t. J

4!

i\']

til

i-.J

Clrct C: i.:' 'i J 4 - - . - ; .

g2;.(-,iT

.lGfi;i\ :

+

,r

..

.J'r A\ Ci\ f1t,.. C!:'r.j Cl F.:J i.: 1:., l& :: ,.,f t: il + -..' i:

:

- J , J J - .

J - * J . J - i

"

'

l

S\ l? *) iJ

$f. S, Or Ot @ iE g --J i$ CB{D Cl ':\-r !J i

l

s E EE S H B?i'dti tr*r..i { fr,t& \rJt J s +'o'i. .r C'\N\9\Jl

-r.l l t

J

J t

l

-.] /.raLn

tf *

Fr F

ttr('\{n grcl &cDsicpS?

-i-+i

\+ir-rl .j -j

J

*' -j

a.g I')Lu _r_ _.-, tll . I

i*.t r ... :\

. r . - i . l

J - l

?

'r,c

J - i - 1

6\ ('\ti\f.,ii\ Lt Ct'.tJtc\; r.O L?'l\)Ll ur fl\t.::.\6'Ji

t$J\)'\:f\)r\i

.'..r ,{' l$

l

a

i

i

Ea(r. *i .J -.lr ''f \9 (*.1s.\ 4

-' i.# \) r { t . } t t i

lJ

-e : . -l' I i- , ^: :

d\ g1

tt ..L

-n-.1{-n

-:

r l j + + : . )

,; CIut-l (; .-. lJir? r -l

J

t

t

t

t

t

J r

$

a

F

.

.

a

r

l

I\' G

\9 +-l +dt\-F|\l ! a

o

l\)-l iu cF{ u-luqQCl rt\\t.r\tf O\

a o

.

o

i

+

..& a

-l -j-,ii { hi ,'.: \. ii.'' -L ra. li, -'-- \:, rrl .-l --'. * f.\t?

{-r-J-l-r U,-r:\-l(f tD\O

FPlrliu

Ntl\)n:rht!u

h)ut J\{l

.

l

a

.

i

qf |\t .+ .r

a

]

{

€ fJ(}Ltr fU{U l\l 'U Ftl& d'r iD q.lA lrJ '.t

l

t

.

*(i*t*

l

U '= r\: b r.rl c-S ti

l\l tJ t\,lt$ l\l

l\','.', h:rt+:u

l

+

a

t

t

+;+l.S.Fr

fu ru Rtur\r

re Ll\tt ',-, S & Ole'Jf

h.! ru tu N r*' t

r

l

a

a

-l -t..1 -i-i l](J*a-r .rri\O A-l vr \.o {n+rur

-

+..F' Lr.3 -l -: _i ..r

l

rt

t

nE ,! $, +..15'..fl *e ,!l F; [0 -.1 (T

-p -). i:.efig l'j\[ (,-:.'.i; l-J 9\} : 'Jr-:

:r):\}

I ; .'1.rl?

-n {*t

-i'=l

ta' l.:

rl .\)

C r:J vl ct' '€ L; r.,:,irg

C) L1 t: c'h.*l .-l :l\,J'.P +:Vl +'1.

!:i i'.j j.J .an hi

GQ+-rg c0r.9 Fjl I'.-r d\..-.r f'.5 i'jD f.'" eirj; f) ..(1 .1) r,: ;rj. tliu i

+LaF|_.b.5-s. *: r.-if,'5{ *i ;'; -i .'"J(= n : c,' ,-- -*i f',r

{

-

i\

lJ:\r

Itr iU'V ;',r i\.1 t

N

l

r

9

i\. -.'

nC'AS:'

\lJ \r!LJ

-^ filult\r]

: 11 i1 + .

\/

;+

5 +. .D\vl'*-t L)r Civ;lrl' r-;; r.l \0 3) 'l .' 1 Fi Ul 'bt (:1 , + l'.: fi'l f.l i\l

url'J: ul ul\t: iJ L,r .n s\{D (ll ,l, ,-at$ ;1:.-fJ Cl r-n f \:l r$|srf

il-s N!\rJL: (I, 11 ti Ftrt Cl F lart.Jl q)

--t-l--li+\Jj .j; ,F.--t -i Q -+'t J qr'}: --l fJ -l'',rr-"1

*l ,: -* -!'

d ql CJ'J i$ C' -:.'..\t {r.-, i3 '"r t C L* 13 a

1'I 1*r 611r,1\-d t r r a r ui (t\ li*.gas1 rSQ*lr}Lo -r Q (J -i;; ja: tF Sut'l.

\;'LJL'il.;r*'r r l Ja cr. S\ g\ -r .{-'J1 -,i ff, .:1 'F.ttt (r' r{; Ct !].b \Jf fr i.

i- t\r'L'1

n:r\) .

$'@$.ctc] t\l h! t\) trJ t\J a

r

t

+

t . r a t :..e.+ a |\J (t\-J t-rfr C .r$ Cl E0 r

.

\}l .lr\rt

O

-

a

r

CD.Cr@ FrD -r[r]LnV]+ l\t\rr\osrul

.

a

O.rt.frioUt

-rur\' lu r \'|JUcE|\} cr(Ds cf(D

fi!$

.

a

.

6\{n g\ 61-l It flu'ti! 6 N+-3:CD \ft\rr\.} Q'r F: ;Ll\,L a

i

r

Lrltsr r r

e

at O) S gt\P .5a l3r-l$) Aj \Jt f-'! ct * E] rd\l)*r l\)6

rat,.o Cl O..r -F-i JUI Q ct\g\ f\l S \,t -r'@trt$r l0

iuyPy'i

s+b+ S'& t t t t l (f, * lr}\rrS -.lt- |\} s r-r N |ll qt*l-l f;Drw,C-rfii fi

I\l h)trrt e, t\,

|uf\Ih''\rfl} a

t

a t a + r \r, hl lJt{ -f-f@CJ(J

t

ftt |\}rur\rlt"* O\.F |\l o\()

s-r Iu ('_\'s c{ lU Q O\\l,

lU Iu f..)FJl4t a { a } t a -l {D E \t} r cnntr.c|\I}$. lqr -. g\O tto d0 +. rn O -l lsr\r)\r!f,rf r

t

.

ht

o\

O\qbb

|\}

t tUrA

r.l Cn.-

}

a

g\+vt\o cl \o \o\tt\p*l \.r tD+rns

I

€ cl

t\t

€ o

..1

a o q

I

(3

Itl g

cl

cl.|

(f ct

.

a

.

a

t

a

a

rJL'|UrUrLtr \r1\tl Ot-l (P -.$1'?tU, hl Qr*-l{r

L

\":\,

l

.*i .i -i q'! 'r' i- i;\i$ - .: :-' rri'-i .-:.'- f,n\ .-

f.: --. i:: '"J

'"9 (l Cl O'\i'f ir (ll i"'r :r,: .jfi rflU.r.:\Jl r-1 .:., 5r -; $

.

.

4

*

l

.F hl

6tH

&.tlrJt\ngr l

\n-J g f lO Or.'I 6 85 6r.(j--l{D \ortrr-r\o&

l

l

.

"

*

o EOr (> H

l

4l , @Pto C$4.n 6t\rl t \Of\t 6Ct (!)\jtul {)-r L'f

{3 o

\n

r:

H |'tts r< (? ttt !||

H F 8 s l-l

$*

F D ' ts trt q r{l I (,l |S

4

J J

\r' l.rJ tr'l \JJ \r|

f F B

bd

.g

C} t$ g

{J t$6r9 0r l\rlJl lrl O5 frrF €) cr d'r ... it'o O-l

..1 tUrd+{

Q

vl

-trJn ro ID \d g\S{r CnN .F O\C)+ O ut t"C-t .7rttl a

f

i-3

I

a

+ +r\rr\Put

\r,

a

oo\l\tr$

l

*

x

tr, l\) l\t ]u ,rFl l

t ( v

a

r$14, ..J\.|!-l \O frt.*f Ch-l

i

\n (f

€t t

+b\tI OtCp A *l rdrr-r (p -J

.-L J -I..r t ! l r

\1tt Jt*;r

a

cj Itr .i H r } tJ

b

ruil +

---rrL,

J,rl

ci

(J

?(f9€* a a t t ) -l-t-l E (] f\ts gr.r (J c\o5 0\o q?*llovr O

a

.

F

*

P (f

?

l

a

3

X

a

J

,-r} .\)

-t

o\

l\' VI

F tt0trt ltl Ot ($'-l n} .rf.rt o\*l rJl trt r\tr

b0 t'r, t .rr F S -l stiS J \JJ Nr"tO\F\,g t\' O 0o \r) Cl J t

H

B(: { nq

F

(D J t4J\r, O !-r'b {b *d ,\} r..dr.r'@ 00&

Oa *l -t -t *l i rO Cl Q\o ]U 01 r *l CO-lab-9\ J-r-f

l

t'{

4 ci

F FF

t

rfc|ocl(] .

| | t s 4 (? tst g\l

a

)1r rtrUa\o€Pr

+

C}V} @-t

a

H € t

o

r

-rr fu ".r'Jl -l\t:

fo (nQ-F" (D fl dlr$ -i -.r \o (n (f ur nl

+

t

..1.J t a

lJ -r 'it$'#t

)

l

.

o

\r,

lrlt{, (t'.lr) O\ EC CDSr :5 r.o \o ru\g l\.}

J

.

a

o (r\

I

&\.t

6

F:|

gl

l

-e \O,si t ll V, a + ! a (3 JL CC\g O? +| ii "-r$l. cJ SUn -l -..

htNN-.-.r Lr+Q{Df'

1..f Ll l .) rg) r*) 5 +'tj|tr-rr or €|Ji g{n\r, clro h' .\t +f, -J -

.

a

n} i

.

r{

E +

r\Ji-. Cf \O {

it\ (t\ {t\ O\ Cn 19ri'tfit$r(l ..r trJ\J rJt -l tu+€DU!+

t

a

.l

-r.J fi\s

jd.J-J-.b

J i

i.l \^l \rj LJ '..,'.1}\Jt+.'\jJ

- t ^ J - t J

J - ' . J J - i

,

r,rt S C\ *il Crii () *r--' $l{l

'!J lj \'.' -" -: lJ 1'{ ',J - ' '.., i1-,j;.: l.lj \*

L\t .

r

.F' Bur €.* C0 lU\-, r + tif t rvllJ\s

\0 l |\) O

oscr{3(l

t

.

r

L-r

;r

a

l

+

a

*

ur r 6\I\l-l -ls S.r r\J O - 00 -.lut

tf;'flc?c t

L,ar i-. Lr q*r Q\ ;: ::-1C-'(U !:J ;\ i, \-: t..;t d1 - - t't ' .,1 CE *-

r

\o €nlur ,:) {,-t SS5l.-.F -f + t\'-l\j]t

a

Lfi.DtVJ

.

-ltJr

CO

un f r,.r r\f . () . l a l

Nll'

5\

a

f,r, f\l r\(}

*.'r-Jlq+J

:.r {

t

(J O O g\e Ot-f g1 e -r -f. (plJI 60 S

rrt\O\5 €Ltr (f .r €l (hrp *l\D*l*l iJ

I\}Jrr-l

i}.tr

+

i!" I' rP

.

fU -r

cr\+t

l

t'0S\dOF \0 cl Glh)-J

.

ut r lD+';} Cfr\O E Lt cJ ci1r Ln\O Cl

.

-a-r-r-JJ

lC l\' I\l h' '1} g\ D Or.D-l

1*rLr1.r\Jl*t .-I d\5\J .u

{f ,:n

]\}J

a

CD rt\\Jf A I\!|

H = B S r r":yi r . { . Py F 9'!" H gJ -a ...r -lt-f

t

t

-t

\d df, c0rJ| I\r

5 0) gtrrt CD\$ f'*l

0S

rl or\lj'!rr, t$ G \tl tU (p\,, .J ttr + \r,r

5 i) (f CDr-n -r Fr.t OLtl t\l N' or-l @

'*.r

FJ'U]\'

1atet

t\t\tt

s a {J

F

a

a

g\ (, rrp I -.rlil @ r{.r, d rUF t\)i.r

s.ur t\t o\\n

.r fP \tl -J\.Jn tU rO5 g |\] {!\ -rtJl

I

.-\At

(f, a

.

l

rj

.F'

A]lUl\!fu-'..

$- - OJ\n t\t -.r FL g\,s)\p e.b1.9 -l fr

a

{'

a

-J

'\]r l\,:l J

.

-r Sr.C @.-l

t\l

a

".1.J

,

rQm..:=\ l

+

\9 O {t\ttr

lf'

\}

a

\s

O

'v

.

-lJ

\r) h) -.r O D 1s Nnl+: ht l\lt& '.r

.G. tr}\D -l\tl rQfI|O+ |\l F \O\g tro \rtlv"l

a

\fl

*l tlUt+.

.D. 14)l*t\rr\rt

ul J5 s & $ r if \O COtrl L'l Ctr .ib f\)

a

l

t/l rj t*Il tji \-i. *t * 3'* t ,r &i

DL?I \I'J }

l

a

O1\.t Q-:+ ..F O\{ €3-r f trr fn r\Il

rJ i.J *: +r $ ;r trr--l Clrr? hl r f}\ 6\ J

yfPlJ.-

I

*l g\(rrl'',|tl-S -{FQg-'+ trttt{t r J (p

{r, Ct',S r\{) qfr .-: -J i\l -{ f\)r.fl l1r$ .r

rJO-*lF arG _l trJ ifrl$ lrrl \.O t-r -r r-Fll.er

t

\rrSLrauJ

J

Al l\1 l\} l\S t\t CD{ ttl-F-\rr

b B)vJ ;, ( |\] t&il,lt Lr i:.,..n iJ \)

l

Or$ + 0; rfr '*O At Cf\\O -r .* s! f\llrro

.

l\Jll T$.JJ 'r.lJcf\SCD

r$ u Lf rtvr & \rr t\) O\O .

Ors (D-rfi

\J

\.tl*, C \tr

.

..4

*

sgHgts

(F1 CO Q tr)'.nt.lr

i

t.*..;l

\n&Lrru.,'-

\f gr(nt'tf

-J Lfl Iu (J-.1 ,.;r gyq.;l -r --r

l

+

A) O\ F* -r \O C.l G p\O Co 'i)l\]|JsLrr

l

; . " ; i " . ' s b'*l \ Ci .tt'.; -l

f$ r f.ltct CO (f\-: -+ qi -+ ltr)r*l f.r ,:8 1.o

!\t -a g\O -l r.fif.rl ill:\I} FI.0-J nilrj!

iF:oF;r r:YPi

a

AIlU'\}r\!f\' bNNfu\) (fvl Ca-l fr.Jltd i$ - Ll

W rdl \y,

inr..il ,. 'u r. t

a

Lnrg\lt]tp -gl6+C)

gJ -1 rr.tsfrt l a l . -J (J 9\O €P -.lrp..r1,r\'11 t\r fi c0ro o

l\O

r

- r OrF\D d\{} +- fiJ lu \nLrl1l|r F I\)

t

\.o\5 cD ct-l

u:

(f\\O

\.,

:f ',o tp -.1 d.t

r

grr.]Ft\Jnttr \,n Al\O A-.'\rt L) f\lur r-\t vl

..*

*.4

.-l

o\o 00--lo"'

fi t{ Fl

\rl

d

' ;

T t : - I , I C A

KIrnryLE rlOZ[[fEU mRnttfiBm p

o

t

I

0.0 I [ 0 .r

-7.3? 6 -1.?m -B,gO5 -A.496 -0. ??8 0,o?5 O .e ? g 0.553 o.g7g 1.141

-l.8!lP -CI.84e -a.524 *O.753 -o.000 4.253 o.524 0,84e 1.299

o.? 0.1 0.4 3.5 0.6 4"7 o,B 0.9

Flu)\rf \^rtr, (t cD\&@-f

'lJ

t\]

a

a

.J

I\J

l\' J

J

r\}fi)f\,f\}n} &\.tl\, htJ

f\JJ

r:r

a F . o \ t Dr L , ||,r\n *i Ctl|' laf $ C3q\g\

Ct\.g \D si *{ { a } trl ctr (J ff,|u,r d\{;.}.8l \nUr \O tX'-l JtS

f\}FJt$FJtV o\vt$ $r.rr

i\}l9fOh)19 * () (f ro

r

l

l

t

r

a

a

.

+

t

l

+S\d :

{

lUt$f!.lr.Jf\) Ul F \,1 fU -r

- !

r J l r .

rJt'*l Or4r O. QCD-l(nr\Jl rO cD $ t\]ur

t

-l, ?5t -l.O8O -o,7{16 -0.414 -0.151 o.lm o. r32 0 . 3 5 8 O,6t3 o.643 0 . 9 5 4 0,99{ ' l. 4 7 6 1 , r 5 5

o, pp5

t} \f -l Sr\Jl

3

i

'\'ntl\t|\rr|) \Ott*lO\\'l

fu|\truntrrl l\tr r J -r .bL,ir-rh,)*. CL9CD (D-l l t r t a -.;@-]u+ \tt{rg-}FJ rOtJr=-'r\r' \^9Or\.rr\O *lf\}Q.-*'\Ogr\O5Nt

a

.

a

r

r

r$-^ o\It(p r i

t

\rr.D 'lo\+l &e\rr\.,ru' ui dd\ilLn IrJ\,J .

.

a

t

\rf l\} N

e\4CI-f

a

r.? Fror0 + -'\rrrOrJ: ft! fr.l rUr.lUr \rlt,\r'\e|vl -lG\rfiF\J l

a

.

a

l

: -r a f11 l$ ttltJl ld, O\\g f\l tr9 f\, +\.,

a

r

a

$

N

rn

.

rt t\t r*

tJ \-rtrt f\) lU ltl -'if|oO

ru t\:

.

a

l\tLJ t''lt\rt$ gg.r 5 -{ (l g\\.o lUtr.tS

h)

rutu

J FY : v

& & \tl \ll r.lt *rc) $ * t |} ttnr,O *rt.o tu

-1.555 *O,994 -O.643 -0' J58 -O,10O o. 151 0.412 o. ?'06 1.09o 1. 7 r 1

7

8

9

p

-1.{?6 -O'9t+ -0,613 -O.3]e -O,O?5 0. t?6 O .' [ 4 O a ,1n 1,1e5 1, 8 8 1

-l.il05 -o.915 -O. t8J -O.3Oj -O.O5O o. Aog 0.+68 a.TIZ 1.1?5 ?.oi[

-l-341 {l. g?g -0.553 -4.?79 -O.O25 0. egg 0,495 O,S6 1.2n 2, t26

0"0 0.1 0.? 0.:

J -'.lJ* l l\} -'r \n,F.t

-,'t aF

J

O'|o0-f

o,{ 0.t 0,6 o.? 0.9 0.9

'Jl.F\.rtrt-r

fr

+rar A\L't 0l t t t FJ g\ {3+ @ (F\\.r J€|r (D nr Qrlr.n

-

r

{

a

a

l

I

a

l

.

CI'.LDrJrStrt

\al lto l$ J ..r

a

a

{r1

t

'-n\s lu\trro

gag !e €rsj :*} -+S F

€ l A\r} co-l . r r a rt +r-, o\\o rrr\9*lo\ -r{OATFD

Q

t

t

\t!urqlg \tt1!).r ltt tJ $-l\tt(J(f

.o to o It t>

a

l

r

+

l

a

.

&+tr'cl(f r-r(Drur€ .r& Ot-r r

--ltd + c) +rvnC)C} \n-tit\rl}

I o\ rllLr-l f NfrrOrrgr s\tr\{*l,rn

a

r

!

a

t

+o\{Dcl vr srrlr'o\(Dr tr-.\-rr\nl\o

.

..{

a

a

d

.rl

lqgr.$rt']r o.rrJt+|gr O\{\l Cl r

tg fv t\t 'r -i hi r (fvJ CB

*+ O\\tr+Lr

l

\n-lC}trr\n .F\{}+O-f *lclhrlO

l

l

a

r

I

19

la g

a

a

oro\r]r'ql rgrGaJ CllSro\

0oJF@r\} e.O\rl'tr€ \tt@eLrs

f

a

a

{fr

|\}JJ

-rtrrrJnocl -f(DrDfg-il rJ}O$'\}Cl

lll|orcl}o $tO.lb€rr rrrrorJrs}

*

-l FID Cl-r |rlNN\,& r r o|'rlED

a

r

rD@ort\o Qur0r.r @

rD cl\t-Jl|rt

g\O

f$

a

J

iJ

a

.JT

vt r a1 9r r or \ ol gCl -r-r fr} lJ-l |t) c0r., Cl ErO ]s-l

t

l

i

r

a

t

IV\rIUI+\E ttJ O\\Ot\'-| {r,t-l-ro

(n{o1\'l} I

t

l

a

a

f

-l * 9-S ClrDGt..r) o\tt}L.to

ul$..r..,r a

t$t r*',F\n rOWt N|rJD-l Ur\f Llrrt El

a

t

a

r

l

O-lG ClfU \tr\n Orll'-l Ltf\rttg |\tUl

l(" I l.{

l* { cr

tT

H

F

!r

ts

trl

f)

+ ^l {? {l

F

g €

l'{

fi

FI

H E

Ie

D4l

H

c c}

cl

t , lU -.

*t C\t'.Jr|** \rr

\O Cp a

II Ea*B

r!

a

a

g.r h' s.

+

.J

l

O -l

t

r.4}\F'(nE\o O$frrcJ@ -l-l 5{rD

.JJJ-l

t

-il \t

-.r

(n\JiS!0

cl\P\O @-J a t l SrS O -r -. (h+ t$ (f ct -llut.r r tt}

..1

rs

J

a

\tr-J(Dcl".r -J..erlrClvr OCn-lf\,lu cl

I

o

t fU l\'

+-lt

(fr$

+l 51ficr\*f J \J|lg l\l g\ (nf!o cf r.o s

r

'{}dr(t\N strlEiprrr -l Cl (J O -l

t\' -r () OrO

r

.

.4J

J-l

t

?

a

NrJt o| N|ut 9\-f \ON-{ rrlug\\n

. J * - i d J

a

a

o

& lrt |\t l\r.r

l\l-|r-r:r

r

|\'gro+(D @7r)El €: turoros 0\

r

t

a

\/tOS\tuO U]! (D Sirr-: aDOg\totu

L-jrrr

.

a

r

l\}f$..

{a\+rf.t

.

f\t (t\r vt Q h' c|'\ cl*'l \tl \O Q-t .4U

E mt - t ( n. r t l|l]or\rr} FE'r&l .+l ON-.1 +Ln

a

a

l!u

\O(D&-l

'r.t I

.

\Jl 5

J.rt'

sa\(pCJN *Jr'|++S VrrtrltF-l€

hfAlN\)g\'

tlt€,t . a

Vl\tl C1-li Q -it* *\o l\l &-l-l\D

t

i

t} O tr) r N} -:. ;.* O1\U l\l N ; b CSm O -r\e R!t+'

tnur+. .r

tsrFvl-l(D g\-JcDEI|\l $\$coLilA

- |\'rrt\rr s -t fr trI -f + i) Sl ttJ*l\.,

.

(n

.

.l..rJ r

l\JNr\)GJ+

'{\' {broQ r-rr$r-$Sv1 Cl cDl\tcD\rr

l

a

.l\ jr.lt .-r 11r f\ttr Q\.rvt *a\rotrr\^o rF SNvr-i Lr]@(Drv'.JQdF.r

--lor-,ctrL'r& urtu..^o\o r l i r a a .

l

\.)

Vtrej

S\arr\l'\)r i

f\)fU|\}|\Jft)

raUlQ

trrUrt

l

l

$ o\tl0 (J r\' sc\fi{(D c,ns+.|lt'-

_1,64t -1.036 -o.67{ -O,385 -0,1?6 o.1a6 O.395 A.671 1. O S 1. 6 4 5

f$:.rr (J\S Co*l

lt C0 r\tt G, f\'\nvt$.ro +| {nSr lu -l

tJ { gl f +r

"D Sr (D Q i\t 9\OQD-rq' r4q.tr.Futrlt

{Jr\r}so\ \Jl\r?S1/D}. Jo\Vrl\l\,,

,

i

cr\ c|.1\.R5 } r i *l Srrr\,T \f,} "L tr)-{ r\t tpt*r

'J q)\4

-

q

\tD rr}\,! O .r inglc:rr-ir,D \r, fiurlll F Jr,.l'd

6

J J J

lrc f$

+

3

-1,981 -1,1?6 -o.Tn -0.44{} -0.1?6 0,0?5

o.583 c,915 1.495

J J J J d

t

4

\d fU \' N ltl Or$pg^;tt.

..r F g\\o l\) O'tlrJ\ll {l\\s, +\ (t\J C)\r,

a

3

-2,O54 - 1" t ? t -o. ?7f -o.459 -0.eO? 0.050

\rrvr\^r\Al\At Ln&*.Elr

L?\O\O a

?

tr! H p{ |t tt v

E

F +

J

\a

RACHUNEK PRAWDODOPOBIENSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA WERYFIKACJA HIPOTEZ O WSKAZNIKU STRUKTURY. TEST ISTOTNOSCI DLA WSKAZNIKA

STRUKTURY.

P(X : 0) :l-p. tzn. P(X:l):p, BadanacechaX ma rozkladdwupunktowy(zero.jedynkowy), Zakladamy,ie badanapr6ba losowama du2q,Iiczno66(n > 100). Weryfikacja hipotezy Hs : p: 'pona poziomie istotnoSci o. Zn-liczbaelement6wwyr6inionychw n-elementowejpr6bie Obliczamywarto6i statystyki 4ta

Po

(statystykaU ma asyrnptotycznyrczklad.N(0, 1)). Hipotezg 1{6 odrzucamy (II1 przyjmujemy) gdy obliczona warto66 statystyki U nalehy do zbioru krytycznegoW. W przeciwaymprzypadkunie ma podstawdo odrzuceniahipotezy 116. W : ( - c o , * u _ E ) U ( 2 1 _ ; , * o o ) ,g d yH 1 : p l p s l\/ : (u1_o,]-tx), edy Hr: p > po |1,/: (-g.,-u1_"), gdy H1 : p 1tu. TEST ISTOTNOSCI

DLA DW6CH

WSKAZNIK6W

STRUKTURY.

Badana cechaX ma w dw6ch populacjachrozklad dwupunktowy (zero.jedynkony).W populacji I: P(X : 1) : pr, P(X : 0) : 1 - pt, a w populacjill: P(X : r) : pr,,P(X : 0) : I - p2. Zakladamy,ie bada,napr6by losowamajq,duZelicznodci(n1 > 100,n2 > 100). \fferyfikacja hipotezy Ho: pt:

pz na poziomie istotnodci o.

Znr-liczbaelement6ww1'r6inionychw nl-elementowejpr6bie wylosowanejz populacji 1 Zn"-liczba element6ww1'r6inionych w rr2-elementowejpr6bie wylosowa,nejz populacji fI Obliczamywarto6i statystyki 4

" ^ @ v

^r +t z

nr

\

- z-:te, n2

fatl r72 '

nL.n2

(statystykaU ma asymptotycznyrozklaAN(0, 1)). Hipotezg 116odrzucamy (I[ przyjmujemy) gdy obliczona warto6d statystyki U nalehy do zbioru krytycznegoW. W przeciwnymprzypadkunie ma podstawdo odrzuceniahipotezyIIo. W : (-co, -ul_B) U (u1_;,*oo), gdy H1 : p1 I p2 l\/ :

(u1,o,*@),

SdV Hl i pt > p2

W : (-cn,-ur_"), gdy Ht : pr 4 pz. Opis danych: n liczno66pr6bki; nr, nz - liczno66,pr6bek pobranych odpowiednio z populacji I i II; 11, z2 - 6redniaz pr6by dla populacji I i II; o - poziomistotno6ci; zo - kwa,ntylrzgdu c rozkladu N(0, 1); @KrzyslcofBryS 1999-2006

RACHUNEKPRAWDOPODoBIENSTWAISTATYSTYKAMATEMATYCZNA wERyFIKACJA HIpoTEZ o RowNoSCI wARToSq oczEKIwANEJ w DWOCHPOPULACJACH. Badana cecha X ma rozklad normalny N(*r,ot) w populacji I, z ktSrej pobrano pr6bkq o liczno6ci TLt,I rozklad N(*r,,oz) w Populacji II, z kt6rej pobrano pr6bkg o liczno1cin2 .

Weryfikacja

hipotezy

Ho : TrLl: trl2 fla^'poziomie istotno6ci a'

Model 1 . or, o2 znane. Obliczamy warto6i statystyki testowej

Tt-Tz

(statystykaU ma rozklad N(0' 1)). Hipotezg 116odrzucamy (I{ przyjmujemy) gdy obliczona warto66statystyki u naJezydo zbioru k ytyc"negow. w przeciwnymprzypadkunie ma podstawdo odrzuceniahipotezy 116. W - (-*,

- u 1 * ; ) U ( u t - g , * o o ) , g d YH t : m t I m z

W - (ut-o, +-),

W : (-*,

-ur-.),

gdy Ht : trlv ) trl2

gdy Ht : tr\ <-7112.

2. or, o2 nieznane (zakladamy, ze o1 Obliczamy wartosi statystyki testowej Model

r.2)'

Tr -Tz

T_ V

@

nt*nz-2

u'n2

(statystyka? ma rozkladt-studenta o nr + n2 - 2 stopniachswobody)' Hipotezg fI6 odrzucamy (I1r przyjmujemy ) gdy obliczonawa,rto66statystyki T naleLydo zbioru krytycznegow. w przeciwnymprzypadkunie ma podstawdo odrzuceniahipotezy ff6. W:

(-*,

- t ( o , n t * T L 2 _ 2 ) ) U ( t ( o , n t ' l T L 2 - Z ) , + o o ) ,g d y H r : m t * m z - 2), +m), gdy Ht : tr\ ) 1rL2 W - (t(2a,nt * TL2

W :

(-oo , -t(2a,nt

- 2)), gdy Ht : ff4 I'trL2. * TL2

Opis danych: TLt,rlz- Iiczno66pr6bek pobranych odpowiednio z populacji I i II; nr, 12 - dredniaz pr6by dla populacji I i II; st, sz - odchyleniestandardowez pr6by dla populacji I i II; - kwantyl rzqdu a rozkladu I/(0, 1); a - poziom istotnosci; 't.Ld rozkladu t-studenta o n stopniach swobody. t(a,n) - warto6i krytyczna (kwantyl rzgdu 1-il

@KrzysztofBryS 1999-2006

I STATYSTYKAMATEMATYCZNA RACHUNEKPRAWDOPODOBIENSTWA TESTZGODNOSCI X, PEARSONA. Niech X - badana cecha o niezna.nejdystrybuancie F Weryfikujemy hipotezg: Hs : F : Fs (tzn. X ma rozklad o dystrybuancie Fe) przeciw hipotezie

Ht: F # Fo. Weryfikacja hipotezy -tls testem zgodno6ci y2 na poziotnie istotno6ci o' 1. Dzielimy pr6bk9 na k rozl4cznychklas [,.. . ,l"' 2. Dla kazdejklasy 1; - (ai-r;ai) obliczamy Pi: Fo(a) - 4(ai-r) do przedzialuf, je6li hipoteza1{ojest 2e X przyjmie warto66naleZqcq, (prawdopodobieristwo, P r a w d z i w ai ):, 1 , . . . ' k . 3. Obliczamywarto6i statystyki testowej: o ,_ _npi)2

X,:D

n?j J'r (X2ma rozklad chi-kwadrato k - 1 stopniachswobody),gdzie n - Iiczno66pr6by, ni - licznoil(,dodwiadczalna(liczbawarto6cidanej pr6bki naleiqcychdo klasy Ii), i :1, "' ,k' 4. Je2eliobliczona dla danej pr6bki warto66 statystyki testowej y2 naleiy do zbioru krytycznego 1ry: (y2(a,k- 1);+oo),gdzie 1-a-poziomufnodci, ya(a.,k-I) - wartodi krytycznarozkladuchlkwadrat o k- 1 stopniachswobody(kwantylrzqdu 1 - a rozkladu X2 o k - 1 stopniachswobody), to hipotezgHs nalehyodrzucid (tzn. przyi4(,/1r) na poziomieistotnogcia. W przeciwnym przypadkunie ma podstawdo odrzuceniahipotezy I/6. ZAGADNIENIE MINIMALNEJ LICZNOSCI PROBY Niech A-maksymalny dopuszczalnyblAd oszacowania(maksymalny dopuszczalnypromieri przedzialt ufno6ci). - przy szacowaniu warto6ci oczekiwanej rn -/ur- ?'o\2n>tro: |(-- -/ |

- przy szacowaniu wskainika struktury Bernoulliego)

p (prawdopodobieristwa sukcesu w schemacie

. ( r t - * ) ' ' P o' ( 1 P o ) . l, | 6z z bada"niawstgpnego(pilotaZowego)lub szacowanana p0 - przypuszczalnawarto6i p ll.41:znarzana poariu*ie wynik6w poprzednichbada^rilub przyjmuje sig p6 : j. n/n6:

@KrzysztofBry6 199$2006

I STATYSTYKAMATEMATYCZNA RACHUNEKPRAWDOPOBIENSTWA PF';ZEDZIAL UFNOSCIDLA WSKAZNIKASTRUKTURYP tzn. P(X: I): p, P(X : 0) :I-p. ma rozkladzerojedynkowy, dodwiadczenia) CechaX (wynikjednego Pr6bg losowq n-elementowg, moZna utoisamiac z ciq,giem n niezalei,nych jednakowych dodwiadczeri. Zakla.damy,ze liczba do6wiadczerijest duia (n > 100). Niech Z, - Iiczba sukcesoww ri do6wiadczeniachw schemacieBernoulliego (Z* ma rozklad.B(",p)). Przedzial ufnoSci dla wskaZnika strukturyp na poziomie ufno6ci 1 - o: / o

PIt-2-'uL-a \rl

Zn (l

Zn\

; \ ' -

n )

7
To:T\ "

)

WERYFIKACJ A HIPOTEZ.PARAMETRYCZNETESTY ISTOTT.IOSCI

Hs

MODEL 1. o dane,

rn: rn\

Lr_*a,

ffL ) rng m I

W :

rn - rny ITL )

lTLg

tTL l

tTLs

41 t

X-mn

tTL )

TTL1

ffL l

rns

W - (-*; -t(2a,n - 1)) W : (-*;

u - x*rn

X ,-.'Ir{(m,o)

olog

W - (ur-o; *oo)

) ( x ' ( f t , n 1- ) ; + * W - ( o ; x ' (-1t , , n - 1 ) u nS2 x^ . 2 -- q

X ,--,N(m,o)

W : (-*;

o*oo o:oo

o)og

(Xr(o,n-I);+m)

W:

W-(0;x'(1-e,fr-1))

olog

5 .n > 5 0

-u1-;) U (ut-fi;+m)

W : (_*; -ur_o)

ofoo o-oo

-uL_d)

(t(2a,n-I);+m)

W:

,)

mlmo Tmo

(-*;

W : ( - * ; - t ( o , n - I ) ) u ( t ( a i r L- 1 ) ;+ o o )

m*mo

3 .n > 1 0 0 m: X ma dowolny rozklad

W : (ur-o;+oo)

ITL1

X ,"",Ir{(m, o)

4.n<50

W - (-*; -rr1-;) U (ut-ff;+oo)

mlmo

X ,--,IV(m,o)

2. o nieznane

Zbior krylyczny W

Statystyka testowa

H1

v - ^v :0 r6y - \ E n -

-u1-;) U (ut-g;+oo)

W : (ur_o;*oo) W - (-*;

olos

-ul-.)

Opis danych : o - poziomistotno6ci;n - licznodcpr6by,na podstawiekt6rej weryfikujemyhipotezgf16; X - warto666rednia,,9 - odchyleniestandardowe(obliczamydla danej pr6by); uo - kwantyl rzgdu a rozkladu N(0, 1); t(a,n) - wartodckrytyczna rozkladut-Studentao n stopniachswobody(kwantyl rzgdu 1 - fr); X2(a,,n) - wartodckrytyczna rozkladuchi-kwa.drato n stopniarhswobody(kwantyl rzqdu I - a)' Weryfikacja hipotezy IIo przeciw hipotezie fI1 na poziomie istotno6ci o: 1) Wybieramyodpowiednimodel (dla danej pr6by i hipotezy). 2) Obliczamywarto6dodpowiedniejstatystyki testowejdla danej pr6by. 3) Znajdujemyzbi6r krytyczny dla danegopoziomuistotnofci a. 4) Jeireliobliczona dla danej pr6by warto6c statystyki testowej naleZy do zbioru krytycznego I;l/ to hipotezg H6 nalezyodrzucit (tzn. przyjgc I!) na poziomieistotno6cia. W przeciwnymprzypadkunie ma podstawdo odrzuceniahipotezyI/s. @Krzys ztof Bryd 1999-2006

IIN'fl i :ZNA I PODSTAWYDI{SPEIt)'il4 sTATySTyliA MATBIvTATY( t. PITZEI}ZIA I,Y T]FNOS(J

przedzialy

ufnoSci

dla nieznanej

?ll:

oczekiwanej

wartofci

Mor{cl I .\ rtra.rozkla,d If(ul- o), tr zlralle'

aftr.< :l:{ u;4+): ' vn. thl,

--'-2 + I-r(:x \"' ._ur-*

I - cr

iVlorlrrl2 -{ rtta.roz.klaclAI(rlr',o), $ tlirrzttaittr' l - o

:i N4orlt,rl .{ nta tlowolrty rozklacl, ?r > l0t}' f'(T - ?rr-f

,\t

6

t ? l r <' : f : * r r r - + :- )

pruedzialy ufirodci dla nieztranej wariancji

,s

-- I -rt

VTT

rr2:

N'lotlt-rl'l ,\ tttu lozklad N(rrr', ol, rt' < 'r:0' 11.52

n.s2

.)

I . r ( - < o - <\r(i??l' l)

:

l - r t

\2(1-;.,n-l)

Morlel i: .{ tnir,rozklacl /V(ln', o), n' } 'rl0'

h J'h,

6=i*''r-t

,\/Tt fi<

ffi1

-vr-?

:

l-rr

Opis danYch: | - tt - l)oz,i()tltrtflro$t:i.' n, - lir:ztlo*f:prtill.Y' F - (nrtltia z Pr6bY, z pr6b5" ,t- riredttie oclchylenie sbatrtlarclow(] l)' .erc.h rr..*- krvalrlYl rzq(lu a rozklaclu N(0' swo].rocly, t-sttrclertta'() 'r :itoplu rozkladu krytyczna [((Y,il] - wrtl.t(,firi: swohotly' l'ozklaclr r:fui-kwiulriulo ?r'sto'rtiaclr \2(n.,rr.) l'errf'.rl;..krit.yg",lil