Rangos Y Dos Grupos

INTRODUCCION A LOS CONTRASTES BASADOS EN RANGOS

 Son test NO Paramétricos que operan sobre el número que indica la posición relativa de las observaciones ordenadas (rango)  Se utilizan con variables medidas en escala ordinal

 Constituyen una alternativa para ensayar hipótesis con variables de intervalos o de razón. Cuando no se cumplen las condiciones para el empleo de pruebas paramétricas (por. ej. normalidad)

TEST DE RANGOS WILCOXON  Es de utilidad para ensayar hipótesis relativas a la mediana con un solo grupo o con grupos pareados, en una población simétrica Un solo grupo

Ho: x 0.5 = k

 Para cada observación, calcular

d=x-k

 Asignar rangos ( 1 a n’ ) a los valores absolutos de d , de menor a mayor ( no tomar en cuenta d = 0 )  Reponer a los rangos el signo de las diferencias Calcular W + (suma de rangos positivos) y W – (suma de valores negativos)

TEST DE RANGOS WILCOXON  Existen tablas para comparar los valores de W + y W – Si n’ > 50 o si más del 25% son empates es válida la aproximación normal

n' ( n'+1) µ= 4

n' ( n' + 1)( 2n' + 1) 1 σ = − ∑ t ( ti −1)( ti + 1) 24 48 2

 donde ti es el número de empates en el i-ésimo valor

El estadistico de prueba es

zc =

+ W − k − 0.5

σ

Ho: x 0.5 = 10

ejemplo:

x

6

7

9

10

11

13

14

14

15

16

18

d

-4

-3

-1

0

+1

+3

+4

+4

+5

+6

+8

R

6

3.5

1.5

-

1.5

3.5

6

6

8

9

10

-6

-3.5 -1.5

-

+1.5 +3.5

+6

+6

+8

+9

+10

R sign

W- = 11 El valor critico para

W+ = 44

α = 0.05 (bilateral) en la tabla de Wilcoxon es Wt= 8

¡CUIDADO! en este test se rechaza Ho si alguno de los valores calculados (W- o W+ ) es menor o igual que Wt De donde , como W - > Wt y W+ > Wt

NO Se Rechaza Ho

En este caso no sería válida ( n’ < 50 ) y hay solamente dos empates en diferencias ( +4, +4 )

2. Aproximación normal

10(10 +1) µ= = 27.5 4 1 2 10(10 +1)(2 ×10 +1) σ = − [ 2(2 −1)(2 +1)] = 24 48 96.25 − 0.125 = 95.875 ⇒σ = 9.792

Exclusivamente como ejemplo de cálculo

zc =

44 − 27.5 − 0.5

9.792

= −1.634 ⇒

zc <  zt 

No Rechazar Ho

TEST DE RANGOS WILCOXON grupos pareados

 Para cada par, calcular

Ho: x 0.5(1) = x 0.5(2)

d = x1 – x2

 Los restantes pasos son los mismos que para un solo grupo

PRUEBAS DE HIPOTESIS • Dos grupos independientes - diferencia de medias con varianzas conocidas - diferencia de medias con varianzas desconocidas varianzas iguales varianzas distintas - diferencia de proporciones - cociente de varianzas - medianas

ENSAYO DE HIPOTESIS CON DOS GRUPOS INDEPENDIENTES DIFERENCIA DE MEDIAS (σ2 conocida) hipótesis bilateral

f ( x ) ≅ N o bien n →∞ Ho: µ1 = µ2 ejemplo

x1 = 10 x2 = 12

Estadistico de prueba

zc =

H1: µ1 ≠ µ2 2 =4 σ n1 = 36 1 n2 = 49 σ 22 = 7

x1 − x2 2 σ1

n1

2 σ2 +

n2

α = 0.05⇒ z =1.96

10 −12 zc = = −3.97 4 36 + 7 49 zc >  zt  Se Rechaza Ho

ENSAYO DE HIPOTESIS CON DOS GRUPOS INDEPENDIENTES DIFERENCIA DE PROPORCIONES

ni →∞: ni pq ≥ 5 Ho: P1 = P2

H1: P1 ≠ P2

ejemplo

x1 = 30 n1 = 100 x2 = 40 n2 = 200

α = 0.05⇒ z =1.96

p1 = 0.3 p2 = 0.2

Estadistico de prueba

zc =

p1 − p2 pq ( 1 + 1 ) n1 n2

n1 p1 + n2 p2 p= n1 + n2

100 × 0.3 + 200 × 0.4 p= = 0.233 ⇒ q = 1 − p = 0.867 100 + 200 0.3 − 0.2 zc = = 1.817 0.233× 0.867( 1 +1 ) zc < zt  100 200 No se Rechaza Ho

ENSAYO DE HIPOTESIS CON DOS GRUPOS INDEPENDIENTES COCIENTE DE VARIANZAS

f ( x) ≅ N Ho: σ2 ≤ σ2 1 2

Estadistico de prueba

Fc =

siendo el grupo 1 el de mayor varianza

sˆ12 sˆ22

1.4 1.2

se compara con Ft = F1-α;ν1,ν2

1 0.8 0.6 0.4

ejemplo

α = 0.05

2 sˆ12 = 10 n1 = 30 sˆ2 = 4

10 Fc = = 2.5 4

0.2 0 0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

1.8

2.1

n2 = 40

Ft = F 0.95;29,39 ≅ 1.89 ⇒ Fc>Ft Se Rechaza Ho

2.4

2.7

3

F

ENSAYO DE HIPOTESIS CON DOS GRUPOS INDEPENDIENTES DIFERENCIA DE MEDIAS (σ2 desconocida)

Ho: µ1 = µ2

H1: µ1 ≠ µ2

Ensayar la Ho de igualdad de varianzas

VARIANZAS IGUALES

Estadistico de prueba

x1 − x2 tc = sˆ p 1 + 1 n1 n2

donde

sˆ p =

(n1 −1) sˆ12 + (n2 − 1) sˆ22

tc se compara con tt = t1-α/2 n1+ n2 -2 Sitc> tt

n1 + n2 − 2

 Se Rechaza Ho

ENSAYO DE HIPOTESIS CON DOS GRUPOS INDEPENDIENTES DIFERENCIA DE MEDIAS (σ2 desconocida)

Ho: µ1 = µ2

Ensayar la Ho de igualdad de varianzas

H1: µ1 ≠ µ2

VARIANZAS IGUALES : ejemplo

x1 = 6 n1 = 12 x2 = 7 n2 = 10 α = 0.05

sˆ12 = 2

sˆ22 = 1.5

ˆs p = (12 −1)2 + (10 −1)1.5 = 1.332 12 + 10 − 2

6−7 tc = = −1.753 t0.975;20 = 2.09 tc<  tt No Se Rechaza Ho 1.332 1 + 1 12 10

ENSAYO DE HIPOTESIS CON DOS GRUPOS INDEPENDIENTES DIFERENCIA DE MEDIAS (σ2 desconocida)

Ho: µ1 = µ2

VARIANZAS DISTINTAS tc se compara con

t1-α/2 ; donde n’ son los grados de libertad corregidos

ν '=

Ensayar la Ho de igualdad de varianzas

H1: µ1 ≠ µ2

Estadistico de prueba ν’

tc =

x1 − x2 sˆ12

n1

+

sˆ22

n2

( sˆ12 / n1 + sˆ22 / n2 ) 2

( sˆ12 / n1 ) 2 /(n1 −1) + ( sˆ22 / n2 ) 2 /( n2 −1)

Sitc> tt  Se Rechaza Ho

ENSAYO DE HIPOTESIS CON DOS GRUPOS INDEPENDIENTES DIFERENCIA DE MEDIAS (σ2 desconocida)

Ho: µ1 = µ2

Ensayar la Ho de igualdad de varianzas

H1: µ1 ≠ µ2

VARIANZAS DISTINTAS : ejemplo

x1 = 6 n1 = 12 x2 = 7 n2 = 10 α = 0.05

ν '=

sˆ12 = 2

sˆ22 = 1.5

6−7 tc = = −1.777 2 + 1.5 12 10

(2 / 12 + 1.5 /10) 2 (2 / 12) 2 /(12 −1) + (1.5 / 10) 2 /(10 −1)

t0.975;19 = 2.09 tc<  tt No Se Rechaza Ho

= 19.96 ≅ 19

TEST DE RANGOS Mann- Whitney- Wilcoxon  Se utiliza para contrastar la hipótesis de igualdad de medianas entre dos grupos independientes - variables ordinales - variables de intervalos o de razón cuando no se cumplen los supuestos para las pruebas paramétricas  Asignar rangos a las observaciones de los dos grupos como si fueran uno solo  n1 = Tamaño del grupo mayor ; n2 = tamaño del grupo menor n = n1 +n2 Calcular R suma de rangos del grupo menor Calcular Sc =2R - n2(n+1) El valor de Sc se compara con el valor critico St en tablas especiales Ho se rechaza si Sc >  St 

ejemplo: Grupo A

valores originales 10 11 13 15

17

19

Grupo B

9

14

15

17

12

13

n2 = 6 20

n1 = 7

n = 13

rangos Grupo A

2

3

5.5

8.5

10.5

12

Grupo B

1

4

5.5

7

8.5

10.5

R = 41.5 13

Sc = 2(41.5) -6(13+1) = -1 ; St =30 ⇒ Sc <  St No se Rechaza ho Aproximación normal Si al menos uno de los dos grupos es de tamaño mayor que 26:

n1n2 (n +1) 2 σ = z c = Sc

σs

Sc = S-1 , si S > 0

3

Sc = S+1 , si S < 0

donde S = 2 R - n2(n+1)