Random Variable

สรุปบทที่ 4-6

1

บทที่ 4 ตัวแปรสุมและการแจกแจงของตัวแปรสุม การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม (Probability distribution of random variable) p.d.f = probability density function ⇒ P(X=x) หรือ f(x) ตัวแปรสุมตอเนื่อง (continuous) 1. f(x) ≥ 0

ตัวแปรสุมไมตอ  เนื่อง (discrete) 1. P(X=x) ≥ 0 2.

∞

∑ P(X = x) = 1

2.

∀x

∫ f(x)dx = 1

−∞

คาคาดหมาย (Expected Value) E(x) = ∑ xP(X = x) = ∑ xf(x) = ∫ xf(x)dx

คุณสมบัติ 1. E(aX+b) = aE(X) + b 2. E(X±Y) = E(X) ± E(Y) 3. E(XY) = E(X)E(Y)

เมื่อ X,Y เปนอิสระตอกัน

ความแปรปรวน (Variance) Var(X) = σ2X = E[X − E(X)]2 = E(X 2 ) − [E(X)]2 โดย E(X 2 ) = ∑ x 2P(X = x) = ∫ x 2 f(x)dx

คุณสมบัติ 1. Var(aX) = a2Var(X) 2. Var(X+b) = Var(X) 3. Var(aX+b) = a2Var(X) 4. Var(X±Y) = Var(X) + Var(Y) 5. Var(aX±bY) = a2Var(X) + b2Var(Y)

เมื่อ X,Y เปนอิสระตอกัน เมื่อ X,Y เปนอิสระตอกัน

การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม ไมตอเนื่อง 1. ฺBernoulli, X~Ber(p) 2. Binomial, X~B(n,p) 3. Hypergeometric, X~h(N,n,k) 4. Poisson, X~Poi(λ)

ตอเนื่อง 1. Normal, X~N(μ,σ2)

สรุปบทที่ 4-6

2

Bernoulli Distribution: X~Ber(p) P(X=x) = px(1-p)1-x เมื่อ x = 0,1 • • • • • •

ทดลอง 1 ครั้ง ผลที่ไดมี 2 ทางคือ X = 0 หรือ X = 1 โอกาสที่ X = 1 คือ p → P(X=1) = p โอกาสที่ X = 0 คือ 1-p → P(X=0) = 1-p E(X) = p Var(X) = p(1-p)

Binomial Distribution: X~B(n,p)

⎛n⎞ P(X = x) = ⎜ ⎟ p x (1 − p)n − x เมื่อ x = 0, 1, 2 …, n ⎝x⎠ • • • •

ทดลอง Bernoulli ซ้ํา ๆ n ครัง้ X = จํานวนครัง้ เกิดเหตุการณที่สนใจ E(X) = np Var(X) = np(1-p)

Hypergeometric Distribution: X~h(N,n,k) ⎛ k ⎞ ⎛N − k ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ x n − x⎠ P(X = x) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎛N⎞ ⎜ ⎟ ⎝n⎠

• • • • • • Poisson Distribution: X~Poi(λ) P(X = x) =

• • • •

e −λ λ x เมื่อ x = 0, 1, 2. 3, … x!

λ = คาเฉลีย ่ เหตุการณที่เปนไปไดแบงออกเปน 2 พวก E(X) = λ Var(X) = λ

N = จํานวนทั้งหมด n = จํานวนทีส ่ ม ุ หยิบ k = จํานวนทีส ่ นใจทั้งหมด x = จํานวนที่สนใจทีส ่ ุมหยิบได nk E(X) = N k⎛ k ⎞⎛N − n⎞ Var(X) = n ⎜ 1 − ⎟ ⎜ N⎝ N ⎠ ⎝ N − 1 ⎟⎠

สรุปบทที่ 4-6

3

Normal Distribution: X~N(μ,σ2)

• • •

การแจกแจงแบบปกติ พ.ท. ใตกราฟรวม = 1 กราฟสมมาตร ที่กึ่งกลาง X = μ หรือ Z = 0 x−μ Z= σ เปดตาราง Z

• • •

f(x) =

1 σ 2π

e

1 ⎛ x −μ ⎞ − ⎜ ⎟ 2⎝ σ ⎠

2

บทที่ 5 การสุม  ตัวอยางเบือ ้ งตนและการแจกแจงของคาสถิติ

คาพารามิเตอร

คาสถิติ

คาเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร

คาเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอยาง

N

μ=

∑x i =1

n

i

x=

N

คาความแปรปรวนของประชากร 2

σ =

i =1

N N

=

∑X i =1

N

2 i

i =1

n

n

2

s =

∑ (X i =1

=

∑X i =1

σ = σ2

− X)2

2 i

( )

−n X

2

n −1

⎛ n ⎞ n∑ X i2 − ⎜ ∑ X i ⎟ i =1 ⎝ i=1 ⎠ = n(n − 1) n

คาสวนเบีย ่ งเบนมาตรฐานของประชากร

i

n −1 n

− μ2

i

คาความแปรปรวนของตัวอยาง

N

∑ (Xi − μ)2

∑x

2

คาสวนเบีย ่ งเบนมาตรฐานของตัวอยาง s = s2

สรุปบทที่ 4-6

4

การสํารวจขอมูลทางสถิติ • การสํามะโน (Census) • การสํารวจดวยตัวอยาง (Sample survey) วิธก ี ารสุมตัวอยาง (Random sampling) • การสุมตัวอยางแบบงาย • การสุมตัวอยางแบบเปนระบบ, i = N/n เมื่อ N = จํานวนประชากร n = จํานวนตัวอยาง i = ความกวางชวงในการสุม • การสุมตัวอยางแบบชั้นภูมิ • การสุมตัวอยางแบบแบงกลุม • การสุมตัวอยางแบบหลายชั้น การแจกแจงคาสถิติ • คาสถิตท ิ ี่ไดจากการสุมตัวอยางเปนตัวแปรสุม การแจกแจงคา X ของตัวอยาง

•

ประชากรแจกแจงแบบปกติและรูค  า σ2

สุมแบบคืนที่ (ไมรูคา  N) 1. E(X) = μ X = μ

2. Var(X) = σ2X =

3. σ X =

สุมแบบไมคืนที่ (รูคา  N) 1. E(X) = μ X = μ

σ2 n

2. Var(X) = σ2X =

σ

3. σ X =

n

Z=

σ

σ2 ⎛ N − n ⎞ n ⎜⎝ N − 1 ⎟⎠

N−n N −1

n

X−μ σ

n

•

ประชากรแจกแจงแบบไมปกติ รูคา  σ2 และ n > 30 (Central limit theorem) o ใหประมาณคาเทากับแจกแจงแบบปกติ

•

ประชากรแจกแจงปกติแตไมรู σ2 และ n ≥ 30 o

•

คิดแบบแจกแจงปกติโดยใช s แทน σ ดังนั้น Z =

ประชากรแจกแจงปกติแตไมรู σ2 และ n < 30 o t-distribution o degree of freedom = n-1 X−μ o Tα ,n −1 = s n o เปดตาราง t

X−μ s

n

สรุปบทที่ 4-6

5

การแจกแจงของสัดสวน (p) ตัวอยาง ประชากรสนใจ = สัดสวนประชากร (Population proportion) n ต.ย.สนใจ = สัดสวนของตัวอยาง (Sample proportion) p= N π=

•

p แจกแจงแบบปกติ p ~ N(μp , σp2 ) = N(π,

•

Z=

π(1 − π) ) n

p−π π(1 − π) n

การแจกแจง s2 ของตัวอยาง

• • • • •

ประชากรแจกแจงแบบปกติ s2 จะได แจกแจงลักษณะเบขวา ใช Chi-Square distribution Degree of freedom = n-1 เปดตาราง χ2 (n − 1)s 2 χ2 = σ2

บทที่ 6 การประมาณคาและการทดสอบสมมติฐาน การอนุมานทางสถิติ

1. การประมาณคา (Estimation) 2. การทดสอบสมมติฐาน (Test of Hypothesis)

การประมาณคาพารามิเตอรของประชากรกลุมเดียว

1. แบบจุด (Point Estimation) • μX •

πp

• σ2  s 2 2. แบบชวง (Interval Estimation) คุณสมบัตบ ิ างประการของตัวประมาณคาทีด ่ ี 1. ความไมเอนเอียง (Unbiasedness) • ˆ θ เปนตัวประมาณคาแบบจุดของ θ • E(ˆ θ) = θ

2. ความมีประสิทธิภาพ (Efficiency) • ˆ θ1 , ˆ θ2 เปนตัวประมาณคาไมเอนเอียงของ θ •

ถา Var(ˆ θ1 ) < Var(ˆ θ2 ) แลว ˆ θ1 มีประสิทธิภาพมากกวา ˆ θ2

θ1 วา “ตัวประมาณคาที่ไมเอนเอียงและมีความแปรปรวนต่าํ สุด” (MVUE) • เรียก ˆ 3. ความสอดคลอง (Consistency) lim E X = μ •

( ) lim Var ( X ) = 0

n →∞

•

n →∞

สรุปบทที่ 4-6

6

การประมาณคาแบบชวงของพารามิเตอรของประชากรกลุมเดียว การหาขอบเขตที่เชื่อมั่นไดของคาเฉลี่ยประชากรกลุมเดียว (μ) แบงเปน 3 กรณี

α คือ ความนาจะเปนของความคลาดเคลื่อน (1-α)100% คือ ขอบเขตที่เชื่อมั่นได

•

รูคา σ2 σ

X ± Zα

n

2

•

ไมรู σ2 และ n ≥ 30 s X ± Zα n 2

•

ไมรู σ2 และ n < 30 (ใชการกระจาย t, degree of freedom = n-1) s X ± tα ,n −1 n 2

การประมาณคาแบบชวงของพารามิเตอรของประชากรกลุมเดียว การหาขอบเขตที่เชื่อมั่นไดของความแปรปรวนประชากรกลุมเดียว (σ2)

( n − 1) s 2 χ2 α 2

< σ2 <

χ2 α 2

,n −1

χ2

α 1 − ,n −1 2

,n −1

( n − 1) s 2

( n − 1) s 2

<σ<

( n − 1) s 2 χ2

α 1 − ,n −1 2

สรุปบทที่ 4-6

7

การประมาณคาแบบชวงของพารามิเตอรของประชากรกลุมเดียว การหาขอบเขตที่เชื่อมั่นไดของคาสัดสวนประชากรกลุมเดียว (π) π(1 − π) ) n

•

ถา n มีขนาดใหญ p ~ N(μp , σp2 ) = N(π,

•

ขอบเขตที่เชื่อมั่นได (1-α)100% ของ π คือ p ± Z α 2

p(1 − p) n

การกําหนดขนาดตัวอยาง • การกําหนดขนาดตัวอยางในการประมาณคาเฉลี่ยประชากร (μ) 2

2

⎛ Zαs ⎞ ⎛ Zασ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ n≥⎜ หรือ n ≥ ⎜ 2 ⎟ เมื่อ e แทนความคลาดเคลื่อนในการประมาณคา ⎟ ⎜ e ⎟ ⎜ e ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

•

การกําหนดขนาดตัวอยางในการประมาณคาสัดสวนประชากร (π) ⎛ Zα ⎜ n≥⎜ 2 ⎜ e ⎝

2

⎞ ⎟ ⎟ p(1 − p) ⎟ ⎠

การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับพารามิเตอรของประชากรกลุมเดียว

สมมติฐาน

1. สมมติฐานหลัก หรือ สมมติฐานวาง (Null Hypothesis), H0 2. สมมติฐานเลือก หรือ สมมติฐานแยง (Alternative Hypothesis), H1, Ha

ขอสังเกต • H0 คือ สมมติฐานที่ตองการทดสอบ ตองมีเครื่องหมาย “=” เสมอ • H0 กับ H1 เปนดานตรงขามของกันและกัน • สมมติฐานจึงมี 3 รูปแบบ แบบที่ 1

แบบที่ 2

แบบที่ 3

H0 : θ ≤ θ0

H0 : θ ≥ θ0

H0 : θ = θ0

H1 : θ > θ0

H1 : θ < θ0

H1 : θ ≠ θ0

เมื่อ θ = พารามิเตอรทต ี่ องการทดสอบ θ0 = คาคงทีท ่ ต ี่ องการทดสอบ

สรุปบทที่ 4-6

8

ประเภทของการทดสอบสมมติฐาน 1. การทดสอบแบบหางเดียว (One-tailed test) • ขนาดของบริเวณวิกฤตมีคา เทากับ α (ระดับนัยสําคัญ) • บริเวณวิกฤตจะอยูที่หางดานใดดานหนึ่งเพียงดานเดียว

หางเดียวทางขวา คือ H1 : θ > θ0 • บริเวณวิกฤตอยูที่ปลายทางดานขวา

หางเดียวทางซาย คือ H1 : θ < θ0 • บริเวณวิกฤตอยูที่ปลายทางดานซาย

2. การทดสอบแบบสองหาก (Two-tailed test) • บริเวณวิกฤตจะอยูที่หางทั้ง 2 ดาน • H1 : θ ≠ θ0

หลักการ • ถาคาสถิตท ิ ี่คํานวณตกอยูในบริเวณวิกฤต → ไมยอมรับ H0 การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับคาเฉลี่ยของประชากรกลุมเดียว (μ) แบงออกได 3 กรณี • รูคา σ2 X − μ0 Z cal = σ n 2 • ไมรู σ และ n ≥ 30 X − μ0 Z cal = s n สมมติฐานเลือก H1 H1 : μ > μ0 H1 : μ < μ0 H1 : μ ≠ μ0

บริเวณวิกฤต Z cal > Z α Z cal < −Z α Z cal > Z α หรือ Z cal < −Z α 2

•

2

ไมรู σ2 และ n < 30 (ใชการแจกแจง t) X − μ0 t cal = s n

สมมติฐานเลือก H1 H1 : μ > μ0 H1 : μ < μ0 H1 : μ ≠ μ0

บริเวณวิกฤต t cal > t α ,n −1

t cal < −t α ,n −1 t cal > t α 2

,n −1

หรือ t cal < −t α 2

,n −1

สรุปบทที่ 4-6

9

การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับคาความแปรปรวนของประชากรกลุม  เดียว (σ2)

•

χ2cal =

(n − 1)s 2 σ20

สมมติฐานเลือก H1 H1 : σ2 > σ20

บริเวณวิกฤต χ2cal > χ2α ,n−1

H1 : σ2 < σ20

χ2cal < χ12−α ,n−1

H1 : σ2 ≠ σ20

χ2cal > χ2α 2

,n −1

หรือ χ2cal < χ2

α 1 − ,n −1 2

การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับคาสัดสวนของประชากรกลุมเดียว (π)

•

Z cal =

p − π0 π0 (1 − π0 ) n

สมมติฐานเลือก H1 H1 : π > π0 H1 : π < π0 H1 : π ≠ π0

บริเวณวิกฤต Z cal > Z α Z cal < −Z α Z cal > Z α หรือ Z cal < −Z α 2

2

ความคลาดเคลื่อนในการทดสอบสมมติฐาน 1. Type I error • α = P(ปฏิเสธ H0| H0 เปนจริง) 2. Type II error • β = P(ยอมรับ H0| H0 เปนเท็จ) • 1-β = P(ปฏิเสธ H0| H0 เปนเท็จ) = อํานาจการทดสอบ (Power of the test)

ความเปนจริง

การตัดสินใจ ยอมรับ H0 ปฏิเสธ H0

H0 เปนจริง การตัดสินใจถูกตอง α

H0 เปนเท็จ β การตัดสินใจถูกตอง