Rachunek Sciaga Egzamin - Szara

ESTYMATORY 1. Celem zastosowania estymatora jest znalezienie parametru rozkładu cechy w populacji. 2. Estymator Tn parametru θ to dowolna statystyka z próby Tn=t(X1,X2,...,Xn), pozwalająca wyznaczyć wartości parametru θ. Tn jest zmienną losową, mającą rozkład zależny od parametru θ. 3. Oceną parametru nazwiemy każdą realizację tn zmiennej losowej Tn. Błąd szacunku d = Tn – θ. 4. Własności estymatorów: A)Nieobciążoność - estymator jest nieobciążony, jeśli wartość oczekiwana rozkładu estymatora jest równa wartości szacowanego parametru: E(Zn)= θ B) estymator nazywamy obciążonym jeśli różnica pomiędzy wartością oczekiwaną rozkładu estymatora a wartością szacowanego parametru jest zależna funkcyjnie od estymatora: samą różnicę nazywamy obciążeniem estymatora. E(Zn)- θ=b(Zn) C) Asymptotyczna nieobciążoność - estymator nazywamy asymptotycznie nieobciążonym, jeśli obciążenie estymatora dąży do zera przy rosnącej liczebności próby: lim(przy n→∞)b(Zn)=0 D) Zgodność - estymator nazywamy zgodnym, jeśli jest stochastycznie zbieżny do szacowanego parametru: lim(przy n→∞) P{|Zn- θ|<є}=1. Inaczej: zwiększając liczebność próby, zmniejszamy ryzyko popełnienia błędu. E) Efektywność Spośród zbioru wszystkich nieobciążonych estymatorów Zn1, Zn2..., Znr . najefektywniejszym nazywamy estymator o najmniejszej wariancji.F) Asymptotyczna efektywność Estymator Zn jest asymptotycznie najefektywniejszy, jeśli przy wzrastającej liczebności próby wariancja estymatora Zn dąży do wariancji estymatora najefektywniejszego Zn*: lim(przy n→∞) D2(Zn) / D2(Zn) = 1. gdzie D2(Zn) oznacza wariancję estymatora. 5. Metody wyznaczania estymatorów A) Metoda momentów Etap 1. Przedstawiamy momenty jako funkcje parametrów rozkładu w taki sposób, aby powstały w ten sposób układ równań miał jednoznaczne rozwiązanie.: η1 = f1(θ1,θ2,...,θr), η2 = f2(θ1,θ2,...,θr), [...], ηr = fr(θ1,θ2,...,θr) Etap 2. Rozwiązujemy układ równań względem parametrów θi i w miejsce momentów z populacji ηi wstawiamy momenty z próby Mi B) Metoda największej wiarygodności Etap 1. Wyznaczamy funkcję wiarygodności próby zgodnie ze wzorem: L(x1,...,xn; θ1..., θr)=∏(od i=1, do n) f(xi; θ1,..., θr) gdzie f oznacza funkcję gęstości rozkładu, zaś p funkcję prawdopodobieństwa. Etap 2. Wyznaczamy lnL Etap 3. Wyznaczamy pochodne cząstkowe ∂lnL / ∂θi dla i = 1,...,r Etap 4. Rozwiązujemy układ równań ∂lnL / ∂θi = 0 względem θi . Rozwiązanie układu stanowią estymatory szukanych parametrów. C)nieobciazonosc – należy sprawdzic czy E(p^)=p jeśli tak, to jest nieobc.b F. 1D, 2D, EX, ROZKLAD JEDNOSTAJNY, F. CHARAKTEYSTYCZNA, NIEZALEZNOSC, GESTOSC, 1. Funkcja zm.los 1D:funkcja prawdopodobieństwa to tabelka xi, p(X=xi) A)E(X)= ∑(od i do n)xipi //stos. kiedy mamy podany rozklad w tabelce B)fy(y)=fx(h-1(y))|[h-1(y)]’|, gdzie y=h(x), x=h-1(y) //np: zm.los.X ma gestosc fx(x), znalezc gęstość fy(y) dla y=arctgX C)rozklad jednostajny na przedziale (a,b) → fx(x)={1/(b-a) dla x∈ (a, ), 0 dla x ∉ (a,b)}, E(Y)=∫(-,+∞) y(x)∙fx(x)dx 2.funkcja charakterystyczna: A)φ(t)=E(eitX), φ(t)={∑eitxk∙pk gdy X jest skokowe, ∫(-.+∞)eitx∙f(x) dla x ABS} B)własności: 1. φ(0)=1 2.φ(-t)= φ(t)* [sprzężona] 3.|φ(t)|≤1. 4.φ(t) jest jednostajnie ciągla w calej dziedzinie, eitx=cos(tx)+i∙sin(tx) C)dla niezależnych X i Y φX+Y(t)= φx(t)∙φy(t) D)E(Xk)=φ(k)(0)/ik //np.:E(X)=φ’(0)/i 3.Zm. los. 2D skokowe: A)X i Y są niezależne jeżeli iloczyn prawd. brzegowych = prawdopodobieństwu P(y=yi, x=xi) B)X i Y są nieskorelowane jeżeli ich wsp korelacji ρ=0, czyli kowariancja =0. ρxy=cov(x,y)/σxσy, gdzie cov(x,y)=E(X-EX)∙(Y-EY)=E(XY)-EXEY, gdzie E(XY)=∑(od i)∑(od j) xiyj∙pij, gdzie pij=P(X=xi, Y=yi) 4.Zm.los 2D ABS: A)łączna gęstość: f(x,y)={ c dla (x,y) ∈ D, 0 dla (x,y) ∉ D}, gdzie D jest obszarem zakreskowanym. c=1/|D| B)gęstości brzegowe: fx(x)=∫(-,+∞) f(x,y)dy, fy(y)=∫(-,+∞) f(x,y)dx C)X i Y są niezależne ↔ łączna gęstość(lub dystr) jest iloczynem gęstości(dystr) brzegowych. D)gdy dana jest dystr. łączna F(x,y), to dystr x i y liczymy: Fx(x)=lim(przy y→∞) F(x,y), Fy(y)= lim(przy x→∞) F(x,y) E)gdy X i Y sa niezależne to P(X0), to P.P. jest jednorodny, a stała λ to jego intensywność. INACZEJ: S.L. nazywamy strumieniem lub P.P. gdy jest strumieniem bez następstw, stacjonarnym i pojedynczym. 4.Suma 2 jednorodnych P.P. o intensywnościach λ1 i λ2 jest jednorodnym P.P. o intensywności λ1+ λ2 5.Prostym potokiem sygnałów lub poissonowskim ciągiem punktów los. nazywamy ciąg punktów los. τ1=T1, τ2=T1+T2 … τn=T1+T2+…+Tn na półosi dodatniej <0,∞> 5.Proces Palma – w określeniu P.P. warunek braku następstw zastępujemy warunkiem, że odstępy czasu Tk są niezależnymi zmiennymi losowymi. P{Tk