Rac Network

Chapter 4 Modelling in the Time Domain

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 1

Outline 1 The General State-Space representation. 2 Applying the state-space representation. 3 Converting a transfer function to state-space function. 4 Converting from state-space to a transfer function.

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 2

Avantage - used with multiple-inputs, multipleoutputs system. - can be used for the same class of system modeled by the classical approach. - can be used to represent nonlinear systems that have backlash, saturation and dead zone.

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 3

Some Observations 1. We select a particular subset of all possible system variables and call the variables in this subset state variables. 2. For the nth order system, we write n simultaneous, first order differential equations in terms of the state variables. We call this system of simultaneous differential equations state equations. 3. If we have the initial condition of all of the state variables at t0 as well as the system input for t≥ t0. We can solve the simultaneous differential equations for the state variables for t≥t0. 240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 4

4. We algebraically combine the state variables with the system’s input and find all of the other system variables for t≥t0. We call this algebraic equation the output equation. 5. We consider the state equations and the output equations a variable represent of the system. We call this representation of the system a state-space representation.

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 5

Example Consider the value changes at each step. We have to find input and output equation.

RL network 240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 6

1. We select the current, i(t), for which we will write and solve a differential equation using Laplace Transforms. 2. We write the loop equation.

di L Ri =v t  dt

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 7

3. Taking the Laplace transformation and including the initial conditions, yield.

L [sI s −i 0]RI s =V s  Assuming the input, v(t), to be unit step, u(t), where Laplace Transform is V(s) = 1/s, so we solve for I(s) and get

i 0 1 1 1 I s =  −  R s R R s s L L 240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 8

4. We can now solve of all other network variables algebraically in term of i(t) and the applied voltage, v(t). The voltage across the resistor is :

v R t =Ri t  The voltage across the resistor is

v L t =v t −Ri t 

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 9

The derivative of the current is

di 1 = [v t −Ri t ] dt L Thus, knowing the state variable, i(t), and the input, v(t), we can find the value or state, of any network variable at any time, t≥t0. Hence, the algebraic equations presented are output equations.

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 10

RLC network (second order)

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 11

Second order system 1. Since the network is of second order, two simultaneous, first order differential equations are needed to solve for two state variables. We select i(t) and q(t), the change on the capacitor, as the two state variables. 2. Writing the loop equation yields di 1 L Ri  ∫ idt =v t  dt C 240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 12

Converting to charge, using i(t) = dq/dt, we get : 2

d q dq 1 L 2 R  q =v t  dt C dt nth-order differential equation can be converted to n simultaneous first-order differential equation of the form : dx i =a i1 x 1a i2 x 2...a in x n b i f t  dt 240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 13

If dq =i Then

dt di −1 R 1 = q − i  v t  dt LC L L

3. These equations are the state equations and can be solved in simultaneously for the state variables, q(t) and i(t), using the Laplace transform, if we known the initial condition for i(t) and q(t) and if we know v(t), the input. 240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 14

4. From equation in 2. We can solve for all other network variables. Example, voltage across inductance as :

−1 v L t = q t −Ri t v t  C

5. The combined state equation for input(2) and output(4), we call a state-space representation.

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 15

We can write in vector-matrix form as follow : .

x =AxBu .

[ ]

[ ] 0 u=v t  B =[ ; 1/ L ]

dq /dt x= ; di /dt

0 1 A= −1/LC −R /L

[]

q x= ; i y =CxDu

y =v L t ; C= [−1/C −R ] ; 240-209 : Modelling in the Time Domain

[]

x = q ; D =1 ; u=v t  i ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 16

If we select VR and VC as state variables then we have state equation : dv R −R R R = v R − v C v t  dt L L L dv C 1 = vR dt RC

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 17

The General State-Space Representation Linear combination : A linear combination of n variables, xi, for i=1 to n is given by the following sum S : S = Knxn + Kn-1xn-1 + ... + K1x1 Linear independence : A set of variables is said to be linearly independent if none of variables can be written as a linear combination of the other. System variable : Any variable that responds to an input or initial condition in a system. State variable : The smallest set of linearly independent system variables such that the values of the members of the set at time t0 along with known forcing functions completely determine the value of all system variables for all t ≥ t0 240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 18

State vector : A vector whose elements are the state variables. State space : The n-dimentional space whose axes are the state variables. State equation : A set of n simultaneous, first-order differential equations with n variables, where the n variables to be solved are the state variables. Output equation : The algebraic equation that expresses the output variables of a system as linear combinations of the state variables and the inputs.

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 19

Graphic representation of state space and a state vector

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 20

Applying the State Space Representation The state of a system is define as the minimum number of initial number of the initial conditions that must be specified at some initial time t0 to determine completely the dynamic behavior of the system for t ≥ t0 when given its input r(t) for t ≥ t0. The state variable must be linearly independent.

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 21

The number and choice of state variables depend on the level of detail desire in the dynamic model selected to describe a given physical system. In general, an nth-order model has n state variables with n corresponding first-order differential equations express terms of these state variables.

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 22

dx 1 =a 11 x 1...a 1n x n b 11 u 1...b 1r u r dt dx 2 =a 21 x 1...a 2n x n b 21 u 1...b 2r u r dt ⋮ ⋮ dx n =a n1 x 1...a nn x n b n1 u 1...b nr u r dt

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 23

[

a 11 a 12 A= a 21 a 22 ⋮ a n1 a n2

[

b 11 b 12 b b 21 22 B= ⋮ b n1 b n2 240-209 : Modelling in the Time Domain

⋯ a 1n ⋯ a 2n ⋱ ⋮ ⋯ a nn

⋯ ⋯ ⋱ ⋯

] []

b 1r b 2r ⋮ b nr

x1 x= x 2 ⋮ xn

] [] u1 u u= 2 ⋮ ur

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 24

y 1=c 11 x 1...c 1n x n d 11 u 1...d 1r u r y 2=c 21 x 1...c 2n x n d 21 u 1...d 2r u r ⋮ ⋮ y m =c m1 x 1...c mn x n d m1 u 1...d mr u r

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 25

[] [ [

y1 y y= 2 ⋮ yn

240-209 : Modelling in the Time Domain

] ]

c 11 c 12 c c 21 22 C= ⋮ c m1 c m2

⋯ c 1n ⋯ c 2n ⋱ ⋮ ⋯ c mn

d 11 d 12 d d 21 22 D= ⋮ d m1 d m2

⋯ d 1r ⋯ d 2r ⋱ ⋮ ⋯ d mr

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 26

.

x =AxBu

y =CxDu

x. = state vector x = derivative of the state vector with respect to time y = output vector u = input or control vector A = system matrix B = input matrix C = output matrix D = feedforward matrix 240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 27

Example

v i =R1×i1VC1

KVC1=R2×i2VC2 240-209 : Modelling in the Time Domain

dVC1 i1=C1 =C1 VC1 ˙ dt

dVC2 i2=C2 =C2 VC2 ˙ dt ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 28

We select the state variables x1 = VC1 and x2 = VC2 . Substitute into the equations and si mplifying gives the component equation :

1 Vi x1=− x1 ˙ R1C1 R1C1 K 1 x2= x1− x2 ˙ R2C2 R2C2

y =x2 240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 29

[

1 − R1C1 A= K R2C2

C =[0 1]

240-209 : Modelling in the Time Domain

0 1 − R2C2

]

[ ]

1 B = R1C1 0

D =0

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 30

[ ][ ] .

−1 . = R1C1 x2 K R2C2 x1

0

−1 R2C2

[ ]

1 x1  R1C1 u x2 0

[ ]

Y =[ 0 1 ] x=x2

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 31

Example Find state equation and output equation of the circuit below when v(t) is input and vC(t) is output R1 v(t) +-

240-209 : Modelling in the Time Domain

i1(t)

R2 L

i2(t) C

+ -

vc(t)

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 32

Laplace transform solution of State equation x˙ =AxBu

y=CxDu s X s−X 0=AX sBU s s I −AX s=X 0BU s −1

X s =s I −A X 0BU s  240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 33

Converting a Transfer Function to State Space At the beginning, there are two methods of representing systems : 1. The transfer function. 2. The state-space representation. These two methods can convert to each other.

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 34

Converting a Transfer Function to State Space n

n −1

d y d y dy a 0 y =b 0 u n a n−1 n−1 ...a 1 dt dt dt

x1 = y dy x2 = dt ⋮ n−1 d y xn = n−1 dt 240-209 : Modelling in the Time Domain

dy x˙1 = dt 2 d y x˙2 = 2 dt ⋮ n d y x˙n = n dt ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 35

x˙1=x 2 x˙2 =x 3 ⋮

x˙n =−a 0 x 1−a1 x 2−...−a n−1 x n b 0 u

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 36

[] .

x1 .

[

0 1 0 ...0 x2 = 0 0 1 ...0 ⋮ −a 0 −a 1 −a 2 ...−a n−1 . xn

240-209 : Modelling in the Time Domain

][ ] [ ]

x1 0 x2  ⋮ u ⋮ b0 xn

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 37

[]

x1 x2 y=[ 1 0 0 ⋯ 0 ] x 3 ⋮ xn

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 38

Example Find the state space representation of the system below

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 39

Step 1.

C s  24 = 3 2 R s  s 9s 26s24 Cross-multiplying yields 3

2

s 9s 26s24C s =24R s 

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 40

The corresponding differential equation is found by taking inverse Laplace transform, assuming zero initial conditions: ...

..

.

c 9 c 26 c 24c=24r

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 41

Step 2. Select the state variables. x 1=c

.

..

x 2 =c

x 3=c

Then compose state input and output equations: Differential equation .

x 1=

x2

.

x 2=

x3

.

x 3=−24x 1−26x 2−9x324r 240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 42

Output equation y =c =x 1

Matrix form

[ [] .

x1

0 . x2 = 0 −24 . x3

240-209 : Modelling in the Time Domain

1 0 −26

0 1 −9

][ ] [ ]

x1 0 x2  0 r 24 x3

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 43

[]

x1 y =[ 1 0 0 ] x 2 x3

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 44

Block Diagram of the system

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 45

Decomposing a transfer function When the transfer function has nominator

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 46

Transfer function can be decompose to 2 transfer function

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 47

Example Find the state space representation of the system below

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 48

Transfer function can be decompose to :

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 49

Equivalent block diagram

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 50

Converting From State-Space to a Transfer Function

.

x =AxBu

y=CxDu

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 51

Using Laplace Transform s X s =AX s BU s  Y s =CX s DU s 

Rearrange the state equation

s I −AX s=BU s  −1

X s =s I −A BU s

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 52

−1

Y s=C sI −A BU sDU s  −1

=C sI −A B D U s 

Y s  −1 T s = =C sI −A B D U s 

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 53

Linearization Walking robots, such as Hannibal shown here, can be used to explore hostile environments and rough terrain, such as that found on other planets or inside volcanoes. 240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 54

a. Simple pendulum; b. force components of Mg; c. free-body diagram

240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 55

2

d  MgL J 2 sin=T 2 dt .

x 1=x 2 −MgL T x 2= sin x 1  2J J .

The change of small angle let sin =

Then

.

 x 1= x 2 .

−MgL T  x 2=  x 1 2J J 240-209 : Modelling in the Time Domain

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 20 กนยายน 2547 หนา 56