R3.pdf

www.zadania.info – N AJWI EKSZY ˛ I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA N´ Z M ATEMATYKI

L UBELSKA PRÓBA PRZED MATUR A˛ Z MATEMATYKI

POZIOM ROZSZERZONY 9 MARCA 2016

C ZAS PRACY: 180 MINUT Zadania zamkni˛ete Z ADANIE 1 (1 PKT ) ˙ log 2 = a oraz log 3 = b. Zatem log8 90 jest równy Wiadomo, ze a +1 A) 2b B) 2a3b+1 C) 2b3a+1

D)

2a+1 b

Z ADANIE 2 (1 PKT ) Ile jest liczb całkowitych spełniajacych ˛ nierówno´sc´ x2 − 8| x | + 10 6 −5? A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 Z ADANIE 3 (1 PKT ) Zbiorem warto´sci funkcji y = f ( x ) jest przedział h−2, 5). Zatem zbiorem warto´sci funkcji y = −3 f ( x ) jest przedział A) h−5, 2) B) h−2, 5) C) (−15, 6i D) (−6, 15i Z ADANIE 4 (1 PKT ) ˙ ˙ W turnieju szachowym rozegrano 36 partii. Kazdy zawodnik rozegrał z kazdy dokładnie 1 mecz. Ilu zawodników brało udział w turnieju? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 Z ADANIE 5 (1 PKT ) x2 +3x −21 2 x →4− x −5x +4

Granica jednostronna lim A) +∞

B) −∞

jest równa C)

5 3

D) − 35

Zadania otwarte Z ADANIE 6 (2 PKT ) Dla jakiej warto´sci parametru m ∈ R funkcja f ( x ) = −2x5 + mx3 + 28x + 2 ma ekstremum w punkcie x = 2? Z ADANIE 7 (2 PKT ) W czworokacie ˛ wypukłym ABCD poprowadzono przekatn ˛ a˛ AC. Okr˛egi wpisane w trójkaty ˛ ˙ ˙ ˙ ABC i ACD sa˛ styczne zewn˛etrznie. Wykaz, ze w czworokat ˛ ABCD mozna wpisa´c okrag. ˛ Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 1

www.zadania.info – N AJWI EKSZY ˛ I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA N´ Z M ATEMATYKI Z ADANIE 8 (2 PKT ) Okre´sl dziedzin˛e i zbiór warto´sci funkcji f ( x ) =

1+sin2 x −cos2 x . sin2 x −sin4 x

Z ADANIE 9 (5 PKT ) ˙ Dla jakich warto´sci parametru m ∈ R pierwiastek równania log4 3 − m = log2 ( x + 3) nalezy do przedziału h3, 4)? Z ADANIE 10 (3 PKT ) Znajd´z równanie stycznej do wykresu funkcji f ( x ) = − 21 x4 + 53 x3 − 5x2 + 11x + 12, która jest równoległa do prostej o równaniu 4x − y + 7 = 0. Z ADANIE 11 (6 PKT ) Sprawd´z dla jakiego m ∈ R pierwiastki wielomianu W ( x ) = x3 − (m + 1) x2 + (m − 3) x + 3 tworza˛ ciag ˛ arytmetyczny? Z ADANIE 12 (4 PKT ) ˙ Suma nieskonczonego ´ zbieznego ciagu ˛ geometrycznego jest równa 56, a suma kwadratów wyrazów tego ciagu ˛ jest równa 448. Znajd´z pierwszy wyraz tego ciagu ˛ i napisz wzór na wyraz ogólny. Z ADANIE 13 (2 PKT ) ˙ dla kazdej ˙ ˙ Udowodnij, ze liczby rzeczywistej x i kazdej liczby rzeczywistej m prawdziwa 2 2 jest nierówno´sc´ 8x − 4mx + 2m > 12x + 6m − 18. Z ADANIE 14 (5 PKT ) W prostokatnym ˛ układzie współrz˛ednych narysuj zbiór tych wszystkich punktów o współ˙ rz˛ednych (b, c), dla których rózne pierwiastki x1 i x2 równania x2 − bx − 2c = 0 spełniaja˛ 3 3 3 warunek ( x1 + x2 ) < x1 + x2 − 6.

c +5

b

+1 -5

-1

+1

+5

-1

-5

Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 2

www.zadania.info – N AJWI EKSZY ˛ I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA N´ Z M ATEMATYKI Z ADANIE 15 (6 PKT ) Podstawa˛ prostopadło´scianu jest prostokat ˛ o stosunku boków 1:3. Obj˛eto´sc´ bryły jest równa 12. Oblicz wymiary tego prostopadło´scianu, aby jego powierzchnia całkowita była najmniejsza. Oblicz t˛e najmniejsza˛ powierzchni˛e. Z ADANIE 16 (3 PKT ) ˙ losujemy jednocze´snie trzy liczby ze zbioru Do´swiadczenie losowe polega na tym, ze

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. ˙ w´sród wylosowanych liczb b˛edzie liczba 3, Oblicz prawdopodobienstwo ´ warunkowe, ze ˙ suma wylosowanych liczb b˛edzie nieparzysta. Wynik przedstaw w popod warunkiem, ze staci ułamka nieskracalnego. Z ADANIE 17 (5 PKT ) Okrag ˛ o1 o równaniu ( x + 6)2 + (y + 7)2 = 50 oraz okrag ˛ o2 o s´ rodku S2 = (−3, −10) sa˛ wewn˛etrznie styczne, przy czym okrag ˛ o2 zawiera si˛e w kole opisanym nierówno´scia˛ ( x + 6)2 + (y + 7)2 6 50. Napisz równanie wspólnej stycznej do obu okr˛egów.

Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 3