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RAZONAMIENTO MATEMATICO QUINTO-SEXTO DE PRIMARIA

Docente: Ing. Marcos Heredia Huamani



Sucesiones y arreglos literales



Sucesiones II



Distribuciones numéricas

Sucesiones y arreglos literales Q u e r id o a m ig o , e l t e m a q u e d e s a r r o lla r e m o s h o y e s u n o d e m is f a v o r it o s ; y o s é q u e t a m b ié n s e r á d e t u a g r a d o , m e r e f ie r o , a l t e m a d e S u c e s io n e s y A r r e g lo s L it e r a le s . P e r o ¿ q u é e s u n a s u c e s ió n ? V e a m o s e l c o n c e p t o .

SUCESIÓN: Es un conjunto ordenado de números de acuerdo a una ley de formación. Dichos números son los términos de la sucesión.

P o r e j e m p lo , e l s ig u ie n t e c o n ju n t o o r d e n a d o d e n ú m e r o s : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; . . . t ie n e u n a le y d e f o r m a c ió n . En efecto, si aumentamos dos unidades a cada uno de los números, obtendremos el siguiente. Por lo tanto: (1; 3; 5; 7; 9; . . . ) es una SUCESIÓN, donde los términos mantienen un orden y se les nombra del modo siguiente: 1: 3: 5: 7:

primer término segundo término tercer término cuarto término, etc. A h o r a v e a m o s o t r a s u c e s ió n : 5 ; 7 ; 1 0 ; 1 4 ; . . . ¿ P o d r ía s h a lla r e l t é r m in o q u e s ig u e ?

Para resolver este problema, debemos encontrar la ley de formación, como se muestra a continuación:

5;

7;

+2

10;

+3

14; . . .

+4

+5

Por lo tanto el número que sigue deberá ser: 14 + 5; esto es 19.

ARREGLOS LITERALES: Es un conjunto ordenado de letras de acuerdo a un determinado criterio. Para encontrar el criterio de ordenamiento de las letras en un problema dado, es necesario conocer bien el 2

abecedario, tener en cuenta la posición de cada letra y no se debe considerar las letras compuestas "CH" y LL". P o r e je m p lo : ¿ Q u é le t r a s ig u e ? A ; C ; F; J; . . .

Este arreglo tiene cierto criterio de ordenamiento. En efecto, observemos lo siguiente:

A;

C; B

F;

J

D E

GHI

Entre "A" y "C" hay una letra intermedia; entre "C" y "F" hay dos letras intermedias; entre "F" y "J" hay tres letras intermedias. Por lo tanto entre "J" y la letra que sigue deben haber cuatro letras intermedias.

A;

C;

B

F;

DE

J; . . .

GHI

KLM N

Entonces la letra que sigue es: ______ Nota: Se puede resolver el problema anterior de otra manera, lo único que necesitamos saber es, la posición que ocupa cada letra del arreglo dado, en el abecedario.

A

B 1

C 2

Ñ

O 15

D 3

P 16

E 4

Q 17

F 5

R 18

G 6

S 19

H 7

T 20

I 8

U 21

J 9

K 10

V 22

W 23

L 11

X 24

M 12

Y 25

N 13

14

Z 26

27

R e c u e r d a q u e n o s e c o n s id e r a n la s le t r a s c o m p u e s t a s " C H " y " L L " e n a r r e g lo s lit e r a le s . Ahora observa cómo se resuelve el problema anterior, pasando del arreglo literal a una "SUCESIÓN": A; C ; F; J; . Ñ. .

P o s ic ió n e n e l a b e c e d a r io

1;

3; + 2

+ 3

6;

15

10; +4

. . . + 5

3

Como verás, el número que sigue en la "sucesión" es 15, ahora sólo tenemos que buscar la letra que ocupa la posición número 15 en el abecedario y ésta es la letra "Ñ". ¡ A h o r a , h a z lo t ú ! ¿ Q u é le t r a s ig u e e n e l s ig u ie n t e a r r e g lo lit e r a l ? C ; F; J; M ; P ; . . .

C;

F;

J;

M ;

P; . . .

R p ta .: _ _ _ _ _ _ _

EJERCICIOS PARA LA CLASE I.

Encontrar el número que sigue en cada una de las siguientes sucesiones:

4) 64; 32; 16; . . .

1) 7; 10; 15; 22; . . .

5) 2; 4; 8; 14; . . .

2) 3; 9; 5; 15; 11; . . .

3) 2; 2; 4; 12; . . . I.

6) 2; 3; 4; 7; 8; 11; . . . EJERCICIOS PARA LA CLASE

Encontrar el número que sigue en cada una de las siguientes sucesiones:

7) 5; 3; 6; 4; 8; 6; 16; . . .

10) 18; 16; 12; 6; . . . 11) 10; 12; 6; 8; 4; . . .

8) 1; 1; 2; 6; . . .

12) 3; 4; 8; 5; 9; 45; . . . 9) 2; 3; 4; 5; 8; 7; 16; . . . 4

II.

Encontrar la letra que sigue en cada uno de los siguientes arreglos literales:

1) A; D; G; J; . . .

2) B; D; G; I; L; . . .

3) A; D; I; O; . . .

4) B; C; F; G; N; . . .

5) A; B; D; D; G; F; J; . . .

6) B; C; E; H; L; . . .

TAREA DOMICILIARIA

I.

Hallar el número que sigue en cada una de las siguientes sucesiones. 1) 2; 5; 10; 13; 18; . . . 2) 2; 3; 6; 13; 18; 23; . . . 3) 26; 18; 11; 5; . . . 4) 4; 8; 5; 10; 7; 14; . . . 5) 5; 6; 12; 9; 10; 20; . . .

II. Hallar la letra que sigue en cada uno de los siguientes arreglos literales. 1) A; C; B; D; C; E; . . . 2) W; L; F; . . . 3) C; D; G; L; . . . 4) A; A; B; D; G; K; . . . 5) A; B; D; H; . . . 5

Sucesiones II E n e s t e c a p ít u lo v e r e m o s u n a g r a n " v a r ie d a d d e s u c e s io n e s " y t e n e m o s q u e e n c o n t r a r la le y d e f o r m a c ió n d e c a d a u n a d e e lla s , p a r a lu e g o h a lla r la q u e n o s p id e n .

EJERCICIOS PARA LA CLASE I.

Encontrar el número que sigue en cada una de las siguientes sucesiones: 1) 3; 4; 8; 11; 12; 24; 27; . . .

2) 2; 3; 6; 6; 18; 9; 54; . . .

3) 1; 1; 1; 2; 12; . . .

4) 1; 3; 8; 17; 31; . . .

5) 3; 3; 5; 9; 15; . . .

6

II. Encontrar el valor de "x + y" en cada una de las siguientes sucesiones: 1) 3; 1; 4; 2; 8; 6; x; y; . . .

2) 2; 5; 4; 6; 8; 7; x; y; . . .

3) 1; 3; 4; 7; 11; x; y; . . .

4) 3; 4; 6; 10; 18; 16; x; y; . . .

5) 1; 1; 2; 3; 4; 5; 8; 7; x; y; . . .

TAREA DOMICILIARIA 1.

¿Qué número sigue? 4; 5; 7; 10; 14; 19; . . .

2.

¿Qué número sigue en la siguiente sucesión? 2; 6; 3; 9; 6; 18; . . .

3.

¿Qué número sigue? 1; 17; 32; 44; 51; . . .

4.

Hallar "x + y" en: 4; 9; 12; 17; 20; x; y; . . .

5.

Hallar "y - x" en: 1; 3; 2; 6; 4; 9; 8; x; y; . . .

7

Distribuciones numéricas O b s e r v a c ó m o s e h a n d is t r ib u id o lo s n ú m e r o s e n c a d a u n a d e la s s ig u ie n t e s f ig u r a s : 1

9

4

2 2

5

17

3

5

6

x 3

¿ P o d r ía s h a lla r e l v a lo r d e " x " ?

Claro que sí, sólo tenemos que buscar la relación que existe entre los demás números dados. Veamos: De la primera figura tenemos que: de la segunda figura tenemos que:

4×2+1=9 3 × 5 + 2 = 17

y

Como verás, se ha encontrado una misma relación para las dos primeras figuras y esa relación se debe dar también en la tercera figura. Por lo tanto; de la tercera figura tenemos que: x = 6 × 3 + 5. Es decir el valor de "x" es 23

A h o r a v e a m o s u n a d is t r ib u c ió n lit e r a l. A

B

C

D

E

F

F

L

?

C

E

G

¿ Q u é le t r a f a lt a ? Para resolver este problema, sólo basta con reemplazar cada una de las letras con los números que indican la posición de éstas en el abecedario. Así tenemos: 8

1

2

3

4

5

6

6

12

?

3

5

7

De la primera figura se tiene que: 1 + 2 + 3 = 6 y de la segunda figura se tiene que: 3 + 4 + 5 = 12 Por lo tanto; en la tercera figura el número que falta es: 5 + 6 + 7; esto es 18. Entonces tenemos que buscar la letra número 18 en el abecedario y ésta es la letra "Q". EJERCICIOS PARA LA CLASE I.

1)

Hallar el valor de "x" en cada una de las siguientes distribuciones numéricas.

4

3

26

7

2

9

36

9

5

7

x

7

35

5

8

56

10

x

3)

R p ta .: _ _ _ _ _

R p ta .: _ _ _ _ _

2)

8

3

5

36

9

6

1

x

3

10

x

12

14

26

17

19

8

25

4)

R p ta .: _ _ _ _ _

5)

31

13

18

17

10

20

91

x

34

R p ta .: _ _ _ _ _

R p ta .: _ _ _ _ _ 6)

3

4

5

17

2

8

6

22

5

3

1

16

4

9

0

x

R p ta .: _ _ _ _ _ 9

5

7)

x

1

8

5

3

7

18

2

5

7

5

4

6

5

II. Hallar la letra que falta en cada una de las siguientes distribuciones literales:

C 1)

F

B

A

E

N C

J

F

?

J

G

Rpta.: _______ 10

C

E

A

F

C

H

D

2)

D B

J

F

?

Rpta.: _______

I B

3)

O D

E

? C

A

G

Rpta.: _______

4)

B

H

D

E

Ñ

C

G

?

C

Rpta.: _______ 5)

B

C

G

C

D

M

E

A

?

Rpta.: _______

11

GEOMETRIA QUINTO-SEXTO DE PRIMARIA

Docente: Ing. Marcos Heredia Huamani

å

Segmentos

å

Ángulos

å

Bisectriz de un ángulo

å

Ángulos complementarios y suplementarios Problemas

å

Triángulos: existencia y construcción

å

Clasificación de triángulos

å

Propiedades de los ángulos

å Cuadriláteros

12

Segmento Recordar: Los segmentos son porciones de rectas. Ellos se encuentran en LÍNEAS POLIGONALES y POLÍGONOS. Ejemplo:

D

J

B

N

C

A

M

E

S e d e n o ta :

K

L

S e d e n o ta :

AB, BC, CD,DE

J K,KL, LM,MN,NJ

Observación: Si dos segmentos tienen igual medida, se dice que son congruentes, y se denota por: "" Ejemplo: A

B

m (A B ) = 4 c m S e le e : m e d id a d e l s e g m e n t o A B e s 4 c m .

C

D

m (C D ) = 4 c m S e le e : m e d id a d e l s e g m e n t o C D e s 4 c m .

AB CD P o r lo t a n t o e l s e g m e n t o A B e s c o n g r u e n te a l s e g m e n t o C D .

13

AHORA, HAZLO TÚ 1.

Mide cada segmento con ayuda de una regla graduada y luego completa. B

D

F

G

A

J

I

H

C

E

O

K

P

N

M

R

L

Q

m (A B )

= ______

m (O P )

= ______

m (L M )

= ______

m (B C )

= ______

m (Q R )

= ______

m (N O )

= ______

m (C D )

= ______

m (F G )

= ______

m (P Q )

= ______

m (D E )

= ______

m (G H )

= ______

m (R N )

= ______

m (K L)

= ______

m (H I)

= ______

m (M J)

= ______

m (JK )

= ______

14

2.

Dibuja en tu cuaderno un polígono de cuatro lados donde se observen cuatro segmentos congruentes. Denótalos.

3.

Dibuja en tu cuaderno tres segmentos consecutivos sobre una misma línea (colineales), que sean congruentes. Denótalos.

4.

Dibuja en tu cuaderno un triángulo donde se observen dos segmentos congruentes. Denótalos. ¿Cuál es el nombre que recibe este triángulo?

5.

Traza cuatro segmentos consecutivos en tu cuaderno, colineales congruentes. Denótalos.

6.

Observa los datos que se dan en cada figura, luego plantea una ecuación y calcula lo que se pide. a.

c.

En la figura: A

B

C

Si "M" es punto medio del segmento AB, halla "x". A

m (A C ) = 6 4 c m

M

x -3

B

10

m (A B ) = 3 [m (B C )] H a ll a : m ( B C )

R p ta .: _ _ _ _ _ _

R p ta .: _ _ _ _ _ _

b.

d.

En la figura: D

E

F

En la figura "M" es punto medio de . Calcula el valor de "x". S

m (D F ) = 6 0 c m

3x - 3

M

x + 5

O

m (E F ) = 2 [m (D E )] H a lla : m ( E F )

R p ta .: _ _ _ _ _ _

R p ta .: _ _ _ _ _ _

R e c u e r d a t r a e r s ie m p r e : r e g la , c o m p á s y t r a n s p o r t a d o r e n la s c l a s e s d e g e o m e t r ía .

15

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO Es una recta perpendicular (90º) que divide a un segmento en dos partes iguales.

P

Lu e g o : m (A B ) = 1 0 cm . * m (A O ) = m (O B ) = 5 cm

O A

5c m

5c m

B

 P Q r e c t a m e d ia t r iz d e A B .

Q

AHORA, HAZLO TÚ 1.

Traza la mediatriz de los siguientes segmentos. (Usa el compás). a.

b.

B

A

c.

B

C

A

R

P

P

d.

Q

R Q

2.

S

Traza la mediatriz de cada uno de los lados de los siguientes polígonos. Usa compás. 16

A

B

C

D

E

G

F

H

M

L

N

I R

K

3.

O

J

Q

P

Para cada segmento dado, traza la mediatriz y marca el punto medio de dicho segmento. (Usa compás).

R

Q

V

T W A

S

U

X

Y

17

Ángulos Definición: Es la unión de dos rayos con un origen común llamado vértice. Observación: Dos rectas secantes dividen el plano en cuatro regiones angulares.

R e g ió n a n g u la r R e g ió n a n g u la r

C o lo r e a c a d a r e g ió n

R e g ió n a n g u la r

a n g u la r d e u n c o lo r d ife r e n t e .

R e g ió n a n g u la r

Luego:

A

O

Lados

: OA y OB

V é r tic e

: O

N o ta c ió n :

AOB o

BOA

B

¿Sabes cómo medir los ángulos?  Paso 1: Coloca el transportador de manera que el centro coincida con el vértice del ángulo y uno de los lados del ángulo pase por "O°".  Paso 2: Después observa en el transportador el número por el que pasa el otro lado del ángulo. Así habrás encontrado la medida del ángulo.

A 90º 120º

D

E

60º

150º

30º O

180º

0º O

B

18

AHORA, HAZLO TÚ 1.

Colorea los lados de los ángulos de azul y los vértices, de rojo. H

H

G

O

I

O L

O N

J

P

M O

2.

O

K

Con ayuda de un transportador mide los siguientes ángulos y luego completa: A

C

B

O

B

O O

D

O

C

D O

H

L

F O F

G

O

K G

= _____

= _____

= _____

= _____

= _____

= _____

= _____

19

3.

Prolonga los lados de los ángulos y luego haya sus medidas.

4.

Mide los siguientes ángulos y luego completa:

M m

M O N = ___________ = ___________ = ___________

N

O

P

B

A

= ______ = ______ = ______ O

C

R

Q

P

S

m

POQ

= ______

m

QO R

= ______

m

ROS

= ______

m

POS

= ______

O

20

C

O

= ______ = ______

E

= ______

D

X

= ______

Y

= ______ = ______ O

5.

Z

Nombra todos los ángulos que observas en las siguientes figuras:

a.

b.

A

Q

B

R

S

T

U

O

C

D

R p ta .:

P

A O B ; _____________

R p ta .: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___________________________ ___________________________

6.

Mide con el transportador (lo más exactamente posible) los siguientes ángulos: A = ______ a.

O

B

P

b.

R

= ______

Q 21

O

= ______ c.

P

K

A = ______

O

= ______ K

d.

= ______

S

22

Bisectriz de un ángulo Si tenemos el ángulo ABC, trazamos el rayo que divide en partes iguales al ABC, entonces este rayo recibe el nombre de BISECTRIZ. A

Ten e m o s: m

b is e c tr iz B

X

ABX

m

XBC

S e le e : " M e d id a d e l á n g u lo A B X e s c o n g r u e n t e a la m e d id a d e l á n g u lo X B C " .

C

Construcción de la bisectriz A

A

P B

A

P Q Paso I

C

B

P Q

C

P a s o II

B

Q

C

P a s o III

AHORA, HAZLO TÚ 1.

Usa el compás para trazar la bisectriz de cada uno de los siguientes ángulos: a.

b.

23

2.

c.

d.

e.

f.

En los siguientes casos, determina el valor de "xº": a.

b. A C

P

D

xº

O

xº

B O

• • •

• O P b is e c tr iz d e l •

E DOE

E O P = 65º

• xº = _____ _

24

F

O

O

xº

xº

Q

R H

G

S

•

•

•

•

•

•

c.

I

d.

A

•

T 10º

15º

B

e.

Q

xº P • A P b i s e c tr iz d e l • xº = ____

55º

xº

S

C

• S Q b i s e c tr iz d e l

BAC

f.

R

TSR

• xº = ____

25

TAREA DOMICILIARIA M

N P

A

B

1. 2.

O M : B is e c t r iz d e

AO B.

O N : B is e c t r iz d e

M OB.

O P : B is e c t r iz d e

NOB

A O B = 1 2 0 º , h a lla r

PO B = _______

O

Traza la bisectriz de los ángulos mostrados en la siguiente figura: Usa regla y compás.

26

Ángulos complementarios y suplementarios

A. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: Es aquel par de ángulos cuyas medidas suman 90º. A

*

Com o 60º y 30º sum an 90º, s e le s lla m a á n g u lo s c o m p le m e n t a r io s .

*

Luego se d educe que el c o m p le m e n t o d e 6 0 º e s 3 0 º

60º 30º

O

( 9 0 º - 6 0 º ) y v ic e v e r s a .

B

AHORA, HAZLO TÚ 1.

Calcula el complemento de: •20º = _________ •50º = _________ •60º = _________

• • •

0º = _________ 90º = _________ 80º = _________

2.

Si el complemento de un ángulo es 20º, ¿cuál es el ángulo?

3.

La medida de un ángulo es 30º. Calcula el doble de su complemento.

4.

Calcula "A + B". A = Complemento de 50º. B = Complemento de 60º.

5.

Si al complemento de un ángulo se le aumenta 30º, resulta igual al doble del ángulo. Halla dicho ángulo.

6.

La diferencia entre el complemento de un ángulo y el mismo ángulo es 50º. Halla dicho ángulo.

7.

Calcula "A + B - C". A = Complemento de 20º. B = Complemento de 50º. C = Complemento de 30º.

B. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS 27

Es aquel par de ángulos cuyas medidas suman 180º. C

A

120º

60º

B

O

* *

Como 120º y 60º suman 180º, se les llaman ángulos suplementarios. Se deduce que el suplemento de 120º es 60º y viceversa.

AHORA, HAZLO TÚ 1.

Halla el suplemento de: •180º = _________ •120º = _________ •90º = _________

• • •

150º = _________ 80º = _________ 0º = _________

2.

Si el suplemento de un ángulo es 100º, ¿cuánto mide el ángulo?

3.

Halla "A - B". A = Suplemento de 80º. B = Suplemento de 150º.

4.

Si al suplemento de un ángulo se le resta el mismo ángulo, el resultado es 80º. Halla dicho ángulo.

5.

El suplemento de un ángulo es igual al doble del mismo ángulo. Halla dicho ángulo.

6.

Halla "M + N - R". M = Suplemento de 60º. N = Suplemento de 100º. R = Suplemento de 120º.

PROBLEMAS SOBRE ÁNGULOS 28

1.

2.

3.

4.

Indica el tipo de ángulo en: •

20º

____________________________

•

40º

____________________________

•

90º

____________________________

•

100º

____________________________

•

120º

____________________________

•

150º

____________________________

•

180º

____________________________

Calcula el complemento de: •

20º = _______

•

60º = _______

•

0º = _______

•

70º = _______

•

80º = _______

•

90º = _______

Calcula el suplemento de: •

100º = _______

•

120º = _______

•

130º = _______

•

90º = _______

•

80º = _______

•

110º = _______

Indica con una (V) si es verdadero; y con una (F), si es falso, en los siguientes enunciados:

5.

•

30º y 60º son complementarios...............................................(

)

•

100º y 80º son suplementarios................................................(

)

•

40º; 30º y 20º son complementarios........................................(

)

• •

100º; 50º y 30º son suplementarios.........................................( 100º y -10º son complementarios............................................(

) )

El complemento de un ángulo es 60º. ¿Cuánto mide el ángulo? 29

6.

El suplemento de un ángulo es 100º. ¿Cuánto mide el ángulo?

7.

Calcula "A + B". A = suplemento de 100º. B = complemento de 50º.

8.

Si al complemento de un ángulo se le resta 30º el resultado es el mismo ángulo. Halla dicho ángulo.

9.

El complemento de "x" más el suplemento de "x" es 150º. Calcula "x".

10. El complemento de "x" es el doble de "x", halla "x". 30

11. Calcula el complemento del suplemento de: a.

120º

b.

100º

c.

150º

d.

130º

e.

170º

f.

110º

12. Calcula el complemento del suplemento del suplemento del complemento de 80º. 31

13. Calcula el suplemento del complemento de 20º más el suplemento del suplemento de 100º.

14. El suplemento de "" menos el complemento de "" es igual al ángulo menos su suplemento. Halla el ángulo.

Existencia de triángulos

32

S i t e n e m o s lo s s ig u ie n t e s s e g m e n to s :

C o n s t r u i m o s e l t r iá n g u lo :

2 cm 2 cm

2 cm

2 cm

3 cm 3 cm

Observa que: •

2-2<3<2+2 0<3<4

•

3-2<2<3+2 1<2<5

Propiedad fundamental En todo triángulo se cumple que la medida de uno de sus lados es mayor que la diferencia de los otros dos, pero menor que la suma de esos lados.

AHORA, HAZLO TÚ 1.

A continuación se proporciona tres segmentos para cada caso. Verifica aplicando la propiedad si es posible la construcción del triángulo. Si es así constrúyelo.

a.

P r o p ie d a d

5 cm

C o n s t r u c c ió n d e la fig u r a

5 cm

3 cm

33

b.

P r o p ie d a d

C o n s t r u c c ió n d e la fig u r a

5 cm 3 cm

3 cm

c.

P r o p ie d a d

C o n s t r u c c ió n d e la fig u r a

P r o p ie d a d

C o n s t r u c c ió n d e la fig u r a

P r o p ie d a d

C o n s t r u c c ió n d e la fig u r a

2 cm

2 cm

6 cm

d. 2 cm 7 cm

5 cm

e. 4 cm 4 cm

1 cm

34

2.

Determina cuál es el ángulo mayor y cuál es el lado más largo en cada triángulo. Luego completa las oraciones.

30º

15º

30º

25º

20º 60º

15º

53º

*

37º

60º

50º

75º

En todo triángulo: A la medida del ángulo mayor se opone la medida del lado _______________.

*

En todo triángulo: A la medida del ángulo menor se opone la medida del lado _______________.

35

TAREA DOMICILIARIA

1.

Los siguientes triángulos no necesariamente están correctamente dibujados, pero los datos que se dan son confiables; de acuerdo a esto halla lo que se pide en cada caso: a.

El lado mayor _______________ B

120º

A

10º 50º C

b.

El lado menor _______________ Q 5º

P

c.

150º

25º

R

El lado intermedio en tamaño _____________

130º 20º

30º

36

Clasificación de triángulos S e g ú n la m e d id a d e s u s la d o s

1.

Clasifica cada triángulo como rectángulo, obtusángulo o acutángulo. Además determina si es equilátero, isósceles o escaleno. Usa regla y transportador para una mejor precisión. a.

a

b.

a a

E q u ilá t e r o c.

a

d.

a

b I s ó s c e le s

b

a

2.

c E s c a le n o

Dibuja el triángulo indicado, de ser posible; si no, explica en el cuaderno, por qué sucede esto. a.

Rectángulo e isósceles

R e c t á n g u lo

c.

Escaleno y obtusángulo d.

Acutángulo e isósceles

O b t u s á n g u lo

e.

Acutángulo y equilátero f.

Rectángulo y equilátero

S e g ú n la m e d id a d e s u s á n g u lo s

A c u t á n g u lo

3.

b.

Escaleno y rectángulo

En todo triángulo rectángulo se cumple el importante teorema de PITÁGORAS.

37

H IP O T E N U S A

CATETO 1

(H IP O TE N U S A )2 = (C AT E TO 1 )2 + (C A TE TO 2 )2

CATETO 2

Ejemplo: P o r T e o r e m a d e P it á g o r a s : 5 cm

4 cm

5

2

= 4

2

+ 3

2

3 cm

Ahora con ayuda de una regla, toma la medida de cada lado del triángulo, anota el resultado y comprueba el teorema de Pitágoras en cada caso: (Prueba los resultados con una calculadora) A

AB = ____cm

P o r P it á g o r a s :

BC = ____cm AC = ____cm

a. B

C

P o r P it á g o r a s : E

D

D E = ____cm D F = ____cm b.

EF = ____cm

F

P o r P it á g o r a s : G

G H = ____cm H I = ____cm G I = ____cm

c.

I

H

38

4.

Halla la medida de los ángulos internos de cada triángulo, anota los resultados en la figura y luego completa la oración. a.

b.

c.

d.

* 5.

e.

En todo triángulo: la suma de los ángulos internos es igual a _____________.

¿Puede existir un triángulo rectángulo equilátero? ¿Por qué? _____________________________________________________________ ____________________________________________________________

6.

¿Puede existir un triángulo rectángulo isósceles? ¿Cuánto medirán sus ángulos iguales? _____________________________________________________________ _____________________________________________________________

7.

Halla "k". 25 7

k

39

8.

Halla "m". 13 m

12

9.

Halla "r".

r

4 3

4

10. Halla "x".

16

x

20

40

Propiedades de los ángulos S u p le m e n t a r io s

C o m p le m e n t a r io s

O p u e s t o s p o r e l v é r tic e

50º

15º 120º

xº

xº

xº

xº = 180º - 120º = 60º

xº = 90º - 15º = 75º

Á n g u lo s e x t e r n o s

xº + yº + zº = 180º

xº

yº

xº = 130º; y = 50º

Á n g u lo s in t e rn o s

yº

130º

º

zº

x º = º + º

xº

º

AHORA, HAZLO TÚ 1.

Halla el valor de "x" en la figura. Aplica las propiedades de los ángulos. a.

b.

xº

60º

xº

xº = ____ c.

xº

xº = ____

d.

xº

xº

4xº xº

xº = ____

3xº

5xº

xº = ____

41

e.

f. 50º

xº

xº

110º

xº = ____

xº = ____

g.

h.

50º

40º

2xº

30º

xº = ____

2.

xº

xº = ____

Halla el valor de "x" en la figura. Aplica las propiedades de los ángulos.

a.

b.

c.

xº

60º 20º

50º

xº

xº

xº = ____

30º

45º

xº = ____

d.

xº = ____

e.

f.

40º 100º

xº 60º 53º 60º

xº = ____

xº

xº = ____

xº

xº = ____

42

3.

Halla el valor de "x" en la figura. Aplica las propiedades de los ángulos. xº

115º

a.

xº = ____

b.

d.

110º xº

xº = ____

340º

300º

xº

c.

xº = ____

xº

d.

xº = ____

xº

60º

e.

xº

xº = ____

50º

70º

60º xº

xº = ____

43

TAREA DOMICILIARIA 1.

Halla "x". xº 50º

30º

2.

Halla "".

120º 40º

3.

Halla "m". 30º 160º

mº

4.

Halla "k+ r".

r

70º

50º

k

44

Cuadriláteros ¿Qué es un cuadrilátero? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ B

E le m e n t o s :

A

- V é r t ic e s

: ____________________

- Lados

: ____________________

- D ia g o n a le s : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - P e r ím e t r o

C

: ____________________

N o t a : N o o lv id e s t r a z a r d e c o lo r r o jo la s d ia g o n a le s . D

AHORA, HAZLO TÚ 1.

En los siguientes gráficos, indica sus elementos. Q

N

R

Z

T

Y

P B S

2.

M

R

X

- V é r t ic e s

: ______________

- V é r t ic e s

: ______________

- V é r t ic e s

: ______________

- Lados

: ______________

- Lados

: ______________

- Lados

: ______________

- D ia g o n a le s : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

- D ia g o n a le s : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

- D ia g o n a le s : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

- P e r ím e t r o

- P e r ím e tro : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

- P e r ím e t ro : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

: ______________

Indica el nombre de cada figura mostrada: 45

a.

b.

c.

3.

Dibuja un cuadrado cuyo lado mida 4 cm.

4.

Dibuja un rectángulo cuyos lados midan 3 cm y 4 cm, respectivamente.

5.

Dibuja un cuadrado cuyo perímetro sea 12 cm.

6.

Dibuja un cuadrado y mide con tu transportador los ángulos formados por sus diagonales.

7.

Dibuja un cuadrado y mide con tu transportador el ángulo formado por una diagonal y uno de sus lados.

46

CLASIFICACIÓN: P a r a le lo g r a m o s a)

b)

la d o s o p u e sto s r e c t á n g u lo c u a d ra d o c)

d)

r o m b o id e

ro m b o

T ie n e n d o s p a r e s d e la d o s p a r a le lo s .

T r a p e c io s e)

f)

T ie n e n u n p a r d e la d o s o p u e s t o s y p a r a le lo s .

T r a p e z o id e s g)

N o t ie n e n n in g ú n p a r d e la d o s p a r a le lo s .

47

AHORA, HAZLO TÚ 1.

Observa cada una de las figuras del recuadro anterior (clasificación) y luego señala a cada vértice con una letra mayúscula (usa las iniciales de tu nombre si prefieres), a continuación determina los lados que son paralelos y sus diagonales. Denota sus elementos. Ejemplo:

J

C

N o m b re

: c u a d ra d o

L a d o s p a r a le lo s : J C / / P A y J P / / C A D ia g o n a le s P

2.

: P C y JA

A

Mide cada uno de los ángulos internos de los cuadriláteros dados y luego completa la oración.

a.

b.

c.

d.

En todo cuadrilátero la suma de los ángulos internos es igual a ____________.

3.

¿Qué diferencia encuentras entre un paralelogramo y un trapecio? _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________

48

4.

Si un trapecio tuviera dos ángulos internos de 90º, ¿qué nombre le pondrías? Ilustra tu respuesta. _____________________________________________________________ _____________________________________________________________

49

ARITMÉTICA

Docente: Ing. Marcos Heredia Huamani

å

Adición y Sustracción en N

å

Multiplicación y División en N

å

Números enteros (Z)

å

Adición y Sustracción en Z - Operaciones combinadas de adición y sustracción en Z

å

Multiplicación y División en Z

å

Conjunto de los números racionales

å

Operaciones con fracciones

50

Adición y Sustracción en ADICIÓN EN N

A la acción de agregar, agrupar o añadir le llamamos ADICIÓN. ELEMENTOS DE LA ADICIÓN: 1.

Los números que queremos sumar reciben el nombre de SUMANDOS.

2.

El signo para identificar la operación es una pequeña cruz (+).

3.

El resultado de la operación se denomina "suma total".

13 + 27 + 58 = 98

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES: 1. Propiedad de Clausura. "Si sumamos dos o más números naturales, el resultado también es otro número ______________". Ejemplo: Si: 87  ___ y 13  ___; entonces: 87 + 13 = 100  ___ es decir:

S i: a

N y b

N ; e n to n c e s : (a + b )

N

2. Propiedad Conmutativa. "El orden de los sumandos no altera la ______________". Ejemplo: Si: 26  ___ y 14  ___; entonces: 26 + 14 = ___ + ___ = 40

es decir:

S i: a

N y b

N ; e n to n ce s: a + b = b + a

51

3.a Propiedad Asociativa. "La forma como agrupamos los sumandos no altera la ______________". Ejemplo:

S i: 8  _ _ _ , 7  _ _ _ y 5  _ _ _ ; e n t o n c e s : ( 8 + 7 ) + 5 = _ _ _ + ( _ _ _ + _ _ _ ) = 2 0 S U M A S PA R C IA LE S

es decir:

S i: a

N, b

N y c

N ; e n to n ce s: (a + b ) + c = a + (b + c)

3.b Propiedad Disociativa. "Es una adición, al descomponer uno de los sumandos en dos o más sumandos la suma no se ______________". Esta propiedad es recíproca de la anterior. Ejemplo: S i: 1 2  _ _ _ y 5  _ _ _ ; e n t o n c e s : 1 2 + 5 = ( _ _ _ + _ _ _ ) + 5 = 1 7 ,

p o rq u e 1 2 = _ _ _ + _ _ _ es decir:

S i: a

N y b

S U M A P A R C IA L

N ; e n to n c e s: a + b = (x + y ) + b ; p o rq u e : a = x + y

4. Propiedad del elemento neutro. "Si sumamos cualquier número natural con el ______________, el resultado sigue siendo el mismo número natural". Ejemplo: Si: 3  ___; entonces: 3 + ___ = __ + 3 = 3

es decir:

S i: a

N ; e n to n c e s : a + 0 = 0 + a = a

Nota: En el conjunto Z, el número opuesto o contrario de un número "a" es aquel número (-a) llamado elemento inverso aditivo de "a", ya que sumando nos da el módulo cero. Ejemplo: 6 + (-6) = (-6) + 6 = 0 es decir: a + (-a) = (-a) + a = 0

52

REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1.

2.

Completa el nombre de las propiedades: a.

32 + 27 = 59

________________________

b.

210 + 0 = 210

________________________

c.

(7 + 3) + 12 = 7 + (3 + 12)

________________________

d.

23 + 57 = 57 + 23

________________________

e.

7 + 15 = 7 + (3 + 12)

________________________

Métodos prácticos para sumar utilizando las propiedades. a.

b.

Hallar 2 números que sumados resulten: •

10 = 1 + 9 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___

•

13 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___

•

17 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___

•

19 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___

Calcular mentalmente el resultado de la adición: 73 + 27 =

(7 0 + 2 0 ) y (3 + 7 ) 90

10 = 100

Ejemplo: •

23 + 72 =

•

17 + 81 =

•

64 + 45 =

•

42 + 51 =

•

86 + 27 =

•

76 + 23 =

53

c.

Calcular mentalmente, formando grupos de 10. 2 + 7 + 5 + 1 + 8 + 3 + 4 + 5 + 9 =

Ejemplo:

d.

10 + 10 + 10 + 10 + 4 = 44

•

2+7+5+3+8=

•

1+3+5+9+7+5=

•

6+2+8+4+7+3=

•

9+5+1+6+4+9=

Separa convenientemente, formando decenas. 79 + 34 =

7 9 + (1 + 3 3 ) (7 9 + 1 ) + 3 3 80

+ 33 = 113

Ejemplo:

e.

•

529 + 32 =

•

249 + 36 =

•

739 + 13 =

•

819 + 27 =

Realiza las siguientes adiciones y halla:

abc ... abc

•

2 + 22 + 222 + 2222 + ... + 22222222 =

•

1 + 31 + 131 + 3131 + ... + 1313131313 = ... abc

•

3 + 33 + 333 + ... + 33333333 = ... abc

•

32 + 323 + 3232 + ... + 3232323 = ... abc

54

f.

Adiciones particulares: •

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 9 + 10 = n (n + 1 ) 2

n = _ _ _ _ = ú lt im o n ú m e r o

•

2 + 4 + 6 + 8 + ... + 18 + 20 = 2 n = _ _ _ _ = ú lt im o n ú m e r o

•

n (n + 1 )

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 17 + 19 = n2

2 n - 1 = _ _ _ = ú lt im o n ú m e r o

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

Relaciona correctamente de acuerdo al nombre de las propiedades. a. b. c. d. e.

2.

4+0=4 9+3=8 7+4=4+7 18 + 7 = 18 + (2 + 5) (3 + 4) + 9 = 3 + (4 + 9)

( ( ( ( (

) ) ) ) )

Propiedad Propiedad Propiedad Propiedad Propiedad

Asociativa del Elemento Neutro Disociativa Clausura Conmutativa

Métodos prácticos para sumar utilizando las propiedades. a.

423 + 17 =

b.

171 + 29 =

c.

524 + 236 =

d.

812 + 428 =

e. f.

6+8+1+4+2+9+5= 12 + 7 + 23 + 5 + 8 + 15 =

g.

5 + 25 + 525 + 2525 + ... + 2525252525 = ... ab

h.

1 + 2 + 3 + ... + 15 =

i.

2 + 4 + 6 + ... + 16 =

f.

1 + 3 + 5 + ... + 17 =

DESAFÍO 9  99  989  9898  ...  989898    .....  9898    ... abc 20 cifras

Hallar el valor de "a + b + c"

55

SUSTRACCIÓN EN N Es una operación inversa a la ADICIÓN. ELEMENTOS DE LA SUSTRACCIÓN: 53

-

26

(M )

=

(S )

27

N o t a : S i: D 1 e n to n c e s : M > S

(D )

PROPIEDADES PARTICULARES: I.

Si: 53 - 26 = 27, entonces: 53 = 27 + ___

es decir:

S i: M - S = D ; e n t o n c e s : M = D + S

Veamos qué sucede cuando sumamos los tres términos de una sustracción. si: 53 53 53 53

- 26 = 27; entonces: + 26 + 27 = + (26 + 27) = + ___ = 2 ( )

es decir: si: M M M M

- S = D; entonces: +S+D= + (S + D) + ____ = 2 ( )

Por lo tanto, la suma de los tres términos de una sustracción es igual a dos veces el minuendo.

M + S + D = 2M

56

II. Sustracciones particulares

4 1 2 2 1 4 1 9 8

8 3 2 2 3 8 5 9 4 = ___

abc cba xny = ___

___ + ___ = ___

___ + ___ = ___

-

= ___ ___ + ___ = ___

III. Complemento aritmético (C.A.) Para: 123, su C.A. es: 1000 - 123 1000 123 877

U n id a d e s _ _ _ - 3 = 7 D ecenas ___ - 2 = 7 C e n te n a s _ _ _ - 1 = 8

C

D

U

1

2

3

(_ _ _ - 1 )

(_ _ _ - 2 )

(_ _ _ - 3 ) C o m p le m e n t o A r it m é t ic o

En general: Para: abcd, su C.A. es: 10000  abcd UM

C

D

U

a

b

c

d

(9 - a )

(9 - b )

(9 - c)

(1 0 - d ) C o m p le m e n t o A r it m é t ic o

IV. Relaciones de compra y venta:

PV - G = Pc Donde:

• PV : ____________________________ • G : ____________________________ • Pc : ____________________________

57

REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1.

La suma de los tres términos de una 6. sustracción es 4208. Hallar el minuendo.

Si el C.A. de abc es 327; hallar: a + b + c.

2.

Los tres términos de una sustracción al7. sumarse da 2040. Hallar el minuendo.

Si el C.A. de 8ab 8 es cd4a ; hallar: a + b + c + d.

3.

¿Cuál es la diferencia en una sustracción cuya suma de términos sea 8424, sabiendo además que el sustraendo es la cuarta parte del minuendo?

4.

En una sustracción, la diferencia de los dos menores términos es 44. Si el mi-nuendo es el cuádruple del sustraendo, hallar el mayor de estos dos términos.

8.

Hallar "x", si: mnp  pnm  x 93 .

9.

Si se cumple: abc  cba  2mn ; hallar: m + n.

10. María vende una bicicleta por S/.750, ganando S/.220. ¿Cuánto le costó la bicicleta?

5.

¿Cuál es el C.A. de 5782?

58

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

La suma de los tres términos de una 6. sustracción es 4800, hallar el minuendo.

2.

¿Cuál es la diferencia, en una sustracción donde la suma de términos es 5400, sabiendo además que el minuendo es el triple del sustraendo?

3.

El complemento aritmético de 2753 es:

4.

El complemento aritmético de es . Hallar: a +b+c+d

5.

7.

8.

9.

Hallar "a", si: 10.

Si se cumple: pqr  rqp  7mx hallar: m + x

Víctor vendió un equipo de sonido por S/.970, ganando S/.145. ¿Cuál es el precio de costo del equipo de sonido?

9 2 5 4 5 3

7 5 6 8 3 8 7 3

2 3 5 4 1 2 9 7

DESAFÍO En una sustracción la suma de sus tres términos es 240, y además la diferencia es el triple del sustraendo. Hallar el sustraendo.

59

Multiplicación y División en N MULTIPLICACIÓN EN N La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales, que pueden repetirse muchas veces. 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 × 5 = 15

Ejemplo:

S e r e p it e _ _ _ _ v e c e s e l 3 .

SUM AND OS

ELEMENTOS DE LA MULTIPLICACIÓN: 6

1 2 4 6 1 4 9 2 5 5 3

3 × 5 5 0 5

×

7

=

42

M u lt ip lic a n d o M u lt ip lic a d o r ___________________ ___________________ P ro d u c to

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN: 1. Propiedad de Clausura. "Si multiplicamos dos o más números naturales, el producto también es otro número natural". Ejemplo: Si: 25  N y 3  N, entonces: 25 × 3 = ____  N es decir: S i: a

N y b

N ; e n to n c e s : (a × b )

N

60

2. Propiedad Conmutativa. "El orden de los factores no altera el producto". Ejemplo: Si: 12  N y 3  N; entonces: 12 × 3 = ___ × ___ = 36 es decir:

S i: a

N y b

N ; e n to n c e s: a × b = b × a

3. Propiedad Asociativa. "Si multiplicamos tres o más factores y juntamos dos sin importar el orden y se reemplaza por el producto parcial, el producto no varia". Ejemplo: Si: 8  N, 3  N y 2  N; entonces: (8 × 3) × 2 = ___ × (___ × ___) es decir:

S i: a

N, b

N y c

N ; e n to n ce s: (a × b ) × c = a × (b × c)

4. Propiedad del Elemento Neutro o Modulativa. "Cualquier número por UNO es igual al mismo número". Ejemplo: Si: 27  N: entonces: 27 × ___ = 27

es decir:

S i: a

N , e n to n c e s: a × 1 = a

5. Propiedad del Elemento Absorvente. "Todo número multiplicado por CERO es igual a CERO". Ejemplo: Si: 43  N, entonces: 43 × ___ = 0

es decir:

S i: a

N , e n to n c e s: a × 0 = 0

6. Propiedad Distributiva. a.

Con respecto a la Adición: "El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos parciales de dicho número por cada uno de los sumandos". Ejemplo: Si: 8  N, 3  N y 7  N, entonces: 8(3 + 7) = 8 × ___ + 8 × ___ = 80

61

es decir:

S i: a

N , b  N y c  N , e n to n ce s: a (b + c ) = a b + a c

b.

Con respecto a la Sustracción: "El producto de un número por una diferencia es igual a la diferencia de los productos parciales de dicho número por cada uno de los términos de la sustracción". Ejemplo: Si: 7  N, 23  N y 13  N, entonces: 7(23 - 13) = 7 × ___ - 7 × ___ = 70 es decir:

S i: a

N , b  N y c  N , e n to n c e s : a (b - c ) = a b - a c

7. Propiedad de Uniformidad. "Si se multiplican miembro a miembro dos o más igualdades, el resultado es otra igualdad". Ejemplo: Si: a = 5 y b = 3, entonces: ___ × ___ = ___ × ___

es decir:

S i: a = a 1 y b = b 1 , e n t o n c e s : a × b = a 1 × b 1

8. Propiedad de Monotomia. a.

"Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo número natural, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido". Ejemplo: Si: 5 < 7, entonces: ___ × 5 < ___ × 7

es decir: b.

S i: a < b , e n t o n c e s : a × c < b × c

"Si se multiplican miembro o miembro dos o más desigualdades del mismo sentido, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido". Ejemplo: Si: 3 < 6 y 2 < 5; entonces: ___ × ___ < ___ × ___

es decir:

S i: a < b , c < d ; e n t o n c e s : a × c < b × d

REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1.

Completa el nombre de las propiedades: a.

3×1=3

_______________________ 62

2.

b.

4(5 + 45) = 4 × 5 + 4 × 45

_______________________

c.

8×0=0

_______________________

d.

7×3=3×7

_______________________

e.

23 × 2 = 46

_______________________

f.

(7 × 5) × 9 = 7 × (5 × 9)

_______________________

g.

5(3 - 2) = 5 × 3 - 5 × 2

_______________________

h.

b = 11;c = 5  b × c = 55

_______________________

i. j.

7<97×3<9×3 5<7y3<85×3<7×8

_______________________ _______________________

Métodos prácticos para multiplicar utilizando las propiedades. a.

b.

Hallar 2 números que multiplicados resultan: •

36 = 12 × 3 = ___ × ___ = ___ × ___

•

100 = ___ × ___ = ___ × ___ = ___ × ___

•

60 = ___ × ___ = ___ × ___ = ___ × ___

•

72 = = ___ × ___ = ___ × ___ = ___ × ___

Calcular mentalmente, agrupando factores potencia de 10. (2 × 5 ) × (3 × 7 )

2 × 3 × 5 × 7 =

10

Ejemplo:

c.

×

21

= 210

•

3×5×8×2=

•

2×7×5×4=

•

7 × 25 × 8 × 4 =

•

5×9×2×3=

•

4 × 3 × 25 × 7 =

•

25 × 7 × 4 × 5 =

Calcular mentalmente el siguiente producto: 7 × 32

Ejemplo: •

8 + 32 =

7 × 3 2 = 7 × (3 0 + 2 ) = 7 × 30 + 7 × 2 = 210 + 14 = 224

•

9 × 52 =

•

6 × 85 = 63

• d.

7 × 51 =

9 × 35 =

•

5 × 94 =

Calcular mentalmente el siguiente producto: 8 × 19

Ejemplo:

e.

•

8 × 1 9 = 8 × (2 0 - 1 ) = 160 - 8 = 152

•

7 × 19 =

•

4 × 18 =

•

6 × 49 =

•

5 × 19 =

•

5 × 18 =

•

8 × 49 =

Resolver las operaciones sacando el factor común: 2 × 5 + 3 × 5 + 5 × 5 =

2 × 5 + 3 × 5 + 5 × 5 5 (2 + 3 + 5 )

Ejemplo:

3.

3 × 5 + 3 × 7 + 3 × 18 =

•

8 × 19 + 8 × 3 + 8 × 8 =

•

9 × 43 + 9 × 27 - 9 × 70 =

•

a × 7 + a × 3 - a × 10 =

•

8a - 4b =

•

ab - ac + a × a =

Efectuar las siguientes multiplicaciones: •

4.

•

5 (1 0 ) = 5 0

234 × 56 =

•

597 × 308 =

Resolver las siguientes multiplicaciones: a.

Se compraron 9 libros a S/.2 cada uno, 6 lapiceros a S/.1 cada uno y 4 plumas fuentes a S/.3 cada una. Si se vende todo por S/.20, ¿cuánto se pierde?

b.

Un empresario ocupa los servicios de 10 obreros durante dos semanas pagándoles dominical. Si a 6 de ellos les paga S/.12 diarios y S/.10, a cada uno de los restantes, ¿cuánto desembolsa el día del pago?

c.

Compre 120 caballos a S/.200 cada uno, 50 se murieron y el resto los vendí a

S/.229 cada caballo, ¿cuánto gané o perdí? 64

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

2.

3.

Completa el nombre de las propiedades: a.

3×0=0

( )

Propiedad Conmutativa

b.

(3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4)

( )

Propiedad del Elemento Neutro

c.

3×1=3

( )

Propiedad Asociativa

d.

5(7 + 2) = 5 × 7 + 5 × 2

( )

Propiedad de Clausura

e.

25 × 4 = 100

( )

Propiedad Distributiva (+)

f.

6(9 - 4) = 6 × 9 - 6 × 4

( )

Propiedad Uniformidad

g.

9×8=8×9

( )

Propiedad de Monomomía (a)

h.

x = 4; y = 7  x.y = 28

( )

Propiedad Distributiva (-)

i.

10 < 11  3 × 10 < 3 × 11

( )

Propiedad de Monotomía (b)

j.

2 < 3; 5 < 6  2 × 5 < 3 × 6

( )

Propiedad del Elemento Absorvente

Resolver las siguientes multiplicaciones: a.

2×7×8×5=

b.

9×2×8×5=

c.

25 × 6 × 4 × 7 =

d.

7 × 25 × 9 × 4 =

e.

8 × 27 =

f.

9 × 52 =

g.

7 × 19 =

h.

6 × 39 =

i.

3×2+3×5-3×6=

j.

5 × 29 + 5 × 21 - 5 × 49 =

Resolver el siguiente problema: Nataly venden 60 docenas de platos y hace 2 entregas: - La primera de 170 platos. - La segunda de 180 platos. ¿Cuántos platos le falta entregar? Dato: 1 docena = 12 unidades DESAFIO

Un padre reparte su herencia de la siguiente manera: A Luis le toca $9800, a Juan $200 más que Luis, a María $300 menos que a Luis y a Arturo tanto como a los tres anteriores. ¿Cuánto dinero repartió el padre?

65

DIVISIÓN EN N "La división es una operación inversa a la multiplicación". ELEMENTOS DE LA DIVISIÓN: 32

8

=

4

Veamos qué sucede al multiplicar el divisor por el cociente:

Si:

32 4 2

; entonces: 32 = 8 × 4

Es decir: El "Algoritmo de la división" es: S i:

D = q ; e n to n ce s : D = d × q d

Nota: "32 contiene cuatro veces al divisor 8".

 El cociente (q) indica cuántas veces el divisor (d) está contenido en D. TIPOS DE DIVISIÓN: 1. División exacta. Es cuando en la división el residuo es igual a CERO. Ejemplo:

S i: 5 4 54

9 6

; e n to n c e s : 5 4 = 9 × 6 + 0 donde : " e l r e s id u o e s ig u a l a C E R O "

es decir: S i: D

d q

; e n to n c e s : D = d × q

d o n d e : "r = 0 "

r

2. División inexacta. Es cuando en la división el residuo es diferente de CERO. Ejemplo: S i: 4 5 42 3

6 7

; e n to n c e s : 4 5 = 6 × 7 + 3 donde : " e l r e s id u o e s ig u a l a 3 "

66

S i: D

es decir:

d q

; e n to n c e s : D = d × q + r

d o n d e : "r

0"

r

Nota: El residuo siempre va a ser menor que el dividendo

REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1.

Hallar en cada caso el elemento que falta: a.

D = 85

; q=9 ;

d=9;

r = ____

b.

d = 11

; q=3 ;

r=8 ;

D = ____

c.

D = 215 ; q = 21 ;

r=5 ;

d = ____

d.

D = 420 ; d = 32 ;

r=4 ;

q = ____

2.

Si el cociente de una división exacta es 853 y el divisor 23, ¿cuál es el dividendo?

3.

Se reparten S/.741 entre varias personas, por partes iguales, y a cada uno le toca S/.57, ¿cuántas eran las personas?

4.

¿Por qué número hay que dividir a 15 470 para que el cociente sea 17?

5.

Valeria repartió cierto número de caramelos entre 19 personas y después de dar 7 caramelos a cada persona sobraron 6 caramelos. ¿Cuántos caramelos habían?

6.

Vanesa repartió 260 lápices entre sus 47 amiguitos en partes iguales, le sobraron 25 lápices. ¿Cuántos lápices repartió Vanesa a cada uno de sus amigos?

7.

Esteban tenía S/.165 y lo repartió a cierto número de personas. Si a cada uno le repartió S/.23 y le sobraron S/.44, ¿cuántas personas habían? En una división el cociente es 25, el divisor es 30 y el residuo es la mitad del divisor. Encontrar el dividendo.

8.

9.

Un muchacho compra el mismo número de lápices que de lapiceros por S/.90. Cada lápiz vale S/.3 y cada lapicero S/.7. ¿Cuántos lápices y lapiceros ha comprado?

10. Si al dividir "n" entre 137 el cociente es el duplo del divisor. ¿Qué número es "n"?

67

DEMUESTA LO APRENDIDO 1.

Hallar el valor que falta: a.

D = 83

; d=9 ;

q=9 ;

r = ____

b.

D = 1 874; d = 80 ;

r = 34 ;

q = ____

c.

D = 102 ; r = 10 ;

q = 23 ;

d = ____

d.

d=8

q = 11 ;

D = ____

; r=3

;

2.

Si 14 libros cuestan S/.84, ¿cuánto costarían 9 libros?

3.

En una división el dividendo es 72, hallar el divisor sabiendo que el cociente y el residuo son iguales a 4.

4.

Tenía S/.2 500, compré víveres por un valor de S/.700 y con el resto compré sacos de arroz a S/.60 el saco. ¿Cuántos sacos de arroz compré?

5.

Si al dividir "x" entre 109 el cociente es el doble del divisor, ¿qué número es "x"?

6.

Se reparten S/.731 entre varias personas, por partes iguales, y a cada uno le toca S/.43. ¿Cuántas eran las personas?

7.

En una división el cociente es 35, el divisor 40 y el residuo es la mitad del divisor.

Encontrar el dividendo. DESAFIO En una división el dividendo es 625 y además se sabe que el divisor es el cubo del cociente. Hallar el divisor.

68

Números enteros (Z) S o n a q u e ll o s n ú m e r o s p o s it i v o s y n e g a t iv o s q u e n o t ie n e n p a r t e d e c im a l, in c lu id o e l c e r o .

•

-2

-1

Ejemplos:

-5

6

2

+4; +3; -5; 9; -3; 0; -10

5

3

4 -6

Z

N -4

-3

Los números enteros se representan en una recta numérica: ... -6

*

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

...

Recordemos que el "0" no tiene signo positivo ni negativo.

1. VALOR NUMÉRICO DE UN NÚMERO ENTERO. Imaginemos que estamos en una competencia de dos autos, donde: -

Ambos autos parten de un mismo lugar. Viajan en sentido contrario. Viajan a una misma velocidad. ¿La distancia recorrida por los autos para un mismo tiempo será la misma? Rpta.: ___________________

P a r tid a

Concepto: El valor absoluto de un número entero es la distancia que hay de dicho número a cero.

69

Ejemplo: Observa detenidamente la figura:

... - 9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

+ 1 + 2

+ 3

+4

+ 5 +6

+ 7

+ 8

+ 9 ...

De la figura podemos observar lo siguiente: a.

|-3| = 3, se lee: valor absoluto de "-3" es 3.

b.

|+3| = 3, se lee: valor absoluto de "+3" es 3.

c.

|-7| = 7, se lee: valor absoluto de "-7" es 7.

d.

|+9| = 9, se lee: valor absoluto de "+9" es 9.

2. EL OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO. Es el número entero cambiado de signo, por ejemplo: •

El opuesto de +7 es -7

•

El opuesto de -3 es +3

•

El opuesto de 5 es -5

•

El opuesto de -1 es +1

3. RELACIÓN DE ORDEN (>, <, =). a.

Un número entero es mayor que otro, si se encuentra a la derecha del otro en la recta numérica.

b. c.

Todo número entero positivo es mayor que su antecesor. Todo número entero negativo es menor que su sucesor.

Ejemplos: *

6 es mayor que 1, porque:

+1

+6

*

4 es mayor que 0, porque:

0

+4

*

0 es mayor que -3, porque:

-3

*

-2 es mayor que -6, porque:

-6

0

-2

70

4. DESPLAZAMIENTOS SOBRE LA RECTA NUMÉRICA. Reglas de juego *

Números negativos, indicarán movimientos hacia la izquierda de la recta, con respecto a cero.

*

Números positivos, indicarán movimientos hacia la derecha de la recta, con respecto a cero.

*

El punto de partida es cero "0".

Ejemplo: Representar sobre la recta: - 2 - 5 + 17 3° 2°

-9

-8

-7

-4

-5

-6

1° -3

-2

-1

5 2

0

+ 2

+ 3

+ 6

+ 5

+ 4

+ 7

+ 8

+ 9

+ 10

+ 11

+ 12

+ 13

P a r t id a L le g a d a

Representar:

a.

-2 - 3 - 1

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

b.

-3 + 5 + 4

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

c.

5-2-1+3

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

1

0

1

2

d.

+4 - 5 - 2

-8

-7

-6

-5

-4

-3

e.

+8 - 2 - 4

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-2

1

0

1

1

0

2

1

3

4

3

2

5

4

3

6

5

4

7

6

5

8

7

6

8

7

8

¡LISTOS . . . A TRABAJAR! 71

1.

2.

3.

Indica en los cuadrados si es ">", "<" o "="; en cada uno de los siguientes casos: a.

0

1

e.

4

0

b.

-8

0

f.

|-3|

c.

5

+5

g.

0

-4

d.

|-1|

0

h.

0

-60

+3

Completa las siguientes expresiones: a.

36 es opuesto de: ______

e.

El valor absoluto de -4 es: ______

b.

-73 es opuesto de: ______

f.

El valor absoluto de: +35 es: ______

c.

+82 es opuesto de: ______

g.

El valor absoluto de -1 es: ______

d.

5 es opuesto de: ______

h.

El valor absoluto de 14 es: ______

Coloca (V), si la afirmación es verdadera y (F), si es falsa. a.

El opuesto de un número entero negativo es negativo.

(

)

b.

El opuesto del opuesto de un entero positivo es negativo.

(

)

c. La distancia entre dos números opuestos es el doble de la distancia entre uno de los números y el cero.

()

d.

El valor absoluto de un número entero siempre es positivo.

(

)

e.

El opuesto de un número entero negativo es positivo.

(

)

f. La suma de los valores absolutos de dos números opuestos es cero ( )

4.

Traza una recta numérica para cada caso y marca en ella los números opuestos correspondientes. (En el cuaderno). a.

-5;+5

R e c u e rd a : p a ra - 4 y + 4

72 -4 -3

-1

0

+1 +2 + 3 +4

5.

b.

+6;-6

c.

-7;+7

d.

8;-8

e.

-3;3

Completa el siguiente cuadro: a

> ó <

b

-1 5

+ 2

-7

+ 9

+5

6

-1 3

15

-1 0 0

0

+10

-2 0

12

-2 2

4

-8

-7

-7

-1 4

+14

-1

0

-1 0 1

-3

16

+16

-5 4

52

18

-3 6

|a |

>, < ó =

|b |

|a | + |b |

73

6.

En tu cuaderno traza una recta numérica y representa en ella lo siguiente: a. b.

*

-8+5 + 4 - 10

c. d.

-7-2 +5+3

Observa la siguiente información y responde las interrogantes:

74

T e m p e ra tu ra C iu d a d A b a d ia I q u e d ia C a lm a d ia A n t o f a d ia C a p ia V a lle n illa L a S e r illa V a lp e d ia P u d a lia Q u in t a n illa Ju a n to re n a C u r s im a C h illid o C o n e x ió n T e m b lid o V a ld iv ia O s o d io P u e r t illa C o p a d ir m a B a lm a d ia P u n t illa s

7.

M ín im a 1 4 .0 º C 1 2 .1 º C -0 .8 º C 1 3 .8 º C 5 .5 º C 1 0 .0 º C 7 .9 º C 1 1 .8 º C 5 .3 º C 7 .2 º C 1 7 .9 º C 1 1 .7 º C 1 4 .2 º C 1 3 .4 º C 1 4 .6 º C 7 .8 º C 7 .0 º C 6 .2 º C -3 .8 º C -8 .1 º C 0 .0 º C

M á x im a 1 9 .1 º C 1 7 .8 º C 2 2 .7 º C 1 8 .1 º C 2 1 .3 º C 2 0 .0 º C 1 3 .1 º C 1 3 .6 º C 2 3 .6 º C 2 3 .8 º C 1 8 .7 º C 1 9 .6 º C 1 7 .2 º C 1 4 .7 º C 1 8 .8 º C 1 7 .4 º C 1 6 .0 º C 1 4 .6 º C 2 .8 º C 1 .3 º C 6 .3 º C

¿Cuál es la ciudad señalada en la información que tuvo en algún momento del día la temperatura más baja? ¿Cómo lo sabes? ¿Qué indica el signo negativo en ese caso? ¿Qué indica el número (valor numérico)?

8.

¿Cuál es la ciudad señalada en la información que tuvo en algún momento del día la temperatura más alta? ¿Cómo lo sabes? ¿Qué indica el número (valor numérico)? ¿Por qué no tiene signo? Si tuvieras que ponerle un signo, ¿cuál le pondrías?

9.

¿Qué indica el cero en esa información? ¿Qué relación tiene el cero con las temperaturas con signo negativo? y ¿el cero lleva signo?

10 Resuelve: a.

|-4| × |2| + |-8| 75

b.

|-6| × |-3| + |16|

c.

|-18|  |-3| -

d.

| 10 |  | 2 | | 5 |

C o n t in ú a e s f o r z á n d o t e p o r q u e e l é x it o d e p e n d e d e t i.

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

Escribe en cada cuadrado, si es "<", ">" o "=", según convenga: a.

|-3|

-3

e.

|-48|

48 76

2.

3.

b.

-1

|1|

f.

+35

c.

-2

-38

g.

-8

35 |+8|

Completa las expresiones siguientes: a.

-8 es opuesto de: ______

d.

El valor absoluto de -5 es: ______

b.

36 es opuesto de: ______

e.

El valor absoluto de 13 es: ______

c.

+15 es opuesto de: ______

f.

El valor absoluto de +14 es:

Determina los siguientes conjuntos por extensión: a.

A = {x/x  Z, x < 1} A = {___________________________________}

b.

B = {x  Z/x > -4} B = {___________________________________}

c.

C = {x/x  Z, -8 < x < 8} C = {___________________________________}

d.

D = {x/x  Z, -1 < x} D = {___________________________________}

4.

5.

6.

Traza una recta numérica para cada caso y representa en ella: a.

+7-6

c.

- 10 - 2

b.

-8 +8

d.

+ 3 + 12

Ordena los siguientes números enteros en la recta numérica: a.

-7 ; +6 ; 0 ; -1

b.

-10 ; -12 ; -13

c.

-20 ; - 10 ; -6 ; 1

d.

-27 ; -21 ; 1

e.

-10; +2 ; +5; -1

f.

+15 ; -13 ; -14 ; 0

g.

-17 ; +16 ; -15 ; 0

h.

+8 ; -5 ; -4 ; +3

Resuelve los siguientes ejercicios: 77

a. *

| 7 |  | 18 |  | 3 |  | 100 | | 6 |  | 5 |

b.

 | 5 |  | 25 |    | 3 |  

2

Un submarino se encuentra sumergido a 50 metros de la superficie, luego realiza los siguientes movimientos: a. b. c.

Primer movimiento: desciende 120 metros. Segundo movimiento: asciende 70 metros. Tercer movimiento: desciende 50 metros.

7.

Luego del primer movimiento, ¿a cuántos metros de profundidad se encuentra el submarino?

8.

Luego del segundo movimiento ¿a cuántos metros de la superficie se encuentra el submarino?

9.

Luego del tercer movimiento, ¿cuál es la distancia que separa el submarino de la superficie?

10. ¿Cuál es la mayor profundidad alcanzada por el submarino? ¿En qué movimiento?

DESAFÍO Considera un número entero "x" y realiza con él las siguientes operaciones sucesivas: multiplícalo por 2, súmale 1, multiplícalo por 3 y réstale 5. Si el resultado final fue 220, el valor de "x" es: A. Un número primo. B. Un número par. C. Un número entre 40 y 50. D. Un número múltiplo de 3. E. Un número cuya suma de dígitos es 9.

Adición y sustracción S a b ía s q u e . . . L a p r im e r a c o n s id e r a c ió n s o b r e e l n ú m e r o n e g a t iv o n o lle g a a O c c id e n t e h a s t a e l s ig lo X V I ; s in e m b a r g o , e n O r ie n t e , d u r a n t e e l s ig lo I V , y a s e m a n ip u la b a n n ú m e r o s p o s it iv o s y n e g a t iv o s e n lo s á b a c o s , u s a n d o b o la s d e d if e r e n t e s c o lo r e s .

78

ADICIÓN a.

b.

Sumandos del mismo signo: Se suman los valores absolutos y la suma tiene el mismo signo. Ejemplo: a.

(+3) + (+7) + (+10) =

b.

(-7) + (-3) + (-2) =

Sumandos de signos diferentes: Se restan los valores absolutos y la suma tiene el signo del sumando de mayor valor absoluto. Ejemplo: a.

(-16) + (+2) =

b.

(+30) + (-16) =

SUSTRACCIÓN Para restar dos números enteros se suman el minuendo con el opuesto del sustraendo, es decir "se transforma la resta en suma". Ejemplo: a.

(-2) - (-3) =

b.

(+10) - (-4) =

Recuerda • El valor absoluto de un número es el valor del mismo prescidiendo de su signo. • (+4) + (-6) = 4 - 6 (-3) + (-8) = -3 - 8

¡LISTOS . . . A TRABAJAR! 1.

Sumar los siguientes números enteros: a. 8 ; 7  8 + 7 = 15 b.

2;-1

 __________________________________

c.

-3;-4

 __________________________________

d.

+6;-8

 __________________________________

e.

+ 10 ; + 2  __________________________________

f.

-7;+2

 __________________________________

g.

-3;-1

 __________________________________ 79

h. 2.

 __________________________________

-7;+9

Escribir ">", "<" o "=", según corresponde. a. (-9) - (-4) ______ (-3) - (+6)

3.

b.

(-8) - (+13) ______ (-7) - (+14)

c.

(-18) - (-6) ______ (-9) - (+3)

d.

(-20) - (+33) ______ (+18) - (-36)

e.

(+65) - (+7) ______ (-7) - (-65)

Efectuar las siguientes restas de números enteros: a. (12) - (+7) b. (15) - (8)

4.

c.

(-36) - (+23)

d.

(-36) - (-11)

e.

(-25) - (35)

f.

(-100) - (-100)

g.

(+8) - (-8)

g.

(+9) - (+9)

Afina tu cálculo mental.

5.

a.

+4+6+9=

b.

-8-3-6=

c.

+ 11 + 15 + 12 =

d.

- 5 - 12 - 9 =

e.

- 5 + 16 - 14 =

Completa la tabla y continúa desarrollando.

a

b

c

-1

3

-2

+4

-2

5

-6

+1

4

(a + b )

(b - c)

(a + c)

(c - a )

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

Halla en tu cuaderno el resultado de las siguientes operaciones: a.

- 4 - 7 + 13 - 9

Rpta.: -7

b.

- 13 + 14 + 27 - 18 - 38

Rpta.: -28

c.

53 - 28 + 39 - 47 + 18

Rpta.: 35 80

d.

- 68 + 4 - 73 - 52 + 106

Rpta.: -83

e.

75 - 49 - 32 + 92 + 18 - 20

Rpta.: 84

f.

36 + 13 + 47 - 12

Rpta.: 84

g.

- 73 + 26 - 14 - 37 + 41

Rpta.: -57

h.

45 + 80 - 5 - 6

Rpta.: 114

i.

- 8 - 16 + 10 - 40

Rpta.: -54

j.

- 10 - 15 + 35 - 14

Rpta.: -4

DESAFIO: La rana obstinada. Buscando agua, una rana cayó en un pozo de 30m de hondo. En su intento por salir, la obstinada rana conseguía subir 3 metros cada día pero por la noche resbalaba y bajaba dos metros. ¿Podrías decir cuántos días tardó la rana en salir del pozo?

OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN Z Para poder efectuar operaciones combinadas de números enteros, debemos realizar los siguientes pasos. Ejemplo: *

Efectuar: P = (+7) + (-2) - (+4) + (+10) - (-3) Primero : Transformamos las sustracciones en adiciones por el opuesto: P = (+7) + (-2) + (-4) + (+10) + (3) Segundo : Escribimos los enteros positivos como números naturales: P = (7) + (-2) + (-4) + (10) + (3) 81

Tercero

: Suprimimos los paréntesis: P = 7 - 2 - 4 + 10 + 3

Cuarto

: Agrupamos los números positivos y los números negativos: P = 7 + 10 + 3 - 2 - 4

Quinto

: Sumamos los positivos y los negativos por separado: P = +20 - 6 P = +14

DEMUESTRA LO APRENDIDO I.

Resuelve las siguientes operaciones combinadas en tu cuaderno: a.

(-5) + (-2) - (-1) + (+4) - (+6)

b.

(-7) - (+2) + (+8) - (-4)

c.

(-10) + (-2) + (-7)

d.

(-12) + (-11) - (+10) - (-3)

e.

(-6) - (-3) + (-2) - (-8)

f.

(-5) + (+8) - (-3) - (+2)

g.

(-4) - (+7) + (-1) - (+10)

h.

(-9) + (-10) - (-11) - (-1)

i.

(+5) - (+3) + (+2) - (+30) 82

j.

(-10) - (-3) + (-18) - (+2)

C o n t in ú a e s f o r z á n d o t e , e l é x it o d e p e n d e d e t i.

Multiplicación y

83

S a b ía s q u e . . . L o s c h in o s n o a c e p t a r o n la id e a d e q u e u n n ú m e r o n e g a t iv o p u d ie r a s e r s o lu c ió n d e u n a e c u a c ió n . L o s g r ie g o s u t iliz a r o n r e g la s p a r e c id a s a la s q u e u s a m o s a c t u a lm e n t e p a r a r e a liz a r o p e r a c io n e s a r it m é t ic a s c o n m a g n it u d e s n e g a t iv a s e n s u s d e m o s t r a c io n e s g e o m é t r ic a s . S in e m b a r g o , c o r r e s p o n d e a lo s h i n d ú e s , h a c ia e l a ñ o 6 5 0 d . C ., e l m é r i t o d e t r a n s f o r m a r e s a s p a u t a s e n r e g la s n u m é r ic a s a p li c a b le s a lo s n ú m e r o s p o s itiv o s , n e g a tiv o s y c e ro .

MULTIPLICACIÓN

(+ ) (+ ) = +

(+ ) (-) = -

E je m p lo :

(-) (-) = +

(-) (+ ) = -

a.

(+ 1 0 ) (+ 2 0 ) =

b.

(-5 ) (-9 ) =

c.

(-2 ) (+ 4 ) =

d.

(+ 6 ) (-2 ) =

DIVISIÓN

(+ )  (+ ) = +

(+ )  (-) = -

E je m p lo :

( - )  ( - ) = +

(-)  (+ ) = -

a.

( + 1 0 0 )  ( + 2 ) =

b.

( - 8 )  ( - 1 ) =

c.

(+ 1 5 )  (-3 ) =

d.

(-1 6 )  (+ 4 ) =

Recuerda • En la multiplicación o división de dos números de igual signo, el resultado siempre será un número positivo. • En la multiplicación o división de dos números de diferentes signos, el resultado siempre será un número negativo.

¡LISTOS . . . A TRABAJAR! 1.

Realiza las siguientes multiplicaciones: 84

2.

3.

4.

a.

(+3) (+5)

f.

(+40) (+7)

b.

(+8) (-1)

g.

(-1) (-1)

c.

(-5) (-4)

h.

(5) (-3)

d.

(-1) (+78)

i.

(9) (-10)

e.

(+12) (-12)

j.

-9 (-8)

Realiza las siguientes divisiones: a.

14  2

f.

(-1)  (-1)

b.

(-12)  (-4)

g.

(-8)  (+8)

c.

20  (-5)

h.

(+25)  (-5)

d.

(-30)  6

i.

(+100)  (+10)

e.

(-10)  (-2)

j.

(-144)  (+12)

Completa la siguiente tabla: a

b

-8

a × b

a  b

a

b

2

+32

-8

-4

-1

-4 4

+11

+10

-5

+64

-4

+18

-9

-3 6

-9

-3

+ 3

+11

-1 1

a × b

a  b

Colorea los triángulos; de color rojo los productos positivos y de color azul los productos negativos:

85

(+ 4 )(-5 )

(-6 )(3 )

(-8 )(4 ) 2 0 (+ 4 )

(-7 )(+ 1 3 )

(-1 0 )(-2 )

5.

Resuelve las siguientes operaciones combinadas: a.

- 5 × 3 + 8 - (4 - 1 × 5)

b.

- 12 × [ - 6 - 10 × ( - 2 - 3)]

c.

- 3 (4 - 2 + 5)

d.

- 15 ( - 4) + 2 [ - 3 (2) + (6 - 2 (8))]

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

Si: A = (-8) (+2) - 3 B = (+4) (-2) + 4 C =(50)  (-2) - 6 86

Halla:

2.

a.

A+B+C

Rpta.: -44

b.

A×B-C

Rpta.: -45

c.

2B - 3A

Rpta.: 49

d.

2A × B

Rpta.: 152

e.

A-B-C

Rpta.: 16

Resuelve las siguientes operaciones combinadas en tu cuaderno: a.

-5+4×3

Rpta.: 27

b.

6-2×5

Rpta.: -4

c.

32 - 40 × 5 + 128

Rpta.: -40

d.

(8 - 3) × 4 - 1

Rpta.: 19

e.

(- 13 + 6) × (-3) + 4 (-1)

Rpta.: 17

DESAFÍO: El lechero ingenioso. Un lechero dispone de dos jarras de 3 y 5 litros de capacidad para medir la leche que vende a sus clientes. ¿Cómo podrá medir un litro sin desperdiciar la leche?

El conjunto de los números racionales

1. Construcción del conjunto de los números racionales. 87

Los números enteros y los fraccionarios pasan a integrar el conjunto de los números racionales, que se simbolizan por una "Q". Z

F r a c c io n e s

=

Q

Gráficamente: Q

1 3

Z N

-2

-1

0

1

2

N : C o n ju n t o d e lo s n ú m e r o s n a t u r a le s . Z : C o n ju n t o d e lo s n ú m e r o s e n t e r o s . Q : C o n j u n t o d e lo s n ú m e r o s r a c io n a le s .

1 4

3

5 3 -3

- 2 7

- 3 4

2. Representación de Q en la recta numérica. Sabemos que el conjunto Z se representa en la recta numérica así:

-3

-2

-1

0

1

2

3

También las fracciones pueden ser ubicadas en la recta numérica, sea por las divisiones sucesivas (de mitad en mitad) o por el uso de las escuadras y el compás para dividir un segmento de recta. -1

-3 4

-1 2

-1 4

1 4

0

-4 5

-3 5

-2 5

-1 5

-8 10

-6 10

-4 10

-2 10

1 5 2

10

1 2

2 5 4

10

3 4

3 5 6

10

1

4 5 8

10

De la gráfica se define que: I.

Las subdivisiones de la recta numérica son infinitas.

II. Entre dos números racionales siempre será posible hallar al menos otro número racional. III. No es posible hallar el siguiente o el anterior valor de un número racional cualesquiera. 88

IV. Un mismo punto en la recta numérica puede ser representado por varias fracciones que son equivalentes entre sí. Por lo que se afirma que el conjunto de dichas fracciones (clases de equivalencia) representa al Número Racional respectivo. 3. Densidad en el conjunto de los números racionales. Esta propiedad de densidad en Q, no la poseen los conjuntos N y Z. "Dados dos números racionales diferentes, siempre se puede encontrar otro número racional cuyo valor esté comprendido entre ambos" En forma general: Entre dos números racionales existen infinitos números racionales.

RELACIÓN DE ORDEN DE UN NÚMERO FRACCIONARIO (>, <, =) A. Dados dos números fraccionarios tales como se cumple: a.d = b.c

a c y b d,

podemos afirmar que:

a c  b d

si

Ejemplos: 8 4  •6 3

ya que: 8 × 3 = 6 × 4

6 10  •3 5

ya que: 6 × 5 = 3 × 10

5 30  • 2 12 ya que: 5 × 12 = 2 × 30

B. Dados dos números fraccionarios, podemos determinar que uno es mayor o menor que otro, usando la regla de los productos cruzados. Ejemplos: 8 × 11 > 9 × 7

•

11 9

7 8

e n to n c e s :

11 > 9

7 8

4 × 6 < 8 × 7

•

4 8

7 6

e n to n c e s :

4 8

<

7 6

89

12 × 4 < 8 × 20

•

12 8

20 4

12 8

e n to n c e s :

20 4

<

¡LISTOS, A TRABAJAR! 1.

Completar con un "Sí" o con un "No" según la pertenencia o no. 3

1 2

-2

-

3 5

0

21 3

16 4

-

1 8

-4

-

2 3

N Z Q

2.

Compara las siguientes fracciones utilizando los signos ">", "<" o "=".

a.

b.

c.

d.

e.

f. 3.

3 5  4 6

porque: 3 × 6 < 4 × 5

9

3

8

12

7

8

8

10

8

6

4

3

5

25

2

60

6

3

5

15

_______________________________________

_______________________________________

_______________________________________

_______________________________________

_______________________________________

Completar con ">", "<" o "=" según corresponda: 1 2

4

3 4

2 5

7 8

2 3

3 3 6 9 4 5 2 4 6 8 7

90

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

Completar con un "Sí" o con un "No" según la pertenencia o no pertenencia. 3 5

6

-

2 3

0

7 9

-2

-

4 2

9 3

5 4

-

1 6

N Z Q

2.

Compara las siguientes fracciones utilizando los signos ">", "<" o "=":

a.

d. 3.

8

12

12

9

2

3 5

2

b.

5 7

e.

3

3

13

17

1

17

c.

5 4

f.

3

5

7

28

5

20

Completar con ">", "<" o "=" según corresponda: 91

4 18

2

3 6

5 2

7 3

9 2

2 5 4 6 3 7 2 9 1 5 3

92

Operaciones con fracciones Con las fracciones se pueden realizar las operaciones que hemos aprendido a efectuar con números enteros: la adición, la sustracción, la multiplicación, la división, la potenciación y la radicación. I.

ADICIÓN. Para efectuar la suma o adición de fracciones es necesario reducirlas antes, luego se puede aplicar el método del mínimo común múltiplo o la regla de productos cruzados.

A. Método del mínimo común múltiplo. •

Hallamos el m.c.m de los denominadores y lo escribimos como denominador del resultado.

•

Para hallar el numerador dividimos el m.c.m. entre cada denominador y luego se multiplica por el respectivo numerador.

•

Finalmente se suma en el numerador.

Ejemplo: 93

2

×

3

3

+

5

+

7

=

30

2 × 10 + 3 × 6 + 7 × 1 30

=

20 + 18 + 7 30

3

=

45 30

=

2

3 2

C a lc u la n d o e l m . c . m . 3

5

30

3

1

5

10

2

1

5

5

5

1

1

1

m .c .m . [ 3 ;5 ;3 0 ] = 3 × 2 × 5 = 3 0 B.

Regla de productos cruzados.

Esta es una regla práctica, recomendable para sumar dos fracciones de términos pequeños. a

+

b

c

a × d + b × c

=

d

b × d

×

Ejemplo: •

1 3 1  7  5  3 7  15 22     5 7 57 35 35

¡LISTOS, A TRABAJAR! 1.

Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes adiciones: +

3 4

1 2

1 7

2 3

1 3 1 5

2.

Calcular "A + B", si:

a. 3.

12 5

A

4 b. 9

2 1 1  ; B2 3 5 3

16 c. 5

12 d. 8

5 e. 5

Haciendo uso del mínimo común múltiplo (m.c.m.) efectuar: 94

5 2 3   12 9 8 19 72

a. 4.

b.

49 c. 72

73 d. 72

31 e. 72

Efectuar la siguiente operación:

3

1 1 7 2 3

53 a. 6

5.

23 72

65 c. 6

59 b. 6

69 e. 6

68 d. 6

Completar con los signos ">" o "<", según corresponda: 1 2

I.

+

2

5

3

6

1

1

III. 7

9

+

1

2

II.

4

1

1

IV.

8

2

+

2

2 3

1

+

3

1

1

3

3

+

1 4

¿Cuántos signos ">" salen? a.

0

b.

1

c.

2

d.

3

e.

4

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes adiciones: 1 2

+

1 3

2 5

5 4

2 5 3 4

2.

Calcular "A + B", si: A3

a. 3.

2 1 1  ; B 1 4 4 4

4

b.

3

2 4

c.

4

3 4

d.

5

e. 6

Haciendo uso del mínimo común múltiplo (m.c.m.) efectuar: 95

2

1 4 5   3 9 6 42 b. 36

48 a. 18

4.

64 d. 36

1 5

d.

4

e. 5

3

e.

4

72 18 e.

Efectuar la siguiente operación:

2

3 2 1 5 5

a. 5.

65 c. 18

3

b.

3

2 5

c.

4

Completar con los signos ">" o "<" según corresponda: 5

I.

8

+

7

4

8

5

3

2

III. 5

3

+

II.

1

3

1

2

1

2

4

IV. 3

+

3 4

1

+

4

1

1

5

3

+

2 5

¿Cuántos signos ">" salen? a.

0

b.

1

c.

2

d.

DESAFÍO Un caño puede llenar un depósito en 10 minutos y otro caño puede llenar el mismo depósito en 20 minutos. ¿En cuántos minutos se puede llenar un depósito si abrimos al mismo tiempo los dos caños?

a.

16 3

b.

18 3

c.

7

d.

20 3

e.

9

II. SUSTRACCIÓN. Para efectuar la sustracción de fracciones es necesario reducirlas antes, luego se puede aplicar el método del mínimo común múltiplo o la regla de productos cruzados. 96

Ejemplo: Resolver aplicando el método del mínimo común múltiplo. ×

4

4

-

6

10

4 × 5 - 4 × 3

=

30

20 - 12

=

30

8

=

4

4

=

30

15

15

C a lc u la n d o e l m . c . m . 6

10

3

3

5

2

1

5

5

1

1

m .c .m . [ 2 ;3 ;5 ] = 2 × 3 × 5 = 3 0

Ejemplo: Resolver aplicando el método del producto en aspa o productos cruzados. 3 4

-

1 6

=

3 × 6 - 4 × 1 4 × 6

=

18 - 4 24

×

7

=

14 24

=

12

7 12

¡LISTOS, A TRABAJAR! 1.

Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes sustracciones:

-

1 9

2 7

1 3

1 4

2 5 1 3

97

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes sustracciones: -

2 5

1 4

8 16

2 6

4 3 5 7

2.

Calcular "A - B", si: 1 3 3 A  2  ; B 1 2 4 4 1 a. 2

3.

d.

1 4

e.

2 3

Indicar cuál es la menor diferencia:

2 1  5 3 I. a.

4.

3 c. 2

3 b. 4

I

Restar:

a.

3 5

b. II

2

1 1  4 5 III.

4 2  II. 7 6

c.

III

d.

I y III

e.

iguales

3 2 de 2 5 3

4 b. 15

8 c. 5

1 d. 15

e.

3 10 98

5.

1 3 1    restar 5 5 4

De:

7 a. 10

8 b. 12

3 c. 20

3 d. 10

11 20

e.

DESAFÍO

1 1 Encontrar el número racional entre 7 y 4 cuya distancia al primero sea el doble de la distancia al segundo. 9 14

7 14

6 c. 14

5 d. 14

8 e. 14

a. b. III. MULTIPLICACIÓN En la multiplicación de fracciones el numerador final es el resultado de multiplicar los numeradores, el denominador final es el resultado de multiplicar los denominadores. a

Es decir:

×

b

12 Ejemplo:

=

d

6

×

15

c

8

a × c b × d 3

=

1

12 × 6 15 × 8 5

1 × 6

=

5 × 2

2

3

= 1

3 5

¡LISTOS, A TRABAJAR! 1.

Completa el siguiente cuadro simplificando el resultado de la operación indicada: ×

2 3

1 5

4 7

6 10

5 3 1 4

2.

Calcular "A × B", si: A

3 3 5 3 1 18   ; B   3 5 2 2 9 5

2 a. 3 3.

4 b. 10

3 c. 5

3 d. 10

5 e. 9

Se sabe que: 99

A

3  1 4 4  1    ; 5  4 3 5

1 2 3   2 3 4

B

calcular: "A × B"

2 a. 5

4.

1 b. 5

c.1

3 2 d.

1 e. 4

3 28

1 d. 6

10

Simplificar:  1  1  1  2    3   1   3  4  3

7 a. 9

5.

b.

11

8 9

c.

1

e.

1 9

Simplificar: 6 36 12 3    90 15 8 12

9 b. 50

3 a. 50

c.

7 25

d.

2 25

e.

1 25

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

Completar el siguiente cuadro, simplificando el resultado de la operación indicada. ×

15 8

21 12

6 8

9 16

4 3 8 6

2.

4 18 9 5 3 9   ; B   9 6 8 6 10 21 Si: calcular "A × B" A

a. 3.

3 b. 54

6 56

9 c. 56

15 d. 56

10 e. 56

Se sabe que: A

2  1 1 6 3 4 5  2    ; B    3  2 4 5 4 5 6

calcular "A × B" 100

1 2

a.

4.

1 b. 3

1 d. 4

2 c. 3

e.

3 4

e.

5 9

e.

6 5

Simplificar:  2   15   5   3      1   3   16   11 

a. 5.

3

b.

3 5

c.

5 d. 6

5

Simplificar: 8 14 36 12 15     27 40 42 18 4

3 a. 5

4 b. 9

2 9

c.

d.

7 9

DESAFÍO

1 1 4 Una tela se encoge al ser mojada de su longitud y 3 de su anchura. ¿Qué longitud de la tela nueva hace falta emplear para tener 20 metros cuadrados de tela después de mojada? Esta tela antes de ser mojada tenía 8 metros de ancho. a. 2m 6m

b.

3m

c.

4m

d.

5m

e.

IV. DIVISÓN a Para dividir una fracción b entre otra no nula c a fracción b por la inversa de la segunda d .

c d , equivale a multiplicar la primera

Es decir: a

c

b

d

=

a b

×

d c

=

a × d b × c

Ejemplo:

101

4 6



8 9

=

4 6

×

9 8

1

4 × 9

=

6 × 8 2

3

= 2

3 4

¡LISTOS, A TRABAJAR! 1.

Completa el siguiente cuadro efectuando todas las divisiones señaladas 3 2

1 2

5 3

6 8

1 2 3 5

2.

Escribir la expresión más simple equivalente a:

I.

7 36 5 18

4 a. 7

3.

7 b. 10

II.

45 13 90 11

a.

1 5

c.

11 b. 26

3 d. 7

10 7

3 c. 22

2 e. 7

d.

22 3

26 11

e.

d.

15 7

6 e. 9

Hallar el valor de "A × B"; si: 1 1 1 1   2 3 A ; B 7 5 1 1 4 3

a. 4.

8 7

24 b. 7

c.

12 9

Calcular: 2 3  7 7 5 8 8 7

a.

4

b.

0

c.

1

d.

3

e.

2 102

5.

Calcular:

 1 4 18 1   6 1 1 15           2 3 2 9 3 4 5 2    

a.

5 6

b.

8 9

3 c. 4

9 d. 8

7 e. 3

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

Completa el siguiente cuadro efectuando todas las divisiones señaladas: 1 3

2 5

1 2

1 4

3 4 2 3

103

104

FISICA Docente: Ing. Marcos Heredia Huamani.

✍

Cinemática 1 Características del movimiento físico

✍ Cinemática 2 Movimiento rectilíneo uniforme ✍

Cinemática 3 Fórmulas especiales del M.R.U.

✍

Cinemática 4 Movimiento rectilíneo uniformemente variado

105

GUÍA 19752008

DE

APRENDIZAJE

Nº

07

TEMA: Cinemática 1 CONTENIDOS: Cinemática. Movimiento físico.- Elementos, clasificación

CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIEN 1)

CINEMÁTICA.- Es una rama de la física que estudia el movimiento de los cuerpos, sin considerar las causas que lo originan.

2)

MOVIMIENTO FÍSICO.- Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo, a través del tiempo, respecto a un punto tomado como referencia.

Ejm:

3)

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO FÍSICO.- Son el sistema de referencia, móvil, trayectoria, espacio recorrido y desplazamiento.

3.1 Sistema de Referencia.- Es el lugar o punto, considerado como fijo, donde se encuentra ubicado el observador:

En el cuadro 1 indico los sistemas de referencia de las actividades de la ficha N° 01

CUADRO 1

SISTEMA DE REFERENCIA ACTIVIDAD 1 ACTIVIDAD 2 ACTIVIDAD 3

3.2 Móvil.- Es todo cuerpo que realiza movimiento En el cuadro 2 indico los móviles de las actividades de la ficha N° 01

CUADRO 2

ACTIVIDAD 1

MÓVIL ACTIVIDAD 2

ACTIVIDAD 3

3.3 Trayectoria.- Viene a ser la línea descrita por el móvil, durante el movimiento En el cuadro 3 indico la trayectoria de las actividades de la ficha N° 01

CUADRO 3

ACTIVIDAD 1

TRAYECTORIA ACTIVIDAD 2

ACTIVIDAD 3

106

3.4 Distancia recorrida.- Es la longitud que tiene la trayectoria. En el cuadro 4 indico La distancia recorrida de las actividades de la ficha N° 01

CUADRO 4

DISTANCIA RECORRIDA ACTIVIDAD 1 ACTIVIDAD 2 ACTIVIDAD 3

3.5 Desplazamiento.- Es el vector (“flecha”), que indica de un modo gráfico el cambio de posición que experimenta el móvil.

ACTIVIDAD 01

N°

A partir de los valores obtenidos de las actividades y del gráfico, identifico las diferencias entre distancia recorrida y desplazamiento

DISTANCIA RECORRIDA

3)

DESPLAZAMIENTO

CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO FÍSICO.-

3.1 Por su trayectoria.- Se indica en el siguiente cuadro:

Ord.

TRAYECTORIA

a

RECTILÍNEO

b

C U R V I L I N E O

GRÁFICO

DESCRIPCIÓN DE DOS EJEMPLOS

PARABÓLICO

CIRCULAR

ONDULATORI O

107

ELÍPTICO

3.2 Por su rapidez.- Son de dos tipos uniforme y variado.

a) Uniforme.- Si el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales, donde su velocidad es constante

8m

b) Variado.- Si el móvil recorre distancias diferentes en tiempos iguales, donde su velocidad no es constante

8m

20 m

//=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=

4s

30 m

//=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///

4s

4s

4s

PRÁCTICA EN CLASE

I)

MARCA LA RESPUESTA CORRECTA, CUYA JUSTIFICACIÓN DEBE INDICARSE EN EL CUADERNO:

1) Ciencia que estudia al movimiento de los cuerpos, sin considerar sus causas: a) física

b) mecánica

c) cinemática

d) química

e) estática

2) Viene a ser el cambio de posición que experimenta un cuerpo: a) móvil

b) espacio

c) movimiento

d) hombre

e) desplazamiento

3) La partícula o el cuerpo que realiza el movimiento es el a) hombre

b) músculo

c) móvil

d) T.A.

e) uniforme

e) N.A. 4) El lugar fijo donde se ubica el observador es el: a) móvil

6) Un atleta recorre 120 m en 15 s. El móvil viene a ser ……… y la distancia recorrida es ………

b) desplazamiento

a) 120 m – 15 s

c) sistema de referencia

b) atleta – 15 s

d) espacio

c) 15 s – 120 m

e) N.A.

d) atleta – 120 m e) N.A.

5) Si un automóvil recorre 20 m en 4 s y luego 40 m en 8 s; podemos afirmar que su movimiento es:

7) Al desplazamiento se le representa mediante un/una:

a) rápido

b) lento

a) flecha

b) línea

c) a y b

d) variado

c) punto

d) vector

108

e) a ó d

I)

Origen del movimiento

a) VVV

II) Movimiento, sin considerar sus causas

8) La cinemática estudia el:

b) VVF

d) VFF

c) VFV e) FFF

III) Origen de las fuerzas II)

EN CADA CUADRO COMPLETA SEGÚN CORRESPONDA:

1) A partir de la proposición, indicada en el cuadro adjunto, identifica al móvil y su trayectoria:

PROPOSICIÓN MÓVIL a Las manecillas del reloj b Las olas del mar c Caída de una gota de agua de una grifería d Desplazamiento de la tierra alrededor del sol e Al girar una llanta de bicicleta alrededor de su eje f El desplazamiento de una serpiente sobre el piso g Lanzar una pelota de básquet al tablero Trazar una línea con el lapicero al borde de una h regla

TRAYECTORIA

2) Identifica y halla los elementos del movimiento, como se indica en el siguiente cuadro:

DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO

a

Una mosca hace el recorrido por los puntos “A” - “B” – “C” – “D” y “A”, luego se detiene

GRÁFICO DEL MOVIMIENTO



A

12 m

B

....

................

* Espacio recorrido: 4m D

Un ladrón huye de la policía y se mete por unos callejones, b recorriendo por los puntos “A” - “B” – “C” – “D” y luego se detiene

ELEMENTOS * Móvil: . . . . . . . . * Trayectoria:

A

C

 5m

................

* Módulo del desplazamiento:

................ * Móvil: . . . . . . . . . . . .

B

* Trayectoria:

5m

* Espacio recorrido:

................

C

D 7m

................

* Módulo del desplazamiento:

................

PRÁCTICA DOMICILIARIAA

I)

EN CADA PREGUNTA COMPLETA SEGÚN CORRESPONDA:

1) A partir de la descripción del movimiento, identifica el sistema de referencia, móvil, la trayectoria del movimiento indicado y grafica su desplazamiento:

DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO

GRÁFICO DEL MOVIMIENTO

ELEMENTOS

109

a

Y

Un insecto se desplaza desde el punto “A” hasta el punto “B”, como se muestra en el gráfico adjunto

* Móvil: . . . . * Trayectoria:

A



........

.................

B

* Sistema de referencia:

.................

X

b

El automóvil de fórmula 1, desplaza desde “A” hasta “B” y de “B” a “C”



A



* Móvil: . . . . * Trayectoria:

B

........

.................

* Sistema de referencia: C

.................

2) Inserta las palabras en el lugar que les corresponde:

COORDENADAS

REFERENCIA

CINEMÁTICA

MÓVIL

MOVIMIENTO

a) La ....................... , es la ciencia que estudia al movimiento. b) El ........................ es el cambio de posición que experimenta un cuerpo. c)

El observador está asociado un sistema temporal y un sistema de ejes ..............................

d) Al sistema de ........................... se le considera como fijo e) A todo cuerpo que realiza el movimiento se le llama .................................................. 3) Entre los paréntesis escriba “V” si la proposición es correcta o “F” si no lo es, con su respectiva justificación:

a) La ciencia estudia al movimiento físico se llama cinemática ............................................ (

)

......................................................... b) Todo cuerpo que se encuentra en la superficie de la tierra, está en movimiento ................. (

)

......................................................... c)

Todo tipo de movimiento son observados mediante la vista ............................................ (

)

......................................................... d) La trayectoria que describe un móvil es lo mismo que el espacio recorrido ..........................(

)

......................................................... e) El movimiento es variado cuando su velocidad permanece invariable ................................. (

)

......................................................... f)

El móvil siempre es un ser vivo .................................................................................... (

)

.........................................................

110

4) Señala diferencias entre los movimientos uniforme y variado, con sus respectivos ejemplos:

MOVIMIENTO

UNIFORME

MOVIMIENTO VARIADO

5) Señala diferencias entre desplazamiento y distancia recorrida, con sus respectivos ejemplos:

DESPLAZAMIENTO

II)

DISTANCIA RECORRIDA

MARCA LA RESPUESTA CORRECTA, CUYA JUSTIFICACIÓN DEBE INDICARSE EN LAS HOJAS DEL FOLDER:

1) La trayectoria que describe el automóvil, que se dirige por la avenida Pardo es

a) variable

b) uniforme

b) circular – rectilíneo

c) circular

d) rectilíneo

c) elíptico – rectilíneo

e) elíptico

* Rectilínea

d) parabólico – rectilíneo

* Curvilínea a) VF

b) VV

d) FF

c) FV e) N.A.

4) Línea descrita por el móvil: a) trayectoria b) espacio

2) La trayectoria que describe una mosca, cuando vuela es: a) Parabólico

b) Elíptico

c) desplazamiento d) distancia e) N.A.

c) Ondulatorio d) Circular e) T.A.

3) El movimiento es ....... si su velocidad es constante

5) El movimiento de la tierra alrededor del sol – la caída de un cuerpo a) elíptico – circular

6) Es la longitud de la trayectoria a) Espacio

b) tiempo

c) Desplazamiento

d) a y b

e) Distancia recorrida

7) Hablar de movimiento es cuando el móvil cambia su ................ en el tiempo a) espacio

b) distancia

c) posición

d) a y b

e) a y c

EXTENSIÓN

1) Describe 3 movimientos que realizas y en cada una de ellos identifica sus elementos

111

2) En un dibujo señala las trayectorias de la tierra alrededor y de la luna alrededor del sol

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

112

1)

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME.- Presenta las siguientes características:

Completo el cuadro, de acuerdo a las conclusiones de la ficha N° 01

* Su trayectoria es

..........................

* Recorre espacios

. . . . . . . . . . en tiempos . . . . . . . . . .

* Su

. . . . . . . . . . . . permanece constante

En M.R.U. ¿Qué significa que la velocidad de un móvil sea 4 m/s?

¿Cuál es la velocidad promedio que tienen ciertos animales y algunos cuerpos en el universo?

MÓVIL Caracol Tortuga Pez Caballo 2)

VELOCIDAD

(m/s) 0,0014 0,02 1,0 16,0

MÓVIL

VELOCIDAD

(m/s) 18,0 22,0 24,0 200,0

Liebre Avestruz Águila Avión turbohélice

VELOCIDAD

MÓVIL Sonido en el aire Avión a reacción Bala de fusil Satélite artificial

FÓRMULAS DEL M.R.U.- Se deduce de la siguiente manera:

Si quiero una fórmula, cubro la magnitud que deseo obtener

3)

(m/s) 340,0 550,0 715,0 8000,0

Donde:



v





t



UNIDADES.- Se indican el siguiente cuadro:

MAGNITUD FÍSICA DISTANCIA milímetro (d) ( mm ) TIEMPO segundo minuto (t) (s) ( min ) VELOCIDA D (v)

U N I D A D E S centímetro ( cm ) segundo minuto (s) ( min )

metro (m) segundo minuto (s) ( min )

hora (h)

kilómetro ( km ) segundo minuto (s) ( min )

hora (h)

113

Si quiero CONVERTIR de m/s a km/h y viceversa, se procede como se indica en el cuadro

ACTIVIDAD

a

km/h

45 km/h

a

Km / h

a

m/s

c 108 km/h

a

m/s

b

17 m/s

a

km/h

d

ACTIVIDAD N° 02

Resuelvo los problemas que se indican en el siguiente cuadro

PROBLEMA Un coche viaja con M.R.U. a la velocidad de 36 km/h durante 1,5 h. Halla la distancia que recorrió a

Se DIVIDE por 3,6 Se DIVIDE por 3,6

Convierto las unidades de las velocidades, ya sea multiplicando o dividiendo por 3,6

N° 01

25 m/s

m/s

Se MULTIPLICA por 3,6 Se MULTIPLICA por 3,6

a) 54 km d) 60 km

b) 44 km

DATOS

GRÁFICO Y PROCESO

c) 20 km e) N.A.

RESPUESTA:

Qué distancia, en metros, logra recorrer un móvil, si se desplaza a razón de 18 km/h durante 7 min. b a) 2000 d) 126

b) 2100

c) 2200 e) N.A.

RESPUESTA:

114

Si un móvil recorre 24 m en 8 s. ¿Cuál sería su velocidad? a) 5 m/s c d) 1 m/s

b) 4 m/s

c) 3 m/s e) N.A.

RESPUESTA:

Halla la velocidad de un móvil, en m/s, si recorre 3 km en 5 min. a) 5 d d) 20

b) 10

c) 15 e) N.A.

RESPUESTA:

Un ciclista se mueve a razón de 9 m/s. ¿En qué tiempo logrará recorrer 126 m? a) 4 s e d) 10 s

b) 14 s

c) 20 s e) N.A.

RESPUESTA:

Qué tiempo empleará un automovilista en recorrer 1,5 km, si su velocidad es de 3 m/s. f

a) 450 s d) 600 s

b) 550 s e) N.A.

c) 500 s

RESPUESTA:

g

Una explosión se produce a 1,7 km de distancia, después de qué tiempo se escucha el sonido. (SUGERENCIA: La velocidad del sonido se indica en la tabla de la página 7) a) 4 s d) 1 s

b) 3 s

c) 2 s e) N.A.

RESPUESTA:

Una persona se encuentra frente a una montaña y emite un grito, escuchando el eco después de 6 s. ¿A qué distancia de la montaña emitió el grito? a) 4 s h d) 1 s

b) 3 s e) N.A.

c) 2 s

RESPUESTA:

Un coche se encuentra entre dos montañas, toca su bocina y escucha el primer eco después de 4 s y el segundo a 6 s. ¿Qué distancia separa a las montañas? i

a) 4 s d) 1 s

b) 3 s e) N.A.

c) 2 s

RESPUESTA:

115

PRÁCTICA EN CLASE

I)

MARCA LA RESPUESTA CORRECTA, CUYA JUSTIFICACIÓN DEBE INDICARSE EN EL CUADERNO:

1) Son características del M.R.U.: I)

Trayectoria rectilínea

II) Recorre espacios en tiempos iguales III) Su velocidad permanece constante

3) La velocidad de 72 m/s equivale a ……… km/h a) 10 d) 108

b) Sólo II

a) 108

c) I y II

d) I y III

d) 10

2) Un auto se desplaza con MRU a 9 m/s, ¿Qué significa? a) En 9 s recorre 1 m b) Emplea 9 s en recorrer 9 m c) Recorre 9 m en 1 s d) En 1 s recorre 9 m e) c y d

c) 100 e) N.A.

4) 36 km/h equivale a …… m/s

a) Sólo I

e) I , II y III

b) 20

b) 90

c) 20 e) N.A.

5) Relaciona la proposición con su respectiva magnitud: I)

Un ciclista se desplaza a 11 m/s

a) I-A , II-B , III-C b) II-A , III-B , I-C c) III-A , I-B , II-C d) I-A , III-B , II-C e) III-A , I-B , II-C

6) Ordena en forma creciente a las siguientes velocidades: I)

10 m/s

II) 18 km/h III) 1500 cm/s

II) Un hombre recorre 40 m

LA CORRECTA ES:

III) Empleo 30 min en cenar

a) I–II–III

b) II–I–III

A) Tiempo

c) III–I–II

d) III–II–I

B) Velocidad

e) N.A.

C) Distancia LA CORRECTA ES:

7) Si un automóvil recorre 100 m en 5 s, cuál es su velocidad en km/h:

116

a) 10

b) 20

d) 72

c) 45

a) 300 – 10

b) 10 – 300

e) N.A.

c) 2 – 120

d) 120 – 2

c) No, porque su trayectoria o es parabólica

e) N.A. 8) Un atleta recorre una pista de 600 m de largo, con una velocidad constante de 5 m/s. Calcula el tiempo que demora en recorre la pista en s y min.

II)

b) Si, porque su trayectoria es curvilínea

9) Cuando lanzas una pelota de básquet al tablero, es M.R.U.

d) Si, porque su trayectoria es rectilínea e) N.A.

a) No, porque su trayectoria es rectilínea

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS, CUYA SOLUCIÓN DEBE INDICARSE EN EL CUADERNO:

1) Un avión supersónico se desplaza a 420 m/s. Si se encuentra en movimiento durante 8 s, ¿qué distancia, en m, logra recorrer? a) 360

b) 336

d) 3360

c) 3600 e) N.A.

a) 1500

b) 150

d) 1,5

a) 3,6

b) 36

d) 0,36

c) 360 e) N.A.

a) 1 s

a) 16 km/h

b) 8 km/h

c) 4 km/h

d) 32 km/h

e) N.A.

a) 1 d) 1,5

b) 2

c) 3 e) N.A.

b) 2 s

c) 3 s e) N.A.

b) 3 s

d) 1 s

c) 2 s

b) B

d) B y C

c) C e) N.A.

9) Un móvil recorre 2,7 km durante 3 min. Calcula su velocidad en m/s b) 20

d) 10

c) 15 e) N.A.

10) Un coche viaja a razón de 54 km/h. ¿Qué tiempo demora en recorre 300 m? a) 10 s d) 25 s

b) 15 s

c) 20 s e) N.A.

e) N.A.

8) Un coche viaja con una velocidad de 36 km/h. ¿Qué distancia recorre durante 5 segundos? b) 30 m c) 40 m

d) 50 m

11) Un avión se mueve a razón de 50 m/s logrando recorrer 800 m. ¿En qué tiempo logra recorrer dicha distancia? a) 20 m d) 50 m

b) 30 m c) 40 m e) N.A.

e) N.A.

8) Se tiene 3 móviles con los siguientes datos: MÓVIL “A”:

5) En cuántos segundos logrará recorrer 2400 m una nave, si su velocidad es 16 m/s

a) A

7) Una persona “A” emite un grito de cierto lugar y otra persona “B” lo escucha después de 2 segundos. Calcula la distancia que los separa a “A” y “B”.

a) 20 m

4) Si un móvil recorre 100 metros en 5 segundos, ¿en qué tiempo recorre 20 m?

e) N.A.

a) 30

a) 4 s 3) Halla la velocidad de un móvil, si recorre 80 km en 2,5 h

¿Cuál es el más lento?

6) Se dispara una bala a 900 km/h, qué tiempo se demora en recorrer 500 m.

d) 4 s 2) Si un móvil está en M.R.U. durante 30 minutos, con velocidad de 20 m/s. Calcula la distancia, en kilómetros.

c) 15

d=180 m t=12 s

MÓVIL “B”: d=80 m MÓVIL “C”: d=240 m

t=5 s

12) Un atleta recorre 15 m en 4 s. Si desea viajar durante 12 s más, ¿qué distancia recorrerá ahora? a) 30 m d) 45 m

b) 25 m c) 15 m e) N.A.

t=15s

III) IDENTIFICA LOS ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO Y HALLA SU DISTANCIA O VELOCIDAD O TIEMPO:

117

GRÁFICO DEL MOVIMIENTO Y PROCESO DEL PROBLEMA

DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO

Un insecto se desplaza desde el punto “A” hasta el punto “B”, a con una velocidad constante de 2 m/s, durante 15 s, calcula la distancia AB.



A

B

A

Halla el tiempo que demora el automóvil en desplazarse desde b “A” hasta “B” si su velocidad es de 180 km/h.



B

2400 m



A

Un esquiador se desplaza de c “A” a “B”. Halla su velocidad, en m/s, si demora 5 minutos

B

0,45 km

ELEMENTOS * * * * *

Móvil: . . . . . . . . Trayectoria: . . . . . Velocidad: . . . . . . Tiempo: . . . . . . . Distancia: . . . . . .

* * * * *

Móvil: . . . . . . . . Trayectoria: . . . . . Velocidad: . . . . . . Tiempo: . . . . . . . Distancia: . . . . . .

* * * * *

Móvil: . . . . . . . . Trayectoria: . . . . . Velocidad: . . . . . . Tiempo: . . . . . . . Distancia: . . . . . .

PRÁCTICA DOMICILIARIAA

I)

MARCA LA RESPUESTA CORRECTA, CUYA JUSTIFICACIÓN DEBE INDICARSE EN LAS HOJAS DEL FOLDER:

1) Las características del M.R.U. son:

a) No, porque su velocidad es constante.

de ellos tiene mayor velocidad?

Su trayectoria es rectilínea  La velocidad es constante a) VF b) VV c) FV

b) Si, porque su velocidad varía.

a) B

d) FF

d) Si, porque su aceleración varía.



e) N.A

2) En el M.R.U. se cumple que el móvil recorre distancias ........ en tiempos .............. a) iguales – diferentes b) iguales – mayores c) diferentes – iguales

c)

No, porque su velocidad no es constante.

e) N.A.

a) 3,5 d) 5

d) Cualquiera

b) 4

c) F.D. e) N.A.

6) La velocidad de automóvil de Fórmula 1 es 240 km/h. ¿A cuánto equivale en m/s? a) 50

4) Un ciclista cubre una distancia de 18 metros en 4 segundos, su velocidad en m/s es:

b) A

d) 20

b) 40

c) 30

e) N.A.

7) 25 m/s equivale a …… km/h

c) 4,5

a) 60

e) N.A.

d) 90

b) 70

c) 80

e) N.A.

d) iguales – iguales e) iguales – menores 3) La caída de un cuerpo es un M.R.U.

5) La velocidad de “A” es 30 m/s y de “B” 72 km/h. ¿Cuál

8) Si un automóvil recorre 100 m en 5 s, cuál es su velocidad en km/h:

118

a) 10

b) 20

d) 72

e) N.A.

c) 45

9) 108 km/h equivale a …… m/s a) 10

b) 20

d) 40

II) 45 km/h

b) En 1 h recorre 40 km

III) 2200 cm/s

c) Recorre 40 km en 1h

c) 30

d) b y c

e) N.A.

e) N.A.

10) ¿Qué significa que un móvil se desplace con una velocidad de 40 km/h?

II)

a) Recorre 1 km en 40 h

LA CORRECTA ES:

11) Ordena en forma creciente a las siguientes velocidades: I)

19 m/s

a) I–II–III

b) II–I–III

c) III–I–II

d) III–II–I

e) N.A.

RESUELVA LOS PROBLEMAS, CUYA SOLUCIÓN DEBE INDICARSE EN LAS HOJAS DEL FOLDER:

1) Cuántas horas dura un viaje desde Chimbote hasta una ciudad que se encuentra a 420 km, si el bus marcha a razón de 60 km/h a) 4

b) 5

d) 7

c) 6 e) N.A.

2) Un móvil recorre 2,5 km en 15 minutos. ¿Cuál es su velocidad en km/h? a) 12 d) 16

b) 10

a) 1360

b) 1020

d) 340

c) 680 e) N.A.

4) Un mendigo, está sentado en la acera, observa que un tren pasa frente a él y demora 6 s. Si la velocidad del tren es 20 m/s, calcula el largo del tren. a) 120 m

b) 90 m c) 60 m

d) 150 m

e) N.A.

c) 8

e) N.A.

3) En una zona montañosa, un cazador hace un disparo y a los 4 segundos oye el eco del disparo, ¿a cuántos metros se encuentra el cazador de la montaña?

6) Se dispara una bala con una velocidad de 800 m/s. ¿En qué tiempo llegará al blanco situado a 400 m? a) 2 s

b) 1 s

d) 0,25 s

e) N.A.

7) Un hombre recorre con una velocidad de 3 m/s, durante 4,5 min, calcula la distancia a) 13,5 m b) 27 m c) 20 m d) 810 m

5) Si un auto recorre 180 m en 3 min. ¿Cuál será su velocidad en km/h? a) 18

b) 27

d) 45

e) N.A.

c) 36

c) 0,5 s

e) N.A.

8) Si la velocidad de un mono es 12 m/s, ¿en qué tiempo logra recorrer 0,45 km? a) 37 s d) 37,5

b) 35 s

c) 33 s e) N.A.

III) IDENTIFICA LOS ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO Y HALLA SU DISTANCIA O VELOCIDAD O TIEMPO: GRÁFICO DEL MOVIMIENTO Y PROCESO DEL PROBLEMA

DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO

ELEMENTOS

 Un insecto se desplaza desde el punto “A” hasta el punto “B”, con a una velocidad constante de 9 km/h, durante 0,5 min, calcula la distancia AB, en metros.

El automóvil de fórmula 1, desplaza desde “A” hasta “B” Halla el tiempo b que demora si su velocidad es de 50 m/s.

A B

A



B

1,5 km

* * * * *

Móvil: . . . . . . . . Trayectoria: . . . . . Velocidad: . . . . . . Tiempo: . . . . . . . Distancia: . . . . . .

* * * * *

Móvil: . . . . . . . . Trayectoria: . . . . . Velocidad: . . . . . . Tiempo: . . . . . . . Distancia: . . . . . .

119

A

Un caminante se desplaza desde c “B” hasta “A”. Halla su velocidad, en km/h, si demora 15 minutos

B

450 m

* * * * *

Móvil: . . . . . . . . Trayectoria: . . . . . Velocidad: . . . . . . Tiempo: . . . . . . . Distancia: . . . . . .

EXTENSIÓN

1) ¿Qué es un “MACH”? Señala dos aplicaciones

FECHA DE REVISIÓN FIRMA DEL PROFESOR FIRMA DEL PP.FF. O APODERADO

/

/2008

OBSERVACIONES

GUÍA 19752007

DE

APRENDIZAJE

Nº

09

TEMA: Cinemática 3 CONTENIDOS: Tiempo de encuentro. Tiempo de alcance. Tiempo de cruce. Fórmulas

FÓRMULAS ESPECIALES DEL MOVIMIENTO

1)

TIEMPO DE ENCUENTRO (te).- Dos móviles “1” y “2”, están separados por una distancia “d”, se desplazan con velocidades constantes V1 y V2, respectivamente, cuya trayectoria es rectilínea y se dirigen en sentido contrario; el te está dado por:

te=

d1=v1 . te d2=v2 . te

ACTIVIDAD N° 01

Empleando la fórmula de tiempo de encuentro, resuelvo el problema

En una pista recta, 2 móviles “A” y “B”, están separados 600 m. Ambos

120

se dirigen al encuentro simultáneamente, con velocidades constantes de 12 m/s y 8 m/s; calcula: a) El tiempo de encuentro b) La distancia recorrida por “A” c) La distancia recorrida por “B”

2)

TIEMPO DE ALCANCE (ta).- Dos móviles “1” y “2” están separados por una distancia “d”, se desplazan con velocidades constantes V1 y V2, respectivamente, cuya trayectoria es rectilínea y se dirigen en el mismo sentido; el ta está dado por:

Ta =

d1=v1 . ta d2=v2 . ta

ACTIVIDAD N° 02

Empleando la fórmula de tiempo de alcance, resuelvo el problema

En una pista recta, 2 vehículos “A” y “B” están separados por 200 m. Uno de ellos se dirige al encuentro del otro, en el mismo instante, con velocidades constantes son de 10 m/s y 6 m/s, respectivamente calcula: a) El tiempo de alcance. b) La distancia recorrida por “A” c) La distancia recorrida por “B” 3)

TIEMPO DE CRUCE (tC).- Cuando un móvil (generalmente un tren) de longitud “L 1” con velocidad “V” cruza un túnel, puente, etc. de longitud “L2”, el tiempo que demora en pasar totalmente el túnel o puente se calcula con:

121

L1 + L2 TC =

ACTIVIDAD N° 02

v

Empleando la fórmula de tiempo de cruce, resuelvo los problemas

PROBLEMA

DATOS

GRÁFICO Y PROCESO

Un tren de 150 m de largo pasa por un túnel de 350 m de longitud, con un movimiento rectilíneo uniforme, cuya a velocidad es de 25 m/s; qué tiempo demora en pasar totalmente el túnel. RESPUESTA:

Calcula el tiempo que demora en pasar totalmente el puente de 40 m de longitud, un tren de 200 m de largo, si se desplaza con velocidad constante de b 30 m/s.

RESPUESTA:

Un túnel de 120 m y un puente de 80 m de longitud, se encuentran en línea recta y uno a continuación de otro, por c el cual pasa un tren de 150 m de largo, con velocidad constante de 20 m/s; qué tiempo demora en pasarlo totalmente. RESPUESTA:

PRÁCTICA EN CLASE

I)

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS, CUYA SOLUCIÓN DEBE INDICARSE EN EL CUADERNO:

122

1) Un tren de 200 m de longitud pasa por un túnel de 300 m de largo. Calcula el tiempo que demora en pasar totalmente el túnel si su velocidad es 20 m/s a) 20 s

b) 25 s

d) 35 s

y la distancia recorrida por cada uno de los móviles a) 800 s – 600 m – 40 m b) 600 s – 800 m – 40 m

c) 30 s e) N.A.

2) Dos perritos “Fido” y “Dido” están separados una distancia de 500 m y parten al mismo tiempo con M.R.U. de 6 m/s y 4 m/s. Calcula el tiempo que demorarán en encontrarse y la distancia recorrida por cada perro a) 200 s – 300 m – 50 m

c) 50 s – 600 m – 800 m

a) 20

d) 50 s – 800 m – 600 m

d) 40

6) Halla el tiempo, en minutos, que demora en pasar totalmente un túnel de 500 m de largo, un tren de 100 m de longitud, que se desplaza con una velocidad constante de 5 m/s b) 100

d) 2

c) 50 s – 200 m – 300 m

e) N.A.

c) 35 e) N.A.

9) Dos atletas parten juntos en la misma dirección con velocidades de 4 m/s y 6 m/s, ¿qué distancia los separa luego de 1 min de estar corriendo? a) 30 m d) 120 m

b) 60 m c) 80 m e) N.A.

c) 5 e) N.A.

6) A partir del instante mostrado en la figura. Halla el tiempo que tarda el móvil “A” en alcanzar a “B”

d) 50 s – 300 m – 200 m

b) 30

e) N.A.

a) 120

b) 300 s – 200 m – 50 m

8) ¿Cuántos segundos demora un tren de 200 m, en pasar por un túnel de 150 m, si su velocidad es de 36 km/h?

3) ¿Al cabo de qué tiempo estarán frente a frente, las esferas?

10) Dos autos de carrera con velocidades de 90 km/h y 108 km/h parten de un mismo punto en la misma dirección. ¿Cuál es la distancia de separación luego de 1 min? a) 300 m

b) 400 m

c) 800 m

d) 600 m

e) N.A. a) 6 s

b) 7 s

d) 9 s a) 17 d) 20

b) 18

c) 8 s e) N.A.

c) 19 e) N.A.

4) Un patrullero se encuentra a 200 m de un automóvil, cuyas velocidades son 20 y 15 m/s, respectivamente. Calcula el tiempo de alcance

7) Un gato se halla a 2 m de un ratón, cuyas velocidades son 5 y 4 m/s, respectivamente. ¿Qué tiempo requiere el gato para atrapar al ratón? a) 1 s d) 4 s

b) 2 s

c) 3 s e) N.A.

11) Dos autos remueven con velocidades de 18 m/s y 24 m/s en la misma dirección. Si pasan por un mismo punto simultáneamente. Determina la distancia que los separa luego de 5 min a) 1200 m

b) 1400 m

c) 1800 m

d) 1600 m

e) N.A.

PRÁCTICA DOMICILIARIAA

I)

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS, CUYA SOLUCIÓN DEBE INDICARSE EN EL CUADERNO:

123

1) Halla el tiempo que demora en pasar totalmente el túnel de 320 m de longitud, un tren de 180 m de largo con velocidad es constante de 40 m/s a) 20 s

b) 25 s

d) 35 s

c) 30 s

a) 1 s

b) 2

d) 20 s

e) N.A. a) 1 s

5) Los móviles de la figura parten simultáneamente, ¿al cabo de cuántos segundos estarán frente a frente?

a) 17

b) 20 s

d) 200 s

c) 100

d) 20

b) 18

c) 19

b) 2 s

d) 4 s

c) 3 s e) N.A.

8) ¿Cuántos segundos demora un tren de 0,15 km, en pasar totalmente un túnel de 250 m, cuya velocidad es 72 km/h? a) 20

e) N.A.

3) Dos móviles “M” y “D” que se encuentran separados 0,3 km y se mueven en la misma dirección a razón de 25 m/s y 15 m/s. Calcula el tiempo que demora el móvil más rápido en alcanzar al más lento.

7) A partir del gráfico adjunto, calcula la distancia recorrida por el móvil más rápido.

c) 15 s

c) 3

d) 4

a) 10 s s

b) 10 s

e) N.A.

2) Dos móviles “Y” y “T” están separados por 900 m y parten al mismo tiempo con M.R.U. de 90 km/h y 108 km/h. ¿Después de cuántos minutos logran encontrarse? a) 1

línea recta. Halla el tiempo, que emplea un tren de 120 m de largo, en pasar totalmente, si su velocidad es constante de 108 km/h

d) 40

b) 30

c) 35 e) N.A.

e) N.A.

6) A partir del gráfico mostrado, donde ambos móviles se mueven simultáneamente, calcula la distancia recorrida por el móvil más lento, al ser alcanzado por el más rápido.

9) Un león se encuentra a 200 m de una cebra, cuyas velocidades son 10 y 7,5 m/s, respectivamente. Calcula el tiempo de alcance y la distancia recorrida por cada uno de los móviles a) 400 s – 300 m – 20 m b) 300 s – 400 m – 20 m

e) N.A.

c) 25 s – 300 m – 400 m 4) Un túnel de 140 m y un puente de 40 m de longitud se encuentran uno a continuación de otro y en

d) 25 s – 400 m – 300 m a) 50 m d) 40 m

b) 60 m c) 20 m

e) N.A.

e) N.A.

EXTENSIÓN

1) ¿Qué tiempo demora en llegar los rayos solares desde el sol hasta la tierra? 2) Si desde la tierra se manda un pulso de luz (con un laser) hacia la luna, que refleja y regresa de nuevo a la tierra, demorando 2,56 s,¿Cuál es la distancia entre la luna y la tierra?

FECHA DE REVISIÓN FIRMA DEL PROFESOR

/

/2008

OBSERVACIONES

124

FIRMA DEL PP.FF. O APODERADO

125

GUÍA 19752008

DE

APRENDIZAJE

Nº

10

TEMA: Cinemática 4 CONTENIDOS: Movimiento rectilíneo uniformemente variado.- Características, fórmulas y unidades

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE 1)

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO.- Presenta las siguientes características:

Completo el cuadro, de acuerdo a las conclusiones de la ficha N° 01

* Su trayectoria es

.........................

* Recorre espacios

. . . . . . . . . . en tiempos . . . . . . . . .

* Su velocidad .

. . . . . . . . . o . . . . . . . . . progresivamente



En M.R.U.V. ¿Qué significa que la 2

aceleración de un móvil sea 4 m/s ? ................................... ...................................



En M.R.U.V. ¿Qué significa que la 2 aceleración de un móvil sea - 2 m/s ?

126

2)

ACELERACIÓN.- Es la variación de las velocidades en cada unidad de tiempo. En el M.R.U.V. permanece constante y se calcula por la siguiente fórmula: Donde:

a=

vf − v0 t

3)



Vf 



Vf 

FÓRMULAS.- Las que se emplearán en la resolución de problemas de M.R.U.V. se indican en el cuadro N° 01 CUADRO N° 01 FÓRMULAS a

Vf = Vo  at

Vf 

b

Vf2 = Vo2  2ad

Vo 

c d

e

f

4)

LEYENDA

d = Vot  d = (

dn= Vo + 1) a =

a 

1 2

at

Vo + V f 2 1 2

OBSERVACIONES Se utiliza el signo (+) cuando:  Su velocidad aumenta  Su V f  V 0 Se utiliza el signo (+) cuando:  Su velocidad disminuye  Su V f  V 0 Si un móvil parte del reposo, significa que su velocidad inicial es igual a cero Si un móvil se detiene, significa que su velocidad final es igual a cero

2

)t

a(2n–

Vf − V o t

d  t 

El MRUV es acelerado cuando su aceleración es positiva

dn  n 

El MRUV es desacelerado cuando su aceleración es negativa

UNIDADES.- En el cuadro N° 02 se muestra las unidades que se usarán en el M.R.U.V.

CUADRO N° 02

d m UNIDADES km MAGNITUD

dn

m km

t s h

V0

Vf

a

m/s km/h

m/s km/h

m/s2 km/h2

PRÁCTICA EN CLASE 127

I)

MARCA LA RESPUESTA CORRECTA, CUYA JUSTIFICACIÓN DEBE INDICARSE EN EL CUADERNO:

1) Son características del MRUV: I)

Trayectoria rectilínea

II) Su velocidad disminuye o aumenta progresivamente III) Su aceleración permanece constante a) I

b) II

d) I - III

c) I - II e) I-II-III

2) La aceleración de un auto que se desplaza con M.R.U.V. es 3 m/s2, ¿cuál es su significado?

a) final – cero

a) aceleración

b) distancia

b) inicial – uno

c) tiempo velocidad

d)

c) media – cero

e) final – infinito

b) inicial – cero

d) El cambio de velocidad

c) media – cero

e) T.A.

e) final – cero

e) N.A.

3) La aceleración de un auto que se desplaza con M.R.U.V. es -2 m/s2, ¿cuál es su significado? a) En 2 s recorre 1 m b) En 1 s su velocidad aumenta en 2 m/s c)

En 1 s su velocidad aumenta en 2 m

d) En 1 s su velocidad disminuye en 2 m/s e) N.A. 4) Si un móvil parte del reposo significa que velocidad ……… es ………

b) El desplazamiento c) La distancia recorrida

b) En 1 s su velocidad disminuye en 3 m/s

d) En 1 s su velocidad aumenta en 3 m/s

a) El cambio de posición

a) final – infinito

d) inicial – uno

En 1 s su velocidad aumenta en 3 m

9) La aceleración de un móvil se relaciona con:

5) Si un móvil se detiene significa que velocidad ……… es ………

a) En 3 s recorre 1 m

c)

e) N.A.

d) inicial – cero

10) Relaciona la proposición con su respectiva magnitud:

6) Se dice que un movimiento es retardado cuando la velocidad final es ……… que la velocidad inicial

I) Un ciclista avanza a 1 m/s2 II) Un hombre se desplaza a 3m/s

a) igual

b) mayor

III) La duración de un movimiento es 20 s

c) indiferente

d) menor

IV) Un móvil avanza 40 m

e) equivalente

A) Tiempo B) Distancia

7) Referente al M.R.U.V. señala si la afirmación es verdadera (V) o falsa (F):

C) Velocidad D) Aceleración

I) Aceleración es constante

LA CORRECTA ES:

II) Velocidad es constante

a) I-D, II-B , III-C , IV-A

LO CORRECTO ES

b) I-C , II-A , III-D , IV-B

a) VV d) FF

b) VF

c) FV

c) I-B , II-C , III-A , IV-D

e) N.A.

d) I-A , II-D , III-B , IV-C

8) En el M.R.U.V. qué magnitud varía uniformente:

e) I-D , II-C , III-A , IV-B

128

II)

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS, CUYA SOLUCIÓN DEBE INDICARSE EN EL CUADERNO:

1) Un coche acelera desde el reposo hasta 25 m/s en 10 s. Calcula la aceleración a) 2 m/s2

b) 3

d) 2,5

c) 3,5 e) N.A.

5) Un auto se mueve con una velocidad de 20 m/s, en seguida aplica los frenos hasta detenerse en 4 s. Halla la distancia recorrida en m. a) 40

b) 60

d) 100 2) Halla la distancia que recorre un móvil, que parte a razón de 4 m/s y aceleración de 2 m/s2 durante 5 s. a) 30 m

b) 25 m c) 20 m

d) 15 m

e) N.A.

e) N.A.

6) Un ciclista parte con una velocidad de 3 m/s y en 4 s logra recorrer 28 m. Halla su aceleración en m/s2 a) 4

b) 3

d) 1 3) Calcula la desaceleración, en m/s2, de un automóvil cuya velocidad es 10 m/s y frena hasta detenerse después de recorrer 20 m. a) 3,5 d) 2

b) 3

c) 2,5 e) N.A.

4) Halla la velocidad inicial de un móvil que viaja a 2 m/s2, si en 5 s recorre 80 m. a) 15 m/s

b) 17 m/s

c) 19 m/s

d) 21 m/s

e) N.A.

I)

c) 80

9) Halla la velocidad final, en m/s, de un ciclista, cuya inicial es 12 m/s y acelera a razón de 4 m/s2 durante 3 s. a) 30

b) 24

d) 15

e) N.A.

10) A partir de los datos de la figura halla su aceleración 3s

e) N.A.

7) Qué tiempo emplea un móvil en recorrer 60 m, si parte con una velocidad de 2 m/s y una aceleración de 4 m/s2

d) 1 s

b) 5 s

/ //=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///=///

d) 9 m

17 m/s

a) 4 m/s2

29 m/s

b) 5

d) 7

c) 6 e) N.A.

c) 2 s e) N.A.

8) Un ciclista parte con una velocidad inicial de 3 m/s y acelera a razón de 2 m/s2. Calcula la distancia recorrida en el quinto segundo a) 20 m

3s

c) 2

5 m/s

a) 10 s

c) 18

11) Un camión atraviesa un tramo con una velocidad de 15 m/s y 4 s después su velocidad es 7 m/s. Calcula su aceleración en m/s2 y su distancia en m: a) 4-40

b) 8-44

d) 4-44

c) 8-40 e) N.A.

b) 15 m c) 11 m

PRÁCTICA DOMICILIARIAA

e) N.A.

MARCA LA RESPUESTA CORRECTA, CUYA JUSTIFICACIÓN DEBE INDICARSE EN LAS HOJAS DEL FOLDER:

1) Clasifica como verdadero (V) o falso (F) cada una de las proposiciones: 

En el MRUV la aceleración se mantiene constante  En el MRUV no existe aceleración  En el MRUV la velocidad aumenta o disminuye progresivamente a) VFF b) VVF c) FVF

d) VFV

e) N.A.

2) Clasifique como verdadero (V) o falso (F) a las proposiciones, referente al M.R.U.V.: 

El móvil en tiempos iguales recorre espacios iguales



La aceleración varia constantemente  Si el móvil parte del reposo, su velocidad final es cero  Si el móvil de detiene su velocidad final es cero. a) VFFV b) VVFV c) FFFV d) VFVV

e) N.A.

129

3) La aceleración de un móvil que se desplaza con M.R.U.V. es 5 m/s2, ¿cuál es su significado? a) En 5 s recorre 1 m b) Su velocidad disminuye en 1 m/s c)

En 1 s su velocidad aumenta en 5 m/s

d) En 1 s su velocidad aumenta en 5 m e) N.A.

4) La aceleración de un auto con M.R.U.V. es -3 m/s2, ¿cuál es su significado? a) En 1 s recorre 3 m b) En 1 s su velocidad aumenta en 3 m/s c)

En 1 s su velocidad disminuye en 2 m

d) En 1 s su velocidad disminuye en 2 m/s

a) diferente de cero

II) Retardado

b) mayor que cero

III) Desacelerado

c) menor que cero

LO CORRECTO ES

d) igual a cero

a) VVF

e) T.A.

d) VFF

6) Si un móvil se detiene, la velocidad final es

c) FVV e) N.A.

9) Relaciona la proposición con su respectiva magnitud:

a) diferente de cero

I) Un ciclista avanza a 4 m/s

b) mayor que cero

II) Un móvil se desplaza 3 m

c) menor que cero

III) Un fenómeno dura 10 s

d) igual a cero

IV) Un móvil avanza a -3 m/s2

e) T.A. 7) Si la aceleración de un móvil es negativa, entonces su movimiento es ………

A) Tiempo B) Distancia C) Velocidad

a) desacelerado acelerado

b)

c) retardado

d) a y c

D) Aceleración LA CORRECTA ES:

a) I-D, II-B , III-C , IV-A

e) N.A.

e) N.A.

b) I-C , II-A , III-D , IV-B

5) Si un móvil parte del reposo, su velocidad inicial es:

8) Si la aceleración del móvil es positiva, entonces podemos afirmar que el movimiento es

c) I-C , II-B, III-A , IV-D d) I-A , II-D , III-B , IV-C e) I-D , II-C , III-A , IV-B

I) Acelerado

II)

b) VFV

RESUELVA LOS PROBLEMAS, CUYA SOLUCIÓN DEBE INDICARSE EN LAS HOJAS DEL FOLDER:

1) Un móvil se desplaza a 14 m/s, después de 4 s disminuye a 2 m/s ¿cuál es su aceleración? a) 1

b) 2

d) 4

c) 3 e) N.A.

d) 150 m 3) Un vehículo acelera desde el reposo hasta alcanzar 20 m/s, en un tiempo de 10 s. Halla su aceleración (m/s2) y su distancia recorrida (m) a) 2-8 d) 2-10

2) Calcula el tiempo que estuvo en movimiento un automóvil, si su velocidad fue de 20 m/s y recorrió 100 m hasta detenerse. a) 6 s d) 12 s

b) 8 s

c) 10 s e) N.A.

b) 10-2

a) 120 m

5) Una motocicleta se mueve con M.R.U.V. y velocidad de 20 m/s. Si frena hasta detenerse en 10 s, calcula la distancia recorrida

c) 8-2

a) 90 m

e) N.A.

d) 60 m

4) Un auto viaja con una aceleración de 3 m/s2, si al cabo de 2 s logró recorrer 30 m, calcula su velocidad inicial. b) 90 m c) 60 m

e) N.A.

b) 80 m c) 70 m e) N.A.

6) Calcula la velocidad inicial, en m/s, de una motocicleta con M.R.U.V. si alcanza una velocidad de 60 m/s, luego de recorrer 120 m en 3 s. a) 18

b) 20

c) 30

130

d) 35

e) N.A.

7) Un camión se desplaza a 72 km/h, luego frena hasta detenerse en 12 s. Halla la distancia recorrida, en m. a) 110 d) 140

b) 120

8) Un automóvil parte del reposo a razón de 4 m/s2, cuál es su velocidad, en m/s, al cabo de 8 s. a) 12 d) 32

b) 8

c) 7 e) N.A.

c) 130 e) N.A.

9) Un ratón a razón de 0,2 m/s, al ver un gato aumenta a 0,8 m/s en 4 s. Calcula el espacio recorrido en m y aceleración en m/s2.

a) 2-8 d) 2-10

b) 10-2

c) 8-2 e) N.A.

10) Un auto se desplaza con M.R.U.V. si su velocidad inicial es 5 m/s y acelera a 2 m/s2. Halla el espacio al cabo de 6 s a) 30 m d) 60m

b) 45 m c) 50 m e) N.A.

131

III) A PARTIR DE LOS DATOS DE LA FIGURA HALLA EL VALOR DE LAS INCÓGNITAS:

PROBLEMA

SOLUCIÓN

1

Halla la aceleración y la distancia AB.

2

A

B

C

D

Halla la velocidad en A – C – D, la distancia AD e identifica el tipo de movimiento

3

A

B

C

D

Halla la velocidad en A – B – D, la distancia AD e identifica el tipo de movimiento

EXTENSIÓN

1) Describa cinco movimientos donde exista aceleración

FECHA DE REVISIÓN FIRMA DEL PROFESOR FIRMA DEL PP.FF. O APODERADO

/ 2007

/

OBSERVACIONES