Questions Examen Oral 2006 2007

Mati` ere de l’examen oral Math´ematiques g´en´erales (A), 2006-2007 1er bachelier en biologie, chimie, g´eographie, g´eologie, informatique, philosophie Remarques 1) La liste suivante est plutˆ ot une table des mati`eres d´etaill´ee qu’une liste de questions. Si des r´ esultats ont ´ et´ e d´ emontr´ es au cours, des d´ emonstrations les concernant seront demand´ ees. A l’oral, chaque ´etudiant doit tirer un carton au sort; sur ce carton figurent des questions pr´ecises portant sur la mati`ere d´etaill´ee ici. L’´etudiant doit r´epondre aux questions figurant sur son carton directement au tableau; l’examen se poursuit par une discussion avec l’interrogateur, sur base des questions du carton et des r´eponses que l’´etudiant a inscrites au tableau. 2) Les ´etudiants ayant obtenu une dispense a ` la suite de l’examen de janvier peuvent omettre les items pr´ec´ed´es de (*) dans la liste ci-dessous. 3) Pour les ´etudiants de 1er bachelier en philosophie, seuls les chapitres 1,2,3,4 font partie de la mati`ere. Chapitre 1 (toutes les sections) 1. (*) Enoncer la formule du binˆ ome de Newton. 2. D´efinir la notion de vecteur, de somme de deux vecteurs, de multiplication d’un vecteur par un nombre, de composantes d’un vecteur dans une base. 3. La droite dans le plan (d´efinition vectorielle, ´equations param´etriques, ´equation cart´esienne) 4. Qu’appelle-t-on conique du plan (d´efinition a ` partir de lieux g´eom´etriques)? Dans un rep`ere orthonorm´e, quelles sont les ´equations canoniques des diff´erentes coniques? Donner une repr´esentation graphique des coniques. Qu’appelle-t-on excentricit´e d’une conique? 5. Enoncer pr´ecis´ement et d´emontrer la propri´et´e qui permet de prouver l’existence et de donner la forme des z´eros d’un polynˆ ome du second degr´e a ` coefficients et variable complexes. A l’examen, la question peut ˆetre pos´ee dans un cas particulier. Chapitre 2 (toutes les sections) 1. D´efinir la notion de fonction injective, surjective, bijective. 2. Qu’appelle-t-on fonction monotone (resp. convexe, concave)? En donner une interpr´etation g´eom´etrique. 3. Qu’appelle-t-on fonction inverse (r´eciproque) d’une fonction donn´ee? Existe-t-elle toujours? Expliquer. Dans le cas o` u elle existe, en donner les propri´et´es fondamentales qui d´ecoulent de sa d´efinition (domaine, image, repr´esentation graphique). 4. Qu’appelle-t-on fraction rationnelle? Qu’entend-on par d´ecomposition en fractions simples? 5. Donner la d´efinition g´eom´etrique des fonctions trigonom´etriques (sin, cos), leur domaine de d´efinition et leur image. D´efinir les fonctions tangente, cotangente; en donner le domaine de d´efinition et l’image. 6. Dans l’espace, d´efinir g´eom´etriquement le produit scalaire de deux vecteurs et le produit vectoriel de deux vecteurs. En donner une expression analytique. 7. D´efinir les fonctions trigonom´etriques inverses. En donner la repr´esentation graphique. 8. Enoncer les propri´et´es fondamentales de la fonction exponentielle. 9. (*) D´efinir la fonction logarithme n´ep´erien a ` partir de la fonction exponentielle. Enoncer et d´emontrer les propri´et´es fondamentales de la fonction logarithme (en vous servant de sa d´efinition). 10. Donner la d´efinition des fonctions suivantes (x est la variable r´eelle, a est un param`etre), ainsi que leur domaine de d´efinition xa (o` u a est un param`etre r´eel) ax (o` u a est un param`etre strictement positif) loga x (o` u a est un param`etre r´eel strictement positif et diff´erent de 1). Chapitre 3 (toutes les sections sauf mention du contraire) 1. D´efinir la notion de suite, de suite convergente (vers un nombre ou vers l’infini).

2. Enoncer et d´emontrer la formule donnant la somme des N premiers termes d’une suite g´eom´etrique de raison q et de premier terme ´egal a ` 1. 3. Soit a ∈ R. Etudier la convergence de la suite am (m ∈ N0 ). (Enonc´e seul pour les biologistes, les g´eologues et les philosophes.) (Enonc´e et d´emonstration pour les chimistes, g´eographes et informaticiens.) 4. (*) D´efinir la notion de limite des valeurs d’une fonction (d´efinition par les suites et caract´erisation en “ε, η”). En donner une interpr´etation graphique. 5. Dans le cadre du calcul des limites, expliquer ce que l’on entend par “cas ind´etermin´e”. 6. D´efinir la notion de continuit´e d’une fonction en un point de son domaine de d´efinition. Enoncer la propri´et´e qui lie la continuit´e d’une fonction en un point de son domaine de d´efinition et la convergence de suites. 7. (*) Enoncer le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires (TVI). 8. D´efinir la d´eriv´ee d’une fonction en un point. Interpr´eter g´eom´etriquement cette d´efinition. 9. (*) D´erivation d’une combinaison lin´eaire de fonctions d´erivables et d’un produit de deux fonctions d´erivables. (Enonc´es+preuves.) 10. (*) Enoncer et d´emontrer le r´esultat liant la continuit´e et la d´erivabilit´e d’une fonction. 11. Donner le domaine de d´efinition, les limites aux extr´emit´es du domaine, le domaine de d´erivabilit´e, la d´eriv´ee premi`ere de chacune des fonctions suivantes et en esquisser une repr´esentation graphique. S’il s’agit de fonctions inverses (r´eciproques), d´emontrer l’expression de la d´eriv´ee que vous avez annonc´ee. cos x, sin x, tg x, cotg x, arcsin x, arcos x, arctg x, arcotg x, exp x, ln x. Donner le domaine de d´efinition, le domaine de d´erivabilit´e, la d´eriv´ee premi`ere de chacune des fonctions suivantes. Donner aussi la condition que doit satisfaire le param`etre a. xa , ax , loga x 12. Enoncer et d´emontrer le th´eor`eme des accroissements finis (en ´enon¸cant clairement tout r´esultat utilis´e). Donner une interpr´etation g´eom´etrique du r´esultat. 13. Enoncer et d´emontrer une caract´erisation de la croissance d’une fonction d´erivable faisant intervenir la d´eriv´ee de cette fonction. 14. (*) Extrema d’une fonction d’une variable r´eelle a ` valeurs r´eelles (d´efinition, propri´et´es). 15. Qu’appelle-t-on primitive d’une fonction? Enoncer les r´esultats concernant l’unicit´e des primitives d’une fonction primitivable. Chapitre 4 (toutes les sections sauf mention du contraire) 1. Qu’appelle-t-on approximation polynomiale d’une fonction en un point de son domaine de d´efinition? Quelle forme a cette approximation quand la fonction est suffisammment d´erivable? 2. Enoncer le r´esultat appel´e “D´eveloppement limit´e de Taylor” et le relier aux notions d’approximation polynomiale et de reste de l’approximation polynomiale d’une fonction en un point. 3. D´eterminer les premi`eres approximations polynomiales en 0 des fonctions suivantes: exp x, sin x , cos x, ln(x + 1). 4. Qu’appelle-t-on z´ero de multiplicit´e α d’un polynˆ ome? Enoncer la propri´et´e donnant une caract´erisation pratique de la multiplicit´e utilisant les d´eriv´ees du polynˆ ome. 5. (G´eographie, informatique) (*) Qu’appelle-t-on s´erie? Qu’appelle-t-on s´erie convergente? Qu’appelle-t-on s´erie de puissances? 6. (Chimie, g´eographie, informatique) Qu’appelle-t-on s´erie g´eom´etrique, s´erie de Riemann? Dire que ces s´eries sont convergentes (resp. divergentes), qu’est-ce que cela signifie? Dans quels cas sont-elles des s´eries convergentes? Dans le cas d’un s´erie g´eom´etrique, que vaut alors la somme (c’est-` a-dire la limite de la suite des sommes partielles) (´enonc´e et d´emonstration)? 7. (G´eographie, informatique) (*) Donner la d´efinition de la fonction exponentielle qui utilise la convergence des s´eries et justifier le sens de cette d´efinition.

8. (Chimie, g´eographie, informatique) Apr`es avoir rappel´e la d´efinition de la fonction exponentielle (par les s´eries), ´enoncer et d´emontrer les propri´et´es fondamentales de cette fonction. 9. Comment d´efinit-on la fonction exp(ix), x ∈ R? Comment se repr´esentent les complexes exp(ix) pour x ∈ R? Quelle est la signification de x dans cette repr´esentation? Si n est un naturel strictement positif, qu’appellet-on racine n−i`eme d’un complexe non nul z? Si z est de module 1, comment se repr´esentent ses racines n−i`emes? Chapitre 5 (toutes les sections sauf philo et sauf mention du contraire) 1. Equations diff´erentielles lin´eaires a ` coefficients constants: d´efinition et forme g´en´erale des solutions. 2. Qu’appelle-t-on ´equation diff´erentielle lin´eaire a ` coefficients constants d’ordre 1 (resp. 2) homog`ene? Justifier la raison pour laquelle on utilise le qualificatif “lin´eaire”. 3. Caract´erisation de l’ensemble des solutions d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire a ` coefficients constants d’ordre 1 homog`ene (´enonc´e pour les biologistes et les g´eologues; ´enonc´e et d´emonstration pour les chimistes, g´eographes, informaticiens) 4. Caract´erisation de l’ensemble des solutions d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire a ` coefficients constants d’ordre 2 homog`ene (´enonc´e). Expliquer comment on peut encore ´ecrire ces solutions lorsque l’on ne consid`ere que les solutions r´eelles. 5. Qu’appelle-t-on ´equation diff´erentielle lin´eaire a ` coefficients constants d’ordre 1 (resp. 2)? Enoncer le r´esultat donnant l’unicit´e d’une solution d’une telle ´equation. 6. Enoncer le r´esultat donnant l’existence et la construction d’une solution de l’´equation (d’ordre 1 et d’ordre 2) lorsque le second membre est une fonction exponentielle polynˆ ome. Chapitre 6 (toutes les sections sauf philo et sauf mention du contraire) 1. D´efinition de l’int´egrabilit´e et de l’int´egrale d’une fonction sur un intervalle [a, b] o` u a, b ∈ R, a < b. 2. Enoncer et d´emontrer le r´esultat donnant la valeur de l’int´egrale d’une fonction continue sur [a, b] par variation de primitive. 3. Soit f une fonction continue sur un intervalle de type [a, b[ (resp. ]a, b], [a, b[). Quand dit-on que f est int´egrable sur cet intervalle? Qu’appelle-t-on alors int´egrale de f sur cet intervalle? 4. (G´eographie, chimie, informatique) D´efinir la notion d’int´egrale fl´ech´ee d’une fonction continue sur un intervalle [a, b[ (resp. ]a, b], ]a, b[). Expliquer pourquoi l’int´egrale et l’int´egrale fl´ech´ee sont des notions diff´erentes. 5. Etudier (´enonc´e et d´emonstration) l’int´egrabilit´e de la fonction f (x) = [1, +∞[.

1 xs

sur l’intervalle ]0, 1] et sur l’intervalle

6. Quelle est la d´efinition de la longueur d’une courbe? Expliquer pourquoi il est naturel de donner cette d´efinition. Chapitre 7 (toutes les sections sauf philo et sauf mention du contraire) 1. Repr´esentation graphique d’une fonction de plusieurs variables r´eelles a ` valeurs r´eelles (notion de courbe, de surface, de courbe de niveau, de surface de niveau. . . ). 2. Qu’est-ce qu’une surface quadrique? Quelles sont les surfaces quadriques (non d´eg´en´er´ees)? Quelles sont leurs repr´esentations graphiques? 3. D´efinir la notion de d´eriv´ee partielle d’une fonction en un point de son domaine de d´efinition (ouvert). Enoncer le r´esultat relatif a ` la d´erivation des fonctions compos´ees. 4. Expliquer ce que l’on appelle “permutation de l’ordre d’int´egration” dans le calcul des int´egrales doubles. Peut-on toujours le faire sans changer la valeur du r´esultat? Expliquer. 5. (Chimie, g´eographie, informatique) Enoncer et expliquer la formule d’int´egration par changement de variables polaires (dans le cas d’int´egrales doubles).

Chapitre 8 (toutes les sections sauf philo et sauf mention du contraire) 1. D´efinitions: matrice; format ou type d’une matrice, matrice carr´ee; ´el´ements d’une matrice; ligne, colonne, rang´ee d’une matrice; ´el´ements diagonaux d’une matrice; matrice diagonale; matrice conjugu´ee, transpos´ee, adjointe; vecteurs colonnes, vecteurs lignes. 2. Op´erations entre matrices: d´efinition de la somme de deux matrices de mˆeme type, de la multiplication d’une matrice par un complexe, du produit de deux matrices; ´enoncer les propri´et´es fondamentales de ces op´erations; d´emontrer l’associativit´e du produit matriciel. 3. D´efinir la notion de d´eterminant d’une matrice carr´ee. Enoncer les propri´et´es fondamentales du d´eterminant. 4. Notion d’inverse d’une matrice: d´efinition, propri´et´es, caract´erisation. 5. Qu’appelle-t-on valeur propre d’une matrice carr´ee? Qu’appelle-t-on vecteur propre d’une matrice carr´ee? Qu’appelle-t-on polynˆ ome caract´eristique d’une matrice carr´ee? Quel est le lien entre ce polynˆ ome et les valeurs propres de la matrice? 6. Qu’entend-on par “diagonalisation d’une matrice carr´ee”? Est-il toujours possible de le faire? Enoncer une condition n´ecessaire et suffisante sous laquelle une matrice est diagonalisable.

Version: March 18, 2007 F. Bastin