Questions 4

‫אלגברה ‪ II‬דף תרגילים ‪ :4‬חבורות‬ ‫‪.1‬אילו מן הבאים היא חבורה? לכל "מועמד" יש להוכיח את התקיימות שלושת התנאים‪ ,‬או‬ ‫להראות איזה תנאי לא מתקיים‪:‬‬ ‫‪ -  ¢ , .a‬קבוצת השלמים עם כפל‪.‬‬ ‫‪ -  ¤ , .b‬קבוצת הרציונאליים עם כפל‪.‬‬

‫‪ -  ¤ \  0 , .c‬קבוצת הרציונאליים החיוביים עם כפל‪.‬‬

‫‪ -  ¡ ,   .d‬קבוצת הממשיים (בלי אפס) עם חילוק‪.‬‬ ‫‪ -  ¢ ,   .e‬קבוצת השלמים עם חיסור‪.‬‬

‫‪.2‬המשלים הסימטרי של שתי קבוצות הוא‪:‬‬ ‫‪ . AVB   A  B  \  A  B    A \ B    B \ A ‬תהי ‪ A‬קבוצה כלשהי‪ ,‬ו‪-‬‬ ‫‪  A    B | B  A‬קבוצת החזקה של ‪. A‬‬ ‫‪.a‬הוכיחו כי ‪   A  ,V‬היא חבורה‪.‬‬

‫‪.b‬האם ‪   A  ,  ‬חבורה?‬ ‫‪.c‬האם ‪   A  ,  ‬חבורה?‬

‫‪.3‬בנו את טבלת הכפל של חבורה בעלת ‪ 5‬איברים‪.‬‬ ‫בתרגילים הבאים אותיות קטנות‬ ‫גדולות‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪  a, b, c, d ,K‬יסמנו מספרים שלמים‪ ,‬ואותיות‬

‫‪  A, B, C , D,K‬יסמנו קבוצות של מספרים‪ .‬נגדיר את הפעולות‪:‬‬

‫‪a  A   a  x | x  A‬‬ ‫‪a A   a x | x  A‬‬

‫‪A  B   x  y | x  A, y  B‬‬ ‫‪A B   x y | x  A, y  B‬‬

‫‪.4‬חשבו את‪:‬‬ ‫‪2  ¢ .a‬‬ ‫‪7  ¢ .b‬‬ ‫‪7 ¢ .c‬‬ ‫‪2 ¢ .d‬‬ ‫‪4 ¢ .e‬‬ ‫‪2 ¢  4 ¢ .f‬‬ ‫‪7 ¢  4 ¢ .g‬‬ ‫‪.5‬נתונים שני מספרים שלמים כלשהם ‪. a, b‬‬ ‫‪.a‬הוכיחו כי אם המספרים זרים ‪ ,  a, b   1‬אז‪( a ¢  b ¢  ¢ :‬רמז‪:‬‬ ‫ניתן להשתמש באלגוריתם של אוקלידס)‪.‬‬ ‫‪.b‬אם לא נתון שהמספרים זרים‪ ,‬מה ניתן להסיק על ‪? a ¢  b ¢‬‬