Quants

Топлинно излъчване. Разпределение на излъчването в спектъра на абсолютно черно тяло - закон на СтефанСтефан-Болцман, закон на Вин, закон на Планк. Планк. Топлинното излъчване е равновесно. Излъчвателна способност rν,T:

rν ,T = dPν ,ν + dν ,T dν

Поглъщателна способност аν,T:

a ν ,T = dPνпогълната dPνпаднала , ν + dν , T , ν + dν , T

Абсолютно черно тяло, ако за всички честоти и температури аν,T = 1. Сиво тяло, ако аν,T=const<1.

Модел на абсолютно черно тяло, ако

Sотвор < 0,1Sобвивка

Закон на Кирхов - отношението на излъчвателната към поглъщателната способност е универсална фукция, не зависеща от вида на веществото:

rν ,T a ν ,T

= ε ν ,T , За абсолютно черно тяло

rν , T ≡ ε ν , T

Закон на Стефан-Болцман – интегралната излъчвателна способност на абсолютно черно тяло е пропорционална на четвъртата степен на абсолютната температура: ∞

ε T = ∫ ε ν ,T dν = σT 4 , σ = 5,67.10 −8 W / m 2 K 4

константа на Стефан − Болцман

0

Закон на Вин – с увеличаване на температурата максимума на излъчване се отмества към по-късите дължини на вълната:

λm =

b , b = 2,9.10 −3 m.K T

b - констaнта на Вин

Закон на Планк: Хипотеза на Планк – излъчването и поглъщането става на кванти (порции):

ε n = nhν = nℏω, h = 6,626.10 −34 J.s , константа на h Планк, ℏ = , hc = 1241 eV.nm . Средната енергия 2π на излъчване, отчитайки разпределението на Болцман по енергии, е:

∞

< ε >= ∑ ε n A.e

−

εn kT

,

0

∞

∑ nhν.e < ε >=

−

∑e

−

−1

= σ −1 = 1 − e −ξ

εn kT

d ln σ −1 = hν = dξ

0 ∞

 ∞ − nξ  A = ∑e   0 

εn kT

hν e

hν kT

−1

0

ε ν ,T

2πν 2 = 2 c

hν e

hν kT

,

−1

Закон на Планк

, от пълната вероятност ( ξ = hν / kT )!

Отчитайки, че броят на осцилаторите в интервала от вълнови числа k – k+dk е ~ k2 /2π ~ 2πν2/c2 получаваме:

Външен фотоефект. Комптънов ефект. Опитни закономерности – закони на Столетов: 1.

I n = e.n ~ E,

E − осветеност

2.

Е max = e.U з ~ ν k

3. За ν < ν0 не се наблюдава фотоефект. Айнщайн успява да обясни успешно закономерностите на фотоефекта обобщавайки идеите на Планк – излъчването, разпространението и поглъщането става на порции (кванти):

mv 2 ε γ = hν = A + , автоматично се получават опитните закономерности: 2 1. I n ~ E ~ I ~ n γ = n max

2. Е k 3.

= e.U з ~ ν

ν < ν0 =

A h

Светлината проявява и корпускулярни свойства:

ε γ = hν = ℏω = ℏck , p γ = →

εγ c

= ℏk , ℏc = 1241 eV.nm, c = 1

→

p = ℏ k = ℏ (k , k ), четиривектор на импулса →

m γ ≡| p |= 0

Комптънов ефект (1923г.) – наблюдава се при

ε γ = hν >> A , може да

разглеждаме електроните

като свободни:

∆λ = λ f − λ i = λ C (1 − cos θ), λ C = 2,424 pm Доказателство: →

→

p γ+ p →

→

→ e

→

→

= p ' γ + p 'e , →

→

p γ + p e − p ' γ = p 'e →

→

→

→

p |2

→ e

= ( m ,0 ),

p

γ

= ℏ (k , k )

⇒

⇒

→

p γ . p 'γ − p e ( p γ − p 'γ ) = 0

⇒

ℏ 2 kk ' − ℏ 2 k .k ' − mc ℏ ( k − k ' ) = 0

|.

∆λ = λ f − λ i = λ C (1 − cos θ), λ C =

2π ℏ mckk '

h = 2,424 pm mc

Отлично съвпадение с опита.

Вълнова функция. Физични величини и квантовоквантово-механични оператори. Уравнение на Шрьодингер. Стационарно уравнение на Шрьодингер. Търсим уравнение, което да описва едновременно корпускулярните и вълновите свойства на микрочастица с енергия Е и импулс р:

ω=

p E , k= ℏ ℏ

Според Луи дьо Бройл

Най-простото движение е движението по инерция – p=const, E=const. Най-простата вълна е − i ( ω t −k .r )

плоската хармонична вълна – Ψ = A.e (i2 =-1). Да съпоставим на най-простото движение най-простата вълна ползвайки съотношенията на Луи дьо Бройл.

Ψ = A.e

−

i ( E t − p.r ) ℏ

В тази вълна са отчетени и корпускулярните свойства!

∂Ψ i i = − EΨ , ∇ Ψ = p Ψ ∂t ℏ ℏ

∂ Eˆ = iℏ , ˆt = t ∂t pˆ = −iℏ∇, rˆ = r

⇒

EΨ = i ℏ

∂ Ψ , p Ψ = − i ℏ∇ Ψ ∂t

⇒

Основни квантово-механични оператори на енергията, импулса, времето и местоположението.

При прехода от обикновеното (t,r) към функционалното пространство

Ψ ( t , r ) , на всяка физична

величина съответства квантово-механичен оператор. Те са ермитови и са с реални собствени стойности. Всеки произволен квантово-механичен оператор може да изразим чрез основните. Например операторът на пълната енергия е:

pˆ 2 ∂ ℏ2 Eˆ = + U (r ) ⇒ iℏ = − ∆ + U (r ), ∆ ≡ ∇ 2 2m ∂t 2m

След умножение с вълновата функция на двете страни на операторното равенство получаваме уравнението на Шрьодингер - 1926г.:

∂ ℏ2 iℏ Ψ = − ∆Ψ + U (r ).Ψ ∂t 2m

Това уравнение описва правилно поведението на микрочастиците.

От вълнова гледна точка интензитетът на вълните е I~|Ψ|2 ≡ Ψ.Ψ*, а от корпускулярна I~n. Следователно физически смисъл има не самата вълнова функция, а |Ψ|2 ≡ Ψ.Ψ* и изразява плътност на вероятността. dP=|Ψ|2.dV е вероятността за намиране на частицата в момент t в обем dV около местоположение r. ∞

Пълната вероятност е:

∫ Ψ.Ψ * .dV ≡ 1 0

Вълновата функция трябва да удовлетворява следните стандартни условия: 1. да е еднозначна 2. да е ограничена 3 да е гладка, т.е. функцията и нейните производни да са непрекъснати. За затворена квантово- механична система (E=const):

∂ EˆΨ = iℏ Ψ = EΨ ∂t

Ψ (r, t ) = ϕ(r ).e

⇒

∂Ψ E = −i ∂ t Ψ ℏ

⇒ ln Ψ = ln ϕ (r ) − i

E t ℏ

⇒

i − Et ℏ

| Ψ | 2 =| ϕ (r ) | 2 ≡ ϕ .ϕ *

Плътността на вероятността не зависи от времето, т.е. тя е стационарна.

e

i − Et ℏ

След деление на уравнението на Шрьодингер с получаваме стационарното уравнение на Шрьодингер:

2m ∆ϕ + (E − U (r )).ϕ = 0 , ℏ

ϕ (r ) = ?, Ψ = ϕ (r ).e

i − E. t ℏ

Водородният атом от гледна точка на квантовата механика. Квантуване на момента на импулса. Квантуване на енерг енергията. Квантови числа. Спектри на излъчване и поглъщане. Потенциалната енергия на взаимодействие между електрона и протона във водородния атом е:

U=−

e2 4πε 0 r

=

α r

, α =−

e2 4πε 0

В затворена квантово-механична система моментът на импулса J и неговите проекции се запазват.

∂ Jˆ z = −iℏ , аналогия с ∂φ

pˆ z = −iℏ

∂ ∂z

По подобие на енергията:

∂ − iℏ Ψ = JzΨ ∂φ

⇒

Ψ = ϕ ( r, θ ).e

i

Jz Φ ℏ

Физически смисъл има не самата вълнова функция, а |Ψ|2. Освен това тя е периодична по Φ :

Ψ (Φ + 2π ) = Ψ (Φ ).e e

i

Jz 2π ℏ

= ±1 ⇒

i

Jz 2π ℏ

= ± Ψ (Φ ) ⇒

Jz 2π = ± m jπ ℏ

1 J z = ± m j ℏ, m j = 0,1, 2, 3,..., j 2 , т.е. моментът на импулса се квантува и естествената му измерителна единица е

ℏ.

Пълният момент на импулса може да представим със сума от собствения и орбиталния момент на импулса – J = S +L. Опита показва, че собственият момент на импулса на електроните, протоните, неутроните и неутриното е -

1 Sz = ± ℏ . 2

За орбиталния момент на импулса –

L z = ± m l ℏ, m l = 0,1, 2, 3,..., j , т.е. пространствено квантуване.

< L2 > = L2 =< L2x > + < L2y > + < L2z >= 3 < L2z > L2 =

3ℏ 2 l 2 6ℏ 2 l 2 6ℏ 2 1 m = m = ∑ l 2l + 1 m∑=0 l 2l + 1 6 l(l + 1)(2l + 1) 2l + 1 m l = − l l

L2 = ℏ 2l(l + 1) ⇒

L = l(l + 1) ℏ

квантуване на орбиталния момента на импулса l=0, 1, 2, 3, …….., n-1.

S = s(s + 1) ℏ

квантуване на собствения момента на импулса, s=1/2

J = j( j + 1) ℏ

квантуване на пълния момента на импулса,

Квантови числа:

1 3 1 j = 0, , 1, , 2, .........., n − . 2 2 2

n - главно квантово число l - орбитално квантово число ml - магнитно орбитално квантово число ms - магнитно спиново квантово число

p×L r +α m r 2 (pL) (pL) 2 2α 2α 2 Л2 = .( ) + α + r p × L = + α2 + (r × p).L 2 2 m.r m.r m m L2 p 2 α L2 = α2 + 2 ( + ) = α2 + 2 E = const ≈ 0 m 2m r m

Вектор на Лаплас -

Л≡

ˆ 2 Ψ = α 2 Ψ + 2 Е n j( j + 1)ℏ 2 ψ = α 2 Ψ + 2 Е n n 2 ℏ 2 ψ ⇒ Л m m 2 2 2 mα Л mα E n = − 2 2 (1 − 2 ) ≈ − 2 2 2n ℏ α 2n ℏ 4 E me E 1 = − 2 2 = −13,6 eV, E n = − 21 8ε 0 h n Съвпадението с опита е с много голяма точност. Спектри на излъчванеи поглъщане

Квантуване на магнитния момент на електрона. Опит на Щерн и Герлах Квантуването на момента на импулса автоматично води до квантуване на магнитния момент:

−e S = −e.Sɺ T L = r × p = mr × dr / dt = 2mSɺ ⇒ L Sɺ = ⇒ 2m −e eℏ µ=− L= l(l + 1) 2m 2m µ ≡ p m = I.S =

µz = − µB =

e eℏ Lz = m l , m l = ± (0,1,2,3,.....l) 2m 2m

eℏ 2m

Магнетон на Бор

e S , g - жи фактор, g=2. 2m eℏ 1 =g mS = ± µB , mS = ± 2m 2

Спинов магнитен момент:

µS = g

eℏ s(s + 1) , µ SZ 2m

- естествена единица за измерване на магнитния момент.

Опит на Щерн и Герлах

µ S = −g

- пропускаме поток от сребърни атоми през силно нехомогенно магнитно

поле.:

U m = −(µ.B) = − µ Z B ,

Fm = −∇U m = µ Z

∂B ∂B = ± µB ∂z ∂z

Опита показва, че се получават две тънки линии. Дискретен може да бъде само

µZ .

Ако пропуснем атоми с общ момент на импулса J=L+S, то броят на линиите е 2j+1.

Принцип за неразличимост и тъждественост тъждественост на микрочастиците. микрочастиците. Принцип на Паули. Строеж на многоелектронните атоми. Периодична система на елементите на Менделеев. Химична валентност. Във водородния атом състоянието на електрона се описва с 4 квантови числа – n, l, ml , ms.

n = 1, 2, 3, ….. l = 0, 1, 2, ……, n-1. ml = ± (0, 1, 2, 3, ……., l) ms = ±1/2 Многоелектронни атоми – всички след водорода. Микрочастците от даден вид си приличат като абсолютни близнаци. Този опитен факт е обобщен в принцип за неразличимост и тъждественост на микрочастиците от даден вид. От класическа гледна точка може да ги различаваме по тяхната траектория. В квантовата механика понятието траектория не съществува, съществува вероятност за намиране на частицата около дадено местоположение в даден момент. Този принцип води до интересни следствия. Нека с ξ обозначим всички квантови числа, определящи състоянието на микрочастицата - ξ ≡ (n, l, ml , ms). Да разгледаме квантовомеханична система от 2 тъждествени частици:

| Ψ (ξ 1 , ξ 2 ) | 2 = | Ψ (ξ 2 , ξ 1 ) | 2

⇒ Ψ (ξ 1 , ξ 2 ) = ± Ψ ( ξ 2 , ξ 1 )

, т.е. вълновата функция е четна или нечета. Опита показва, че вълновата функция е винаги нечетна за частици с полуцяло спиново число (Фермиони), а за частици с цяло спиново число е четна (Бозони). За електроните s =1/2, ms = ±1/2.

Ако ξ1 = ξ 2 , то от Ψ (ξ1 , ξ 2 ) = −Ψ (ξ 2 , ξ1 ) ⇒ Ψ ≡ 0, ⇒ винаги ξ1 ≠ ξ 2 , за микрочастици с полуцяло спиново число!

Не може да има 2 електрона с напълно еднакви квантови числа ! На дадено енергетично ниво не може да има повече от един електрон. В атомите електроните се стремят да запълнят най-ниските енергетични състояния. Колко е броят на енергетичните състояния? брой

ms = ±1/2 ml = ±(0, 1, 2, ….., l) l = 0, 1, 2, …….., n-1. n = 1, 2, 3, ……

2 2l+1 n 1 n −1

Броят на всички енергетични състояния за дадено n e

2∑ (2l + 1) = 2n 2 . 2n 2 = 2, 8, 18, 32, ...... l=0

Квантовите числа определят как ще се запълват електронните слоеве. n слой

1 2 K L

3 M

4 N

5 6 7 O P Q

l подслой

1869г. Менделеев съставя таблицата на елементите.

0 s

1 p

2 d

3 f

Квантовата механика обясни Менделеевата таблицата на елементите! Атомно ядро с повече от 92 протона е нестабилно, няма конкурентна сила, която може да ги задържи в ядрото.

да

Химична валентност – възможност за химичнo свързване при компенсиране на на електроните:

спина

s 2s

H ½ 1

He 0 0

Li Be B ½ 0 ½ 1 0,2* 1

C N O 1 3/2 1 2,4* 3 2

F Ne ½ 0 1 0

Валентност ≡ 2s Валенциите проявяват склонност към насищане, също като магнитните (спиновите )моменти.

Състав и характеристики характеристики на атомното ядро. Маса и енергия на свързване на атомното ядро – ядрено взаимодействие. Атомното ядро е съставено от протони p и неутрони n - нуклони. В атомната и ядрената физика се предпочита масите да се изразяват с атомни единици за маса или MeV:

1 1 µC 1 1a.e.м. = 1u = 931,50 MeV, 1u = m 12 C = = ≈ 1,66.10 − 27 kg 12 12 N A N A →

m p = 938,26 MeV m n = 939,55 MeV

→

p = (E, p), | p |= m = E 2 − p 2 , E 0 = m,

ako p = 0

Масово число: А е броят на нуклоните, N е броят на неутроните, Z е броят на протоните, съответства на броя на електроните в атомите: A=Z+N,

N=A-Z

Енергия на свързване – масата на ядрото е по-малка от сумарната маса на нуклоните:

E b = Z.m p + ( A − Z).m n − m я ± Z.m e = Z.m H + (A − Z).m n − m a Определя нов тип взаимодействие по-интензивни от електромагнитното – ядрено взаимодействие. Специфична енергия на свързване -

εb =

Eb . A

По- стабилни са ядрата с по-голяма енергия на свързване. Енергетически изгодни са ядреният синтез и ядреният разпад. Ядреното взаимодействие проявява насищане, т.е. нуклоните взаимодействат само с близките си съседи. Радиусът на взаимодействие е rя~10-15 m. При разстояния < 0,4. 10-15 m ядреното взаимодействие е на отблъскване.

rя = (1,2 ÷ 1,3)А 1 / 3 Fm, Vя ~ A Нуклоните са фермиони, спиновото им число е ½. Нуклоните имат магнитен момент:

µ p = 2,793 µ я µ n = −1,913 µ я , µ я =

eℏ 2m p

ядрен магнетон

Неутроните са електрически неутрални, но притежават магнитен момент, това е възможно само ако имат вътрешни структури с електрически заряд– кварки. Ядреното взаимодействие е около 100 пъти по-интензивно от електромагнитното – ядрата след уран 92 ( 92 U) са нестабилни.

Естествена и изкуствена радиоактивност радиоактивност – ядрени реакции dN=-λ.Ndt,

dN – брой на разпадналите се ядра за време dt, λ − константа на разпада.

N = N 0 e − λt

Период на полуразпад Т:

N=

Активност (радиоактивност) А:

ɺ |=| λN e − λt |= A e − λt A ≡| N 0 0

Специфична радиоактивност а:

a ≡ A / m = a 0 e − λt

Видове радиоактивност: тип α − разпад

∆Z

∆A

-2

-4

схема A−4 Z−2

A Z

X→

X + 42 He

A Z

X→

A Z +1

A Z

X→

A Z −1

A Z

X→

A Z −1

β − разпад −

β

+1

0

β+

-1

0

Κ− захват

-1

0

0

0

γ 1p

-1

-1

2p

-2

-2

1n

0

-1

2n Ядрено делене

0

-2

~

X + e− + ~ νe

X + e+ + νe

X + ν e + x − лъчи

A Z A Z A Z

X→ X +γ

A Z A Z

X→ X→

X→ X→

Z A A ~ ZX 2 2

A Z A −1 Z −1 A−2 Z− 2

→

X + 11 H X + 211 H

A −1 Z A−2 Z

X+n X + 2n

A1 Z1

A2 Z2

X+

X, A1 ≈ A 2

N0 = N 0 e − λT 2

⇒ λ=

ln 2 T

Естествена радиоактивност:

a → X 1 + X 2 + ....... + X n →

→

→

, най-често разпадатът е на две частици

→

p a = p 1 + p 2 , p a = ( m a ,0 ) → 2

→ 2

→ 2

a → X1 + X 2

→

→

Закон за запазване на енергията, импулса и масата → 2

→ 2

→

→

→

p a = p 1 + p 2 + 2 p 1 . p 2 = p 1 + p 2 + 2 p 1 .( p a − p 1 ) m a2 = − m 12 + m 22 + 2m a E 1

⇒

m a2 + m 12 − m 22 E1 = 2m a m a2 + m 22 − m 12 E2 = 2m a T1 = E 1 − m 1 =

(m a − m1 ) 2 − m 22 Q 2 + 2Q.m 2 = 2m a 2m a

(m a − m 2 ) 2 − m12 Q 2 + 2Q.m1 T2 = E 2 − m 2 = = 2m a 2m a m a ≥ m1 + m 2

необходимо условие, но не винаги е достатъчно

Енергията на ядрената реакция е:

Q ≡ ∑ mi − ∑ mk

⇒ Q = m a − m1 − m 2

Изскуствена радиоактивност – след сблъсък на две частици:

a + b → X 1 + X 2 + ....... + X n a + b → X1 + X 2 →

най-често

→

p in = p out →

→

→ 2

( p a + p b ) = p out ≥ (∑ m k ) 2

2

m a2 + m 2b + 2m b E a ≥ (∑ m k ) 2 E

min a

=

⇒

(∑ m k ) 2 − m a2 − m 2b

T ≥ Tamin = −Q

2m b

∑m

k

+ ma + mb 2m b

Q>0 – екзотермична реакция Q=0 – еластично разсейване Q<0 – ендотермична реакция

, Q = ∑ mk − ma − mb

Субатомни частици. Частици и античастици. Видове взаимодействия между субатомните частици. Три етапа в развитието на физиката на субатомните частици: Демокрит – атом (неделим). 1. От електрона до позитрона 1897-1932 В края на XIX век е открит електрона, в началото на XX век са открити протона и неутрона – съставни частици на атома. Считали са ги за неделими частици (демокритовите атоми). 2. От позитрона до кварките 1930-1970 Оказало се, че тези частици не са неделими и могат да се превръщат една в друга, повечето от тях са нестабилни. Само фотонът, електрнът, протонът и неутриното са стабилни, ако са сами. Оказало се, че съществуват техни античастици – позитрон, антипротон, антинеутрино, с които анхилират и образуват нови частици. При удар на частици възникват нови с маса зависеща от използваната енергия при удара. Така могат да бъдат получени всички известни частици. 3. От хипотезата за кварките 1964г. до наши дни През 70-те години са открити “странни” частици с маси по-голями от тези на нуклоните – каони и хиперони. Открити са “чаровни” частици с значително по-голями маси. Открити са огромен брой (около 200) кратко живущи “резонансни” частици с време на живот ~ 10-22 - 10-23 s. 1964г. ГелМан и Цвайг изказват хипотезата за съществуването на фундаменталните частици не наблюдаеми в свободно състояние – кварки:

Лептони - не участващи в силните взаимодействия, нямат вътрешна структура, като кварките.

Адрони = Мезони + Бариони – участват в силните взаимодействия.

Видове взаимодействия – обмен на бозе частици.

Космология:

Хабъл установява,че галактиките се разбягват със скорост пропорцинална на разстоянието до тях:

v = H.r

Закон на Хабъл

H - константа на Хабъл, H=v/r=1,6.10-18 s-1

- средна стойност от опита.

Дали светът има начало?

t=r/v=1/H=(1/1,6) 1018 s ≈ 20. 109 г.

- времето до началото на разбягването.