Purcell Hasil Kali Silang.docx

Hasil kali Silang Hasil kali sialng dari dua vector adalah sebuah scalar. Hasil kaling silang untuk u=(u1 , u2 , u3 )

u×v

dan v=( v1 , v 2 , v 3 ) didefinisikan sebagai

u×v=(u2 v 3 −u3 v 2 , u3 v 1 −u1 v 3 , u 1 v 2 −u2 v1 ) Untuk membuat definisi dapat mudah di ingat, kita gunakan notasi determinan. Pertama, nilai suatu determinan 2 x 2 adalah

a b | |=ad−bc c d Maka nilai suatu determinan 3 x 3 adalah

a 1 a2 a3 b b b b b b |b1 b2 b3 |=a1| 2 3 |−a2| 1 3 |+a 3| 1 2 | c2 c3 c1 c3 c1 c 2 c1 c 2 c 3 Dengan determinan, kita boleh menuliskan definisi u×v

sebagai

i j k u u u u u u u×v=|u1 u 2 u3 |=| 2 3 |i−| 1 3 | j+| 1 2 |k v v v1 v3 v1 v2 v1 v2 v3 2 3 Perhatikan bahwa komponen vector kiri u masuk ke baris kedua, dan komponen vector kanan v masuk kebaris ke tiga. Hal ini penting karena jika kita menukarkan posisi vector u dan v, kita tukarkan baris kedua dan ketiga dari deteminan dan ini akan mengubah tanda dari nilai deteminan, sebagaimana dapat anda amati. Jadi,

u×v=−( v×u ) Tafsiran Geometri u×v

seperti hasil kali titik, hasilkali silang menjadi penting dari tafsiran

geometri. Teorema A Andaikan u dan v vector-vektor dalan ruang dimensi-tiga dan θ sudut antara mereka, maka: 1.

u .(u×v )=0=v .(u×v )

2.

u, v ,

3.

|u×v|=|u||v|sinθ

dan u×v

yakni u×v

tegak lurus terhadap u dan v

membentuk suatu system tangan kanan rangkap tiga

Bukti andaikan u=(u1 , u2 , u3 )

dan v=( v1 , v 2 , v 3 )

u .(u×v )=u 1 (u2 v 3−u 3 v 2 )+u2 (u3 v 1 −u1 v 3 )+u3 (u1 v 2 −u2 v 1 ) . Pada waktu kita

1.

menghilangkan tanda kurang, ke enam suku saling menghapuskan dalam pasangan. Hal ini serupa terjadi pada waktu kita menguraikan v .(u×v). 2. Arti system tangan-kanan untuk rangkap tiga

u , v , u×v . Disana

θ

adalah sudut

antara u dan v, dan tangan kanan dikepalkan pada arah rotasi melalui θ

yang

membuat u berimpit dengan v. kelihatannya sukar dikembangkan secara analitis bahwa, rangkap tiga yang ditunjukkan adalah system tangan-kanan, tetapi anda boleh memeriksanya dengan sedikit contoh. Perhatikan contoh kasus bahwa karena

i× j=k ganda tiga i, j, i× j adalah system tangan kanan. 3. Kita memerlukan kesamaan Langrange

|u×v|2 =|u|2|v|2−(u.v)2 =|u|2|v|2−(|u||v|cosθ)2 =|u|2|v|2 (1−cos2 θ) =|u|2|v|2 sin2 θ Karena 0≤θ≤π , sin θ≥0.

jadi, dengan mengambil akar kuadrat yang utama

menghasilkan 2

|u×v| =|u||v|sin θ Teorema B Dua vector u dan v dalam ruang dimensi tiga adalah sejajar jika dan hanya jika u×v=0 Penerapan pertama kali adalah mencari persamaan bidang yang melalui tiga titik yang tak strategis. Sifat-sifat aljabar aturan perhitungan dengan hasil kali silang disimpulkan dalam teorema berikut. Bembuktian teorema ini hanya membutuhkan penulisan semuanya dalam bentuk komponen, dan akan dijadikan latihan. Jika u, v, dan w adalah vector-vektor dalam ruang dimensi-tiga dan k scalar, maka: 1.

u×v=−( v×u )

2.

u×(v +w)=(u×v )+(u×w )

(hukum kumutatif)

3. k (u×v )=(ku )×v=u×(kv ) )

(hukum distribusi kiri)

4.

u×0=0×u=0, u×u=0

5.

(u×v). w=u .( v×w )

6.

u×(v×w )=(u . w )v−(u . v)w

Begitu aturan-aturan dalam teorema C dimahiri, perhitungan rumit yang menyangkut vector dapat dikerjakan dengan mudah. Kita berikan gambaran dengan perhitungan hasilkali silang dengan suatu cara baru. Kita memerlukan hasilkali yang sederhana tetapi penting, berikut:

i× j =k

j×k =i

k×i= j