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PUNTO FIJO.

E1) Utilice el método de Punto Fijo para localizar la raíz de 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 – 3𝑥 2 con un valor inicial de X0 = 0, e iterar hasta que el error estimado sea menor a 0.001. Tenemos que: 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 – 3𝑥 2 ⟹ 𝑥 = √𝑒 𝑥 /3 ⟹ 𝑔(𝑥) = √𝑒 𝑥 /3

𝒊

𝒙𝒊

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0.577350269 0.770565198 0.848722038 0.88254533 0.897597545 0.904378445 0.907449899 0.908844565 0.909478553

⃒𝒙𝒏+𝟏 − 𝒙𝒏 ⃒ 0.577350269 0.193214929 0.07815684 0.033823292 0.015052215 0.0067809 0.003071454 0.001394666 0.000633988 < 0.001

Tenemos 𝑔(𝑥) = √𝑒 𝑥 /3 : 𝑥0 = 𝑔(𝑥0 ) = 0 𝑥1 = 𝑔(𝑥0 ) = 𝑔(0) = √𝑒 0 /3 = 0.577350269 𝑥2 = 𝑔(𝑥1 ) = 𝑔(0.577350269) = √𝑒 0.577350269 /3 = 0.770565198 𝑥3 = 𝑔(𝑥2 ) = 𝑔(0.770565198) = √𝑒 0.770565198 /3 = 0.848722038 𝑥4 = 𝑔(𝑥3 ) = 𝑔(0.848722038) = √𝑒 0.848722038 /3 = 0.88254533

Sabemos ⃒𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 ⃒ |𝑥1 − 𝑥0 | = |0.577350269 − 0| = 0.577350269 |𝑥2 − 𝑥1 | = |0.770565198 − 0.577350269| = 0.193214929 |𝑥3 − 𝑥2 | = |0.848722038 − 0.770565198| = 0.07815684

|𝑥4 − 𝑥3 | = |0.88254533 − 0.848722038| = 0.033823292

E2) Utilice el método de Punto Fijo para localizar la raíz de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 − 𝑒 𝑥 con un valor inicial de X0 = 0, e iterar hasta que el error estimado sea menor o igual a 0.0001. Tenemos que: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 − 𝑒 𝑥 ⟹ 𝑥 = ( 𝑥 2 − 𝑒 𝑥 )/5 ⟹ 𝑔(𝑥) = ( 𝑥 2 − 𝑒 𝑥 )/5

𝒊

𝒙𝒊

0 1 2 3 4 5 6

0 -0.2 -0.15574615 -0.166303907 -0.163826372 -0.164410064 -0.164272677

⃒𝒙𝒏+𝟏 − 𝒙𝒏 ⃒ -0.2 0.04425385 0.010557757 0.002477535 0.000583692 0.000137387 ≤ 0.0001

Tenemos 𝑔(𝑥) = ( 𝑥 2 − 𝑒 𝑥 )/5 : 𝑥0 = 𝑔(𝑥0 ) = 0 𝑥1 = 𝑔(𝑥0 ) = 𝑔(0) = ( 02 − 𝑒 0 )/5 = −0.2 𝑥2 = 𝑔(𝑥1 ) = 𝑔(−0.2) = (( −0.2)2 − 𝑒 −0.2 )/5 = −0.15574615 𝑥3 = 𝑔(𝑥2 ) = 𝑔(−0.15574615) = ( (−0.15574615)2 − 𝑒 −0.15574615 )/5 = −0.166303907 𝑥4 = 𝑔(𝑥3 ) = 𝑔(−0.166303907) = ( (−0.166303907)2 − 𝑒 −0.166303907 )/5 = −0.163826372

Sabemos ⃒𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 ⃒ |𝑥1 − 𝑥0 | = |−0.2 − 0| = −0.2 |𝑥2 − 𝑥1 | = |−0.15574615 − (−0.2)| = 0.04425385 |𝑥3 − 𝑥2 | = |−0.166303907 − ( −0.15574615)| = 0.010557757 |𝑥4 − 𝑥3 | = |−0.163826372 − (−0.166303907)| = 0.002477535