Puissances

Puissances I-

Puissances 1) Les puissances pour simplifier les grands nombres

Voici les tableaux suivant, à remplir à l'aide de la calculatrice : 100

101

102

103

104

105

106

10-2

10-1

100

On observe que 10n est un 1 suivi de "n" 0

10n  100.....0  n zéros

10-6

10-5

10-4

10-3

Et que 10-n est un 0 avec "n" chiffres après la virgule (que des 0 et un 1)

10 n  0, 00......01    n chiffres

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2) Puissance d'un nombre "a" a) Puissance positive Définition :  a1 = a  si a  0, a0 = 1.  Si n est un nombre entier supérieur ou égal à 2, alors

a n  a  a ......  a n fois

an se dit : - " a exposant n" - " a puissance n"

Exemples : 27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128 54 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625 (-4)3 = (-4) x (-4) x (-4) = - 64 b) Puissance négative Définition : Le nombre a-n est l'inverse du nombre an. 1 n Autrement dit, a  n (si a  0) a Exemples : 5-3 = 1 10 −4

1

53

= 104 = 10 000

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II-

Opérations sur les puissances

L'utilisation des puissances peuvent simplifier les écritures et les calculs. Règle : Si a  0 et si m et n sont des entiers relatifs, alors

a m  a n  a ( m n ) Et

am ( mn )  a an Exemples:

2 2 x 2 4 = 2 (2+4) = 2 6

55  5(53)  52 3 5 Règle : Si a et b sont des nombres différents de 0 et si n est un entier relatif, alors :

(a  b)n  a n  bn 𝑎 𝑏

et

𝑛

𝑎𝑛 = 𝑛 𝑏

Exemples : (2 x 3)2 = 22 x 32

5 2 3

=

52 32

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III- Ecriture scientifique Définition : Un nombre est en écriture scientifique quand il est le produit : - d'un nombre avec un seul chiffre (non nul) avant la virgule (par exemple 1,4 ou 3,89) - par une puissance de 10. (par exemple 103 ou 10-2) Exemples : - L'écriture scientifique de 1 078 000 est 1,078 x 106 (car 1 078 = 1,078 x 1 000 000) - L'écriture scientifique de 0,0000034 est 3,4 x 10-6 (car 0,034 =

3,4

1 000 000

)

- Les nombres 91,7 × 1011 et 0,81 × 105 ne sont pas des nombres en écriture scientifique (on les écrit 9,17×1012 et 8,1×104 en écriture scientifique)

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