Pttt Dao Ham+sinx

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x): 1. Pt tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0) ∈ (C) là: y − y0 = f '(x0)(x − x0) (*) 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k: + Gọi x0 là hoành độ của tiếp điểm. Ta có: f ′(x0) = k (ý nghĩa hình học của đạo hàm) + Giải phương trình trên tìm x0, rồi tìm y0 = f(x0). + Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*) 3. Viết ptrình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x1, y1) cho trước: + Gọi (x0 , y0) là tiếp điểm (với y0 = f(x0)). + Phương trình tiếp tuyến (d): y − y0 = f '(x0)(x − x0) (d) qua A (x1,y1) ⇔ y1 − y0 = f '(x 0)(x1 − x 0)(1) + Giải phương trình (1) với ẩn là x0, rồi tìm y0 = f(x0) và f '(x0). + Từ đó viết phương trình (d) theo công thức (*). 4. Nhắc lại: Cho (∆ ): y = ax + b. Khi đó: 1 + (d)⁄⁄ (∆) ⇒ kd = a + (d) ⊥ (∆) ⇒ kd = − a * Phân dạng và các ví dụ mẫu: Vấn đề 1 : Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M( x0 ; y0 ): Phương pháp : Áp dụng công thức y – y0 = f’(x0)( x – x0 )

• •

Nếu chưa cho y0 thì tính y0 = f(x0)

 f ′ ( x ) = k ( 1) ⇔ có nghiệm  f ( x ) = k ( x − x1 ) + y1 ( 2 ) Thế k từ (1) vào (2) giải tìm x thế vào (1) tìm k và thay vào phương trình (1) Ví dụ : Lập phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x3 – 3x + 2 biết rằng tiếp tuyến đi qua A(2 ; –4 ) Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm . Ta có y0 = x03 – 3x0 +2 và f’(x0) = 3x02 – 3 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là

(

)

2 3 y – (x03 – 3x0 + 2) = (3x02 – 3)( x – x0) ⇔ y = 3 x0 − 3 x − 2 x0 + 2 (1)

Vì tiếp tuyến đi qua A(2)– 4) nên – 4 = (3x02 – 3).2 – 2x03 + 2 ⇔ x03 − 3x0 2 = 0 ⇔ x0 = 0 ∨ x0 = 3

• •

x0 = 0 phương trình tiếp tuyến là y = – 3x + 2

x0 = 3 phương trình tiếp tuyến là y = 24x – 52 Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k Phương trình (d) : y = k(x – 2) – 4 . (d) là tiếp tuyến của (C) 3x 2 − 3 = k ( 1) ⇔ có nghiệm 3  x − 3 x + 2 = k ( x − 2 ) − 4 ( 2 ) Từ (1) và (2) ta có x3 – 3x + 2 = (3x2 – 3) (x – 2) – 4 ⇔ x3 − 3 x 2 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 3

• x = 0 ⇒ k = − 3 . Phương trình tiếp tuyến là y = – 3x + 2 Nếu chưa cho x0 thì x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0 • x = 3 ⇒ k = 24⇒ phương trình tiếp tuyến là y = 24x – 52 Ví dụ1 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) = x3 – 3x + Vấn đề 4 :Sự tiếp xúc giữa hai đường : 2 tại: a) Điểm M có hoành độ xM = 0 b) Giao điểm của (C) với trục hoành Phương pháp : Ap dụng (C) và (D) tiếp xúc với nhau Giải :a) xM = 0 ⇒ yM = 2 ⇒ M ( 0; 2 ) ; y’ = f’(x) = 3x2 – 3 ⇒ f’(0) = –3  f '( x) = g '( x) ⇔ có nghiệm. Từ đó suy ra giá trị tham số Vậy phương trình tiếp tuyến : y – 2 = –3( x – 0 ) ⇔ y = – 3x + 2 3  f ( x) = g ( x) b) Phương trình trục Ox : y = 0 . Ta có x – 3x + 2 = 0 Ví dụ Cho (C) : y = f(x) = x4 – x2 + 1 và (D) : y = g(x) = x2 + m ⇔ ( x −1) x 2 + x − 2 = 0 ⇔ x =1 ∨ x = − 2 Tìm để (C) và (D) tiếp xúc với nhau ; GIẢI : (C) và (D) tiếp xúc với nhau 4 x3 − 2 x = 2 x (1) ⇔ y = 0 x = 1 phương trình tiếp tuyến y = f’(1)(x – 1)  f '( x) = g '( x) ⇔ ⇔ có nghiệm 4 2 2 x = – 2 pttt y = f’(– 2)(x + 2) ⇔ y = 9( x + 2)⇔ y = 9 x+ 18  f ( x) = g ( x)  x − x + 1 = x + m ( 2 ) Vấn đề 2 Lập phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước : (1) ⇔ 4 x3 − 4 x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±1 Phương pháp Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc k x = 0 từ (2) ta có m = 1 ; x = ±1 từ (2) ta có m = 0 ∈ D ⇒ y0 = f ( x0 ) ⇔ f ′ ( x0 ) = k Bài tập tổng hợp : . Giải phương trình tìm x0 Bài tập 1 : Cho hàm số y = 4x2 + 3x – 2, có đồ thị là (P). Viết phương trình Phương trình tiếp tuyến y – y0 = k( x – x0 ) tiếp tuyến của (P) trong các trường hợp sau:  f ′ ( x ) = k ( 1) 1/ Tiếp điểm là (0; -2). ; 2/ Tiếp điểm có hoành độ x = 1. ⇔ Cách 2 : Gọi (d) : y = kx + b là tiếp tuyến của (C)  3/ Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x – 3.  f ( x ) = kx + b ( 2 ) 4/ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 2x + 5. có nghiệm . Giải (1) tìm x thế vào (2) tìm b Giải: Đặt f(x) = 4x2 + 3x – 2 . Với x0 ∈ R , ta có f’(x0) = 8x0 + 3 Lưu ý Cho (d) : y = a.x + b nếu : 1/ Tiếp tuyến của (P) tại điểm (0; -2) có hệ số góc k = f’(0) = 3. • (d1) song song với (d) thì (d1) có hệ số góc k = a Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 3x – 2. 1 • (d2) vuông góc với (d) thì (d1) có hệ số góc k = − a hay a.k = – 2/ Ta có tọa độ tiếp điểm là (1 ; 5). Tiếp tuyến của (P) tại điểm (1 ; 5) có hệ số góc k = f’(1) = 11. 1 Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 11x – 6. Ví dụ 2 Cho ( C ) : y = f(x) = x3 – 2x + 2. lập phương trình tiếp tuyến của 3/ Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là k = 1. ( C ) biết : 1) Tiếp tuyến // với (d) : y = x + 1 2) Tiếp tuyến ┴ với (d) +/ Gọi tiếp điểm là M(x0 ; f(x0). Hệ số góc của tiếp tuyến của (P) tại M là GIẢI 1) Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm. Tiếp tuyến song song với (d) nên có hệ k = f’(x0). 1 9 số góc k = 1 ⇔ f ′ ( x0 ) = 1 ⇔ 3 x02 − 2 = 1 ⇔ x0 = ±1 +/ Ta có f’(x0) = 1 ⇔ 8x0 + 3 = 1 ⇔ x0 = − .+/ Vậy pttt là : y = x − . 4 4 * x0 = 1 ⇒ y0 = 1 . Phương trình tiếp tuyến : y = x 1 * x0 = – 1 ⇒ y0 = 3 . Phương trình tiếp tuyến : y = x + 4 4/ Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là k = − . 2 2) Vì tiếp tuyến vuông góc với (d) nên có hệ số góc k = – 1 . +/ Gọi tiếp điểm là M(x0 ; f(x0). Hệ số góc của tiếp tuyến của (P) tại M là Gọi (d1) : y = – x + b là tiếp tuyến của ( C ) 1 7 163 3x 2 − 2 = −1 ( 1) k = f’(x0). +/ Ta có f '( x0) = − ⇔ x0 = − ⇒ f ( x0) = − . ⇔ 2 16 64 có nghiệm 3 x − 2 x + 2 = − x + b 2  ( ) 1 177 +/ Vậy phương trình tiếp tuyến là y = − x − 2 64 3 3 2 3 . ( 1) ⇔ 3x 2 − 2 = −1 ⇔ x = ± . Từ (2) với x = ± ⇒ b = 2 m x +1 3 3 9 Bai 2 : Cho đường cong (c)): y= . Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp x−3 2 3 Phương trình tiếp tuyến y = – x + 2 m tuyến của (c) với trục ox. Biết tiếp tuyến đó // với đường thẳng y =-x+1 9 −4 Hướng dẫn:+ Ta có y’= ; + Hệ số góc của tiếp tuyến k = -1 Vấn đề 3 : Lập phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A( x1 ; y1 ) : ( x − 3)2 Phương pháp : Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm.Tính y0 = f(x0) và f’(x0) x0 + 1 theo x0 . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là : y – y0 = f’(x0)( x – x0 ) + Gọi (x0; y0) là tiếp điểm, y0= x0 − 3 (1) Vì tiếp tuyến đi qua A nên y1 – y0 = f’(x0)( x 1 – x0) giải phương trình tìm x0 thay vào (1).  x0 = 1 −4 = −1 <=>  Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng đi qua A có hệ số góc k . Ta có Ta phải có: ; Ta có 2 tt là y = -x và y = -x+8 2 ( x0 − 3)  x0 = 5 (d) : y – y1 = k( x – x1 ) (1) là tiếp tuyến của (C)

(

)

Bai 3 :Viết phương trình tiếp tuyến của (C ): y=x3-3x+7 1/ Tại điểm A(1;5) ; 2/ Song song với đường y=6x+1 Giải: Ta có: y’ = 3x2-3 1/ Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là k = y’(1) = 0 ⇒ Phương trình tiếp tuyến cần viết là: y = 5 2/ Gọi tiếp điểm là M(x0;y0) y0= x03-3x0+7 Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6 ⇒ y’(x0) = 6 ⇔ 3x02-3 = 6 ⇔ x0 = ± 3 Với x0 = 3 ⇒ y0=7 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y=6x+7- 6 3 Với x0 =- 3 ⇒ y0=7 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y=6x+7+6 3 Bài 4: Cho hàm số y=x3 -3x2+7x-1, lập pttt với đồ thị sao cho hệ số góc của tiếp tuyến có giá trị nhỏ nhất Giải:  y’ = 3x2-6x+7=3(x-1)2 +4 ≥ 4 , hệ số góc nhỏ nhất =4 khi x=1 y=x3 -3x2+7x-1 y(1)=4  pttt: y=y’(1)(x-1)+y(1)y=4(x-1)+4y=4x Bài 5: Cho hs y = sinx + 4cos x lập pttt tại x=0 (liên quan ĐH của HSLG) (sinx + 4cos x) ' cos x − 4sin x 1 = ;y'(0)= ; y (0) = 2 4 2 sin x + 4cos x 2 sin x + 4cos x ⇒ pttt : y = x / 4 + 2 Mấy dạng này cũng dể thôi chỉ cần làm vài bài là nhuyễn (hehe….) Bài 6: Cho hàm số y = -x3 + 3x 2 - 4x + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại giao điểm cùa (C) với trục tung. ĐS: 2. d: y=−4x+2 Bài 7: Cho hàm số y = -x3 + 3x 2 có đồ thị (C). 1: Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có hoành độ bằng -1. 2: Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Đáp số : 2: d : y = -9x - 7 ; 2.S = 27/4 Bài 8: Cho hàm số y=(2x-1)2(6+5x)3, lập pttt với đồ thị tại x=-1 Đáp số : y=123x+132 Bài 9: Cho hàm số: y = − x 3 + 3 x 2 − 4 , có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến // với đường thẳng d: y = −9x + 2009 Đáp số : PTTT là: y = −9 x − 9, y = − 9 x + 23 y' =

 sinx  sinx x 1 − 1−  x − sinx x   x =1 = lim = lim Vì vậy T = lim x →∞ x + sinx x →∞  sinx sinx  x →∞ 1+ x 1 +  x x   2x + 1 − 3 x2 + 1 ( ĐHQG HN 2000 ) x →0 sinx Lời giải. Các bạn nhớ lại ý tưởng thêm bớt nhé, chúng ta thử mới biết là có giải được hay không? Thí dụ 14. Tính giới hạn sau T = lim

( 2 x + 1 − 1) − ( 3 x 2 + 1 − 1) ( 2 x + 1 − 1) ( 3 x 2 + 1 − 1) = lim − lim x →0 x →0 x →0 sinx sinx sinx =A+B T = lim

A = lim

(

( lim

3

x→0

(

)(

(

3

) = lim

2x + 1 + 1

)

2 x + 1 + 1 sinx

x2 + 1 − 1

3

x →0

)

1 . sinx x

(

2

)

2x + 1 + 1

=1

( x 2 + 1) 2 + 3 x 2 + 1 + 1

)

( x + 1) + x + 1 + 1 sinx

 1  x → 0 sinx   x 

= lim

)(

2x + 1 −1

x →0

2

(

2

3

2

   = 0. Vay T = 1 3 ( x 2 + 1) 2 + 3 x 2 + 1 + 1   x

)

Bạn đang nghĩ “ ôi sao mà biến đổi khéo léo quá vậy trời, liệu tui có làm được như vậy không? Huhu “. Tôi xin nói khẽ với bạn: “ thật đơn giản, chỉ cần bạn luyện tập tốt ( ko cần làm nhiều ), nhưng bạn phải thật sự hiểu ý nghĩa và hình thức của các giới hạn cơ bản Phần 4. Sử dụng đạo hàm để tính giới hạn của hàm số ( bom nguyên tử ) 3 x + 1 − 5 2x +1 Thí dụ 33. Tính giới hạn sau T = lim 3 x→0 3x + 8 − 2 x + 1 Lời giải. Với bài toán này mà làm theo những cách ở phần 1 thì cũng có vẻ hơi căn phải hong nè! Chúng ta giải bằng cách dùng đạo hàm Đặt f ( x ) = 3 x + 1 − 5 2 x + 1 dễ thấy f (0) = 0

Đặt g ( x) = 3 3x + 8 − 2 x + 1 dễ thấy g (0) = 0 , chính những nhận đinh 3 Bài 10: Cho hàm số y = 2 + Viết phương trình tiếp tuyến với với đồ này gợi cho ta ý nghĩ về đạo hàm, như vậy chúng ta thực hiện những biến x −1 đổi sau, trước hết chia tử và mẫu cho x và đưa về dạng đạo hàm như sau thị (C) tại giao điểm của (C) và trục Ox. f ( x) − f (0) f ( x) − f (0) −1 1 lim f '(0) 15 f ( x) 4 x →0 Đáp số: >Thay y=0 vào hàm số ta có x = − ⇒ đồ thị hs cắt trục hoành x − 0 x − 0 = T = lim = lim = = = 2 x →0 g ( x) x → 0 g ( x ) − g (0) g ( x) − g (0) −3 45 g '(0) lim tại điểm M 0 ( −1 / 2;0 ) x →0 x−0 x−0 4

>Pttt có dạng: y − y0 = f '(x0)(x − x0) y' = −

3

(

)

x−1

1 trong đó: x0 = − ;y0 = 0 vì 2

4 2 2 ⇒ f '(x0) = −12 ⇒ PTTT: y = − x − 3 3

Việc tính đạo hàm tại x=0 của hai hàm f(x) và g(x) xin dành cho các bạn! @ Uhm, qua ví dụ này các bạn đã thấy sức mạnh của phương pháp đạo hàm trong giới hạn chưa, thật sự các ví dụ trong phần 1 điều có thể giải được bằng pp này!

Bài 22: Cho hàm số: y =

2x + 1 − 3 x2 + 1 x →0 sinx 3 2 Lời giải. Đặt f ( x ) = 2 x + 1 − x + 1 dễ thấy f (0) = 0 vì vậy ta có thể viết lại bài toán như sau

f ' ( x ) = 2 x3 − 6 x ⇒ f ' ( x0 ) = 4 ; PTTT: y = 4 x − (21 / 2) Sau khi làm xong vấn đề này bạn đã có cảm giác an tâm rồi chứ ?!

2x + 1 − 3 x2 + 1  f ( x) − f (0) sinx  = lim  : x →0 x →0 sinx x−0 x   f ( x) − f (0) sinx = lim : lim = f '(0) = 1 x →0 x →0 x−0 x

1 4 3 x − 3x2 + có đồ thị (C). Viết PTTT với đồ 2 2 thị (C) của hàm số tại điểm thuộc (C) có hoành độ x0 =2 x0 = 2 ⇒ y0 = −5 / 2 Đáp số: PTTT với (C) tại x0 =2

Tính giới hạn dạng lim

x →0

sin x x

f (0) = 0 ; T = lim

Tính các giới hạn sau:

1 − cos 2 x ( ĐN 1997 ) x →0 x sin x

Thí dụ 10. Tính giới hạn sau T = lim

Thí dụ 36. Tính giới hạn sau T = lim

2

2

1− cosx sin3x a) lim b) lim x → 0 x→ 0 sin2x x2

1 − cos 2 2 x sin 2 2 x 4  sin 2 x  = lim = lim   . sinx = 4 x →0 x → 0 x sin x 2 x →0 Lời giải. 1+ sinx − cosx x sin x 2 x     e) lim   x→ 0 1− sinx − cosx  x  x − sinx Thí dụ 13. Tính giới hạn sau T = lim ( ĐHGT 1998 ) π  x →∞ x + sinx g) limπ  2 − x  tanx Lời giải. Tiếp tục ý tưởng với nguyên lí kẹp của vaiơstrat, bắt đầu nào x→ 2 sinx sinx 1 −1 s inx 1 sinx = ≤ ⇒ < < ; ∀x ≠ 0 ⇒ lim = 0 ( các bạn nên x →∞ x x x x x x x

lim

T = lim

thuộc giới hạn này nhé )

1− sinx

c) x→ π  π 2

f) lim

 − x 2 

tan2x

x→ 0 sin5x

 π sin x −   6 h) lim π 3 x→ − cosx 6 2

2

d)

lim

π x→ 4

cosx − sinx cos2x