3
Mét sè ph−¬ng ph¸p th−êng sö dông ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ bÊt ph−¬ng tr×nh. C¸c ph−¬ng ph¸p th−êng sö dông khi gi¶i ph−¬ng tr×nh, bÊt ph−¬ng tr×nh (liÖt kª theo thø tù c¸c ph−¬ng ph¸p th−êng gÆp nhÊt ®Õn Ýt gÆp nhÊt): 1. §Æt thõa sè chung ®Ó ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh tÝch 2. Nh©n l−îng liªn hiÖp ®Ó lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung 3. §Æt Èn phô thÝch hîp ®Ó ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh ®· biÕt c¸ch gi¶i theo Èn phô 4. §Æt Èn phô ®Ó ®−a vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 1, gåm 2 ph−¬ng tr×nh, 2 Èn: Èn phô vµ Èn chÝnh. 5. Dïng ph−¬ng ph¸p chia kho¶ng hoÆc lËp b¶ng xÐt dÊu ®Ó ph¸ dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi 6. Dïng tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè. 7. §Æt hai Èn phô ®Ó ®−a vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh gi¶i ®−îc theo hai Èn phô. 8. §Æt Èn phô kh«ng hoµn toµn (vÉn cßn chøa Èn chÝnh). 9. Dïng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®iÒu kiÖn ®ñ 10. Dïng bÊt ®¼ng thøc hoÆc kh¶o s¸t hµm sè ®Ó ®¸nh gi¸ hai vÕ. 11. Coi h»ng sè lµ Èn sè cßn Èn sè lµ tham sè ®Ó gi¶i. 12. Chøng minh ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm. 13. Xem mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh ®a thøc bËc 3 vµ bËc 4. L−u ý r»ng, c¸c ph−¬ng ph¸p nªu trªn ®−îc t¸c gi¶ rót ra trong qu¸ tr×nh lµm to¸n. Mçi ph−¬ng ph¸p lµ mét kinh nghiÖm cña t¸c gi¶, cßn tªn gäi cña nã ch¼ng qua lµ ®−îc t¸c gi¶ dïng ®Ó gäi cho "dÔ nhí" mµ th«i. T¸c gi¶ l−u ý r»ng 6 ph−¬ng ph¸p ®Çu tiªn rÊt hay dïng, c¸c ph−¬ng ph¸p 1,2,3,4 vµ 6 th−êng ®−îc dïng khi gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh, bÊt ph−¬ng tr×nh v« tØ, cßn ph−¬ng ph¸p 5 ®−îc dïng khi gi¶i ph−¬ng tr×nh cã chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. C¸c ph−¬ng ph¸p cßn l¹i th−êng ®−îc dïng khi gÆp c¸c ph−¬ng tr×nh, bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng "kh«ng mÉu mùc", tøc lµ kh«ng gi¶i ®−îc b»ng c¸c ph−¬ng ph¸p th«ng th−êng.V× thêi gian kh«ng cho phÐp nªn t¸c gi¶ rÊt tiÕc lµ kh«ng nªu vÝ dô cô thÓ cña mçi ph−¬ng ph¸p trªn ®©y.ý t−ëng chÝnh cña mçi ph−¬ng ph¸p sÏ ®−îc ph©n tÝch trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y cho häc sinh.
4
C¸c phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng th−êng sö dông.
A≥0 A=B 1. |A| = B ⇔ A<0 −A = B
5.
6. 2. |A| = |B| ⇔
√
√
A=B A = −B
3. |A| > |B| ⇔ (A − B)(A + B) > 0
A≥0 A=B
B⇔
A=B⇔
B≥0 A = B2
7.
√
B <0 B≥0 4. |A| > B ⇔ A2 > B 2
A=
√
8.
√
B<0 A≥0 A>B⇔ B≥0 A > B2 A≥0 B>0 A
Mét sè bµi tËp vÒ ph−¬ng tr×nhbÊt ph−¬ng tr×nh v« tØ.
Bµi 1 Gi¶i ph−¬ng tr×nh √ √ √ 5x − 1 − 3x − 2 − x − 1 = 0
b)
√
√ 2x2 + 5x + 2 − 2 2x2 + 5x − 6 = 1
√
3 − x + x2 −
√
2 + x − x2 = 1
Bµi 3 Gi¶i ph−¬ng tr×nh p p √ √ a) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2 p p √ √ √ b) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2 p p √ √ c) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = x − 1 p p √ √ d) x + 2 + 2 x + 1 + x + 2 − 2 x + 1 =
x+5 2
a) b)
Bµi 2 Gi¶i ph−¬ng tr×nh a)
Bµi 4 Gi¶i ph−¬ng tr×nh
c)
√ 3
2−x=1−
√ √ 3
x+3−
x+7−
√ 3 √
√
x−1
x=1
x=1
Bµi 5 Gi¶i ph−¬ng tr×nh a) x2 + b) x2 − c) x2 + d) x2 −
√
x+5=5
√ √
x+7=7
x+a=a
√
x+a=a
5
Bµi 13 Gi¶i ph−¬ng tr×nh
Bµi 6 Gi¶i ph−¬ng tr×nh 1+
√ √ 2√ x − x2 = x + 1 − x 3
b) |x − 3| + |5 − x| < 3x
Bµi 7 Gi¶i ph−¬ng tr×nh a)
√
2x + 3 +
√
Bµi 14 Gi¶i ph−¬ng tr×nh, bÊt ph−¬ng tr×nh sau x+1=
√ a) x2 + 3x + 1 = (x + 3) x2 + 1
√ 3x + 2 2x2 + 5x + 3 − 16 b)
√
3x − 2 +
√
b) 4x2 − (x − 4)|2x + 1| + 1 ≤ 0 x−1= c) |x2 − 1| − 2 ≤ −2|x − 1| + |x + 1|
√ 4x − 9 + 2 3x2 − 5x + 2 c) x +
√
a) |x2 − 5x4 | = x + 4
√
4 − x2 = 2 + 3x 4 − x2
Bµi 15 Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh, bÊt ph−¬ng tr×nh sau √ a) 2x2 + 4x + 3 3 − 2x − x2 > 1
Bµi 8 Gi¶i ph−¬ng tr×nh √ √ √ x − 2 x − 1 − (x − 1) x + x2 − x = 0
b) 2|x2 + 6x + 8| + |x2 − 1| = 30
Bµi 9 Gi¶i ph−¬ng tr×nh
c)
√
4x + 1 −
√
3x − 2 =
x+3 5
Bµi 10 Gi¶i ph−¬ng tr×nh √ √ 3(2 + x − 2) = 2x + x + 6 Bµi 11 Gi¶i ph−¬ng tr×nh √ √ 2x2 + 8x + 6 + x2 − 1 = 2x + 2
a) b) c) d)
√ √
− 6x − 4 = 2(x − 1)
x2 + 6x + 8 ≤ 2x + 3
x2 − x − 12 ≥ x − 1
√
x+4−
√
1−x=
√
1 − 2x
√
x+1−
√
x2 + x = 1
e) |x2 − 4x + 3| + 6 ≥ 3|x − 1| + 2|x − 3| √ f) (x2 − 3x) 2x2 − 3x − 2 ≥ 0 g)
√
p √ x + 1+ 4 − x+ (x + 1)(4 − x) = 0
Bµi 16 Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh
Bµi 12 Gi¶i ph−¬ng tr×nh, bÊt ph−¬ng tr×nh sau 5x2
x+
d) |x2 − 4| − 2 > |x − 2| − 2|x + 2|
a) √
√
b)
√
x−2+
√
√
4 − x = x2 + 6x + 11
x−1+x−3≥
√
2x2 − 10x + 16
6
21 Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau
17 Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau a)
√
1+x+
√
1−x=2+
x2 4
a)
√ √ b) x4 − 2 3x2 + x + 3 − 3 = 0
√
√ c) x3 − ( 2 + 1)x2 + 2 = 0
b) √
d) 5 − x = (x2 − 5)2 18 Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau a)
p
b)
p 3
√ x(x + 2) = 2 x2
p
x(x − 1) + (2 − x)2 +
p 3
(7 + x)2
c)
√
x2 + 3x + 2 +
√
x2 + 6x + 5 ≤
2x2 + 9x + 7 √
x2 − 8x + 15 +
√
x2 + 2x − 15 ≤
4x2 − 18x + 18 √
x2 − 3x + 2 +
√
x2 − 4x + 3 ≥
√ 2 x2 − 5x + 4 22 Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau √
p − 3 (2 − x)(7 + x) = 3
a) x2 > (2x + 3)(1 −
√ c) (x + 5)(2 − x) = 3 x2 + 3x
b) 4(x + 1)2 < (2x + 10)(1 −
d)
√ 3
2−x=1−
√
x−1
1 + x)2 √
3 + 2x)2
23 Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau √ a) x(x − 4) −x2 + 4x + (x − 2)2 < 2
19 Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh, bÊt ph−¬ng tr×nh sau a) b) c)
√
2x2 + 8x + 6 +
√ √
x− 4x + 3 −
7x + 7 +
√
√
√
x2 − 1 = 2x + 2
2x2 − 3x + 1 ≥ x − 1
7x − 6+
√ 2 49x2 + 7x − 42 < 181 − 14x √ d) (x + 4)(x + 1) < 5 x2 + 5x + 28 20 Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh √ 1 3 3 x + √ < 2x + −7 2x 2 x
√ b) (x3 + 1) + (x2 + 1) + 3x x + 1 > 0 24 Chøng minh r»ng nÕu x0 lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh f (x) = x th× x0 còng lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh f (f (x)) = x ¸p dông: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau a) 2(2x2 +3x−5)2 +3(2x2 +3x−5)−5 = x b) (x2 + 3x − 4)2 + 3(x2 + 3x − 4) − 4 = x
7
Mét sè bµi to¸n cã chøa tham sè.
1 T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh
6 Cho ph−¬ng tr×nh p √ √ 3 + x + 6 − x − (3 + x)(6 − x) = m
4x + 2m2x − 2m + 1 = 0 a) Cã nghiÖm
a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh khi m = 3.
b) Cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
b) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm.
c) Cã hai nghiÖm x1 vµ x2 tháa x1 + x2 = 3 2 Cho hai ph−¬ng tr×nh x2 + 3x + 2m = 0
(1)
x2 + 6x + 5m = 0
(2)
T×m m ®Ó mçi ph−¬ng tr×nh trªn ®Òu cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ gi÷a hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh nµy cã mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh kia. 3 Cho ph−¬ng tr×nh (x2 + 6x + 5)(x2 + 10x + 21) = m T×m m sao cho a) Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm b) Ph−¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm ph©n biÖt c) Ph−¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm d−¬ng. d) Ph−¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm lín h¬n -1. 4 T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh x4 + (m − 1)x3 + x2 + (m − 1)x + 1 = 0 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm ©m ph©n biÖt 5 Cho ph−¬ng tr×nh p −x2 + 2x + 4 (3 − x)(x + 1) = m − 3 a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh khi m = 12 b) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm.
7 T×m m ®Ó c¸c ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm p √ √ 1 + x + 8 − x + (1 + x)(8 − x) = m p √ √ 2 + x + 2 − x − (2 + x)(2 − x) = m 8 Cho ph−¬ng tr×nh √ √ √ x + 9 − x = −x2 + 9x + m a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh khi m = 9 b) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm. 9 BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh √ √ x4 + 4x + m + x4 + 4x + m = 6 10 T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh |2x2 − 10x + 8| = x2 − 5x + m cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. 11 T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh |2x2 − 3x − 2| = 5m − 8x − 2x2 cã duy nhÊt nghiÖm. 12 T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm √ √ m( 1 + x2 − 1 − x2 + 2) √ √ √ = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2
8
13 T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm p x2 − 4x + m ≤ (x − 1)(x − 3) 14 Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph−¬ng tr×nh xloga x + 1 = a2 x 15 T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh p (1 + 2x)(3 − x) > m + 2x2 − 5x + 3 tháa m·n ∀x ∈ [− 12 ; 3] 16 T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh √ (x2 + 1)2 + m ≤ x x2 + 2 + 4 tháa víi mäi x ∈ [0, 1]. 17 T×m m ®Ó c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm a)
√
4x − 2 +
b) mx −
√
√
16 − 4x ≤ m
x−3≤m+1
18 T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh √
1−
x2 + √
2 √ 4 4 2 +m−2 = 0 +m 1 − x + √ 1 − x2 1 − x2
a) Cã nghiÖm b) Cã ®óng 4 nghiÖm ph©n biÖt.