Pruebadehiptesis-170518202920.pdf

“Prueba de Hipótesis”. Por: Elisa A. Mendoza G.

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Pruebas de Hipótesis. Contenido. 1. Conceptos Generales. 2. Pruebas de Hipótesis para una sola población. 1. 2.

Medias. Proporciones.

3. Pruebas de Hipótesis para dos poblaciones independientes. 1. 2.

Diferencias de dos medias. Diferencias de dos proporciones.

4. Pruebas de Hipótesis para dos poblaciones dependientes. 2

Conceptos Generales. Hipótesis. Hipótesis Nula. Hipótesis Alternativa. Prueba de Hipótesis Estadística. Nivel de significancia . Estadística de prueba. Regla de decisión. 3

Hipótesis. Hipótesis son los supuestos o afirmaciones que hacemos basados en datos o experiencia, y que luego serán probados estadísticamente con una muestra. En estadística se distinguen dos tipos de Hipótesis: Hipótesis Nula, Ho: Es la hipótesis que se prueba (se rechaza o no se rechaza). Esta, es el punto inicial de la investigación. Hipótesis Alternativa, Ha: Es la afirmación que representa el interés del investigador, y está relacionada con el mismo parámetro de la población de la Hipótesis Nula. A veces la hipótesis alternativa se denomina hipótesis de investigación. La hipótesis nula y alternativa son opuestas la una a la otra. 4

Ejemplo. Supóngase que realizará un fiesta, y se quiere demostrar el éxito de la misma. Usted, podría pensar o estar casi seguro de una alta probabilidad de que ésta sea un éxito. Entonces la hipótesis Nula, a probar, es: Ho: “La fiesta será un fracaso”,

mientras que su hipótesis alternativa (de investigación) es que: Ha: “La fiesta será un éxito o no será un fracaso”. La hipótesis alternativa, es una posible respuesta distinta a lo planteado en la hipótesis nula. 5

Hipótesis Estadística. Las hipótesis, se prueban para los parámetros o estadísticas poblacionales: media, proporción o varianzas, entonces una forma de expresar la hipótesis estadísticamente es por ejemplo: Ho:  =  o. (la media es igual a un valor hipotético  o) Ha:    o. (la media es igual a un valor hipotético  o) Expresado literalmente, es decir, lo de arriba, significa: Ho: La media es igual a un valor  o. Ha: La media es distinta de un valor  o.

Obsérvese que  o es un valor específico de interés o de comparación para determinar el “rechazo” o” no rechazo” de Ho. Por ejemplo, Ha. El porcentaje de fracaso en Bioestadística es del 30% - 30% es po. 6

TIPOS DE PRUEBAS de hipótesis: Dos colas. Cuando la hipótesis del investigador, considera la relación “diferente” ó “ ”. La hipótesis es de dos colas.

Caso donde las Hipótesis son: Ho:  =  o. Ha:    o. Cola 1.

Cola 2. -c

c

c representa el valor crítico del estadístico de prueba y se obtiene a partir de la probabilidad de la prueba estadística. Por ejemplo, para un 95% de probabilidad, z=1.96 (siempre). 7

TIPOS DE PRUEBAS de hipótesis: Una cola - izquierda. Específicamente, se utiliza cuando la hipótesis del investigador, considera la relación “menor que (<)”. Caso donde las Hipótesis son: Ho:  =  o. Ha:  <  o.

El valor crítico, es uno solo y la región de rechazo de Ho, se ubica del lado izquierdo de la curva (cola 1).

Cola 1. -c 8

Regla de decisión. Pruebas de hipótesis de una cola. Relación “mayor que”

Caso donde las Hipótesis son: Ho:  =  o. Ha:  >  o. Cola 2.

c Recordemos, que el valor crítico depende del estadístico de prueba a utilizar y del nivel de significancia. Estos valores se encuentran en las tablas de distribuciones de probabilidad t-student, Z-Normal estándar, según sea el caso. 9

Procedimiento de cinco pasos. Prueba de Hipótesis clásica. 1. 2. 3.

4.

5.

Describir el parámetro de la población de interés. Establecer la hipótesis nula (Ho) y alternativa Ha). Especificar los criterios de prueba. a. Comprobar los supuestos. b. Identificar la estadística de prueba a utilizar. c. Determinar el nivel de significancia, . d. Determinar la(s) región (regiones) crítica(s) y el (los) valores crítico(s). Recolectar y presentar los hechos muestrales. a. Recolectar la información muestral. b. Calcular el valor de la estadística de prueba. Determinar los resultados a. Determinar si el valor de la estadística de prueba está o no en la región crítica. b. Tomar una decisión sobre Ho. c. Escribir una conclusión sobre Ha. 10

Pruebas de Hipótesis. Una población. 1. Pruebas de Hipótesis de la media  ( conocida): Enfoque clásico. Supuesto para pruebas de hipótesis sobre la media  usando una  conocida: la distribución muestral de la media muestral, está contenida en la distribución muestral de medias muestrales y en el Teorema de Límite Central. (Visto anteriormente en clases).

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Ejemplo Veamos esta prueba de hipótesis con una ilustración: Un grupo de abogados, que protegen los intereses de los consumidores, desea refutar la afirmación que hace un fabricante de gasolina sobre un modelo de automóvil que promedia 24 millas por galón de gasolina. Específicamente, el grupo quiere demostrar que las millas medias por galón son considerablemente menores que las 24 millas que dice el fabricante. Establecer la hipótesis nula y la alternativa.

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Solución Datos: • El parámetro de población en cuestión es: “el número medio millas recorridas logrado por este modelo de automóvil” • 24 millas por galón, es el valor específico de interés o comparación del parámetro, es decir, o . • La relación propuesta por los abogados es, “el número medio millas recorridas logrado por este modelo de automóvil” menor que 24 millas por galón, es decir:  < 24.

de de de es

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Solución (continuación) Datos (continuación): • La afirmación opuesta a lo propuesto por los abogados, es:

“el número medio de millas recorridas logrado por este modelo de automóvil no es menor que 24 millas por galón”, es decir,   (mayor o igual que) 24. • Recuerde que la hipótesis nula contiene el signo “igual”.

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Solución (conclusión) Datos (continuación): • Las Hipótesis, planteadas son: •Ho: El número medio de millas recorridas logrado por

este modelo de automólvil es mayor o igual que 24. •Ha: El número medio de millas recorridas logrado por este modelo de automólvil es menor que 24. • Estadísticamente, •Ho:   24 ó (  = 24) y Ha:  < 24

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Estadístico de Prueba de Hipótesis de la media , con  conocida El estadístico de prueba en este caso, se define como, “zeta estrella” ó z*

x z  / n *

Bajo el supuesto de que los las medias muestrales siguen una distribución normal y cumpliendo con el Teorema de Límite Central, además considerando la varianza poblacional (  ) conocida. 16

Nivel de significación (alfa) El nivel de significancia, , generalmente se establece de acuerdo al rigor en la decisión deseado del investigador, en 0.05 ó 0.01. (probabilidad de cometer el error tipo I). Y se busca en las tablas de distribución t ó Z, según sea el caso, tal como se hizo al elaborar intervalos de confianza.

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Ejemplo: Se afirma que el peso medio de las estudiantes de una universidad es de 54.4 kg. El profesor Hart no cree en esta afirmación y trata de demostrar lo contrario. Para probar la afirmación, recolecta una muestra aleatoria de 100 pesos entre las alumnas universitarias. Obtiene una media de la muestra de 53.75 kg. ¿este hecho es suficiente para que el profesor Hart rechace la afirmación?. Use  =0.05 y =5.4kg. Datos: n= 100, o= 54.4 kg.,  =0.05 y =5.4kg. 18

Ejemplo: Solución. Datos: n= 100, o= 54.4 kg.,  =0.05 y =5.4kg. Paso 1.

Paso 2.

El parámetro de interés: , el peso medio de todas las estudiantes de una universidad. La hipótesis nula y alternativa son: Ho: El peso medio de las estudiantes de una universidad es igual a 54.4 kg. Ha. El peso medio de las estudiantes de una universidad no es igual a 54.4 kg. 19

Ejemplo: Solución. Paso 2.

Estadísticamente, las hipótesis son expresadas como: Ho.  = 54.4 kg. Ha.   54.4 kg. Los criterios de prueba son:

Paso 3.

a. Los pesos de un grupo de estudiantes siguen una distribución aproximadamente norma, debido a que la muestra es suficientemente grande (n=100). b. La estadística de prueba, por tanto, a utilizar es z* 20

Ejemplo: Solución. Los criterios de prueba son: Paso 3.

c. El nivel de significancia planteado es:  = 0.05 (dado en el problema). d. Las regiones críticas (valores críticos), se determinan, con el nivel de significancia entre dos, ya que se trata de una prueba de hipótesis de dos colas, entonces el nivel de significancia es 0.025.

/2=0.025

/2=0.025

-c

c 21

Ejemplo: Solución. Paso 3.

Luego, buscando en la tabla Normal estándar, el valor crítico, para /2 = 0.025 y para (1- /2)= 0.975, ó simplemente para (1- /2)= 0.975, ya que la distribución normal es simétrica. Entonces, el valor de z, para 0.975, es 1.96. Reempalzando en –c y c. La región de decisión, se determina como: -1.96 y 1.96. Si el estadístico z*, se encuentra entre –1.96 y 1.96 no se rechaza Ho.

/2=0.025

Región de no rechazo de Ho. -1.96 1.96

(/2)=0.025 22

Ejemplo: Solución. Paso 4.

a. La información muestral es: media muestral “equis barra” es 53.75 y n=100. b. El cálculo del estadístico de prueba, al aplicar la fórmula es:

x   53.75  54.4 z*    1.20 / n 5.4 / 100

/2=0.025

Región de no rechazo de Ho. -1.96 1.96

(/2)=0.025 23

Ejemplo: Solución. Paso 5.

a. Decisión: Como z*=-1.20, se encuentra en la región de no rechazo de Ho. b. En conclusión, No hay suficientes hechos al nivel de significancia 0.05 que demuestren que las estudiantes tienen un peso medio diferente de los 54.4 kg indicados. En otras palabras, no hay hechos estadísticos que sustenten los argumentos del profesor Hart.

Región de no rechazo de Ho.

/2=0.025 -1.96

(/2)=0.025 1.96 24

2. Pruebas de Hipótesis de la media  ( desconocida): El estadístico de prueba, a utilizar es:

x  o t n 1  s/ n Cuando la varianza poblacional es desconocida, se utiliza el estadístico t-student, también, se utiliza la desviación estándar de la muestra (S), en lugar de sigma (). El estadístico t, sigue una distribución t-student con n-1 grados de libertad. 25

Ejemplo Se quiere comprobar que el índice académico de los estudiantes de la Escuela de Estadística es 2.00. En una muestra de 10 estudiantes, se determina que la media es 1.95, y una desviación estándar de 0.1. Con estos datos realizar la comprobación de hipótesis usando un nivel de confianza del 95%. 26

Ejemplo Datos o = 2.00. n=10 estudiantes, Media muestral 𝑥= 1.95, y Desviación estándar (S)= 0.1. Nivel de confianza de 95% Hipótesis Estadística: Ho:  = 2.0 Ha:  ≠ 2.0

Estadístico de Prueba

x  o t n 1  s/ n

Cálculo del Estadístico de Prueba

t n 1 

1.95  2.00  1.58 0.1 / 10

Decisión: Para un nivel de confianza del

95%, el valor crítico de t, para (n-1)= 9 grados de libertad, es 2.26 Se rechazará la hipótesis nula si el valor calculado es menor que -2.26, o mayor que 2.26. Conclusión: Como el estadístico calculado es -1.58, no se puede rechazar la hipótesis nula, por lo tanto el índice académico promedio de los estudiantes es igual a 2.00. 27

3. Pruebas de Hipótesis para proporciones. El estadístico de prueba, para el caso de proporciones en una sola muestra, es:

Z

p  po po (1  po ) n

p, es el número de éxitos en la muestra entre el tamaño de la muestra: x/n. po, es el valor hipotético específico de interés o de comparación. 28

Ejemplo En el tema de la Educación Ambiental, las autoridades consideran que el mayor problema del manejo de los desechos se debe a que más del 90% de la población no tiene conocimientos sobre este tema. Se realiza un estudio con una muestra de 85 personas, y se determinó que el 96.5% no tienen conocimiento sobre las RRR. Con un nivel de confianza del 95% indique si las autoridades tienen razón. 29

Ejemplo Datos: Po = 0.90 (proporción hipotética de la población que no tiene conocimientos sobre este tema). n = 85 personas, p = 0.965 (proporción muestral de la población que no tienen conocimiento sobre las RRR). Nivel de confianza del 95% Hipótesis Estadística: Ho: p = 0.90 Ha: p > 0.90 30

Ejemplo Hipótesis Estadística: Ho: p = 0.90 Ha: p > 0.90 Estadístico de Prueba:

Z

p  po po (1  po ) n

Cálculo del Estadístico de Prueba:

Z

0.965  0.90  2.00 0.90(1  0.90) 85

Decisión y conclusión: Con un nivel de confianza del 95%, el valor crítico en la distribución Normal, es 1.96. Se rechazará Ho, si el valor del estadístico calculado es mayor que 1.96; en caso contrario no se podrá rechazar Ho. Conclusión. Como el estadístico calculado es mayor que el estadístico crítico, 2.00 mayor que 1.96, no se puede aceptar la Ho., por lo tanto con un nivel de confianza del 95% se concluye que las autoridades tienen razón en cuanto a la población que no tienen conocimiento sobre las tres R.

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Otros casos de Pruebas de Hipótesis Las pruebas de hipótesis se pueden realizar para otros parámetros además de la media y la proporción, así como también en más de una muestra. En cada uno de los casos, se deberá considerar el Estadístico de Prueba más apropiado. 32

Casos de Pruebas de Hipótesis para Medias Casos de Número de muestras para Hipótesis

Una muestra

Tamaño de muestra

Independientes

Pequeño (n<30)

• •

Más de dos muestras

Dos muestras

Grande (n≥30)

Se conoce la varianza

Se desconoce la varianza

Se conoce la varianza

Se desconoce la varianza

*Z

* t-student

*Z

*Z o t-student

Varianzas conocidas

Varianzas desconocidas

*Z

Varianzas asumen iguales o No (**)

Dependientes

*ANOVA

*T-student

Estadístico de prueba recomendado. (**) Se presentan los estadísticos en otra diapositiva

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Estadísticos para la Comparación de medias de dos muestras Dos muestras dependientes 𝑑−𝐷 𝑡= 𝑆𝑑 𝑛 Donde: 𝑑𝑖 𝑑= ; 𝑛 𝑆𝑑 =

Dos muestras independientes Varianzas conocidas 𝑍=

𝑋1 − 𝑋2 − 𝜇1 − 𝜇2 𝜎12 𝜎22 + 𝑛1 𝑛2

𝑑𝑖 − 𝑑 𝑛−1 34

Pruebas para dos medias de muestras independientes con varianzas desconocidas Se asumen las varianzas iguales

Se asumen las varianzas diferentes

gl: son los grados de libertad para el estadístico t.

Ver más información en: https://es.slideshare.net/DarioJara1306/prueba-de-hipotesis-v6-ok https://www.academia.edu/31449724/UNIVERSIDAD_NACIONAL_ABIERTA_Y_A_DISTANCIA_UNAD_ESCUELA_ DE_CIENCIAS_B%C3%81SICAS_TECNOLOG%C3%8DA_E_INGENIER%C3%8DA

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Pruebas para comparar dos proporciones Tanto la muestra 1 como la muestra 2 deben ser grandes (n1 y n 2 >30) e independientes. Estadístico de Prueba: Donde: a, es el número de éxitos en la muestra 1, y b, es el número de éxitos en la muestra 2.

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