Prueba3.docx

Unidad Uno Prueba Parcial 3 06/12/2016 1-

Realice las siguientes demostraciones:

(4P) 1

1

a- Si, A es una matriz involutiva, demostrar que: (𝐼 + 𝐴) 𝑦 (𝐼 − 𝐴) son matrices 2 2 Idempotentes; b- Si 𝐴 = 𝑃𝐽𝑃−1 , demostrar que 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑑𝑒𝑡(𝐽). c- Si 𝐴𝐴𝑇 = 𝐼 𝑦 𝐵𝐵𝑇 = 𝐼, demuestre que (𝐴𝐵)(𝐴𝐵)𝑇 = 𝐼 d- Sean B, (I-A.B) matrices inversibles del mismo orden, demostrar que: 𝐵. (𝐼 − 𝐴. 𝐵)−1 . B −1 − 𝐵. (𝐼 − 𝐴. 𝐵)−1 . 𝐴 = 𝐼 2-

Conteste verdadero o falso a las siguientes afirmaciones. Para las respuestas falsas indicar por qué? (3P) a. Sea A una matriz cuadrada de orden cuatro. Si su determinante es |𝐴| = 2 , si se multiplica un escalar 𝛼 = 3 a una sola fila de A su nuevo determinante es 6. b. Sea A una matriz cuadrada de orden cuatro. Si su determinante es |𝐴| = 2 , si se multiplica un escalar 𝛼 = 2 a toda la matriz A su nuevo determinante es 16. c. Si AB es inversible, entonces det(A)=0 aJustifique su respuesta Sea a una matriz de período 6. Qué valores puede tomar el determinante de A8 (1P)

3-

Dada la matriz √−2 + 1 𝐴 = ( 6 + 2𝑖 √−1 + 6

3𝑖 − 1 4𝑖 −1 3+𝑖 ) 3 𝜋 + √−𝜋

Exprese la matriz A como la suma de una matriz hermítica y otra antihermítica 4-

(5P)

Para qué valores de “m” el sistema de ecuaciones tiene única solución, infinitas soluciones o no tiene solución. (2P)

(1 − 𝑚)𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 1 (𝑚 − 1)𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1 { (2𝑚 − 2)𝑥 − 2𝑦 + (4 − 𝑚)𝑧 = −2 5-

Resolver por Gauss Jordan el siguiente sistema de ecuaciones con m, n, p, q, r incógnitas

4𝑚 − 3𝑝 = 10 2𝑛 − 5𝑞 = 5 𝑝 + 3𝑟 = 19 3𝑚 + 𝑛 = 13 { 2𝑛 − 4𝑞 = 11

(5P)