Prueba 2, Funciones

Matemáticas I Ingeniería Mecánica Junio 6, 2008.

Universidad de Talca Instituto de Matemáticas y Física Facultad de Ingeniería

Resolución Prueba II

1.-

AB = 15 AC = x BC = a

(a)

x 2 + a 2 = 152 a 2 = 225 − a 2

a = ± 225 − x 2 como las longitudes son solo positivas entonces a ( x ) = 225 − x 2

b⋅h x⋅a x ⋅ 225 − x 2 ⇒ Area = Entonces A( x) = 2 2 2 Domf = {∀x ∈ X | ∃y ∈ Y : f ( x) = y ∧ y ∈ ℝ}

(b) Area =

  x 152 − x 2 Domf = ∀x ∈ X | ∃y ∈ Y : = y ∧ y ∈ ℝ 2   Domf = {∀x ∈ X | ∃y ∈ Y :152 − x 2 ≥ 0}

Domf = {∀x ∈ X | ∃y ∈ Y : (15 + x)(15 − x) ≥ 0} ⇒ (15 + x) ≥ 0 y (15 − x) ≥ 0 y también (15 + x) ≤ 0 y (15 − x) ≤ 0 x ≥ −15 y 15 ≥ x y también 15 ≤ − x y 15 ≤ x ⇒ [15, −15] y ∅ ⇒ [15, −15] ∪ ∅ = [15, −15]

∴ Dom( f ) = [15, −15]

2.2.-

(a)

Distancia que separa el extremo del puente con el nivel del agua d = x + 15

x 75 x = sen (35) ⋅ 75

Como sen (35) =

x = 43.01 pies Entonces d = 43.01 + 15 = 58.01pies ¿Cuan separados están los extremos de las dos Secciones cuando el puente esta abierto por completo? Distancia de separación = 150-2 a Como cos(35) = a

75 a = cos(35) ⋅ 75 a = 61.4 pies

Entonces Distancia de separación = 150 - 2 ⋅61.4 = 27.1pies

1+ x   π   2  

(b) F ( x ) = −2s en  

π πx F ( x) = −2 sen  +  2  2 Amplitud = −2 = 2 Periodo =

2π

π

= 2π ⋅

2 x 0 1 2 Y 1 0 -1

3 0

4 1

2

π

=4

3 .(a) Se tiene que N (t ) = N 0 ⋅ (0.805)t

Si

t (1) = 1000 t ( x) = 100

t (1) ⋅ 100 = t ( x) ⋅ 1000 ⇒ t (1) ⋅ 0.1 = t ( x) 1 ⋅ t (0.1) = x , entonces 0.1milenos = 100 años

Ahora, calcular un porcentaje de perdida, cada 100 años. se toman 2 o mas valores para t, pero aquí se usara, t=0 , t=0.1, t=0.2.

N (0) = N 0 ⋅ (0.805) 0 N (0) = N 0 N (0) → 100%

N (0.1) = N 0 ⋅ (0.805)0.1

N (0.1) → x

N (0.1) = N 0 ⋅ (0.978) Por lo tanto

N (0.2) = N 0 ⋅ (0.805)0.2

.N (0) ⋅ x = 100 ⋅ N (0.1)

N 0 ⋅ x = 100 ⋅ N 0 ⋅ (0.978) x = 97.8%

N (0.2) = N 0 ⋅ (0.957)

Para ver si esta en lo correcto, analizamos lo mismo con N(0.1) y N(0.2).

N (0.1) → 100% N (0.2) → x N (0.1) ⋅ x = N (0.2) ⋅100 N 0 ⋅ (0.978) ⋅ x = N 0 ⋅ (0.957) ⋅100 x=

Esto significa que en 100 años habra un 97.8% de las palabras iniciales. Por lo tanto la perdida es de 10010097.8 o sea, 2.2% cada 100 años

0.975 ⋅ 100 = 97.8% 0.978

(b) N (t ) = 200 ⋅ (0.805)t

0≤t ≤5⇒ N(0) 200 ⋅ (0.805)0

200

N(1)

200 ⋅ (0.805)1

161

N(2)

200 ⋅ (0.805)2

129.6

N(3)

200 ⋅ (0.805)3

104.33

N(4)

200 ⋅ (0.805)4

83.98

N(5)

200 ⋅ (0.805)5

67.60 67.60

4.4.Se tiene h(t ) =

(a) h(10) =

h(10) =

120 1 + 200e −0.2 t

120 1 + 200 ⋅ e−0.2⋅10 120 120 120 ⋅ e2 = = = 4, 27 pies 1 + 200 ⋅ e−2 e 2 + 200 e 2 + 200 e2

(b) si h=50

120 1 + 200 ⋅ e −0.2 t 50 ⋅ (1 + 200 ⋅ e −0.2 t ) = 120 50 =

50 + 50 ⋅ 200 ⋅ e −0.2 t = 120 10.000 ⋅ e −0.2 t = 70 e −0.2 t = 0.007

Se amplifica por

ln(e −0.2 t ) = ln(0.007) −0.2t ⋅ ln(e) = ln(0.007) −0.2t ⋅ 1 = ln(0.007) ln(0.007) −0.2 t = 24.80 años t=

BLAS!!!!!!!!!!!!!

ln(e) = 1

/ ln( x )