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PROYECTO FINAL: Movimiento Armonico Complejo Divisi´on de Ingenier´ıas Campus Irapuato Salamanca

´ Mart´ınez Alvarez Alexander Adrian Servin Vidal L´opez G´omez Ricardo Giselle Yadira Villafuerte M. Rodr´ıguez Garc´ıa Jorge Luis Rodr´ıguez Rodr´ıguez Francisco Javier Mayo-Agosto 2014

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Aplicaci´on al movimiento arm´onico complejo

´ INTRODUCCON El estudio del oscilador arm´onico simple constituye en mec´anica un cap´ıtulo muy importante, ya que son muchos los sistemas f´ısicos oscilantes que se dan en la naturaleza y que han sido producidos por el hombre. Por regla general, el estudio de vibraciones en sistemas mecanicos suele iniciarse analizando la respuesta de un sistema discreto b´asico de un grado de libretad ante oscilaciones de tipo arm´onico, para, posteriormente, extender los resultados obtenidos al caso de oscilaciones periodicas cualesquiera. Ello permite analizar el comportamiento de sistemas mecanicos ante excitaciones periodicas. La principal ventaja de las excitaciones periodicas es que basta con analizar un periodo para extender las conclusiones obtenidas a la totalidad del dominio temporal.

DESARROLLO Vectores Rotatorios y N´ umeros complejos El empleo del movimiento circular uniforme como fundamento puramente geom´etrico para describir el MAS tiene m´as importancia de lo que parece. Este movimiento circular, una vez establecido, define el MAS de amplitud A y frecuencia angular ω sobre cualquier recta contenida en el plano del c´ırculo. En particular, si imaginamos a un eje y perpendicular al eje f´ısico real Ox del movimiento real, el vector rotatorio OP, nos define, adem´as de la verdadera oscilaci´on sobre el eje x, otra oscilaci´on ortogonal sobre el eje y de modo que:

x = Acos(tω + α) y = Asen(tω + α)

y aunque este movimiento sobre el eje y no tenga existencia real, podemos proceder como si nos ocup´asemos del movimiento de un punto en dos dimenciones, segun las describen la ecuaciones anteriores, con tal de que al

Variable Compleja

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final aislemos solo el componente x, ya que u ´nicamente este resultado es el que posee significado f´ısico en el movimiento as´ı descrito.

Existe un modo muy anticuado para esta blecer y mantener la diferencia existente en tre las componentes f´ısicamente reales y no reales del movimiento. Sup´ongase que un vector OP tiene coordenadas polares (r, θ). Las componentes (x,y) rectangulares (cartesianas) vienen dadas, como es natural, por las ecuaciones:

x = rcosθ

y = rsenθ

El vector completo r puede expresarse entonces como el vector suma de estos dos componentes ortogonales. Si preferimos emplear la notaci´on acostumbrada de an´alisis vectorial, utilicemos el vector unitario i para decignar una direcci´on espec´ıfica. En esta representaci´on del vector por un n´ umero complejo, tenemos un modo autom´atico para seleccionar la parte fisicamente de interes para el estudio del movimiento armonico simple. Si, despu´es de resolver un problema de este tipo mediante complejos, obtenemos una respuesta final de la forma z = a + jb, en donde a y b son numeros reales, entonces es a la magnitud deseada y puede desecharse la b. Una magnitud de forma jb solo (siendo b real)se denomina imaginaria pura. Desde un punto de vista de las matem´aticas, este t´ermino es quiz´a poco afortunado, porque en la aplicaci´on del concepto de n´ umero real a complejo, un componente ”imaginario” como jb, esta en igualdad de condiciones como un componente real como a. Pero cuando se aplica al an´alisis de oscilaciones monodimencionales, esta terminolog´ıa se ajusta perfectamente, como ya hemos visto, a las partes f´ısicamente reales y no reales de un movimiento bidimencional imaginado.

Introducci´ on al exponente complejo El estudio anterior puede parecer que no ha sumado gran cosa al an´alisis inicial. Pero ya estamos preparados para nuestro objetivo principal que es la obtenci´on de una funci´on matem´atica hacia la que hemos dirigido este desarrollo. Dicha funci´on es la exponencial compleja, O para ser mas concretos, la

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Aplicaci´on al movimiento arm´onico complejo

funci´on exponencial en el caso en el que el exponente es el sentido matem´atico mencionado al final. La introducci´on de dicha funci´on recompensa ampliamente nuestros esfuerzos por la facilidad que supone en el manejo de los problemas de oscilaciones. Empecemos conciderando los desarrollos en serie de las funciones seno y coseno:

senθ = θ −

θ3 3!

+

θ5 ... 5!

cosθ = 1 −

θ2 2!

+

θ4 ... 4!

Si no son familiares estos desarrollos, pueden obtenerse f´acilmente en la ayuda del Teorema de Taylor. Formemos la siguiente combinaci´on:

cosθ + jsenθ = 1 + jθ −

θ2 2!

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− j θ3! + + θ4! + ...

Hemos visto que -1 puede expresarse como j 2 , de modo que la ecuaci´on anterior puede volverse a escribir del modo siguiente : cosθ + jsenθ = 1 + jθ +

(jθ)2 (jθ)3 2! 3!

+ ... +

(jθ)n n!

+ ...

Sin embargaro, el segundo miembro de esta ecuaci´on tine precisamente la forma del desarrollo de la funci´on exponencial, haciendo el exponente igual a jθ. As´ı pues, se puede escribir la identidad siguiente:

cosθ + jsenθ = exp(jθ)

Por que constituye una contribuci´on tan importante al an´alisis de las vibraciones la introducci´on de la ecuaci´on de Euler? La principal raz´on consiste en la propiedad especial de la funci´on exponencial de volver a aparecer despu´es de cada operaci´on de derivaci´on o integraci´on, ya que los problemas en los que estamos interesados son aquellos en los que intervienen desplazamientos peri´odicos y las derivadas respecto al tiempo de los mismos. Si, como suele ocurrir, la ecuaci´on b´asica del movimiento contiene t´erminos proporcionales a

Variable Compleja

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la velocidad y la aceleraci´on, lo mismo que al propio desplazamiento, entonces el empleo de cada funci´on trigonom´etrica para describir el movimiento conduce a una complicada mezcla de t´erminos seno y coseno. Si x = Acos(tω + α) entonces

dx dt

= −ωAsen(tω + α)

d2 x dt2

= −ω 2 Acos(tω + α)

Cinem´ atica de un movimiento arm´ onico complejo Habi´endose iniciado con breves conceptos abordados anteriormente, ahora podemos dar una definici´on a´ un m´as profunda de un movimiento arm´onico complejo mec´anico, es un movimiento de superposici´on lineal de movimientos arm´onicos simples. Aunque un MAS es siempre peri´odico, un movimiento arm´onico complejo no necesariamente es peri´odico, aunque s´ı puede ser analizado mediante an´alisis arm´onico de Fourier. Un movimiento arm´onico complejo es peri´odico s´olo si es la combinaci´on de movimientos arm´oniocs simples cuyas frecuencias son todas m´ ultiplos racionales de una frecuencia base.

Un sistema que presenta oscilaciones arm´onicas con n grados de libertad en general tiene elongaciones Xi o movimientos a lo largo de direcciones independientes de la forma:

x(t) =

n X

CAjcos(ωjt + φj)

j=1

La periodicidad tan solo es posible si para cualesquiera frecuencias su cociente es un n´ umero racional. Siendo como es que los n´ umeros racionales son un conjunto de medida cero o conjunto nulo, la probabilidad de que el cociente de todas las frecuencias sea un n´ umero racional es cero y, por tanto, los movimientos arm´onicos complejos reales son cuasiperi´odicos, pero no peri´odicos.

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Aplicaci´on al movimiento arm´onico complejo

CONCLUSIONES

Para las distintas aplicaciones que existen de la variable compleja (o n´ umeros complejos)es muy importante tomar en cuenta todos los rubros y principios que rigen ciertos fen´omenos f´ısicos relacionados con este campo de n´ umeros complejos, pues su an´alisis extenso lleva a estudiar y comprender de mejor manera los fenomenos f´ısicos as´ı como el principio de su aplicaci´on a variadas areas de al ingenier´ıa moderna.

´ REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

- http://www.imem.unavarra.es/EMyV/pdfdoc/vib/vib fourier.pdf

- http://books.google.com.mx/books

- http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento arm C3 B3nico complejo

- http://walterelfisico.galeon.com/teoria.htm

- http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/mas/mas.htm.