Proyecto De Grado Camila Gonzalez

1 Colegio Nuevo Colombo Americano. González María Camila. Área al descubierto.

Área al descubierto González Fernández, María Camila. [email protected] Colegio Nuevo Colombo Americano 1

I.

Resumen— Si A unidades es el área de la región limitada por la parábola

y la y2 = 4x

recta

, determine la tasa de variación de y = mx (m > 0)

II.

con respecto a A

.

m

Índice de Términos— Teorema fundamental del cálculo, Integral definida, Formulas derivadas, Concepto de área, Tasa de Variación . Introducción— El trabajo pretende mostrar mediante un objeto matemático como tras hallar el área de una región limitada por cierta parábola, se puede encontrar la tasa de variación con respecto a determinada variable. Lo primero que se debe hacer es tener claros los conceptos del teorema fundamental del cálculo, el cual se fundamenta en axiomas transformados en teoremas (que son proposiciones que se construyen a partir de los axiomas y que en su mayoría son verdaderas). Estos teoremas tienen dos bases fundamentales la hipótesis y la tesis que son las que lo complementan y lo definen construyendo así un resultado. Tras hacer un análisis matemático, el teorema fundamental muestra como las derivadas son operaciones inversas a la integración, es allí donde surge el segundo teorema del cálculo que ayuda a calcular la integral por medio de la antiderivada y es así como la función se puede integrar. Al empezar a resolver el problema inicial se debe clarificar si se tiene una integral definida (cuando tiene a, b es decir límites y es usada para resolver áreas), o indefinida (cuando no tiene a, b es decir sin límites y es usada para resolver funciones). Teniendo en cuenta que en este problema en específico se trata con una integral definida ya que presenta ciertos límites que deben ser hallados a través de métodos matemáticos como igualar las ecuaciones para así encontrar los intersectos, lo primero que se debe hacer es graficar para así tener más claro el problema y hallar de manera mas sencilla el diferencial , los pasos a seguir se encuentran en hallar las antiderivadas e integrar de la manera más sencilla.

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Para esto es importante tener cierto conceptos claros como el dominio de integración (para las integrales definidas) que en este caso es un área de un espacio abstracto que no tiene estructura geométrica en ningún sentido usual.

El signo de integración está representado por un

y las variables muestran el límite

∫ inferior y superior,

dx

se refiere a la función, a lo que se está integrando. f ( x)

III.

Contenido—

Para resolver este problema, se debe calcular el área entre

y = mx

, y=2 x

Graficar:Lo primero que se debe hacer, es e realizar una gráfica en donde se muestren las dos ecuaciones para lograr hallar el diferencial tal como se muestra en la gráfica inferior. Es (dx) importante entender que el hecho de que nos den

ayuda a delimitar el área, al decirnos que

m>0 es positivo y que pertenece al cuadrante I. (tal y como se muestra en la figura 1)

Hallar Límites de Integración: Para que se pueda encontrar los límites de integración en los que se debe basar el integral, se debe igualar las dos ecuaciones.

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2 x = mx

Se eleva toda la ecuación al cuadrado, para que la raíz desaparezca 4x = m 2 x 2

Como hay una x en cada ecuación, estas desaparecen 4 = m2 x

Finalmente se despeja la x x=

4 m2

En conclusión sabemos que el área está entre los límites de

y

0 puede ver que las dos inician de

, (si se observa la gráfica se 4 m2

, es por esto que se deduce que hace parte de uno de los límites

0 de integración) ya que es desde allí donde inicia y termina el área que se quiere hallar. Se plantea la integral: Como el diferencial es vertical, la variable que se despeja es x, por lo que se toma la función que está por encima de la otra y se le resta la función inferior y el procedimiento es el siguiente: Se mete dentro de la integral y se halla

∫ f ( x)dx Hallar las anti derivadas Se evalúan los límites Se obtiene el área en unidades cuadradas En este caso en partículas se debe hallar la variación del área con respecto a la pendiente. Por lo que se debe tener la ecuación del área en función de (la cual se logra haciendo el límite superior m que es

y aplicándola formula se derivada. 4 m2

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∫

4

m2 0

(2 x1/2 − mx )dx 4

2 x3/2 mx 2 m = − 3 2 0 2 4 3 4 4( 2 ) 2 m ( 2 )2 = m − m 3 2 32 8 = − 3 3 3m m 32m −3 A= − 8 m−3 3 ((32m −3 ⋅ 1) − (8m−3 ⋅ 3)) A= (3 ⋅1) 2

(3 2m −3 − 24m−3 ) 3 −3 8m 2 A= u 3 −24 2 dA = u 3m 4 dA −8 2 = u dm m4 A=

IV.

Resultados— Tras múltiples operaciones se tiene como resultado que la tasa de variación de con respecto a es m A −8 2 u m4

V.

Conclusiones— – El hecho de trabajar a fondo un problema de integrales, es una experiencia que obliga al autor a investigar detalladamente los ¿por qué? de las operaciones y del proceso que se sigue, ya que éste debe dar explicaciones de cómo se logró desarrollar el problema. – –

A mayor pendiente el área es menor La variación del área con respecto a

(variable) que representa la pendiente de la

m recta que interseca a la parábola y que es de valor positivo, puede variar en distintos valores siempre y cuando esta recta toque a la función en dos puntos 0 por ser el

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origen y el otro estará dado por la ecuación

la variación de esta área con y=2 x

respecto a m tiene una tasa dada por dA −8 = dm m 4

–

Se puede utilizar como una aplicación del cálculo diferencial para minimizar o maximizar áreas – Se debe tener en cuenta que si la pendiente es bastante grande, la curva podría estar más a la derecha de la recta lo que haría invertir el planteamiento de la integral – Entre menor sea la pendiente la recta se acerca al eje x y esto quiere decir que la curva va a ser mas grande, lo que puede hacer que solo haya un punto de intersección – La tasa de variación del área con respecto a m (que en este caso es la pendiente) es negativa, lo que indica que área sobre la pendiente va disminuyendo y por eso la variación (entendida como la diferencia) es negativa. Referencias— 1. CA L C U L U S, E A R LY T R A N S C E N D E N TA L S - SIXTH EDITION JAMES STEWART McMASTER UNIVERSITY. Printed in the United States of America, 2008 Thomson Learning, Inc. All Rights Reserved. Thomson Learning WebTutor™ is a trademark of Thomson Learning, Inc. 5 Integrals pg 354-408 2. LEITOLD,Louis;Cálculo Edit interam, edic 2ª,1998, pag 150-200 . .

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