Proyecto Calculo Ii.docx

Trabajo Colaborativo Calculo II Longitudes y Áreas mediante el Cálculo Integral

Integrantes del grupo:

Profesor: Nombre del Profesor

Institución Universitaria Politécnico GranColombiano Facultad de Ingeniería, Diseño e Innovación Escuela de Ciencias Básicas Colombia, 2018

Áreas y longitudes mediante el cálculo integral La mayoría de las veces en la vida real nos encontramos con figuras irregulares a las cuales se hace necesario hallar áreas o longitudes y por esto el cálculo integral nos brinda herramientas para estas cuentas mediante la integral definida.

Objetivos de aprendizaje:   

Interpreta analítica y geométricamente el concepto de integral definida. Propone diferentes procedimientos en la solución del cálculo de áreas Calcula la longitud de arco de una curva aplicando la integral definida

Ejercicio A continuación, se presenta un plano del primer piso de una casa en dos dimensiones: la medida del lado de cada cuadrado es de un metro, se omiten paredes internas, puertas y ventanas para facilitar los cálculos. Figura 1. Plano Piso de la Casa

Responder: a) Se quiere embaldosinar toda la casa, por esto calcula el área de la casa utilizando como unidad el cuadrado de la cuadrícula. Solución. Utilizando la unidad del cada cuadricula (figura 1) procedemos a dividir el plano del piso de la casa en figuras geométricas conocidas, para posteriormente calcular su área individual. Figura 2. División piso de la casa

Como se observa en la figura 2, el plano de la casa fue dividió de tal forma que se generen figuras geometricas cuya formula para el calculo del área es conocido. Para determinar el área total del piso de la casa procedemos a calcular el área de cada una de las formas geometricas generadas, al totalizar las áreas individuales tendremos una primera aproximación al valor real del área del piso de la casa.

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 1 𝑚 𝐴𝑟𝑒𝑎 =

𝐵𝑎𝑠𝑒 = 2𝑚

1𝑚 𝑥 2𝑚 = 𝟏𝒎𝟐 2

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 2 𝑚 𝐴𝑟𝑒𝑎 =

𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 2

𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 2 𝐵𝑎𝑠𝑒 = 1𝑚

2𝑚 𝑥 1𝑚 = 𝟏𝒎𝟐 2

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 2 𝑚

𝐵𝑎𝑠𝑒 = 1𝑚

𝐴𝑟𝑒𝑎 = 2𝑚 𝑥 1𝑚 = 𝟐𝒎𝟐

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 1 𝑚 𝐴𝑟𝑒𝑎 =

𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 2 𝐵𝑎𝑠𝑒 = 1𝑚

1𝑚 𝑥 1𝑚 = 𝟎. 𝟓𝒎𝟐 2

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 2 𝑚

𝐵𝑎𝑠𝑒 = 1𝑚

𝐴𝑟𝑒𝑎 = 2𝑚 𝑥 1𝑚 = 𝟐𝒎𝟐

𝑆𝑒𝑐. 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎 =

2(𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) 3

𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 4 𝑚 𝐴𝑟𝑒𝑎 =

𝐵𝑎𝑠𝑒 = 4𝑚

2(4𝑚 𝑥 4𝑚) = 𝟏𝟎. 𝟔𝟔𝒎𝟐 3

𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 2 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 4 𝑚 𝐵𝑎𝑠𝑒 = 7 − 2𝜋 = 0.717𝑚

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =

𝐴𝑟𝑒𝑎 =

4𝑚 𝑥 0.717𝑚 = 𝟏. 𝟒𝟑𝒎𝟐 2

𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 2 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 1 𝑚 𝐵𝑎𝑠𝑒 = 2𝜋 − 5 = 1.28𝑚

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =

𝐴𝑟𝑒𝑎 =

1𝑚 𝑥 1.28𝑚 = 𝟎. 𝟔𝟒 𝒎𝟐 2

𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 2 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 1 𝑚 𝐵𝑎𝑠𝑒 = 4.5 − 3 = 1.5𝑚

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =

𝐴𝑟𝑒𝑎 =

1𝑚 𝑥 1.5𝑚 = 𝟎. 𝟕𝟓𝒎𝟐 2

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 1 𝑚

𝐵𝑎𝑠𝑒 = 3𝑚

𝐴𝑟𝑒𝑎 = 1𝑚 𝑥 3𝑚 = 𝟑𝒎𝟐

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 3 𝑚

𝐵𝑎𝑠𝑒 = 2𝜋 𝑚

𝐴𝑟𝑒𝑎 = 3𝑚 𝑥 2𝜋 𝑚 = 𝟏𝟖. 𝟖𝟒 𝒎𝟐

𝑆𝑒𝑐. 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎 = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 1 𝑚 𝐴𝑟𝑒𝑎 =

2(𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) 3 𝐵𝑎𝑠𝑒 = 3𝑚

2(1𝑚 𝑥 3𝑚) = 𝟐 𝒎𝟐 3

Al sumar el área de cada región se obtiene:

Área del piso de la casa: 43.82 m2

b) Ahora, use rectángulos de igual base (cuya base este sobre el eje x) para calcular el área de la casa, para esto realice el cálculo variando el número de rectángulos (cambie el número de rectángulos tres veces), por favor registre los datos obtenidos en la siguiente tabla. Solución De la figura 2 determinamos que el área total del piso de la casa se puede dividir en regiones cuya forma de calculo de área es conocida y exacta (triángulos, rectángulos). Para estas regiones el valor de su área es conocido y tiene un resultado exacto. Sin embargo, tenemos dos regiones irregulares. Una delimitada por el eje X y la función f(x) = sen(x) +4. La otra región esta delimitada por el eje X y la parábola con vértice en (-4,2) que pasa por los puntos (0,0) y (4,0). En la figura 3 se muestra el área total de las regiones regulares. Figura 3. Área de las regiones regulares.

Área regiones regulares = 7.93 m2

Para el calculo del área de las regiones en blanco de la figura 3 emplearemos el método de divisiones rectangulares con igual base. Se debe tener en cuenta que la altura de los rectángulos depende la función sobre la cual se esté trabajando.



Aproximaciones región f(x) = sen(x) +4

Aprox. 5 rectángulos Base = 1.256 m Altura = f(xi) Área = 22.68 m2

Aprox. 10 rectángulos Base = 0.628 m Altura = f(xi) Área = 23.91 m2

Aprox. 20 rectángulos Base = 0.314 m Altura = f(xi) Área = 24.5 m2



Aproximaciones región g(x) = x2 +4x

Ecuación de una parábola con vértice en (h, k) que pasa por le punto (x0, y0) y = a(x-h)2+k con v = (-4,2), para por el punto (0,0)

Aprox. 5 rectángulos Base = 0.8 m Altura = g(xi) Área = 13.44 m2

Aprox. 10 rectángulos Base = 0.4 m Altura = g(xi) Área = 12.16 m2

Aprox. 20 rectángulos Base = 0.2 m Altura = g(xi) Área = 11.44 m2

Tabla #1. Aproximaciones Rectangulares. Rectángulos 5 10 20

Área Regular [m2] 7.93 7.93 7.93

Área f(x) [m2] 22.68 23.91 24.5

Área g(x) [m2] 13.44 12.16 11.44

Área total [m2] 44.05 44 43.87