Protocolo

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El uso de modelos geométricos para el desarrollo de habilidades del pensamiento numérico y algebraico. PRESENTACIÓN. La Enseñanza de las Matemáticas en el nivel medio superior implica que los alumnos que provienen de la educación secundaria, debieron haber desarrollado de manera amplia el pensamiento numérico, algebraico y geométrico, ya que desde edades tempranas se debió haber estimulado; basta recordar que desde el nivel preescolar el niño es expuesto a objetos de diferentes formas y tamaños, hace conjuntos de cosas y es capaz de discernir sobre cual tiene más o menos elementos. En Illinois State Board of Education (2004) Se menciona: “La matemática en preescolar ¡es mucho más que contar! Entre los 3 y 5 años de edad los niños están empezando a entender las relaciones entre objetos, espacios y lugares. Estos son los conceptos básicos de la geometría. Los niños utilizan el pensamiento geométrico al describir dónde están ubicadas las cosas o al n otra como las partes de los objetos están conectadas unas con otras.” Posteriormente en la educación primaria él debe desarrollar de alguna manera habilidades algebraicas al tener que encontrar cantidades desconocidas aunque no les designe propiamente como variables o incógnitas. Durante su enseñanza secundaria, el adolescente debe formalizar conceptos como incógnitas o variables, desarrolla habilidad para comprender teoremas algebraicos, geométricos y trigonométricos y en general debería llegar totalmente preparado para ampliar los conocimientos en ramas elementales de las matemáticas como el estudio del álgebra y geometría de nivel medio superior.

Por desgracia, la triste realidad a la que nos enfrentamos los docentes de bachillerato es que los alumnos que nos llegan, tienen un cúmulo de conocimientos mal estructurados y aislados entre sí, que no presentan relación alguna entre los mismos. Si a esto los profesores del nivel medio superior contribuimos aportando conocimientos matemáticos que parecieran estar desarticulados entre sí y con la realidad, el alumno ingresará en el mejor de los casos al nivel superior con serias deficiencias que impedirán su correcto desenvolvimiento. Schleider (2005) en el reporte del panorama de la educación en México, menciona: “Los estudiantes con una capacidad para las matemáticas por debajo de nivel 2 en la escala de evaluación de PISA es probable que encuentren graves problemas al utilizar las matemáticas en su vida futura […] La proporción con capacidad insuficiente varía extensamente, de por abajo del 10% en Finlandia y Corea, a por arriba del 60% en México” En la Maestría de Matemáticas y su Didáctica impartida por la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo, se pretende que los profesores adquieran conocimientos, destrezas, aptitudes y actitudes que contribuyan a atacar al menos una o algunas de las componentes que presenta el aprendizaje de las matemáticas, para lo cual la investigación científica y metodológica es pieza fundamental. Por lo anterior se propone el siguiente protocolo de 1

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investigación con la intención de que motive a los profesores de nivel medio superior a buscar otras alternativas metodológicas en la enseñanza de la aritmética y el álgebra elemental, abordando una perspectiva geométrica.

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Planteamiento del Problema. El Sistema Educativo Nacional (SIEN) en México está organizado en tres grandes niveles: educación básica, educación media superior, y educación superior, los cuáles se integran de la siguiente forma: Educación básica, comprende los servicios de preescolar, primaria y secundaria y concentra la matrícula más numerosa de todo el sistema educativo. También incluye los servicios de educación inicial, educación especial y educación para adultos. La Educación Secundaria constituye los tres últimos grados de la educación básica. Desde 1993 es obligatoria y se imparte a la población de entre 12 y 16 años de edad que concluyó la primaria. La Educación media superior está conformada por tres servicios: el bachillerato general, el bachillerato tecnológico y la educación profesional técnica. La mayor parte de estos servicios se imparte en tres años pero hay algunos con dos años de duración. Para cursar este nivel es indispensable haber concluido la educación secundaria y la mayoría de las escuelas exige la presentación de un examen de admisión. En la Educación superior, el objetivo es formar profesionales en las diversas áreas de la ciencia, la tecnología y la docencia. Para ello el nivel se divide en: educación universitaria, educación tecnológica y educación normal. En este rubro también se ubica el postrado, que incluye los estudios de especialidad, maestría y doctorado. Por medio de la observación directa, en la práctica docente cotidiana, se ha percibido que en la transición del nivel secundaria al bachillerato un buen porcentaje de estudiantes desertan de la escuela, y entre las múltiples causas que manifiestan, una de las principales es la dificultad para aprobar los cursos de matemáticas en los primeros 3 semestres. Los estudiantes de nivel medio superior que cursan matemáticas, no perciben la concatenación que existe entre los diferentes saberes de las ramas elementales de la Matemática (aritmética, álgebra, geometría y trigonometría) lo cual dificulta la adquisición de nuevos saberes matemáticos. Blacker (2005) sostiene que: “el alumno concibe la matemática como un Universo cuyos contenidos se encuentran totalmente fragmentados y separados, sin relación entre sí, como: Lógica, Conjuntos, Relaciones, Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría”. El problema de la desarticulación de saberes matemáticos tiene varias componentes que no solo atañe al estudiante, pues él es sólo un actor dentro proceso enseñanza-aprendizaje en el sistema educativo mexicano, y no basta con justificar que los alumnos no aprenden por falta de interés o de empeño; el profesor es el otro actor importante y juega un papel protagónico en éste proceso. Si el profesor no advierte la concatenación entre saberes matemáticos y no tiene claro los conocimientos previos que poseen los alumnos, ni los que deberá poner en juego en le siguiente curso de Matemáticas, la situación se complica. Al respecto Blacker también menciona: “en algunos temas de álgebra el alumno resuelve los problemas con procesos aritméticos, pero usualmente el profesor no los acepta porque 3

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están en álgebra y los procesos deben ser algebraicos. En otros casos el alumno resuelve algunos problemas en Geometría con procesos algebraicos, pero el profesor no los acepta porque están en Geometría […] En este sentido el alumno desconoce la relación que existe entre los datos simbólicos y no puede extraer la información contenida en la expresión matemática. No hay comprensión de la información expresada en el lenguaje matemático” En cualquier curso de matemáticas básicas sin importar el grado de estudios, se debe estimular el desarrollo del pensamiento lógico, tanto inductivo como deductivo, los cuáles deberán aparecer a lo largo de toda su trayectoria académica; ambos pensamientos serán clave en el desarrollo de habilidades del pensamiento superior; las actividades diseñadas por los profesores deberán pues ser encaminadas en este sentido, y las actividades geométricas son de especial interés. En Discovering Geometry; Una Guía para padres se menciona. “Uno de los principales propósitos de cualquier curso de Geometría es el de mejorar la capacidad del razonamiento lógico de los estudiantes […] Los estudiantes utilizan el razonamiento inductivo para identificar patrones visuales y geométricos y hacer predicciones basadas en éstos patrones. Luego se les presenta el uso del razonamiento deductivo para explicar porqué estos patrones son ciertos […] los estudiantes formulan conjeturas sobre estas relaciones y aprenden a utilizar argumentos lógicos para explicar porqué éstas conjeturas son ciertas” Dentro de este contexto, el problema principal que se pretende abordar en la futura investigación, es la transición entre los pensamientos geométrico, aritmético y algebraico para asimilar nuevos conceptos y reacomodar conceptos falsos en la estructura mental de los estudiantes, así como la adquisición de nuevos saberes matemáticos que conlleven a conjeturar, demostrar y comunicar resultados; lo anterior por medio del uso de rompecabezas geométricos. Para apoyar este problema de investigación, se cita del trabajo de Barroso (2000) lo siguiente: “Según Orton (1990), no se puede esperar que los estudiantes aprendan a través de definiciones, siendo necesario utilizar ejemplos y contraejemplos para la definición de un concepto matemático […] Vinner (1991) Señala que el esquema conceptual es algo no verbal asociado con nuestra mente con el nombre de un concepto. Puede ser una representación visual del concepto en el caso que éste tenga representaciones visuales”

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Hipótesis General Con el uso de modelos geométricos como rompecabezas o puzzles, los estudiantes de nivel medio superior, aprehenden más fácilmente reglas aritméticas y algebraicas relacionadas con algunas leyes de los exponentes, que los llevan a elaborar conjeturas y verificar resultados.

Hipótesis específicas 1.- Con el uso de rompecabezas geométricos en la clase de aritmética, se mejora la compresión de algunas leyes de los exponentes. 2.- Con la introducción de rompecabezas geométricos en la clase de álgebra, se puede inducir al estudiante a que encuentre por sí mismo las reglas de algunos productos notables. 3.- El uso de figuras geométricas ayuda a desinstalar ideas falsas en los estudiantes respecto a operaciones aritméticas y algebraicas de potencias. 4.- Mediante la utilización de figuras geométricas se estimula la formulación de conjeturas razonables y demostraciones matemáticas informales, al comprobar que el área de un cuadrado es igual a la suma de las partes en que se descomponga.

La variable independiente en este estudio son los rompecabezas geométricos; la variable dependiente que queremos analizar y comprobar su relación con la independiente es la aprehensión de algunos saberes aritméticos y algebraicos relacionados con las potencias.

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Objetivo General Realizar una investigación por medio de un estudio comparativo en estudiantes de nivel medio superior de primer semestre en torno a la materia de Matemáticas I (aritmética y álgebra) para comprobar la utilidad del uso de rompecabezas geométricos en la enseñaza de operaciones con exponentes.

Objetivos específicos 1.- Diseñar actividades dentro de la clase de aritmética en las que por medio de rompecabezas geométricos, se logre enseñar algunas leyes de los exponentes. 2.- Diseñar problemas geométricos relacionados con áreas de rompecabezas, que induzca a los estudiantes a obtener los desarrollos de algunos productos notables. 3.- Desarrollar ejercicios geométricos que impliquen el cálculo de áreas para comprobar los resultados con la resolución de operaciones aritméticas/algebraicas de potencias (sin contexto) que lleve a los estudiantes al mismo resultado. 4.- Promover la elaboración de conjeturas razonables y la demostración matemática por medio de ejercicios de cálculo de áreas de rompecabezas que implique el área total y de las partes.

Alcance de la investigación Alumnos de primer semestre de bachillerato de una institución pública como el Conalep Tizayuca.

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Marco Teórico Las comparaciones internacionales más recientes de nivel de desempeño de los estudiantes de 15 años de edad son las que se obtuvieron en el 2003 en el Programa de la OCDE para la Evaluación Internacional del Estudiante (PISA), los resultados de esta evaluación se publicaron en diciembre del 2004. Schleider (2005) menciona: “ Dentro de los países de la OCDE, en matemáticas, Finlandia, Corea y los Países Bajos lograron puntuaciones promedio estadísticamente similares (entre 538 y 544 puntos) significativamente por arriba de la puntuación promedio de los otros países de la OCDE. Otros once países tienen puntuaciones medias que están por encima del promedio de OCDE, otros cuatro obtuvieron el nivel promedio, mientras que las once restantes tienen un desempeño significativamente por debajo del promedio de la OCDE. México obtuvo la puntuación media más baja en la escala de las matemáticas (385) […] En promedio de los estudiantes que concluyen la educación preparatoria, vocacional o su equivalente, en donde México continúa con la Tasa más baja de la OCDE, sólo un 25% de los mexicanos entre 25 y 34 años de edad tienen la educación vocacional o preparatoria, comparado con el promedio de 75% de la OCDE”. No es de extrañarse que tras la problemática detectada se aborde a nivel Latinoamérica el problema del aprendizaje de las matemáticas en la búsqueda de entenderlo mejor y poder atacar algunas de sus componen entes. Tras una búsqueda exhaustiva de fuentes de información documental que abordan el problema del aprendizaje de las matemáticas, en Latinoamérica, España y en particular en México, se concluyó por observación directa, que son más las investigaciones desarrolladas dentro del campo del mejor aprendizaje de la geometría y la aritmética, que en relación a lo encontrado acerca del aprendizaje del álgebra en educación básica. Encontrándose en particular un artículo dentro de la revista Educación Matemática (véase bibliografía) donde Butto y Rojano (2004) plantean la introducción del pensamiento algebraico por medio de la geometría. “La Transición de la aritmética al álgebra es un paso importante para llegar a ideas más complejas dentro de las matemáticas escolarizadas. Sin embargo, presenta obstáculos que la mayoría de los adolescentes encuentran muy difíciles de superar. Esto se debe, en parte, a que este contenido matemático se enseña por lo general a partir de fuentes limitadas de significados; usualmente se toma como base el dominio numérico (simbolización numérica), dejando de lado ideas importantes que se interconectan con otros dominios matemáticos como el geométrico […] El acercamiento más tradicional por enseñar la sintaxis algebraica, haciendo énfasis en sus aspectos manipulativos. En ese abordaje se empieza por enseñar las expresiones, ecuaciones y toda la manipulación alrededor de ellas, y se termina con la resolución de problemas mediante la aplicación del contenido sintáctico aprendido. […] operar con lo desconocido no es un problema intrínseco que surge en la transición de la aritmética al álgebra, adoptar una visión tradicionalista en la que el álgebra solo se relaciona con la aritmética la restringe a un solo campo de desarrollo y pierde de 7

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vista algunas expectativas importantes para incorporar conceptos aritméticos de otros campos, como la aritmética geometrizada” Para el desarrollo metodológico que se explicará más adelante, se ha tomado como base el estudio desarrollado por Mora (1991) y que apareció en la revista española SUMA, en la cual el autor plantea en clase a alumnos entre 14 y 15 años de edad el siguiente problema: “Enunciado: Dado un cuadrado, una forma de construir dentro de él, un polígono cuya área sea la mitad, consiste en tomar los puntos medios de dos lados opuestos y unirlos con un segmento. Investiga otros procedimientos”. A partir de este enunciado se exploran diversas ideas como inscribir otro cuadrado con la mitad de área que el original, triángulos en los que dos de sus vértices coincidan con dos vértices consecutivos del cuadrado original y el otro esté en cualquier punto del lado opuesto del cuadrado, encontrando siempre un triángulo que puede ir desde isósceles si se toma el punto medio, hasta rectángulo si coincide con otro vértice del cuadrado; pasando por una serie de triángulos escalenos que la cumplir con esta característica siempre cumplen la condición inicial. A este respecto softwares dinámicos de geometría como Cabrí juegan un papel importante al poder mostrar a los estudiantes de forma directa que el área del triángulo es la mitad al cuadrado original sin importar que varíe el vértice opuesto a la base, además de constatar que los polígonos inscritos tienen exactamente la mitad de área que el cuadrado.

Figura 1: Ilustra la utilización de sotwares dinámicos para la solución del problema

Se ha tomado como parte fundamental para el planteamiento de este problema y su justificación, el método NUFRAC (Nuestra forma de razonar y aprender científicamente) desarrollado en Perú y citado por Backer, en el que sostiene: “Actualmente existe en las Instituciones Educativas, en los niveles de primaria y secundaria, un alto porcentaje de alumnos desaprobados, desinteresados y que rechazan el curso de Matemática. Este problema se repite a escala mundial. […] Las investigaciones realizadas hasta el momento, revela que no son precisamente los alumnos considerados muy inteligentes los que demuestran un alto nivel intelectual de razonamiento […] Los alumnos que han obtenido altas calificaciones durante su escolaridad, han desarrollado un buen nivel de memoria mecánica y repetitiva, que es plasmada en los exámenes. Sin embargo los alumnos con normal rendimiento académico en la signatura, han desarrollado una memoria reflexiva y analítica que impide su mecanización” 8

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Planteamiento Metodológico. Problema Científico ¿Cómo contribuir al perfeccionamiento de la dirección del proceso enseñanza – aprendizaje del Álgebra Elemental de la Educación media Superior? Objeto de Investigación El proceso de enseñanza – aprendizaje de la Aritmética y el Álgebra elemental en la educación media superior. Campo de Acción Las Estrategias metodológicas para desarrollar un proceso de enseñanza aprendizaje significativo y reflexivo de la Aritmética y el Álgebra elemental en primer semestre de bachillerato. Preguntas Científicas En Enseñanza de las matemáticas en la educación básica (2006) se presentan algunas de las siguientes preguntas de interés las cuáles son compatibles con lo planteado en este protocolo de investigación. 1.- ¿Cuáles son los diferentes puntos de vista acerca del concepto de construcción del conocimiento, conocimiento matemático, enseñanza – aprendizaje significativo, formación de concepto matemático? 2.- ¿Cómo es en la actualidad la enseñanza – aprendizaje de conceptos matemáticos? 3.- ¿Cuáles son las concepciones del conocimiento del álgebra y su lenguaje? 4.- ¿Qué situaciones didácticas deberán caracterizar la enseñanza y el aprendizaje del álgebra y la geometría? 5.- ¿Por qué debe estudiarse álgebra y geometría en la escuela? 6.- ¿Qué tipo de geometría es más cercana a los alumnos de acuerdo con su desarrollo cognitivo? 7.- ¿Qué actividades deberán desarrollarse a través de la enseñanza de la geometría?

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Métodos a utilizar Métodos teóricos. En la presente investigación se pretende usar el método dialéctico materialista, para revelar en el objeto de estudio las relaciones, contradicciones en las investigaciones, metodologías así como los contenidos. Se utilizará el método histórico – lógico en el análisis de los antecedentes, desarrollo y perfeccionamiento de la enseñaza del álgebra elemental en el Conalep de Tizayuca Hgo. Métodos empíricos Se utilizará la observación directa del desempeño de los estudiantes, mediante dos grupos uno de control y otro experimental; en el primero de ellos, se abordarán los temas de leyes de los exponentes y productos notables de manera tradicional, es decir sin contextualizar; a la par en el grupo experimental se impartirán los mismos temas, abordándolos con un enfoque geométrico; se deberán diseñar actividades con las cuáles los alumnos deduzcan por sí mismos las reglas de algunos productos notables como el cuadrado o cubo de un binomios, diferencia de cuadrados, y multiplicación de binomios con término común. También se creará desequilibración en los estudiantes por medio de preguntas como por ejemplo ¿Cuánto es 5² + 3²? a) 8² b) 63.999 c) 5² + 3² + 2 (3x5) Esperando que en caso de equivocación por parte de los alumnos, se muestre la solución correcta por medio de desarrollo de rompecabezas. Se aplicarán pruebas diagnósticas al inicio de la intervención en ambos grupos, se aplicará otra prueba intermedia durante el periodo de aplicación y finalmente se aplicará una prueba final para comparar resultados y correlacionar la utilización de los rompecabezas con la aprehensión de las reglas y leyes para desarrollar operaciones con exponentes.

Métodos estadísticos Se utilizará para el procesamiento de la información en las etapas de intervención, análisis porcentual, índice porcentual, gráficos comparativos e ilustrativos.

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5. Cronograma de actividades Nombre de la Tesis:

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CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

Nombre del alumno: Tiempo

Fecha de elaboración

Año: 2008 Agosto

Actividades

Fecha de elaboraci

Septiembre

Octubre

Nov

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1. Diseño aprobación del protocolo y elaboración del contendo de la tesis

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X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

2. Búsqueda y clasificación de la información

X

X

X

X

X

X

X

X

X X

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X X

X

3. Diseño de materiales para las clases con el grupo experimental

X

4. Aplicación de las actividades (investigación en el aula) 5. Recopilación y procesamiento de la información 6. Análisis de los resultados y presentación de los mismos

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1

2

X

X

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ANEXOS A continuación se presentan algunos de los rompecabezas para las actividades que se van a desarrollar con el grupo experimental, buscando por un lado desechar ideas erróneas en la solución de operaciones con exponentes, se buscará despertar el pensamiento crítico y reflexivo de los estudiantes al pedirles que comprueben que la suma de las partes del rompecabezas es igual siempre al total. Se buscará que deduzcan el área de diferentes figuras por medio de preguntas como ¿por qué el área de un romboide se calcula igual que la de un rectángulo? ¿Por qué si conocemos las diagonales de un cuadrado se puede calcular su área como la de un rombo? a+b

El área de este cuadrado grande de dimensiones a+b puede ser encontrada en la forma de un rompecabezas de 4 piezas como se indica abajo

a  b2 a+b

a

a 2

b

a b

a

a

b

a b

a

b 2

b 12

a  b2  a 2  ab  ab  b 2  a 2  2ab  b 2 b

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8u El todo es un cuadrado de 8 unidades por lado; el área que encierra el todo es 8*8 = 8² = 64 u²

Área8 del u todo = 64 u² 8u

5u

5u

3u

A1  52  25

A3  3 * 5  15

3u

A2  3 * 5  15

A4  32  9

13

Estas son las partes del todo, un cuadrado de 5 por lado, mas un cuadrado de 3 por lado, mas dos rectángulos de 5 por 3. 5²+ 3² + 2 (5*3). A1 + A2 + A3 + A4 = A = 64 u²

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4u

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4u  4 *8  A3     16  2 

 4 *8  A1     16  2 

8u  8*8  A2     32  2 

Estas son las partes del todo, un triángulo isósceles de 8 de base y 8 de altura, mas dos triángulos rectángulos de 8 de base por 4 de altura, 8 *8  4 *8  2  2   32  32  64u A1 + 2 2   A2 + A3 = A = 64 u²

8u

2u

2u

 2*8 A1   8  2 

 2 *8  A3   8  2 

8u

A2 

8  48  48 2

8u

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Estas son las partes del todo, un trapecio isósceles de 8 de base mayor, 4 de base menor y 8 de altura, mas dos triángulos rectángulos de 8 de base por 2 de altura, 8  48  2 2 * 8   48  16  64u 2   2  2  A1 + A2 + A3 = A = 64 u²

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A1 

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4 * 4  8

A2 

2

4 * 4  8 2

Estas son las partes del todo, 4 triángulos rectángulos de 4 por base y 4 por altura, y un “rombo” inscrito cuyas diagonales miden 8 cada una. 8 * 8  4 4 * 4   32  4(8)  32  32  64u 2   2  2  A1 + A2 + A3 + A4 + A5 = A = 64 u²

4u

A5 

8 * 8  32 2

4u

A3 

4 * 4  8

4u

2

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A4 

4 * 4  8

4u

15

2

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2u

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6u

 2 *8  2 A1     8u  2 

8u

A2  6 * 8  48u 2

 2 *8  2 A3     8u  2 

6u

2u

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Estas son las partes del todo, paralelogramo (romboide) de 6 de base y 8 de altura, mas dos triángulos rectángulos de 8 de base por 2 de altura,  2 *8  2 6 * 8  2   48  16  64u A1 +  2  A2 + A3 = A = 64 u²

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Índice Tentativo de la Tesis Introducción Metodología Capítulo 1 Panorama Actual de la Enseñaza del álgebra en el bachillerato Capítulo 2 Diseño de Actividades con rompecabezas para impartir la clase de álgebra Capítulo 3 Presentación de las clases modelo en el aula Capítulo 4 Discusiones de los resultados Conclusiones Anexos Bibliografía

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BIBLIOGRAFÍA BARROSO, Campos Ricardo; Enseñanza de las Ciencias. (Departamento de Didáctica de las Matemáticas Universidad de Sevilla), Año 2000, Vol 18 , pp (285-295)

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DISCOVERING GEOMETRY: Una Guía para los Padres ©2008 Key Curriculum Express

ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN BÁSICA, Programa y materiales de apoyo para el estudio. Programa para la Transformación y el fortalecimiento Académico de las Escuelas Normales, SEP, México 2006.

MORA, J.A (1991) “La Mitad del Cuadrado” Revista SUMA num 8 pp (11-21) Federación Española de Sociedad de Profesores de Matemáticas: Granada.

SCHLEICHER, Andreas “Panorama de la Educación 2005. Breve Nota Sobre México” Dirección de Educación, OCDE, Año 2005.

THE PATH TO MATH: Geometric thinking for young children. Illinois State Board of Education, Año 2004. http://illinoisearlylearning.org Consultada en Octubre del 2007.

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