Proposicionesconectoreslogicos

MINISTERIO DEDUCACION

Universidad Nacional de Piura Facultad de Ciencias Sociales y Educación

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN Y CAPACITACIÓN PERMANENTE

COMPONENTE LOGICO MATEMATICO MODULO No 05 ITEM 33

LOGICA PROPOSICIONAL

PIURA - 2008

INTRODUCCIÓN En la actualidad, el estudio serio de cualquier tema, tanto en el campo de las Humanidades como en el de las Ciencias y la Tecnología, requiere conocer los fundamentos y métodos del razonamiento lógico preciso, que permita a las personas o al profesional extraer y depurar sus conclusiones evitando el riesgo de modificar en forma equivocada la información que posee.

El presente modulo pretende motivar a los

docentes participantes para que con ayuda de la “lógica”, sean capaces de formalizar sus conocimientos a través de la lógica simbólica, para que de esta manera tengan una buena estructura cognitiva. Consideramos que si el participante sabe lógica puede relacionar estos conocimientos, con los de otras áreas para de esta manera crear otros conocimientos. La lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por ejemplo para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado; también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica. La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos, innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos.

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PROPOSICIONES Y CONECTORES LÓGICOS

LOGRO DE APRENDIZAJE Resuelve situaciones problemáticas aplicando conceptos y procedimientos de la lógica proposicional, interpreta textos aplicando los principios lógicos y construye argumentos reconociendo proposiciones a partir de lecturas de su interés y comunica los resultados a través de distintas formas de representación. Contenidos: • Lógica formal: Definiciones. • Clases de proposiciones. • Formalización de proposiciones. • Verdad formal.

Situación Problemática

¿Cuántas veces ha oído consejos como “Quien a buen árbol se arrima, buena sombra le cobija”, “Agua pasada no mueve molino”, o “Si ves las barbas de tu vecino cortar, pon las tuyas a remojar”?. En muchos casos tales anuncios proverbiales pueden replantearse como una condicional en la forma si… entonces…. Por ejemplo, estos tres enunciados pueden reescribirse de la siguiente manera: “Si se arrima a un buen árbol, entonces buena sombra le cobija”. “Si el agua ya ha pasado, entonces no mueve molino”. “Si ves las barbas de tu vecino cortar, entonces pon las tuyas a remojar”. Piense en algunos refranes que sean conocidos y plantéelos en la forma si … entonces….

3

CAP. I.: LOGICA FORMAL Ejemplos: ENUNCIADO Se llama enunciado a toda expresión matemática Ejemplos:  5–2=3

frase, oración o

x+2=3



Cierto día el Perú entro en crisis.



x 2 + y3 = 3

 ENUNCIADO CERRADO:



¡Te necesito Ven!.



A boca cerrada no entra mosca.

 PROPOSICIÓN (Proposición



Se considera como enunciado cerrado a todo concepto bien definido. Ejemplo  La historia es una ciencia social que

lógica)

estudia, analiza e interpreta los hechos

Es todo enunciado cuya propiedad fundamental es la de ser verdadero (V) o falso (F), pero no ambos simultáneamente. Ejemplos: 

5–2=3



Paris es la capital de Francia.



x2 – y2 = (x + y) (x – y)

tiempo y el espacio.

 Nota: -

(a) Se consideran como proposiciones: - Las oraciones aseverativas a) Informativas b) Descriptivas c) Explicativas Las leyes científicas Las fórmulas matemáticas Las formulas y/o esquemas lógicos Los enunciados cerrados (definiciones) (b) No son considerados como proposiciones - Las oraciones no aseverativas a) Exclamativas b) Imperativas c) Desiderativas d) Interrogativas Los hechos o personajes literarios Los proverbios, modismos y refranes Creencias religiosas, supersticiones y mitos Enunciados abiertos o indefinidos.

ABIERTO

Toda proposición es un enunciado pero no viceversa.

-

 OBSERVACIÓN:

 ENUNCIADO

importantes del pasado a través del

(Función

Proposicional): Llamados también enunciados indefinidos, son aquellos que contienen una variable o variables y que no tienen la propiedad de ser verdadero o falso. Las expresiones que contienen la palabra “El” y

Todo

cerrado

es

una

proposición verdadera.

CAP. II.: CLASES DE PROPOSICIONES

 PROPOSICIONES SIMPLES: Llamadas también atómicas o singulares, son aquellos enunciados que no llevan conectivos lógicos es decir tienen un solo sujeto y un solo predicado. Ejemplos 

La biología es una ciencia.



Los Chancas fueron grandes guerreros.



3<6

 CLASES DE PROPOSICIONES SIMPLES a) Proposiciones Simples Predicativas: Son aquellas expresiones

que atribuyen o

afirman un predicado a un sujeto. Generalmente obedecen a la fórmula: S

“Ella” también se consideran como enunciado abierto.

enunciado

es

P

Ejemplos 

La biología es una ciencia.

4



Los Chancas fueron grandes guerreros.

Símbolos: ∼A, ¬A, - A



2, es un número primo

Traducción Verbal: se lee No A Nunca A

b) Proposiciones Simples Relacionales:

(negadores internos)

Jamás A

Son aquellas expresiones en las cuales se

Es absurdo que A

relacionan dos o más sujetos que tienen

Es inconcebible que A

misma

categoría

gramatical.

la

(sustantivo,

No ocurre que A

adjetivo, etc.)

No es cierto que A

Obedecen a la fórmula

Es imposible que A

S1 R S1 y S2

No es verdad que A

S2 R

Es mentira que A Es inadmisible que A No acaece que A

Ejemplos:

No es innegable que A



Isabel es prima de Juana.

De ninguna forma se da A



2+2=5–1

Es erróneo que A



3<6

Es incierto que A Nadie que sea A Es incorrecto que A

 PROPOSICIONES COMPUESTAS: Llamadas también

No es inobjetable que A

moleculares, coligativas o

No siempre que A

complejas, son aquellas expresiones que se

No es que A

obtienen de la combinación de dos o más

En modo alguno A

proposiciones simples enlazadas por conectivos

En forma alguna A

lógicos. Ejemplos: 

“O pedro viaja a Europa o Asia”



Si práctico deporte entonces tendré buen estado físico.

 CLASES

DE

PROPOSICIONES

COMPUESTAS a)

b)

N e g a d o r e s E x t e r

Conjuntiva Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjunción gramatical copulativa “Y” o expresiones equilvalentes. Ejemplo:  La UNP forma profesionales y es un centro de investigación. Conector: ∧ ; . ; & ; x

Negativa Son aquellas en donde el adverbio negativo “no”

Formalización: p ∧ q

o sus expresiones equivalentes afectan a una o mas proposiciones.

EL CONJUNTOR

Ejemplos: 

Es falso que Juan sea peruano.



No es cierto que sea utilitarista y naturalista a la vez.

Conector: ∼, ¬ , – Formalización:

∼p EL NEGADOR

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Símbolos: A∧B;A.B;A&B;AxB Traducción Verbal: se lee AyB A incluso B A pero B A aunque B A al igual que B A tal como B A tanto como B A también B A así como B A vemos que también B A al mismo tiempo que B A sin embargo B A es compatible con B A aún cuando B A del mismo modo B A de la misma manera B A no obstante B A empero B Tanto A como, cuanto B Siempre ambos A con B A sino B No sólo A sino también B A asimismo B A a pesar de B A a la vez B A igualmente B A de la misma manera B Sin que A tampoco B Cierto que A lo mismo que B Simultáneamente A con B

c)

Símbolos: A∨B,A+B Traducción Verbal: se lee AoB A a menos que B a menos que A B A salvo que B A y bien, o también B A excepto B A o incluso B A o a la vez B A ya bien B A y/o B

Disyuntiva excluyente Se vincula a través del conector ”o ………o…….” Ejemplo  O estas despierto o estas durmiendo. Conector: ∨ ; ≡ ; ↔, Formalización: p ∆ q

EL DISYUNTOR EXCLUYENTE Símbolos: A ∨ B;A ≡ B; A ↔ B, A>-
Disyuntiva Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjunción disyuntiva “o” su expresión equivalente “u”. Pueden ser: Disyuntiva Incluyente Se vincula a través del conector …………... o ……… ………. Ejemplo  Mónica es poeta o deportista Conector:

∨, +

Formalización: p ∨ q

∆, ⊕, >-<

d)

Condicional Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjunción condicional “si…… entonces……………” o sus expresiones equivalentes. Ejemplo:  Si práctico deporte entonces tendré buen estado físico. La proposición condicional consta de dos elementos, el antecedente y el consecuente.

EL DISYUNTOR INCLUYENTE

Las proposiciones condicionales pueden ser:

Condicional directa ( Implicador ) Antecedente y consecuente van en ese orden respectivo.

6

Ejemplo EL REPLICADOR 

Si

te vas

entonces

estaré

Símbolos: A ← B; A ⊂B; B → A Traducción Verbal: se lee Sólo si A B A si B A porque B A siempre que B Es condición necesaria A para B A para B Para A es suficiente B A puesto que B A dado que B A supone que B A pues B A en vista que B, etc.

triste. A Conector:

→;

C ⊃ ; ⇒

Formalización: p → q EL IMPLICADOR Símbolos: A → B; A ⊃ B; A ⇒B Traducción Verbal: se lee Si A entonces B Siempre que A por consiguiente B Ya que A bien se ve que B Con tal que A es obvio que B Cuando A así pues B Toda vez que A en consecuencia B Ya que A es evidente B De A deviene B De A derivamos B A implica B Como quiera que A por lo cual B En el caso de que A en tal sentido B Una condición necesaria .para A es B A es condición suficiente para B A sólo si B De A deducimos (inferimos, concluimos, llegamos) en B, etc.

e)

EL BIIMPLICADOR

Condicional inversa (Replicador) Consecuente y antecedente van en ese orden respectivo. Ejemplo 

iré de vacaciones

siempre que

acabe con

el trabajo C Conector:

A ← ;

Bicondicional Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjunción compuesta “si y sólo si” o sus expresiones equivalentes. Ejemplo: La pera es dulce si y sólo si está madura. Conector: ↔ , ≡ Formalización: p ↔ q

Símbolos: A ↔ B, A ≡ B Traducción Verbal: se lee A si y solo si B A siempre y cuando B A se define lógicamente como B A es equivalente, equivale B A por lo cual mismo que B A si de la misma forma B A es idéntica a B A es igualmente (es igual, entonces )B A cada vez que y sólo si B A es equipotente a B A es condición necesaria y suficiente para B A siempre que y solo cuando B

⊂

Formalización: p ← q

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relaciona dos esquemas)

CAP. III.: FORMALIZACIÓN DE PROPOSICIONES

* p∨(q∧r)

(La disyunción “∨” relaciona a un esquema y a una variable)

CONSTANTES U OPERADORES LÓGICOS

 Definición:

Negación Conjunción Disyunción Débil Disyunción Fuerte Condicional Bicondicional

Es el proceso por el cual una proposición escrita en el lenguaje natural es traducida a un lenguaje simbólico. Para ello cada proposición se reemplaza por una variable proposicional ( p, q, r, etc.) y el conector lógico por el operador correspondiente.

 CARACTERÍSTICAS

DEL

LENGUAJE

Son:

Es simbólico Es universal Es convencional Es abstracto No es ambiguo

 ELEMENTOS

(

) : paréntesis

[

] : corchete

{

} : llaves

NOTA: 1) DEL

El operador lógico de mayor jerarquía dentro de un esquema molecular es aquel que esta

LENGUAJE

FORMALIZADO Variables: Son símbolos que pueden ser utilizados

fuera o entre menos signos de agrupación. 2)

Cada esquema molecular tiene un nombre, el cual esta determinado por la constante lógica

para reemplazar a cualquier formula o proposición,

de mayor jerarquía

de allí el nombre de variables. Tenemos los siguientes tipos de variables: Variables

∼p p∧q p∨q p⊕q p→q p↔q

 SIGNOS DE AGRUPACIÓN:

FORMALIZADO a) b) c) d) e)

no p pyq poq opoq si p entonces q p si y solo si q

Proposicionales:

Son

símbolos

que

reemplazan a las proposiciones simples y para ello

 PASOS PARA FORMALIZAR: 1)

Determinar las proposiciones simples que se

se utilizan las letras minúsculas a partir de la:

encuentran

p, q, r, s, ....

reemplazarlos

en

toda

la

con

expresión

las

y

variables

preposicionales, cada proposición con una variable.

Constantes: Llamado también operador o conectivo los

2) Identificar las conjunciones gramaticales y los

conjunciones gramaticales y al adverbio de negación.

adverbios de negación para reemplazarlos por

lógico,

son

símbolos

que

reemplazan

a

sus respectivas constantes.

Se clasifican: A)

Monádicos: Cuando afecta a una variable o un

3) Jerarquizar las constantes lógicas, para ello

esquema. Específicamente se trata de la

debemos analizar los signos de agrupación y el

negación (∼).

sentido de la expresión.

Ejemplos: * ∼p

(la negación afecta a la variable p)

* ∼[(p→q) ∨ (r↔s)]

(la negación afecta a todo el

esquema que esta dentro del corchete)

Recomendaciones I)

La formalización debe ser literal (tal y como esta escrito no valen equivalencias) Ejemplos:

B) Diádicos: Cuando relaciona a dos variables o dos esquemas. En este rubro se encuentran todos los demás operadores lógicos.

-

La cucaracha y el tiburón comen cualquier cosa p∧q

Ejemplos * (p→q)

- Es falso que Manuel no es millonario ∼(∼p)

(El condicional “→” relaciona a dos variables p, q)

II) Las expresiones lingüísticas de doble negación (innegable, inobjetable, etc.) Se formaliza como tal

* (p∨q) ↔ (p→q)

(La bicondicional “↔”

Ejemplo:

8

-

Es innegable que los vertebrados son

F

F

F

reptiles ∼ ∼p o

III) Las negaciones por prefijos se formalizan Ejemplo: * Carmen es infeliz :

∼p

La Disyunción Incluyente p V V F F

OBSERVACIÓN Los términos: Ni p ni q ≡ ∼ p ∧ ∼ q ≡ p ↓ q

q V F V F

p

∨ V V V F

q

p

→ V F V V

q

p

← V V F V

q

No p o no q ≡ ∼ p ∨ ∼ q ≡ p | q o

p V V F F

CAP. IV.: VERDAD FORMAL

 FUNCIÓN DE VERDAD: Es la correspondencia que existe entre el conjunto de proposiciones y sus valores de verdad.

f

A

o

F

DE UNA PROPOSICIONES Obedece a la siguiente fórmula:

Número de Combinaciones

O

=

2

n

Donde: n = número de variables proposicionales

 DEFINICIÓN

DE

q V F V F

p

∨ F V V F

q

p ↔ V F F V

q

La Bicondicional p V V F F

q V F V F

COMPUESTAS La Negación p V F

o

PROPOSICIONES

o

q V F V F

La Disyunción Excluyente p V V F F

MAS

q V F V F

El Replicador p V V F F

V

 COMBINACIÓN

o

o

B

p q r .

El Implicador

 TAUTOLOGÍA

∼p F V

Cuando en el esquema molecular todos son verdaderos.

 CONTRADICCIÓN

La Conjunción p V V F

q V F V

p

∧ V F F

q

Cuando en el esquema molecular todos son falsos.

 CONTINGENCIA 9

Cuando en el esquema molecular resultan verdaderos y falsos.

PROBLEMAS PROPUESTOS

Practiquemos en el aula

1. A continuación se te presenta cuatro tarjetas, cada una con cinco alternativas. Selecciona la(s) que consideres correcta y completa en los espacios en blanco:

1 De las siguientes expresiones: 1. 2. 3.

¡Buenas Noches! ¿Cómo estas? El Perú es un país sudamericano. 4. Vete a comprar al mercado. 5. Te deseo suerte en tu examen. Son enunciados: _______________ ______________________________

2 1.

Tres mas dos es mayor que dos mas uno. 2. ¡Hola! 3. El cuadrado es un paralelogramo. 4. Deseo viajar al Cuzco. 5. La Antártica es un continente perdido. Son ciertas: ____________________

De las siguientes expresiones: 3 Dios mío. El Perú es un país latinoamericano. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. X es un eminente profesor del Pronafcap. El “Tungsteno” es una obra de Vallejo. No son proposiciones:_____________ ______________________________

Son ejemplos de proposiciones:

4

De los siguientes enunciados, no son proposiciones:

A grandes males, grandes remedios. Julio y Enrique son amigos. 3,1416 es mayor que 3,11112 Mañana es sábado si hoy es viernes. El Huascarán tiene 6768mts de altura. Son correctas:____________________ 10

2. Se te presentan un tablero que contiene, proposiciones simples y compuestas. Identifica cuales son y formalice dichos enunciados.

1.- Julio y Dante son Hermanos.

2.- El número 1332 es divisible por 11.

3.- Justo al igual que Gerardo son profesores.

4.- El 28 de 5.- Roberto es julio de 1821 político pero se celebra el es honesto. día de la Independencia del Perú.

6.- No ocurre que, las aguas de las corriente peruana sean calientes.

7.- El Huascarán se encuentra en la cordillera Oriental de los Andes o se encuentra en la cordillera Occidental.

8.- La tierra es un planeta del sistema planetario solar.

9.-El que llueva es condición suficiente para obtener buenas cosechas.

10.-.El Perú posee una extensión de 1 285 215,60 km2

11.- Piura es una ciudad calurosa y emprendedora.

12.-La neurona es la unidad biológica del sistema nervioso.

13.-Todo vegetal realiza la fotosíntesis cuando y sólo cuando tiene clorofila.

14.- Es falso que, los políticos sean honestos.

15.- Mariela estudia sin embargo trabaja.

3. Analiza los siguientes párrafos o argumentos, descomponlos en sus proposiciones simples e identifica los conectores. a. Si la pena de muerte se implanta en el Perú por violación a niños menores de edad, las personas que cometen este delito serian 11

sentenciadas a pena de muerte. Pero las personas que cometen violación a niños menores de edad no son sentenciados a pena de muerte, salvo que la pena de muerte se implante en el Perú por este delito. b. Si Lima no es la capital del Perú y Buenos Aires es la capital de Bolivia, entonces ambas no son capitales de Chile. c.

O bien el asma afecta a los pulmones o bien al corazón y a los huesos; pero no es el caso que afecta al corazón del mismo modo a los pulmones.

d. Thales de Mileto fue matemático tal como filósofo. Calvino fue protestante si y solamente si no se sometió a la ortodoxia católica. En consecuencia Thales fue matemático salvo que también Calvino fue protestante. 4. Decida si cada una de las oraciones siguientes es o no una proposición. a. Tenga un feliz día. b. Levántese y pase a que lo cuenten. c. 8+15=23. d. No todos los números son positivos. e. El deporte es saludable. f. Desde

1950,

más

personas

han

muerto

en

accidentes

automovilísticos que de cáncer. 5. Decida si cada una de las proposiciones siguientes es compuesta. a. Mi hermana contrajo matrimonio en Chiclayo. b. Yo leo novelas y leo periódicos. c. Se regarán las flores. d. El nombre de su tía es Lucía e. Hoy no llovió en el sur de Tumbes.

12

6. Represente con p a la proposición “Ella tiene ojos azules” y con q a “El tiene 43 años de edad”. Traduzca cada proposición compuesta a palabras. a. ~p b. ~q

c. pνq d. pΛq e. ~p→q 7. Formalizar las siguientes proposiciones a) Verónica y Claudia

son

contemporáneas

__________________ b) Perú y Chile son países con democracia ________________ c) Cuatro y Seis son múltiplos de dos ___________________ d) La Lógica es una ciencia formal, la Matemática también ________ e) Mariátegui

fue

escritor,

revolucionario

y

periodista

____________ f) Es falso que, voy a la capacitación y no a la biblioteca _________ g) Para que un cuerpo se caliente es suficiente que se dilate______ h) Es imposible pensar que Martin cometió este crimen a no ser que lo hizo por despecho. Sin embargo nunca tuvo problemas con su esposa, dado que ella fue una mujer inteligente. _______________ i)

Si es absurdo que Morropón o Piura son la capital del departamento de Piura, luego se ve que Morropón o Chiclayo son la capital de Lambayeque _______________________

13

8. Evaluar los siguientes esquemas moleculares.

p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

A

B

V

V

V

F

j)

p   p  q    p

k)

 ( p   q)   ( p   q)   q

l)

 p  (  p   q)

  ( p   q )  q 

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F

V

F

F

9. Sean las proposiciones p y q falsas y r verdadera. encontrar el valor de verdad de:

( p  r)  (  r   q )

a) V b) F c) Tautología Contingencia

d) Contradicción

e)

10. Si el esquema ( p → ¬ q ) es falso y ( p ∧ q ) ∨ r verdadera, hallar el valor de verdad de ( r ↔ q ) → ( p ∨ ¬ q ) . a) V b) F c) Tautología Contingencia

d) Contradicción

e)

11. Si p, q, r son proposiciones verdaderas y s es falso. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. • [( p ∧ q ) ∧ r ] → s • (p → q) → r • [( p ∧ q ) → (r ∧ s )] → (q ∧ s ) a) VVV

b) FFF

c) VFV

d) FVF

e) FVV

Si  p   q es verdadera y ( p  q )  ( p  q ) también es verdadera. ¿Cuales son los valores de verdad de p y q?

12.

a) VV

b) FF

c) FV

d) VF

13. Si el esquema ( p ∧ ¬ r ) ↔ ( s → w) es verdadera y el esquema ( ¬ w → ¬ s ) es falso. Hallar el valor de verdad de: • • •

( p ∨ q ) ∨ (r ∨ s ) ( s ↔ ¬ w) → ( r ∨ ¬ p ) [T → ( w ∨ ¬ p ) ] ∧ ¬ ( p → r ) , (T es verdadero)

a) VVV

b) FFF

c) VFF

d) VVF

e) FVV

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14. Por la tabla de verdad, determina si cada una de los esquemas es tautológico, contradictorio o consistente. a) ¬ ( p ∧ ¬ q ) ∨ ( q → ¬ p ) b) ( p → q ) → [ ¬ q → ( r ∨ ¬ p ) ] c) [ ( p ∧ ¬ q ) ∨ ( ¬ r → q ) ] → ( r ∧ ¬ p ) 15. Diga cual(es) son proposiciones condicionales. a) No sólo hay deuda también hay pobreza. b) Es inadmisible que la vaca no es herbívoro ni mamífero. c) Dante no es rico pero es feliz. d) Si hay motivación, hay aprendizaje. e) Es falso que los precios no suben todos los días. f) No es verdad que el etanol no sea un alcohol. Bibliografía 1. ALLENDOERFER, Carl y OAKLEY, Cletus (1967): Introducción a la Matemática Superior, México: Mc Graw-Hill. 2. ALLENDOERFER, Carl y OAKLEY, Cletus (1973): Fundamentos de Matemáticas Universitarias, 3º ed., México: Mc Graw-Hill. 3. AYRES, Frank (1991): Teoría y problemas de álgebra moderna, México: D.F: McGRAW-HILL. 4. BLAS, Jerónimo (1983) Matemáticas I, Lima: Instituto Matemático Superior Beta. 5. CARRANZA, César (1993) Matemática básica, Lima: CONCYTEC. 6. FIGUEROA, Ricardo (2006): Matemática básica I, 9ª ed., Lima: RFG. 7. GÓMEZ, Pedro (1995): Matemática básica, México: Iberoamérica. 8. MEDINA, Mario (1987): Matemática 1000 problemas, Lima: San Marcos. 9. PINZÓN, Álvaro (1973): Conjuntos y estructuras, México: Harla, S.A. de C.V. 10. POLYA, George (1965) Cómo plantear y resolver problemas, México D.F.: Trillas. 11. SANTIVÁÑEZ, José (1988): Aritmética, Lima: Grafotécnica editores e impresores. 12. SILVA, Mario (s/a): Aritmética. Teoría y Práctica, Perú: San Marcos.

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