Proposal Report - Final Project, Mechanisms

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ANÁLISIS CINEMÁTICO MECANISMO DE RUEDA DE GINEBRA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA-SEDE BOGOTÁ MECANISMOS Barajas Kevin (​[email protected]​) Caita Álvaro([email protected]) Cruz Diego (​[email protected]​) Cuellar Mario (​[email protected]​) ÍNDICE [1] ● ● ● ● ● ●

Resumen Introducción Mecanismo seleccionado o Rueda de Ginebra o Leva Análisis cinemático Octave Referencias

Resumen: En este documento se presentará el análisis cinemático del mecanismo seleccionado para resolver un problema dado, se obtendrá posición, velocidad y aceleración mediante Octave 4.2 usando la forma analítica y mediante Autodesk Inventor 2018 de forma gráfica. Posteriormente se comparan los resultados obtenidos mediante cada método. Abstract: In this document will be shown the kinematic analysis of the selected mechanism in order to solve a given problem, will be gotten the position, speed and acceleration throw Octave 4.2 using the analytical way and throw Autodesk Inventor 2018 using a graphical way. Finally the given results will be compared. Palabras clave​—cinemática, posición, velocidad, aceleración. Cruz de malta, leva, mecanismo, ecuación vectorial de lazo cerrado, rueda de ginebra.

I.

I​NTRODUCCIÓN

SE requiere el posicionamiento de almácigos y/o granos como parte del proceso de cultivo y alistamiento de tierras. Realizar esta actividad manualmente atenta contra la integridad física del operario (por la repetitividad y duración de las jornadas) y las máquinas completamente automatizadas resultan muy costosas para muchos productores. Por tal razón, en este documento se abordan alternativas de mecanismos que cumpliendo parámetros operativos permitan realizar la misma actividad con una breve asistencia humana con bajos costos de producción, mantenimiento y operación.

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Fig.1 Sistemas de posicionamiento de semillas o almácigos Como requerimientos se tiene que la máquina debe ser operada por una sola persona y debe ser portable, es decir, debe contar con una fuente de potencia independiente (motor eléctrico a batería). En este proyecto se desarrollará un prototipo funcional que operará haciendo perforaciones sobre un bloque de espuma floral con un patrón geométrico definido como se muestra en la figura 2. En la figura 3 se observa un detalle en sección transversal de las perforaciones con sus dimensiones y tolerancias.

Fig.2 Vista superior con distribución espacial de perforaciones

Fig.3 Sección transversal de los agujeros

3 Mecanismos- Ingeniería Mecánica Universidad Nacional de Colombia 2018-1 II.

MECANISMO SELECCIONADO

En esta propuesta se describe una máquina cuenta con dos mecanismos principales: un mecanismo de ginebra y un mecanismo leva-seguidor. En la figura 4 se muestra un breve montaje.

Fig.4 Representación simplificada del sistema

FUNCIONAMIENTO DEL MECANISMO

El mecanismo es accionado por un motor eléctrico de velocidad angular constante que mueve el eje solidario a la leva, la cual desplaza el seguidor que en nuestro caso será un punzón para perforar la espuma floral, y al accionador del mecanismo de ginebra. En el eje de la rueda de ginebra se posicionarán las ruedas del vehículo que permitirán desplazar el mecanismo sobre el suelo o la espuma según el caso, de tal forma que el mecanismo tendrá detenimientos controlados en tiempo y posición adecuados para cumplir con las especificaciones del problema de ingeniería propuestos En los periodos de detenimiento de la cruz de malta, la leva accionara el punzón para garantizar que penetre una profundidad controlada en un tiempo especificado. De esta forma se logra sincronizar el detenimiento de la máquina con la perforación del agujero; una vez que haya finalizado el agujero el punzón se eleva y la maquina retomará la marcha hasta la siguiente posición de perforación. Para el cálculo de movilidad, debido a que tanto la leva como el accionador del mecanismo de Ginebra están conectados rígidamente al mismo eje, no es posible que haya movimiento relativo entre estos dos elementos por lo que se opta por representarlos como un único cuerpo con tres puntos de interacción: el primer punto corresponde a la junta revoluta del eje con la bancada; el segundo es el punto de contacto entre la leva y el seguidor; y el tercero, corresponde al contacto entre el accionador y la rueda de ginebra. Además, debido a que las juntas y semi-juntas presentes se efectúan sobre planos paralelos, el análisis cinemático y cálculo de movilidad también se podrán elaborar con teoría para mecanismos planos. En la figura 5 se establece el esquema cinemático y se representa el accionador y la leva bajo una única geometría. A continuación, se calcula la movilidad del sistema con los valores indicados: 𝐿​ = 4 , ​𝐽​1 = 4, ​𝐽​2 = 0 𝑀​ = 3(​𝐿​ − 1) − 2​𝐽​1 − ​𝐽​2 = 3(4 − 1) − 2(4) − (0) = 3(3) − (8) = 9 − 8 = 1

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Fig.5 Diagrama cinemático, eslabones (números), juntas (letras) A, B, C, D son juntas deslizantes donde ​𝐿 corresponde al número de eslabones, ​𝐽​1 al número de juntas completas y ​𝐽​2al número de semi-juntas. Se obtiene un (1) grado de libertad del mecanismo, por lo cual se garantiza que únicamente el movimiento de entrada correspondiente al motor accionará el sistema completo. RUEDA DE GINEBRA

La rueda de Ginebra, también conocida como cruz de Malta, es un mecanismo que convierte un movimiento circular continuo en un movimiento circular intermitente. Consiste en un engranaje donde la rueda motriz tiene un pivote que alcanza un carril de la rueda conducida y entonces avanza un paso. La rueda motriz dispone además de un bloque circular que le permite completar el giro manteniendo la rueda conducida bloqueada. [2]

Fig.6 Rueda de ginebra El nombre deriva del primer dispositivo usado en relojes mecánicos, siendo Suiza y Ginebra importantes centros de manufactura relojera. También se le conoce como mecanismo de la cruz de Malta, debido a su parecido visual. En la disposición más típica, la rueda motriz tiene cuatro carriles, por lo que la rueda conducida avanza un paso de 90° por cada giro de la rueda motriz. Si tiene n raíles, avanza 360/n° por cada rotación completa. Debido a que el mecanismo debe estar muy bien lubricado, a menudo se encuentra cerrado en una cápsula de aceite. [2]

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Fig.7 Descripción del movimiento de la rueda de ginebra

Fig.8 Funcionamiento de la Rueda de Ginebra Originalmente se creó para impedir que los muelles en los mecanismos de reloj salieran del límite elástico del material, esto lo lograban cerrando una de las ranuras para no permitir más giros de la estrella. Actualmente es uno de los mecanismos más útiles para proveer movimiento rotatorio intermitente de alta velocidad. En la Fig.7 el pin esta en el punto de entrada de la ranura a punto de iniciar la conducción de la rueda de estrella, la conducción cesa cuando el pin se ha movido a través del ángulo ​a. ​La rueda de estrella mantiene su posición durante los periodos de reposo debido al hombro concéntrico en la rueda conductora, el cual se ha acoplado al borde correspondiente en la rueda de estrella. Para permitir de nuevo el movimiento de la rueda de estrella la rueda conductora debe tener un despeje adecuado. Cuando el mecanismo de rueda de ginebra es empleado en una máquina las velocidades de la máquina dependen de las velocidades a las cuales debe ser manejada la rueda de estrella, se deben evaluar las aceleraciones y fuerzas resultantes pues pueden llegar a ser muy elevadas.Una solución es cambiar los ángulos de entrada del pin en la rueda estrella lo cual disminuye

6 Mecanismos- Ingeniería Mecánica Universidad Nacional de Colombia 2018-1 los picos de aceleración al no ser tangenciales y ayuda a disminuir el ruido de martilleo producido por el contacto entre las superficies concéntricas.

Fig.9 Diseño básico del paso por ranura En teoría las ruedas de ginebra pueden tener un número de ranuras superior a 3 sin límite, sin embargo en la práctica las ruedas con entre 4-12 ranuras son suficientes para satisfacer la mayor parte de los requerimientos. Una vez se define el número de ranuras se pueden realizar cálculos sencillos con las dimensiones mostradas en la Fig.8 conociendo el diámetro de la biela, el diseño se inicia construyendo un triángulo cuadrado con la distancia al centro. Una tangente a la rueda de estrella donde será cortado por el ángulo ​b ​es el radio de la biela. El ángulo de despeje en la rueda conductora (drive) es ​180-b. El diseño se completa al dibujar el resto de la silueta del mecanismo. El tamaño del pin dependerá de las fuerzas a las cuales está sujeto el mecanismo.[3]

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Fig.10 Elementos para el diseño del sistema

Tabla 1.Desplazamiento angular de la rueda de ginebra

8 Mecanismos- Ingeniería Mecánica Universidad Nacional de Colombia 2018-1 De la Fig.9 y Fig.10 se derivan las siguientes relaciones

A continuación se presentaran las ecuaciones analíticas implementadas en Octave para el análisis del mecanismo de la rueda de ginebra:

Fig.11 Esquema general para el cálculo de la rueda de Ginebra

√R cos

l = R1 cos (θn ⁄2) ± Tomando la solución positiva:

2 1

2

2

2

(θn ⁄2) − (R 1 − R 2 )

9 Mecanismos- Ingeniería Mecánica Universidad Nacional de Colombia 2018-1 d = R2 + R1 − l θn = 360 n n = número de ranuras Análisis de posición:

Fig.12 Esquema para el análisis de posición θ˙ 1 = conocida 2 2 r2 = R + l − 2Rlcos (180° − θ1 ) 0

s n(θ2 ) sin (180 −θ1 ) = R r −1 R 0 θ2 = sin ( r sin (90 − θ1 ) 2 2 0

)

r = [R + l − 2Rlcos (90 − θ1 ) ]

Análisis de velocidad:

1 2

v p = Rθ˙ 1 ′ V ρ = v→p + v→p/s 0 0 γ = 90 − θ2 (180 − θ1 ) v p⁄s = v p cos γ v ′p = v p sin γ v ′p = r·θ˙ 2 vp′ θ˙ = →

2

Análisis de aceleración:

r

→

a→p = ap ′ + a→p/s + ac 2 ap = R(θ˙ 1 ) , θ¨ 1 = 0 2 (a′p )n = r(θ˙ 2 ) (a′p )t = rθ¨ 2 ac = 2θ˙ (v P ) 1

2

s

2

R(θ˙ 1 ) = r(θ˙ 2 ) + r(θ¨ 2 ) + a p + 2θ˙ 1 (v p ) 2

2

2

2

s

0

r2 = R + l − 2Rlcos (180 − θ1 ) sin (θ2 ) sin (180°−θ1 ) = R r θ2 = sen−1 ( Rr sin (90° − θ1 ) )

s

1

0

r = [R + l − 2Rlcos (90 − θ1 )] 2 v p = Rθ˙ 1 → → v p = v p ′ + v→p/s γ = 90° − θ˙ − (180° − θ˙ ) 2

v p⁄s = v p cos γ v p ′ = v p sin γ

2

1

R(θ˙ 1 ) cos ( 90° − θ2 − (180° − θ1 )) =− 2θ˙ 1 v p + r(θ¨ 2 ) θ¨ 2 =

2 R(θ˙ 1 ) cos (−90°−θ2 +θ1 ) +2θ˙ 1 v p

r

s

s

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Fig.13 Desplazamiento angular, velocidad angular y aceleración para un mecanismo de ginebra con 4 ranuras

LEVA

Una leva es un elemento mecánico que está sujeto a un eje por un punto que no es su centro geométrico, sino un alzado de centro. En la mayoría de los casos es de forma ovoide. El giro del eje hace que el perfil o contorno de la leva toque, mueva, empuje o conecte con una pieza conocida como seguidor generando un movimiento lineal generalmente. [2] Este tipo de transformación de movimiento es irreversible, es decir el movimiento del seguidor no puede generar la rotación de la leva. [4]

Fig.14 Mecanismo de Leva y sus partes [3] En general no vale la pena generar una leva con curvatura compleja si esta no se va a poder fabricar, o va a ser muy costoso por ello hay que tener en cuenta la simplicidad. Una leva puede imitar el movimiento de un mecanismo de 4 barras con balancín de forma simple.

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Fig.15 Leva como reemplazo de mecanismo de 4 barras A continuación se presentaran las ecuaciones analíticas implementadas en Octave para el análisis del mecanismo de la leva. Cinemática del seguidor de leva ● Posición: o Elevación:

t

ΔRi = H 0 + H i [ Ti − o

i

Descenso: ΔRf = H F + H f [1 −

●

+

sin( 1 2π

2πti T i )]

ϕ

1 2π sin

= H 0 + H i[ βi − i

sin(

2πtj T j )]

ϕj

= HF + Hf [ β − j

Hi T i [1

− cos (

2πti Ti )

]=

H iω βi [1

o

−H j T i [1

− cos (

2πti Ti )

]=

−H j ω βj [1

[sin (

2πti Ti )

]=

[sin (

2πtj Tj )

]=

Descenso: vf =

− cos (

2πϕi βi )

− cos (

ai = o

Descenso: aj =

2πH i 2 Ti

−2πH j T 2j

2

2πH i ω βi2

[sin (

2πϕi βi )

2

−2πH j ω β2j

[sin (

]

2πϕj βj )

Aceleración: o Elevación: ]

2πϕj βj )]

(

2πϕi βi )

1 2π sin

Velocidad: o Elevación: vi =

●

tj Tj

1 2π

]

(

]

2πϕj βj )

]

12 Mecanismos- Ingeniería Mecánica Universidad Nacional de Colombia 2018-1 III.

ANÁLISIS CINEMÁTICO

OCTAVE La implementación en Octave de los mecanismos se realizó por separado, por lo tanto se obtendrán gráficas de la posición, velocidad y aceleración angular para la rueda de ginebra y en un análisis separado se estudia la leva.

Fig.16 Diagrama vectorial de velocidades

Fig.17 Diagrama vectorial de aceleraciones Estos son los parámetros con lo que se realizaron los cálculos de la rueda de ginebra : Radio de la rueda motora : 50.00mm Radio de la rueda de ginebra : 50.00mm Distancia entre ejes : 70.7107mm Longitud de las ranuras : 29.2893mm Número de ranuras : 4 Tiempo de cada impulso : 0.1571s velocidad angular de la rueda motora : 10 rad/s Ángulo recorrido por la rueda de ginebra por cada impulso : 90.00° Ángulo recorrido por la rueda motora por cada impulso : 90.00° Angulo donde la rueda motora inicia el impulso : 135.000

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Fig.18 Ángulo de la ranura para un ciclo de conducción

Fig.19 Velocidad angular de la ranura para un ciclo de conducción

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Fig.20 Aceleración angular de la ranura para un ciclo de conducción

Ahora se presentan los resultados obtenidos para una leva con funciones de movimiento armónico simple, es decir una leva excéntrica. Los parámetros de diseño de la leva son : Radio = 40 mm velocidad angular = 10 rad/s

Fig.21 distancia recorrida por el seguidor.

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Fig.22 Velocidad del seguidor

Fig.23 Aceleración del seguidor Conclusiones

Para la rueda De ginebra se observó que las configuraciones donde la rueda conductora tiene menor radio que la rueda de ginebra, presentan menor magnitudes de aceleración siempre que el número de ranuras sea mayor a 4. Esto se consiguió determinar a partir de pruebas sucesivas con el código desarrollado en Octave. En el estudio de la geometría de la leva se escogió como primer opción la formulación de movimiento armónico simple por ser la más sencilla de implementar. Por los procesos de fabricación.

IV. [1]

REFERENCIAS

"Norma Española, Documentación, tesis, presentación UNE 50136", ​Ubu.es​, 2018. [Online]. Available: http://www.ubu.es/sites/default/files/portal_page/files/une_50136_1997_presentacion_tesis_0.pdf. [Accessed: 16- Apr- 2018].​sis Dinámico de un

16 Mecanismos- Ingeniería Mecánica Universidad Nacional de Colombia 2018-1 [2] "Rueda de Ginebra", ​Es.wikipedia.org​, 2018. [Online]. Available: https://es.wikipedia.org/wiki/Rueda_de_Ginebra. [Accessed: 17- Apr- 2018]. [3] R. Parmley, ​Illustrated sourcebook of mechanical components​. New York [u.a.]: McGraw Hill, 2002. [4]

"5.5.Leva y excéntrica.", ​Edu.xunta.es​, 2018. [Online]. Available: https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1464947673/contido/55_leva_y_excntrica.html. [Accessed: 17- Apr- 2018].

[5]

D. Myszka, ​Diseño de maquinaria​. Cuarta edición, Pearson, 2012.