Propiedades De Los Determinantes.docx

PRESENTADO POR:

JAVIER MOISES RENTERIA HURTADO ID: 610612

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN NEIVA - HUILA 2018

TRABAJO DE MICROECONIMIA

PRESENTADO POR. JAVIER MOISES RENTERIA HURTADO ID: 610612

TUTOR: OSCAR CORTEZ CHALA

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN NEIVA - HUILA 2018

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES: Las propiedades de los determinantes nos permiten calcular un determinante sin necesidad de desarrollarlo, lo cual es especialmente útil en determinantes cuyos elementos sean letras o que su desarrollo sea algo complejo. Veremos cómo aplicarlas con ejercicios resueltos paso a paso. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Propiedad 1 El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su traspuesta:

Por ejemplo: Tenemos el siguiente determinante:

Lo resolvemos aplicando regla de Sarrus:

Y operamos:

Ahora obtenemos su traspuesta:

Y volvemos a resolver el determinante:

Operamos y llegamos al mismo resultado:

Además, si te das cuenta, al desarrollar el determinante y el de sus traspuesta, los términos que se obtienen son los mismos. Por tanto, teniendo en cuenta esta propiedad, todas las propiedades que se nombren para filas, son igual de válidas para columnas. Propiedad 2 Si los elementos de una fila o una columna se multiplican por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número. Por ejemplo, tenemos la matriz A:

Cuyo determinante es:

Multiplicamos la primera columna de la matriz A por dos y obtenemos la matriz B:

Cuyo determinante es el doble que el de la matriz A:

Por tanto, como la matriz B se ha obtenido al multiplicar la primera columna de la matriz A por dos, el determinante de la matriz B es igual al determinante de la matriz A multiplicada por 2, es decir, el determinante ha quedado multiplicado por el mismo número por el que se ha multiplicado la columna:

Esta propiedad permite sacar fuera del determinante los elementos comunes de una fila o columna, simplificando así los cálculos. Por ejemplo, tenemos el siguiente determinante:

Vemos que la tercera columna tiene como factor común el 10, por tanto, puedo sacarlo fuera del determinante, dividiendo los cada elemento de esa columna entre 10, lo que simplificará los cálculos:

Propiedad 3 Si los elementos de una fila o columna de una matriz, se pueden descomponer en dos sumandos, su determinante es igual a la suma de los determinantes que tienen iguales todas las filas o columnas, excepto dicha fila o columna, cuyos sumandos pasan a cada uno de los determinantes. Por ejemplo:

Vemos que la segunda columna se puede dividir en dos sumandos, por lo que su determinante es igual a la suma de los determinantes donde cada uno tiene como segunda columna cada uno de los sumandos. Si calculamos el determinante de la matriz original nos da:

Ahora calculamos el determinante con la segunda columna formada por el primer sumando:

Y hacemos lo mismo con el determinante con la segunda columna formada por el segundo sumando:

Y vemos que la suma de estos dos determinantes es igual al determinante original Ejercicios resueltos de aplicación de las propiedades de los determinantes Vamos a ver ahora cómo aplicar las propiedades de los determinantes resolviendo algunos ejercicios.

Ejercicio 1 Calcula el siguiente determinante sin desarrollarlo, aplicando las propiedades de los determinantes:

En primer lugar, sumamos la columna 1, más la columna 2, más la columna 3 y el resultado lo dejamos en la columna 3:

Esto lo hemos hecho ya que después de realizar la suma, en la tercera columna nos queda el mismo factor en los tres elementos de la columna, es decir, 1+a+b+c:

Al tener el mismo factor repetido en todos los elementos de la columna, podemos sacarlo fuera de la matriz (propiedad 2), dividiendo cada elemento de la columna entre (1+a+b+c):

Ahora, vemos que las columnas 1 y 3 son iguales, por lo que el determinante es igual a cero y por tanto, nos queda cero al multiplicarlo por el factor que habíamos sacado fuera:

Ejercicio 2 Calcula el valor del siguiente determinante:

BIBLIOGRAFIAS 

http://fcm.ens.uabc.mx/~matematicas/algebralineal/III%20Dets/propiedadesdets.htm



https://www.vitutor.com/algebra/determinantes/propiedades.html