Propiedades De Las Secciones.pdf

5 PROPIEDADES DE LAS SECCIONES

5.1

GENERALIDADES

Ademas de la resistencia de la madera, caracterizada por los esfuerzos unitarios admisibles, el comportamiento de un miembro estructural tambien depende de las dimensiones y la forma de su seccion transversal. Estos dos factores se consideran dentro de las propiedades de la seccion; son independientes del material del cual esta hecho el miembro. En este capitulo se estudia la defini cion y naturaleza de algun as de estas propiedades como fundamen to para su aplicacion posterior en el disefio de miembros estructurales.

5.2

CENTROIDES

El eentro de gravedad de un solido es un punto imaginario en el cual se considera que todo su peso esta concentrado 0 el punto a traves del cual pas a la resultante de su peso. El punto en un area plana que corresponde al centro de gravedad de una placa muy delgada que tiene las mismas area y forma se conoce como el eenll'oide del area. 35

36

PROPIEDADES DE LAS SECCIONES

b

d d/2

(a)

( b) Figura 5.1

Cuando una viga se flexiona debido a una carga aplicada, las fibras por encima de un cierto plano en la viga trabajan en compresion y aquellas por abajo de este plano, a tension. Este plano se conoce como la superficie neutra . La interseccion de la superficie neutra y la seccion transversal de la viga se conoce como el eje neutro. EI eje neutro pasa por el centroide de la seccion; por ella es importante que se conozca la posicion del centroide. La posicion del centroide en secciones simetricas se determina facilmente. Si la seccion posee un eje de simetrfa, obviamente el centroide estara sobre ese eje; si hay dos ejes de simetrfa, el centroide se ubicara en su punto de interseccion; por ejemplo, la seccion transversal de la viga rectangular que se muestra en la figura S.la tiene su centroide en su centro geometrico, el punto de interseccion de las diagonales. EI centro ide de una seccion transversal circular se encuentra en su centro (figura 5.1b). Con respecto a la notacion dimensional, en generalla letra b representa el ancho de la cara del miembro sobre el que se aplica la carga. La letra d representa el peralte 0 la altura de la cara de la viga paralela a la direccion de la Jfnea de accion de la carga. Algunas veces, el peraite se representa con la letra h, pero se sigue la practica mas general del dise no estructural en la que d denota el peralte de la seccion transversal de una viga.

5.3

MOMENTO DE INERCIA

En la figura S.2n se ilustra una seccion rectangular de ancho h y peralte d con el eje horizontal X-X que pasa por su centroide a una distancia c = d/2 a partir de la cara superior. En la seccion, a representa un area infinitamente pequena a una distanciaz del ejeXx. Si se multiplica esta area infinitesimal por el cuadrado de su distancia al eje, se obtiene la cantidad (a x ZZ). EI area completa de la seccion esta constituida por un numero infinito de estas pequenas areas elementales a diferentes distancias por arriba y por abajo del ejeX-x. Si se usa la letra griega L para indicar la suma de un numero infinito, se escribe Laz z, 10

MOMENTO DE INERCIA

37

b

X

(a)

d

x

x

( b)

x

(c)

Figura 5.2

que significa la sum a de todas las areas infinitamente pequenas (de las que esta compuesta la seccion), multiplicadas por el cuadrado de sus distancias del ejeX-x. Esta cantidad se conoce como momenta de inercia de la seccion y se denota por la letra l. Mas especfficamente, I x.x = Laz 2 es el mom enta de inercia con respecto al eje marcado como X-x. Entonces, el momenta de inercia se defi ne como la suma de los productos que se obtienen al multiplicar todas las areas infinitamente pequeiias par el cuadrado de sus distancias a un eje. Las dimensiones lineales de las secciones transversales de los miembros estructurales se dan en pulgadas y, debido a que el momento de inercia es un area multiplicada por e l cuadrado de una distancia, se expresa en pulgadas a la cuarta potencia, es decir, pult. La deduccion de formulas para calcular los momentos de inercia de diferentes formas geometricas se logra muy facilmente mediante el calculo. La obtencion de estas formulas esta fuera del alcance de este libro, pero aquf se ilustra la aplicacion de dos de ellas. Rectimgulos

Considerese el rectangulo mostrado en la figura 5.2b. Su ancho es b y su peralte esd. Los dos ejes principales sonX-X y Y-Y, y ambos pasan por el centroide de la secci6n. Se puede demostrar que el momenta de inercia de una seccion rectangular con respecto a un eje que pasa por el centroide y es paralelo a la base es Ix_x = bd 3/12. Con respecto al eje vertical, la expresion serfa I y_y = db 3/ 12 • Sin embargo, en el diseno de vigas y tablones de madera, se acostumbra trabajar solame nte con Ix_x y co nsiderar a b como la cara superior (sometida a carga) en la f6rmula.

EjempLo . Calcule el momento de inercia de la seccion transversal de un a viga de 6 x 12 (dimensiones efectivas de 5.5 x 11.5 pulgadas [140 x 290 mm]) con respecto a un eje horizontal que pasa por el ce ntroide y es paralelo allado mas corto. Soluci6n: con respecto a la figura 5.2h , e l ancho b peralte d = 11.5 pulgadas [290 mml . En tonccs,

= 5.5 pulgadas [140 mml y el

TABLA 5.1

Propiedades de la madera estructural con dimensiones efectivas estandar (S4S) .' b

-' fl -} Dimensiones nominales b (pulgadas) d 2 2 2 2 2 2 2 2

x x x x x x x x

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

x x x x x x x x x x

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5

Dimensiones estand ares efectivas (S4S) b (pulgadas) d

_' b

1 Lt·

,. I-

E~; ~id

Area de la seccion A

Momento de inercia

Modulo de la seccion S

Peso aproxi· mado'

1-112 1-1/2 1-1/2 1-1/2 1-1/2 1-1/2 1-1/2 1-1/2

x x x x x x x x

2-1/2 3-1/2 4-1/2 4-1/2 7-1/4 9-1/4 11-1/4 13-1/4

3.750 5 .250 6.750 8.250 10.875 13.875 16.875 19.875

1.953 5.359 11 .391 20 .797 47.635 98.932 177.979 290.775

1.563 3.063 5.063 7.563 13.141 21.391 31.641 43 .891

0.911 1.276 1.641 2.005 2.643 3.372 4.102 4.831

12 14 16

2-1 /2 2-1/2 2-112 2-1/2 2-112 2-1/2 2-1/2 2-1/2 2-1/2 2-1/2

x x x x x x x x x x

3/4 1-112 3-112 4-112 5-112 7-1/4 9-114 11-114 13-1/4 15-1/4

1.875 3.750 8 .750 1L250 13.750 18 . 125 23.125 28.125 33.125 38 . 125

0.088 0.703 8.932 18.984 34.661 79 .391 164.886 296.631 484.625 738 .870

0 .234 0 .938 5.104 8.438 12.604 21.901 35.651 52.734 73.151 96.901

0.456 0.911 2. 127 2.734 3.342 4 .405 5.621 6 .836 8.051 9 .266

x x x x x x x x x x x

I 2 3 4 5 6 8 10 12 14 16

3-1/2 3-1/2 3-1/2 3-1 /2 3-1/2 3-1/2 3-112 3-1/2 3-112 3-112 3-1/2

x x x x x x x x x x x

3/4 1-112 2-1/2 3-112 4-112 5-112 7-1 /4 9-1 /4 11-114 13-114 15-114

2.625 5.250 8.750 12.250 15 .750 19.250 25.375 32.375 39.375 46.375 53.375

0 . 123 0 .984 4 .557 12.505 26 .578 48 .526 111.148 230.840 415.283 678.475 1034.418

0.328 1.313 3.646 7.146 11 .813 17.646 30 .661 49.911 73.828 102.411 135.66

0.638 L276 2.127 2.977 3.828 4 .679 6.168 7.869 9.570 11 .266 12.975

x x x x

2 3 4 5

4-1/2 4-112 4-1/2 4-1 /2

x 1-1/2 x 2-1/2 x 3-112 x 4-112

6.750 11.250 15.750 20.250

L266 5.859 16.078 34.172

1.688 4 .688 9. 188 15 . 188

1.641 2.734 3.828 4.922

3 4

5 6 8 10 12 14 I 2 4 5 6 8

10

• Peso en libras por pie, basado en una densidad promedio de 35 Ib/pie' (560 kg/m3). Fuente: Compilado de datos del National Design Specification for Wood Construction (Referencia 1), con permiso de los editores, National Forest Products Association.

TABLA 5.1 (Confinuacion)

Dimensiones nomina les b (pulgadas) d

x I 6 x 2 6 x 3 6 x

6

Dimensio nes esta ndares efectivas (S4S) b (pu lgadas) d

Mome nto de in ercia /

M6dulo del a secci6 n S

Peso a prox imado'

5- 1/ 2 x

3/4

4 . 125

0. 193

0 .516

1.003

1-112

8.250

1.547

2 .063

2.005

5- 1/2

x x

2- 1/2

13.750

716 1

5.729

3 .342

5- 1/2

x

3-1 /2

19.250

19.65 1

11.229

4.679

5- 1/ 2

4

Area de la secci6n A

6 x 6

5-112 x

5- 1/2

30.250

76 .255

27.729

7.352

6 x

8

5- 1/2 x

7-1 /2

41.250

193.359

5 1.563

10.026

x x

10

5- 1/2 x

9- 1/2

52 .250

392.963

82.729

12.700

12

5- 1/2 x 11- 112

63 .250

697068

121.229

15 .373

5- 1/2

x

13-1 /2

74 .250

1127.672

167.063

18.047

5- 1/2

x

15- 1/ 2

85 .250

1706.776

220 .229

20.720

6

6

6 x 14 6

x

16

6 x 18 6 x 20

5- 1/2 x 17- 1/2

96.250

2456 .380

280 .729

23.394

5- 1/ 2 x 19- 1/ 2

107.250

3398.484

348 .563

26 .068

x 22

5- 1/2 x 2 1- 1/ 2

11 8.250

45 55 .086

423 .729

28.74 1

129 .250

5948. 191

506 .229

31.415

6

6 x 24

8 x 8 x 8x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8x 8 x 8 x

2

5- 1/2

x

7-1 /4

x

3/4

5.43R

0 .255

0 .680

1.322

7- 1/4 x

1- 1/ 2

10 .875

2.039

2 .7 19

2.643

23- 1/2

3

7- 1/4 x

2- 1/ 2

IR.125

9.440

7.552

4.405

4

7 - 1/4 x

3- 1/ 2

25.375

25 .904

14 .803

6 . 168

(,

7- 1/2 x

5- 1/ 2

41.250

103.984

37.8 13

10.026

8

7- 1/ 2 x

7- 1/ 2

56.250

263.672

70.3 13

13 .672

10

7- 1/ 2 x

9- 1/2

7 1.250

53 5 .859

11 2.813

17.3 18

12

7-112 x 11-1 /2

86.250

950 .547

165 .313

20 .964

14

7- 1/ 2 x 13- 1/ 2

101 .250

1537.734

227. 813

24.609

16

7 - 1/2 x 15- 1/2

116 .250

2327.422

300.3 13

28 .255

18

7- 112 x 17- 1/2

131.250

3349.609

382 .8 !3

31.90 I

8 x 20 8 x 22 8 x 24

7- 112 x 19- 1/2 7- 112 x 2 1- 1/ 2

146.250

4634 .297

475 .3 13

35.547

10 x

I

10 x

2 :1 4 6 8

10 x 10 x 10 x 10 x

10 x 10 10

x

161.250

62 11 .484

577.8 13

39. 193

x

23- 112

176.250

811 1.172

690 .3 13

42 .839

9- 1/4 x 9- 1/4 x 9- 1/4 x

3/4 1-1 /2 2-1 /2

6 .938

0.325

0 .867

1.686

13 .875

2 .602

3.469

3 .372

23 . 125

12 .044

9 .635

5.62 1

9- 1/4 x

3-112

32 .375

33 .049

18.885

7.869

9- 1/2 x

5-1 / 2

52 .250

131.7 14

47.896

12 .700

9- 1/2 x

7-1 /2 9- 1/2

71.250

333.984

89 .063

17.318

90 .250

678.755

142 .896

2 1.936

x 11- 1/2

109.250

1204.026

209.396

26 .554

9- 112 x 13- 1/ 2

128 .250

1947.797

288 .563

3 1. 172

7- 1/2

12

10 x 14

9- 112 x

9- 1/2

9- 1/2 x 15- 1/ 2

147.250

2948 .068

380 .396

35 .790

x

17- 1/ 2

166 .250

4242.R36

484 .896

40.40R

9 · 1/2 x 19- 1/ 2 9- 112 x 2 1- 1/2

185 .250

5870 . 109

602 .063

45 .026

10 x 22

204 .250

7867.879

731.896

49 .644

10 x 24

9- 1/ 2 x 23- 1/2

223. 250

10274 . 148

874 .396

54.262

10 x 16 10

x

18

10 x 20

9-1 12

TABLA 5.1

(Continuacion)

Dimensiones no minales b (pulgadas) d 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

x x x x x x x x x x x x x x

Dimensiones estandares efectivas (545) b (pulgadas) d

16 18 20 22 24

11 - 1/4 11-1 /4 11 - 1/4 11-1 /4 11 - 1/2 11 -1/2 11 - 1/2 11 - 1/2 11 -1 /2 11-1 12 11 - 1/2 I 1- 112 I I - 1/2 11 - 1/2

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x 14 x 14 x 14 x

2 3 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

13- 114 13 - 1/4 13- 1/4 13- 1/2 13- 1/2 13- 1/2 13-1 /2 13- 1/2 13- 1/2 13- 1/2 13- 1/2 13 - 112 13-1/2

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

3 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

15 - 1/4 x 15-1 /4 x

14 14 14 14 14 14 14 14 14 14

16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16

2 3 4 6 8 10 12 14

15- 1/2 x 15-1 /2 x 15 - 112 x

3/4 1-1 12 2-1 12 3-1 12 5-112 7- 1/2 9- 112 11 - 1/2 13- 1/2 15- 1/2 17- 1/2 19- 1/2 2 1- 1/2 23- 1/2

1- 1/2 2- 112 3- 112 5-1 12 7-1 12 9- 112

11 - 1/2 13-1 /2 15-1 12 17- 1/2 19-1 /2 21 - 1/2 23-1 /2 2- 112 3-1 12 5-1 12 7-1 12 9- 112

15 - 1/2 x 11 - 112

15-1 /2 15-1/2 15 - 1/2 15- 112 15 - 1/2 15- 1/2

x x x x x x

13-1 /2 15-1 /2 17-1 /2 19- 1/2 21-1 /2 23 - 1/2

Area dela seccio n A

Momento de ine rcia

8.438 16.875 28. 125 39.375 63 .250

0 .396 3. 164 14 .648 40. 195 159.443 404 .297

Modul o de la seccio n S 1.055 4.2 19 11 .7 19 22.969 57.979

Peso aproximado' 2.051 4. 102 6.836 9.570 15.373 20.964

86250 109 .250 132.250 155 .250 178.250 20 1.250 224 .250 247.250 270 .250

821.651 1457.505 2357.859 3568. 713 5136.066 7 105 .922 9524 .273 12437. 129

IOU 13 172.979 253.479 349 .3 13 460.479 586 .979 728 .8 13 885 .979 1058.479

26.554 32. 144 37. 734 43 .3 25 48 .915 54.505 60 .095 65 .6X6

19 .875 33. 125 46 .375 74.250 10 1.250 128 .250 155 .250 182.250 209.250 236 .250 263 .250 290 .250 3 17.250

3.727 17.253 47.34 187. 172 474 .609 964 .547 1710.984 2767.922 4 189 .359 6029 .297 8341 .734 11180 .672 14600 . 109

4.969 13 .802 27052 68063 126.563 203.063 297.563 410 .063 540 .563 689 .063 855 .563 1040063 1242.563

4.83 1 8.051 11 .266 18.047 24.609 3 1.172 37. 734 44 .297 50 .X59 57.422 63.984 70 .547 77 109

38. 125 53 .375 X5 .250 116 .250 147.250 17H.250 209 .250 240 .250 271.250 302 .250 33 3250 364 .250

19.857 54.487 2 14.901 544 .922 I 107.443 1964.463 31779X4 4810004 6922 .523 9577547 12837.066 16763 .086

15 .885 31.135 78 . 146 145 .313 233 . 146 341.646 470 .8 13 620.646 791 . 146 984 .3 13 1194 . 146 1426 .646

9.267 12 .975 20 .720 28 .255 35.790 43 .325 50 .859 5X .394 65 .929 73.464 80 .998 88.533

TABLA 5.1 (Continuacion)

Dime nsiones nomin ales b (pulgadas) d

18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

X X X X X X X X X X X X X X X X X X

X X

6 8 \0 12 14 16 18 20 22 24 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

22 X 6 22 X 8 22 X 10 22 X 12 22 X 14 22 X 16 22 X 18 22 X 20 22 X 22 22 X 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24

X X X X X X X X X X

6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Dimensiones esta nd ares efectivas (S4S) b (pulgadas) d 17-1 /2 x 17-1 /2 X

5- 112 7-1 12 9-1/2

Area dela seccion A

Momento de in e rcia I

Modulo de la secci on S

Peso aproximado·

96 .250 131.250 166.250 201.250 236.250 271.250 306.250 341.250 376.250 411.250

242 .630 615.234 1250.338 2217.943 3588.047 5430 .648 7815.754 10813 .359 14493.461 18926.066

88 .229 164.063 263 .229 385 .729 531.563 700.729 893.229 1109063 1348 .229 16\0.729

23 .394 31 .901 40 .408 48 .915 57.422 65 .929 74.436 82.943 91.450 99.957

\07.250 146.250 185 .250 224.250 263.250 302.250 341.250 380.250 419.250 458.250

270.359 685.547 1393 .234 2471.422 3998 . 109 6051.297 8708 .984 12049. 172 16149.859 21089.047

98 .313 182 .8 13 293 .313 429 .8 13 592.313 780.813 995 .313 1235 .813 1502.313 1794.813

26 .068 35 .547 45 .026 54 .505 63 .984 73.464 82 .943 92.422 101.901 111.380

21-1 /2 X 21-1 /2 21-1 /2 x 23-1 /2

118.250 161 .250 204.250 247.250 290.250 333 .250 376.250 419 .250 462 .250 505.250

298 .088 755 .859 1536.130 2724.901 4408.172 6671. 941 9602.211 13284 .984 17806 .254 23252.023

108 .396 201.563 323 .396 473 .896 653 .063 860 .896 1097.396 1362 .563 1656.396 1978 .896

28.741 39.193 49 .644 60.095 70 .547 80 .998 91.450 101.901 112 .352 122.804

23-1 /2 X 5-1 12 23-1 /2 X 7-1 12 23-1 /2 X 9-1 12 23-1 /2 X 11-112 23 - 1/2 X 13-112 23-1 /2 X 15-112 23-1 /2 X 17- 1/2 23-1 /2 X 19-112 23 - 1/2 X 21-1 /2 23-112 X 23-1 /2

129.250 176 .250 223.250 270 .250 317.250 364.250 411.250 458 .250 505.250 552 .250

325.818 826. 172 1679 .026 2978.380 4818.234 7292 .586 10495.441 14520.797 19462 .648 25415004

118.479 220.313 353.479 517.979 713 .813 940 .979 1199.479 1489 .313 1810.479 2162 .979

31.415 42 .839 54 .262 65 .686 77. 109 88 .533 99 .957 111.380 122.804 134 .227

17-112 X

17-1 /2 X 11-112 17-1 /2 X 13-1 12 17-1 /2 X 15- 1/2 17-1 12 X 17-1 /2 17- 1/2 X 19-1 /2 17-1 /2 X 21-112 17-112 X 23- 1/2 19-1 /2 X 19- 1/2 X

19-1 12 X 19- 1/2 19- 1/2 19-1 /2 19-1 /2 19-1 /2 19-1 /2 19-1 /2

X X

5- 112

7-1 12 9- 1/2

11 - 112 13-1 12

X 15-1 /2 X

17-112

X 19-1 /2 X

21-112

X 23-1 /2

21-1 /2 X

5- 112

21-112

X

7- 112

21-112 X

9-1 /2

21-112

X 11 - 1/2

21-112 X 13-1 /2 21-1 /2 X 15-112 21-1 /2 X 17- 1/2

21-112

X

19-112

42

PROPIEDADES DE LAS SECCIONES

Ix _x

bd

3

= 12 =

(55) (ll .S? 12

= 697 pulg 4 [285 X

10' mm

4

]

En la tabla 5.1 se muestra el momento de inercia de varias dimensiones estandares efectivas para madera estructural y, de este modo, no es necesario resolver esta formula. En relacion con la tabla, se debe empezar por la lfnea con la dimension nominal 6 x 12 y leer 697.068 en la cuarta columna. Aunque los val ores que se dan en la tabla tienen solo tres cifras decimales, por 10 general con los primeros tres dfgitos se tiene toda la precision necesaria para la mayorfa de los calculos estructurales. Si esta viga de 6 x 12 se usa con ellado de 12 pulgadas en sentido horizontal,!x_x se ca1cula mediante b = 11.5 Yd = 5.5, y se obtiene el valor dado en la tabla para el tamano nominal de 12 x 6. EI diagrama de referencia en la parte superior de la tabla indica el uso constante de las dimensiones designadas comobyd.

Secciones circulares EI momento de inercia de una seccion transversal circular, como la de un poste 0 el de un pilote de cimentacion, es el mismo con respecto a cualquier eje que pase por su centroide. La formula para esta condicion es Ix-x = nd 4j64. Debido a que el ejeX-X en la figura 5.2c puede ser cualquier eje que pase por su centroide, se acostumbra usar el sfmbolo I IJ. Entonces, si el diametro real del miemhro es 10 pulgadas r250 mm 1, I II

5.4

nd 4

= 64 =

3.1416 (lot 64

= 491

4

pulg [192 x 10" mm

4 ]

TRANSFERENCIA DE MOMENTOS DE INERCIA A EJES PARALELOS

En el diseno de vigas compuestas se necesita determinar el momento de inercia de la seccion transversal total. En la figura 5.3a se muestra un tipo de seccion transversal para elementos compuestos de esta c1ase. Para lograr esto, se deben transferir los momentos de inercia de un eje a otro, mediante la ecuaci6n de transferencia de ejes, algunas veces llamadaf6rmula de transferencia 0 f6rmula de ejes paralelos. Se Ie define aS1: el momenta de inercia de una seccion con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pas a por su propio centroide es igual al momenta de inercia de la seccion con respecto a su propio eje de gravedad (centroidal), mas su area multiplicada por el cuadrado de la distancia perpendicular entre los dos ejes. Su expresion matematica es: I

= I II + AZ2

TRANSFERENCIA DE MOMENTOS DE INERCIA A EJES PARALELOS

43

En esta formula I 10

= =

A z

= =

momento de inercia de la seccion con respecto al eje dado, momento de inercia de la seccion con respecto a su propio eje de gravedad (centroidal) paralelo al eje dado, area de la seccion, distancia entre los dos ejes paralelos.

Ejemp[o. Una viga compuesta del tipo que se muestra en la figura 5.3a tiene

un peralte total de 32 pulgadas (812 mm) y patines que constan de dos elementos de madera de 8 x 6 (190 x 140 mm) . Con la formula de transferencia, calcule el momento de inercia de los elementos de madera del patIn con respecto al eje centroidal X-x. Soluci6n : 1) La figura 5.3b se construye a partir de los datos dados. Por sime-

tria, el cje centroidal se eneuentra en la mitad del peralte, a 16 pulgadas (406 mm), desde la cara superior. 2) EI eje de gravedad de cada pieza de 8 x 6 se ubica en su centro, con z = 16 - 2.75 = 13.25 pulgadas (336 mm). 3) De la tabla 5.1,10 para una picza de 8 x 6 cs 104 pulg4 (43.45 X 106 mm 4) y su area esA = 41.25 pulg 2 (26.6 x 103 mm 2 ) 4) AI sustituir en la formula de transferencia, el momento de inercia de una de las piczas de 8 x 6 es Ix

= III + AZ2 = 104 + (41.25 x = 7346 pulg4 (3 x 10'1 mm4)

13.252 )

5) EI momento de inercia del patIn inferior tam bien es 7 346 pulg4, por 10 que el Ix total para ambas piezas es igual a 2 x 7346 = 14692 pulg 4 •

i 155" , I -+-

Patir, superior Alma de madera

~--=~ contrachapada

13.25"

X

Patin inferior

-

II

II

II II

II

II II II

11II II II

II

II

:kJ1:

16" X

32"

l~ J _ _ _ _ _~

( b)

(a ) Figura 5 .3

44

5.5

PROPIEDADES DE LAS SECCIONES

M6DULO DE LA SECCI6N

Una de las propiedades de las secciones que utiliza el ingeniero estructurista se conoce como m6duLo de La secci6n. Su uso en el diseno de vigas se explica posteriormente (capftulos 6 a 9); en este momento, solo es necesario saber que si I es el momenta de inercia de una seccion con respecto a un eje que pas a por el centroide y c es La distancia desde La orilla mas aLejada de La secci6n hasta eL mismo eje, el modulo de la seccion es igual a lie. La letra Sse usa para denotar el modulo de la seccion. Debido a que I est a en pulgadas a la cuarta potencia (pulgt) y c es una dimension lineal en pulgadas, el modulo de la seccion S = lie esta en pulgadas a la tercera potencia (pulg 3). Para la seccion transversal de la viga rectangular que se muestra en la figura 5.2a, b es el ancho de la seccion y del peralte. La distancia desde la orilla mas alejada hasta el eje x-x es c = d/2. Se sabe que I x.x para la seccion es bd 3/12. Por 10 tanto, el modulo de la seccion es I bd 3 d bd 3 2 bd 2 S=-=-.;- - = - x - obien S = c 12 2 12 d 6

Rara vez es necesario resolver esta formula porque se dispone de extensas tabias que proporcionan el modulo de la seccion para diversas formas estructurales (vease la tabla 5.1.) Ejemplo. Calcule el modulo de la seccion de una viga de 8 x 10 con respecto a

un eje que pasa por el centroide y es paralelo allado mas corto. Solucion : al consul tar la tabla 5.1, se encuentra que las dimensiones efectivas de este miembro son 7.5 por 9.5 pulgadas. El modulo de la seccion se encuentra en la cuarta columna como 112.8 pulg3. Al verificar este valor, bd 2 6

S =-

5.6

=

7.5 x 9.5 x 9.5 6

= 112.8 pulg

3

RADIO DE GIRO

Esta propiedad de la seccion transversal de un miembro estructural esta relacionada con el diseno de miembros suje tos a compresion. Depende de las dimensiones y de la forma geometrica de la seccion y es un fndice de la rigidez de la seccion cuando se usa como columna 0 codal. El radio de giro se define matematicamente como r = .J 1 / A, donde I es el momenta de inercia yAel area de la seccion. Se expresa en pulgadas porque el momento de inercia esta en pulgadas a la cuarta potencia y el area de la seccion transversal esta en pulgadas cuadradas. El radio de giro no se usa tan ampliamente en el diseno de madera estructural como en el diseno de acero estructural. Para las secciones

PROPIEDADES DE LAS FORMAS GEOMETRICAS COMUNES

45

rectangulares quc se emplean comunmente en las co lumnas de madera, es mas conveniente substituir el radio de giro por la dimension lateral minima en los procedimientos de disefio de columnas. (Nola: use dim e nsiones efeetivas esUi ndar en la solucion de los problem as siguientes, a menos que se especifique otra eosa.) Problema 5.6.A

Verifique el caleulo del va lor listado en la tabla 5.1 para obtener e l mom e nta de inerci a de un tabl on de 12 x 4 con respecto a un e ie horizontal que pasa por el ce ntroide, paralelo allado mas largo. Problema 5.6.B

Si se hace girar al tablon del problema 5.6A alrededor de su eje longitudin a l (para que quede como uno de 4 x 12), i.cual es el momenta de inercia con respecto al eje centroidal paralelo allado mas corto? Problema 5.6.C

Caleu le el momento de inercia de un poste con un di a metro real de 8 pulgadas, con respecto al eje centroidal de su seccion transversal circu lar. i.Es esto mayor 0 menor que ellx .x de un pie derecho de 8 x 8 nominal? Problema 5.6.0

Si los eleme ntos de madera del patin en una viga compuesta de madera y madera contrachapada (figura 5.3b), constan de piezas de 6 x 4 con los lados de 6 pulgadas horizontales y si la viga tiene un peralte total de 24 pulgadas, determine el momenta de inercia de los e lementos del patin con respecto al eje centroida l X-X de la seccion compuesta. Problema 5.6.E

Verifique pa r med io de l ca lcul o el va lor li stado en la tabl a 5. 1 para obten er e l mod ulo de la seccion de un miembro de 10 x 8 con respecto a un e ie que pasa por el centroide , paralelo al lado mas largo. Problema 5.6.F

Obtenga e l radio de giro del poste deseri to e n el prob lema S.6.C.

5.7

PROPIEDADES DE LAS FORMAS GEOMETRICAS COMUNES

Las figuras que co nstan de secciones transve rsa les de madera estandar 0 produ ctos manufacturad os, estan identifi cadas y sus propiedades estan tabul adas

46

PROPIEDADES DE LAS SECCIONES

en diversos textos de consulta sobre disefio. Cuando se producen figuras especiales cortando productos estandar 0 al ensamblar secciones con piezas individuales, se deben determinar sus propiedades por medio del caIculo, como se explica en este capitulo. Para este fin, es necesario usar frecuentemente las propiedades de figuras geometricas simples, como el cfrculo, rectangulo y triangulo. En la figura 5.4 se dan las propiedades de algunas figuras geometricas comunes.

'fa} ,l

b d3 1=, 12 b d2 S, =6-

,l

b

J01

A = bd

,l

d

r, =112

c = d/2

1,=

64

.". d 3 S =-

'

d 2

S = --

,l

b

l

32

'

3

r, =

J3

A =

-bd 2

d

TIP l

A

d

= bd

I, =

s,

- b, d,

bd'- b,d,' 12

I, =

I

c

= momento de inercia Figura 5.4

4 (d 4 _ d,4)

64 ,,(d 4 - d,4)

d

=-

2

S, = ....::....c:..:-.--=.:....: 32 d

r. =

2

= area

w(d 2 _d,2)

1T

6d

'1

.JIi3

= ..::....:.=---=..l.'-"'

bd 3 - b,d,'

S, =

24 d

r, =

A

c =~

A

=

'1

c =2d 3

'4

bd' 36 bd 2

I, =

l

b

,

r.:

.,

3

b d2

r~l'

,. d2 4 ". d 4

A=-

c =-

b

b d' 1 =--

c =b

dJB1 l

A = bd

S = mOdulo de Ia secci6n =

i-

~ 4

If

r = radio de giro =

Propiedades de figuras geometricas comunes.

VIGAS (1)

RESISTENCIA por RICARDO AROCA HERNÁNDEZ-ROS

CUADERNOS DEL

INSTITUTO

JUAN

DE HERRERA

DE I_A

ESCUELA DE

ARQU/TEC TURA

DE MADRID

1-16-03

VIGAS (1)

RESISTENCIA por RICARDO AROCA HERNÁNDEZ-ROS

CUADERNOS DEL

INSTITUTO

JUAN

DE

DE LA

HERRERA

ESCUELA DE

ARQUITEC TURA D

MADRID

1-16-03

CUADERNOS DEL INSTITUTO JUAN DE HERRERA

o

VARIOS ESTRUCTURAS

2 CONSTRUCCIÓN 3 FÍSICA Y MATEMÁTICAS 4 TEORÍA 5 GEOMETRÍA Y DIBUJO 6 PROYECTOS 7 URBANISMO 8 RESTAURACIÓN NUEVA NUMERACIÓN Área 16 03

Autor Ordinal de cuaderno (del autor)

VIGAS (I) Resistencia © 2002 Ricardo Aroca Hernández-Ros

Instituto Juan de Herrera. Escuela Técnica Superior de Arquitectura de Madrid. Gestión y portada: Nadezhda Vasileva Nicheva CUADERNO 35.06 /1-16-03 ISBN: 84-95365-88-X (obra completa) ISBN: 84-9728-120-9 (Vigas I)/(53 edición) Depósito Legal: M-44369-2004

FLEXIÓN SIMPLE En estructuras de edificación se utilizan con gran frecuencia vigas rectas -que además suelen ser de sección constantey están sometidas a acciones perpendiculares a su directriz. Aunque las estructuras trianguladas formadas por barras comprimidas y extendidas que pueden ser dimensionadas estrictamente, por lo que consumen menos material, la facilidad de fabricación de las vigas de alma llena --sección conexacompensa en términos económicos. Se trata pues de resolver el problema de asegurar la resistencia de una viga cuyas gráficas de momentos y cortantes son conocidas. El cálculo de la distribución de tensiones en cada sección es siempre un problema tridimensional de complicada solución exacta. En la práctica se hacen de entrada las siguientes hipótesis simplificadoras: l. El material se encuentra en período elástico y presenta exacta proporcionalidad entre tensiones y deformaciones. E ~._L_~.~

.__ ~ _ _~ __

2. Tanto las tensiones en el plano perpendicular al habitual

E

de dibujo como las correspondientes a la aplicación directa de las cargas son irrelevantes: (J z "" (J y "" "xy "" "yz ""

O, de forma que sólo quedan como

tensiones significativas a,

I~

Tensiones

l~:}C~ 'T~' ~1j:

nulas

I '

(Jx' "xz' "zx

Se puede así tratar la cuestión como un caso de estado plano de tensión en el que además se asume que

(Jz""

O

ay

La solución del problema requiere emplear un sistema de ecuaciones en derivadas parciales que debe ser resuelto en

I: I '

l'

'.

términos de los movimientos Tensiones significativas

3

{~}

3. Para facilitar aún más la solución, desde el siglo XIX se introduce una nueva simplificación: la hipótesis de N avier, que aunque conduce a incoherencias en el cuadro final de deformaciones, proporciona resultados suficientemente aproximados para la práctica habitual y permite establecer

una relación directa entre solicitaciones y tensiones. Así se pueden hallar con un aparato matemático muy moderado las tensiones máximas

CJ máx

y

<máxY

comprobar que en el

modelo elástico no son mayores que el valor de comprobación del material, f, estableciendo como criterio

de validez de una solución dada:

CJ max • ::;;

f

HIPÓTESIS DE NAVIER Llamando directriz de una pieza a la línea que une los centros de gravedad de sus secciones:

A

La deformación de una barra ocurre de modo que los puntos

v

que se encuentran en un plano perpendicular a la directriz antes de la deformación, estarán en un plano perpendicular a la directriz de la barra deformada. • La hipótesis sólo es válida para barras con una esbeltez mayor de 5 y no se verifica en las zonas distantes menos de un canto de barra de los apoyos.

4

\

CURVATURA LOCAL La consecuencia inmediata de la hipótesis de Navier es un modelo de deformación en el que una rebanada de pieza experimenta una curvatura. En lo que sigue para mayor facilidad de comprensión se supone una barra de directriz recta, -es decir, una viga recta-o Se demuestra más adelante que el plano que pasa por los centros

U

de gravedad de las secciones no experimenta ninguna

----EL-

dilatación. Se llaman fibras neutras al material contenido en este plano y línea neutra a su intersección con el plano de la sección. neutras

El modelo de deformación implica que la fibra más alejada de la línea neutra es la que más se deformará, y llamando v a la distancia desde la línea neutra al punto de la sección más alej ado de ésta en la dirección de las cargas, se puede establecer una sencilla relación geométrica que permite determinar el radio de curvatura R y su inversa, la curvatura local, llR. Utilizando la semejanza entre los triángulos rayados: dx

c;·dx

R

v

Si la sección de la viga es simétrica: v=

, ~ 2"d y la formula qUeda:~

También se puede expresar la relación de una tercera forma que puede ser útil en casos en que la viga se componga de materiales distintos, como el hormigón armado:

+ R

d

5

DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES NORMALES (a) -En lo que sigue, para respetar la nomenclatura usual en los textos, se permite una licencia respecto al sistema de coordenadas: aunque lo correcto sería usar las coordenadas x y z, siendo z la vertical; como raramente se tratan a la vez las propiedades de la sección y las de la pieza, se suele llamar 'y" a la coordenada vertical y siempre "x" a la horizontal, de manera que el eje xx

SI~,lema riguroso

de coordenadas

será unas veces la directriz de la pieza y otras el eje horizontal de la secciónUna vez establecido el modelo de deformaciones, es evidente que a ella corresponde una distribución lineal de tensiones.

Sección

Pieza

Srs temas usuales de coorderladas

Una primera aproximación al problema es la siguiente: si se hallan las resultantes de las compresiones F y la de las tracciones F+, ambas deben ser iguales en valor absoluto:

para que haya equilibrio de fuerzas horizontales. Además, para que haya equilibrio de momentos:

Fxz=M Se llama brazo de palanca "z" a la distancia entre los puntos

de aplicación de las resultantes de tensiones de tracción y compresión.

y

Para hallar la tensión máxima "anuíx " se utiliza el siguiente razonamiento:

I

[

Suponiendo que el ancho de la pieza viene expresado por una función bey); de la ley plana de distribución de tensiones resulta que:

6

~~

rfJ .

• Todos los puntos de la sección situados en una paralela al eje x tienen la misma tensión . • Se puede expresar la tensión en cualquier punto en función de la tensión máxima.

y+ 'v

-Se consideran las y positivas hacia abajo y conviene no olvidar que las (J de compresión son negativas según convenio y las de tracción positivas-

Para un momento flector positivo M: y (3=-'(3máx V

Y F= foB -,(3,' b·dx max V

el equilibrio de fuerzas horizontales adquiere la expresión:

,

A

(3 [ .r. V

, ·b·dy+ [Y.(3 max, ·b·dy=ü

max v

negativo

1

¡

V

"~-~v

'

positivo

es decir, eliminando (3máx Y v, que son constantes:

[f~ Y. b . dy[ = [f~ y. b . dY[ Ambas expresiones no son más que el momento estático "Sx" de cada uno de los trozos de sección a ambos lados del eje xx. El que sean iguales no es más que la condición de que el eje xx incluye el centro de gravedad de la sección, por lo que la línea neutra, que no tiene tensiones -ni deformaciones- pasa por el centro de gravedad de la sección. En efecto, si se imagina la sección recortada y puesta en equilibrio sobre la arista de un prisma, la condición de centro de gravedad es que a ambos lados de la línea de apoyo:

ffy· dx . dy = So

7

sea igual.

La resultante de tracciones o compresiones es

Ipl = G'

máx •

So

V

Se puede establecer la condición de equilibrio de momentos integrando el que producen la tensión "(j" de cada banda horizontal de la sección de área "b'dy", multiplicando cada uno de ellos por su distancia "y" a la línea neutra; basta observar el sentido de los diferenciales de momento "Y' O' b'dy"

y

para ver que todos van en el mismo sentido y que todos son positivos, recordando además que cr =

G' máx

.y /

V

M=

fBy·G'·b·dy= fB Y'G', A

A

max

Y lfB2 ·_·b·dy=G' .y ·b·dy má.x V

V

A

La integral no es otra cosa que el momento de inercia Ix de la sección respecto el eje x: 1x

= fy2. b ·dy i'\

1 Se llama Wx = 2... módulo resistente de la sección. v

El módulo resistente permite establecer una relación directa entre solicitación y tensión máxima:

IM=W

x • G'máxl

La fórmula puede utilizarse en dos variantes:

PERITAJE: ' compro bar que para una seCClOn ., M f G' máx = --::;; permite Wx

dada la tensión máxima no supera la admisible.

PROYECTO:

Iw, ~ ~ermite detenninar, dado ¿

un material, el valor

del módulo resistente necesario y disponer en consecuencia una sección suficiente. 8

a b dy

/

Es útil además manejar otra propiedad geométrica de las secciones: Está claro que a mayor área, mayor inercia y mayor módulo resistente; pero si se quiere discernir la eficacia de una forma como sección de una viga, conviene definir el radio de giro IClualdad de area la 'Oecclon [jl~

ix:

la derecha tendi'a mayor radio '2

1

x

ele giro y por tanto mayor Inercia y 111

dulo le';I'Oterlt

Izquierda

que la de la

Ix

=-

A

que mide la distancia cuadrática media del área respecto al eje xx ; como se verá más adelante, es el parámetro relevante

para determinar la eficacia de la forma de una sección. La expresión de la distribución de tensiones permite a su vez establecer una formulación alternativa para la curvatura local de una viga:

R

v 1

E '

= M·v R E. 1

m.x

M

E ·I x

x

Se pueden pues emplear alternativamente las siguientes expresiones para la curvatura local:

R

v

d

E·I

d

-La última expresión sólo es válida para secciones simétricas respecto al eje xx-o

9

DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES TANGENCIALES (1:) El equilibrio de fuerzas verticales determina que la solicitación de esfuerzo cortante sólo puede traducirse en tensiones tangenciales t y es evidente la expresión:

v =JI '\: .dx . dy Para averiguar la distribución de tensiones tangenciales en la sección lo más sencillo sería hacer una hipótesis semejante a la de Navier que no podría ser otra que la de distorsión "
----,-1]

- L -_ _ __

Desgraciadamente la distribución de "'\:" resultante no es congruente con la distribución de "cr" ya obtenida y se opta por hallar una distribución de

"'t"

cortante

congruente con la de "cr"

aunque ello implique una inconsistencia geométrica que sólo es grave en las proximidades de los apoyos o en el caso de vigas poco esbeltas. Para establecer la distribución de "'\:" basta recordar que la tensión de cortadura debe en cada punto ser igual a la tensión rasante indisolublemente ligada a aquélla -si sólo hubiera tensión de cortadura el elemento giraría-o Se saca partido de este hecho formulando equilibrios parciales de una rebanada de pieza; 10 que sirve para calcular la magnitud del rasante en distintos puntos de la sección -de antemano sabemos que en los bordes superior e inferior el rasante debe ser

't

=0, ya que no hay ningún vínculo exterior que pueda

equilibrar un rasante significativo-o Se empieza calculando el rasante 'to a la altura de la línea neutra, donde salvo excepciones que se discutirán más adelante, el rasante y por ende el cortante alcanzarán su valor máximo.

10

""@; cortante

rasante

dx

Si se dan dos cortes paralelos en una zona de viga donde haya esfuerzo cortante se puede expresar el momento en el corte a la derecha en función del valor M del corte a la izquierda:

dx

M+dM=M+Y·dx ~1

~1

dM=Vdx

dM

Si se plantea el equilibrio de la parte de la rebanada por debajo de la línea neutra llamando "b a" al ancho de la sección a esta altura, la única F+dF

manera de que haya equilibrio de fuerzas horizontales en el trozo inferior de la rebanada es que exista en el corte una fuerza de magnitud "dF" que será la resultante de las tensiones rasantes:

F

dM

Y·dx

z

z

"o -b a ·dx=dF=-=--

I'. ~ z:. Ies el valor máximo de la tensión tangencial

F

11

Para cualquier corte distinto de la línea neutra el volumen de

A

tensiones F 1 en el trozo de rebanada siempre es menor que F:

x F =f y

y b dy=--' G máx f v y .b. d y=--' G máx S V y V y

v G, ._ . . y max V

x Siendo Sy el momento estático del trozo de sección por encima de una línea horizontal situado a una distancia y del eje x respecto al eje x F =

G máx •

v

y

s

=

·S .~=F.~ v o So So

G máx

y

yen consecuenCIa como:

1:

Y

dFy Sy b o dF Sy b dM/dx Sy b V =---=-.. - - - = - . -o . - - - = _ . -o . _ by . dx So by bo ' dx So by b o . z So by b o ' z

Sy b o 1; =1; . - . y o S b o

y

Al ser "Sy" el momento estático del área punteada respecto a la línea neutra tiene un valor máximo para y = O -la línea neutra-y un valor Oen los bordes superior e inferior de la sección. La manera más sencilla de hacerse una idea del valor máximo de las "1;"es suponer que las tensiones tangenciales se distribuyen uniformemente en un área de magnitud b o x Z Para una sección rectangular la distribución de "1;" es parabólica.

"0 =1

v máx

= b.Z =

V

b.~.d

V =1,5· b.d

3 Conviene advertir que si la forma de la sección tiene algún estrangulamiento, aumentarán considerablemente las tensiones máximas de cortadura. 12

z

Como regla simple del lado de la seguridad: el área equivalente en la que puede suponerse que se distribuyen área equivalente

uniformemente las tensiones tangenciales a efectos de calcular el1: máx es un rectángulo de altura Z y de ancho el mínimo entre las resultantes de compresión y tracción:

z

l

v

1: máx = - - b mín ·Z

Afortunadamente las distribuciones de tensiones normales y

II

tangenciales tienen los máximos cambiados y lo mismo sucede con los puntos de momento y cortante máximos a lo largo de las vigas apoyadas por lo que no es generalmente necesario

(J

buscar las direcciones principales de tensión. En los apoyos intermedios de las vigas continuas se producen ~ Redondeo para evitar una combinación peligrosa de cr,

a la vez cortantes y momentos máximos; y debido a la forma ~

de distribución de tensiones tangenciales en los perfiles laminados, en la unión del alma con las alas, la tensión normal es casi la máxima, mientras que la tangencial también lo sería si no se corrigiera el diseño, redondeando la unión para reducirla.

13

TENSIÓN ADMISIBLE A CORTANTE -TENSIÓN

~lLUjj¡¡¡¡1

DE COMPARACIÓNLa complejidad del estado tangencial de tensiones que implica

[VI

=[1

simultáneamente tracciones y compresiones hace que aún en materiales isótropos como el acero la resistencia a cortante sea

Tmilx

~ 1=~

J3 veces menor que a tracción o compresión, es decir,

una tensión segura de 100 N . mm- 2 para un acero A42. En materiales que resisten poco a tracción en alguna dirección, la resistencia a cortante es nula o muy escasa. En el hormigón su valor se sitúa alrededor de 0,4 N . mm- 2 . Mmáx

La madera tiene una escasa resistencia a tracción en dirección perpendicular a las fibras, lo que reduce su resistencia a cortante Tmax

a un valor del orden de 1 N . mm-2 •

Tensiones de comparación N'mm-2 compresión

tracción

cortante

Acero A-42

170

170

100

Honnigón H2S

10,4

Madera

8-10

0,4 1,0

8-10

14

d

b,

'l"""

-,.-----~-----

c=cr Cl-r

FÓRMULAS Geométricas

-,'"ji! . . l~~_JI

Área:

A= ffdx.dy

Momento estático:

Sx =

Momento de inercia: Ix =

ffy· dx· dy

ff/ .dx· dy

Módulo resistente:

v

Radio de giro: Distribución de tensiones: M

cr máx

()

y

()=(),

max

x

v

v

/-~+-~-""--I~~~t77T'"C..,.,.j

l'

.z

~-­

máx-b

o CTmáx

1'=1' ' max

.~.~ S b o

/ I

r¡

{"-\

y

So

::::?

momento estático de la parte comprimida o la extendida de la sección.

Sy

::::?

momento estático respecto al eje X de la parte rayada.

Curvatura local: Emáx

E1 +E2

M E·I

~=--=------

R

v

15

d

2'8

--

d

Consideraciones geométricas sobre Inercia, Radio de giro y Módulo resistente .

• Las inercias de una sección respecto a ejes que pasen por el centro de gravedad, forman una elipse con dos valores máximo y mínimo en direcciones perpendiculares entre sí. • La suma de las inercias respecto a cualquier par de ejes perpendiculares entre sí es constante e igual a la inercia central lo respecto del centro de gravedad:

y

lo = 1x + 1y

En secciones tales como

x ------------f--r

r-=-~l

Li

En las que Ix =Iy , resulta que

Representamos las inercias de una sección respecto a ejes que pasen por su centro de gravedad, por vectores perpendiculares a cada eje, los extremos de los vectores forman una elipse con valores máximo y mínimo para direcciones perpendiculares entre sí.

1x

= 1y

16

-------

,/