Propagación Del Error Experimental.docx

LABORATORIO DE FISICA I Objetivos

 Comprender la medición y el error experimental que es inevitable. 1. MEDICION Y ERROR EXPERIMENLTAL (INCERTIDUMBRE) 1.1 OBJETIVOS:

 Obtener el promedio de frijoles que se obtiene en un puñado repetitivo.  Obtener una gráfica aproximada, en relación de los números de frijoles y la cantidad de veces que se repite dicho puñado.  Determinar la incertidumbre (desviación estándar) del experimento. 1.2 MATERIALES:

 Un tazón de frijoles.  Dos hojas de papel milimetrado.  Un tazón mediano. 1.3 FUNDAMENTO TEORICO:

Para realizar el experimento, es dable conocer conceptos, que nos ayuden a comprender mucho mejor la realización del experimento, como se da a continuación: 

Media Aritmética(MA):

Se define como la suma de ciertas cantidades de números entre la cantidad de números que se están tomando. 𝑎+𝑏+𝑐+⋯+𝑚 Sea:𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, … 𝑛 entonces la ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐴= 𝑛



Desviación Estándar (Incertidumbre)

Nos da una idea, en cuanto se alejan los datos dados con respecto al promedio hallado (media aritmética).

S=desviación estándar X=media aritmética Xi=dato i-ésimo N=número de datos

1.4 PROCEDIMIENTO:

1) Depositar todos los frijoles en el tazón. 2) Extraer un puñado de frijoles, cuantas veces se quiera hacer, en este caso tomamos 50 puñados. 3) Contar en cada puñado el número de frijoles extraídos 4) Anotar el número de frijoles extraídos. 5) Elaborar tablas, grafica, hallar media aritmética e incertidumbre, todo eso a continuación. 1.5 CALCULOS Y RESULTADOS:

i.

Hallando la media aritmética (nmp) de los 50 números obtenidos (ósea el número de frijoles en cada puñado).

1

∑50 (𝑁𝑘) = 50.52 50 𝑖=1

̅̅̅̅̅̅= 𝑛𝑚𝑝

donde Nk=número de frijoles.

Este resultado quiere decir que es el puñado normal y más probable que se pueda extraer. ii.

Hallando la Incertidumbre Normal o desviación estándar,∆𝑛𝑚𝑝 ̅̅̅̅̅̅ de la medición anterior.

1

∑50 ∆𝑛𝑚𝑝 ̅̅̅̅̅̅=( (𝑁𝑘 50 𝑖=1

2

− 𝑛𝑚𝑝 ̅̅̅̅̅̅) )

1⁄ 2

= 4.87

1.6 PREGUNTAS:

a. En vez de medir puñados, ¿podría medirse el número de frijoles que caben en un vaso, en una cuchara, etc.? Si se podría medir y hacer todos los procedimientos hechos, ya que el vaso o cuchara tienen un volumen definido, al igual que el puño de la mano. b. Según Ud. ¿a qué se debe la diferencia entre su puñado normal y el de sus compañeros? La diferencia se debe a que cada compañero tiene el tamaño de la mano distinta

c.

Después de realizar los experimentos, ¿qué ventaja le ve a la representación de

 [r , r  2)

frente a la de  [r , r  1) ?

El acotar los intervalos nos ayuda a visualizar si la toma de datos fue la correcta. El grafico adjunto nos muestra un ejemplo.

d. ¿Qué sucedería si los frijoles fuesen de tamaños apreciablemente diferentes? La imprecisión/incertidumbre (desviación estándar) habría una variación, que en este caso sería mayor. e. En el ejemplo mostrado se debía contar alrededor de 60 frijoles por puñado, ¿Sería ventajoso colocar sólo 100 frijoles en el recipiente, y de esta manera calcular el número de frijoles en un puñado, contando los frijoles que quedan en el recipiente? En este caso en el conteo de frijoles, sería más rápido, ya que por simple diferencia se sabría los que se extrajo. f. ¿Qué sucedería si en el caso anterior colocara sólo, digamos, 75 frijoles en el recipiente? Se realizaría un evento físico muy controlado, agilizando métodos y procesos, pero nos inhabilitaría de medir de forma experimental. g. La parte de este experimento que exige “más paciencia” es el proceso de contar. Para distribuir esta tarea entre tres personas ¿Cuál de las sugerencias propondría Ud.?¿Por qué?

En este caso el grupo opto, que un compañero saque las puñaladas de frijoles, y que los otros dos cuentes y anoten el resultado, porque así se puede hacer el experimento más rápido y eficiente. h. Mencione tres posibles hechos que observarían si en vez de 100 puñados extrajeran 1000 puñados. Se obtendría una gráfica más precisa. La desviación estándar más exacta. Se sabría más exacto la cantidad de frijoles normal que se puede obtener con dicha mano. i. ¿Cuál es el promedio aritmético de las desviaciones (Nk_mnp)? (n1−nmp)+(n2−nmp)+⋯……+(nk−nmp) (𝑛1+𝑛2+⋯+𝑛𝑘)−𝑘(𝑛𝑚𝑝) (𝑛1+𝑛2+⋯+𝑛𝑘)

*MA=

𝑘

=

𝑘

=

𝑘

− 𝑛𝑚𝑝

=nmp-nmp=0 j. ¿Cuál cree Ud. Es la razón para haber definido ∆(nmp) en vez de tomar simplemente el promedio de las desviaciones? Como en la pregunta anterior se sabe que el promedio de las desviaciones son cero, no tiene caso tomar ese valor, es como si no hubiéramos hallado nada, en cambio lo que se obtiene en la desviación, es el alejamiento con respecto al promedio normal.

k. Después de realizar el experimento coja Ud. un puñado de frijoles. ¿Qué puede Ud. afirmar sobre el número de frijoles contenido en tal puñado (antes de contar)? Al coger un puñado y nosotros al saber el promedio y la desviación, se puede afirmar que el número de frijoles extraídos, sin contarlos, tiene un valor parecido al promedio.

l. Si Ud. Considera necesario, compare los valores obtenidos por Ud. para ∆(nmp) y para Sa; compare con los resultados obtenidos por sus compañeros. ¿Qué conclusión importante puede Ud. obtener de tal comparación? El resultado es diferente, ya que el tamaño de manos es distinto y causaría un error muy apreciable en el experimento. m. Mencione Ud. alguna ventaja o desventaja de emplear pallares en vez de frijoles en el presente experimento. la ventaja de hacer el experimento con pallares seria que el conteo sería más rápido, hubiera un menor error de aproximación, mejor gráfica, la desviación estándar sería menor. 1.7 CONCLUSIONES:

 Para obtener una mayor precisión en los resultados, promedió del puñado normal, grafica, incertidumbre, se debe extraer una cantidad de puñados de frijoles considerable(o sea cuanto más puñados, es mejor).  Las aproximaciones, mediciones y errores, se evidencian más en pequeñas cosas u materia

en el que se trabaja. 2. PROPAGACIÓN DEL ERROR EXPERIMENTAL 2.1 OBJETIVOS  Estudiar y determinar el uso del vernier o pie de rey, así como el de la regla graduada. Además de identificar que instrumento de medición es el más adecuado dependiendo del objeto o característica a medir.  Comprobar que un evento o experimento físico contiene una medida de error, que con los instrumentos adecuados puede ser mínimo, sin interferir con los resultados.  Determinar magnitudes directas e indirectas, calculando la propagación de las incertidumbres. 2.2 FUNDAMENTO TEÓRICO Un trabajo en un laboratorio implica a medir cantidades físicas, mediante instrumentos de medición tales como el vernier o pie de rey, reglas, péndulos, cronómetros, etc. Esta medición se debe llevar a cabo con total veracidad y dentro de los márgenes de lo permisible para su posterior análisis y divulgación científica. Los materiales nos servirán además para comprender y analizar los datos obtenidos. El resultado de toda medición siempre tiene cierto grado de incertidumbre. Esto se debe a las limitaciones de los instrumentos de medida, así como también, a las capacidades del experimentador. Es por ello que para tener una idea correcta

de la magnitud con la que se está trabajando, es indispensable establecer los límites entre los cuales se encuentra el valor real de dicha magnitud. La teoría de errores establece estos límites. En el campo de ingeniería, el concepto de error tiene un significado muy diferente al uso común. Es usual el empleo del término error en referencia a una equivocación. El objetivo en la medición es conocer las cotas (o límites probabilísticos) de estas incertezas. Gráficamente, buscamos establecer un intervalo 𝑥̅ -∆𝑥 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥̅ +∆𝑥 donde con cierta probabilidad, podamos decir que se encuentra el mejor valor de la magnitud x. Este mejor valor x es el más representativo de nuestra medición y al semiancho ∆x lo denominamos la incerteza o error absoluto de la medición. Antes de realizar el experimento debemos analizar el uso del vernier. VERNIER o PIE DE REY 1) Patillas para medir diámetros externos o espesores 2) Patillas para medir diámetros internos 3) Varilla para mediciones de profundidad 4) Escala principal en milímetros 5) Escala principal en pulgadas 6) Escala del nonio en milímetros, 7) Escala del nonio en pulgadas 8) Seguro para deslizar o fijar el nonio. El vernier tiene cuatro características que definen la escala: n: el número de divisiones del nonio A: apreciación (que es la medida más pequeña que se puede representar) k: constante de extensión que determina la longitud del nonio para una misma apreciación (Se utiliza una k mayor cuando se desea que la escala sea leída con mayor facilidad) L: longitud de la escala del nonio con las mismas unidades de la regla. La longitud del nonio y apreciación se define como: 1 A=n L = (k ∗ n) − 1 2.3 MATERIAL Y EQUIPO USADO  Vernier o pie de rey  Regla graduada en milímetros

2.4 PROCEDIMIENTO 1. Realizar las mediciones de las dimensiones del paralelepípedo con la regla graduada.

2. Ahora realizar las mediciones con el vernier teniendo las siguientes consideraciones.

Ahora bien, para realizar mediciones con el vernier es necesario observar cuál línea de la escala del nonio coincide con alguna de la escala principal. Para determinar la medida haremos lo siguiente: I. Contar la cantidad de líneas de la escala principal que están hasta antes del cero de la escala del vernier. II. Observamos que número de línea del vernier coincide con alguna línea de la escala principal y multiplicamos ese número por la escala mínima. III. Sumamos la cantidad leída en I y la leída en II.

3. Después le sumamos la incertidumbre que en el vernier se obtiene del cociente de las líneas que coinciden y las líneas totales. 4. Ahora suponemos que colocamos 100 parelelepideos apoyados uno sobre otro formando un gran paralelepipedo como el ejemplo:

Calibrar el vernier

Realizar la medición de las dimensiones

Anotar cada resultado por separado

Repetir usando la regla milimetrada

2.5 CALCULOS Y RESULTADOS Con la regla Largo Ancho Alto Área total Volumen a100 b100 h100 Área 100 Volumen 100

Con el pie de rey (Vernier) 30 31 12 3324 11160 3000 3100 1200 129372 1116000

30.4 31.5 12.6 3475.08 12065.76 3040 3150 1260 134460.9 1206576

% de incertidumbre 0.01315789 0.01587302 0.04761905 0.04347526 0.07506862 0.01315789 0.01587302 0.04761905 0.03784669 0.07506862

2.6 CONCLUSIONES 1. Para medir un objeto con un instrumento de medición es necesario considerar a la medida como un dato aproximado, debido a que se debe considerar el error del experimentador asi como el de los instrumentos; por tanto medir con un solo instrumento nos induciría a un error que se perjudicaría los resultados. 2. El método más apropiado es calibrar los instrumentos a medir y que estos sean los más precisos posibles. 3. Como medida de aproximación, la medición del volumen del paralelepípedo se deberia realizar con el vernier, pues es mas preciso y exacto. 4. A tener en cuenta antes de proceder a realizar una medición, es la elección de los instrumentos más apropiados para medir con la tolerancia o error requerido. Obviarlo puede acarrear importantes pérdidas de esfuerzo y tiempo. Si el error es grande, seguramente se dilapidó esfuerzo y recursos innecesariamente; por el contrario, si se realizó la medición con más error del requerido, la medición podría ser inútil para los fines perseguidos.

3. EXPERIMENTO CON EL PENDULO SIMPLE

3.1 OBJETIVOS  Hallar una relación entre la longitud del péndulo y el periodo de este.  Determinar las condiciones para que la relación no dependa ni de la masa ni del ángulo que forma con la vertical.

3.2 FUNDAMENTO TEORICO Antes de definir un péndulo simple debemos saber definiciones muy importantes para entender el experimento: Oscilación: Es el movimiento de ida y vuelta hasta retornar a un punto inicial de referencia. Periodo: Es el tiempo que se demora en dar una oscilación, se mide en segundos (s). Masa: Cantidad de materia que posee un cuerpo. Masa puntual: Cuando al cuerpo se le quita todas sus dimensiones, dejándolo solo como un punto, esta técnica es usada para calcular con mayor facilidad el movimiento de un cuerpo. Se define un péndulo simple a un cuerpo suspendido en un punto fijo por una cuerda de longitud l de masa despreciable, el cual se mueve un cierto ángulo θ muy pequeño respecto a la vertical, de modo que al dejarlo caer, efectúe oscilaciones alrededor de su punto de equilibrio. En esas condiciones la masa del cuerpo no influye, es decir, al cuerpo se le considera puntual. Teóricamente y tras muchos años de estudios se ha hallado una formula aproximada para calcular el periodo de oscilación:

𝑇 = 2𝜋√

ℓ

Donde T = Periodo (en s)

𝑔

ℓ = Longitud de la cuerda (en m) 𝑔 = Aceleracion de la gravedad (en 𝑚⁄𝑠 2 )

Sin embargo al haber realizado el experimento en un lugar fijo, no se puede considerar la gravedad, es por eso que se precisa de una nueva relación entre periodo y longitud de la cuerda donde no participe la gravedad, y esa relación es el objetivo de este experimento

3.3 EQUIPO UTILIZADO: 

Un péndulo simple de 1.5 m de longitud.

  

Una regla graduada en mm. Un cronometro. Soporte de metal

3.4 DIAGRAMA DE FLUJO DEL EXPERIMENTO

Masa atada a una cuerda

Sujetar la cuerda al soporte de metal

Medir una longitud fija para la cuerda

Medir un ángulo muy pequeño

F Medir otra longitud para la cuerda (Repetir 6 veces)

𝜃 < 10°

V Soltar la masa

Tomar el tiempo de 10 oscilaciones (Repetir 5 veces)

Anotar Resultados

Volver a medir el ángulo (MUY IMPORTANTE)

3.5 PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL   

 

Se sostiene el hilo en el soporte hasta formar un ángulo muy pequeño con la vertical (𝜃 < 10°), de esta manera se garantiza que la oscilación sea casi en línea recta. Se fija una longitud para el péndulo y luego se suelta tomando el tiempo que demora en dar 10 oscilaciones. Se repite este procedimiento 4 veces más, luego se toma otra longitud del péndulo y se vuelve a tomar el tiempo de las oscilaciones y así sucesivamente hasta tener los datos de 6 longitudes distintas, cada una con 5 tiempos de oscilaciones. Al ser el periodo el tiempo en dar UNA oscilación, los resultados se tienen que dividir entre diez. Los resultados que obtuvimos están en el siguiente cuadro.

3.6 CALCULOS Y RESULTADOS Llevado a una grafica

T (s) 1.6 (54; 14.924) (45; 13.834)

1.4 (36; 12.48) (27; 10.934)

1.2 1

(18; 9.042)

0.8 (9; 6.95)

0.6 0.4 0.2 0 0

10

20

30

40

50

60

Longitud (en cm)

k

lk cm

1 2 3 4 5 6

9 18 27 36 45 54

T1 (en s) 0,704 0,891 1,092 1,246 1,358 1,488

T2 (en s) 0,690 0,898 1,099 1,254 1,381 1,516

T3 (en s) 0,701 0,919 1,106 1,240 1,392 1,486

T4 (en s) 0,685 0,901 1,093 1,242 1,401 1,491

T5 (en s) 0,695 0,912 1,077 1,258 1,385 1,481

Tk (en s)

Tk2 (en s)

0,695 0,9042 1,0934 1,248 1,3834 1,4924

0,483025 0,81757764 1,19552356 1,557504 1,91379556 2,22725776

Hallando la relación entre longitud y periodo. 1. Para hallar una función que relacione periodo (T) con la longitud de la cuerda (l), partimos de la siguiente forma: ℓ = 𝑓(𝑇) = 𝑎 + 𝑏𝑇 + 𝑐𝑇 2 Buscamos tres puntos, ya que hay tres variables, convenientemente elegidos para desarrollar el sistema, en este caso esos tres puntos serán los periodos mínimo, intermedio y máximo. 9 = 𝑎 + 𝑏(0,695) + 𝑐(0,695)2 27 = 𝑎 + 𝑏(1,0934) + 𝑐(1,9034)2 54 = 𝑎 + 𝑏(1,4924) + 𝑐(1,4924)2 Para resolverlo usaremos el método de Cramer: 9 |27 54 𝑎= 1 |1 1

0,695 1,0934 1,4924 0,695 1,0934 1,4924

0,483025 1,19552356| 2,22725776 = −0.969369019 0,483025 1,19552356| 2,22725776

1 |1 1

9 0,483025 27 1,19552356| 54 2,22725776 𝑏= = −5.25612693 1 0,695 0,483025 |1 1,0934 1,19552356| 1 1,4924 2,22725776

1 0,695 9 |1 1,0934 27| 1 1,4924 54 𝑐= = 28.20221973 1 0,695 0,483025 |1 1,0934 1,19552356| 1 1,4924 2,22725776

Una vez obtenido a, b y c se puede hallar la siguiente relación: ℓ = 𝑓(𝑇) = −0.969369019 − 5.25612693𝑇 + 28.20221973𝑇 2

2. Calculando la incertidumbre ∆𝑓 1⁄2

6

1 ∆𝑓 = { ∑[ℓ𝑘 − 𝑓(𝑇𝑘 )]2 } 6 𝑘=1

1⁄2

(9 − 8.99999995)2 + (18 − 17.33554526)2 + (27 − 26.99999993)2 + (36 − 36.39605461)2 + (45 − 45.73258789)2 + (54 − 53.99999989)2 ∆𝑓 = { } 6 1⁄2

2.5𝑥10−15 + 0.441500101 + 4.9𝑥10−15 + 0.156859254 + 0.536685016 + 1.21𝑥10−14 ∆𝑓 = { } 6 1.135044371 1 ∆𝑓 = { } 6

⁄2

= {0.189174061}1⁄2 = 0.434941446

3. Hallando la función de manera similar a (1); y obtenemos:

k

𝑻𝟏

𝑻𝟐

7.04 8.91 10.92 12.46 13.58 14.88

6.9 8.98 10.99 12.54 13.81 15.16

𝑳k 1 2 3 4 5 6

9 18 27 36 45 54

𝑻𝟑

𝑻𝟒

𝑻𝟓

∑ 𝑻𝒌

Tk

Tk2

7.01 6.85 6.95 34.75 6.95 48.3025 9.19 9.01 9.12 45.21 9.042 81.757764 11.06 10.93 10.77 54.67 10.934 119.552356 12.4 12.42 12.58 62.4 12.48 155.7504 13.92 14.01 13.85 69.17 13.834 191.379556 14.86 14.91 14.81 74.62 14.924 222.725776 2 𝑓(𝑥) = −0.0000142𝑥 + 0.2550141𝑥 − 3.2847057

Nota: Las gráficas están adjuntas en el apéndice 1

3.7 CONCLUSIONES  Es muy importante cumplir el procedimiento con sumo cuidado, por ejemplo, la masa debe ser soltada y no arrojada porque de ser así, el bloque pasaría el ángulo pequeño determinado, y esto también afecta al espacio que recorra el bloque, por lo tanto las oscilaciones serian irregulares y la medición sería errónea.  Por la función polinómica antes hallada, se ha demostrado que es posible encontrar una relación entre la longitud y el periodo, por lo tanto la suposición que se hizo de considerar al bloque como masa puntual fue correcta.  Se ha determinado un ángulo pequeño menor a diez para realizar los cálculos, si se considera un ángulo aún más pequeño el espacio recorrido por el bloque seria más recto aun, es decir los cálculos serian aún más exactos.  Las condiciones a tener en cuenta a realizar el experimento son las corrientes de aire que pueden interferir en el ángulo de oscilación

4. Bibliografía 1. Estadística, Spiegel y Murray, 2da ed., McGraw Hill, Schaum, Madrid (1995). ISBN 847615-562-X. 2. Trabajos prácticos de física, J. Fernández y E. Galloni, Centro de Estudiantes de Ing. UBA , Buenos Aires (1963). 3. Mecánica elemental, J. G. Roederer, 8ª. ed., Buenos Aires, Eudeba (1963). ISBN: 95023-0290-7. 4. Sears [y] Zemansky Física universitaria, University physics, 12a ed.Publicación : México, D. F. : Addison-Wesley , 2009