Projekt Samlet

Indledning Vi har valgt at besvare spørgsmålet Kvadratur -, kubatur- etc-metoder i 1600-tallet før Newton og Leibniz. Efter en kort kildekritik giver vi et oprids af matematikkens historie som den i store træk har udviklet sig fra det gamle Grækenland og op til 1600-tallet. Dernæst går vi i dybden med 3 primære kilder af hhv. Kepler, Fermat og Roberval i nævnte rækkefølge. Det er vores mål at disse kilder skal belyse den egentlige matematik, som den tog sig ud i 1600-tallet. Specielt med henblik på at finde arealet under forskellige kurver. Undervejs i gennemarbejdningen af kilderne vil der blive knyttet enkelte historiske kommentarer for at sætte tingene i sammenhæng. Til det historiske afsnit er der brugt litteratur af C.H. Edwards, Jens Lund, Victor J. Katz, C. B. Boyer og Paolo Mancosu. I de andre afsnit er det nøje markeret med fodnoter hvor vi har vores oplysninger fra. Alle citater er sat i kursiv.

Kildekritisk afsnit Opgaven er først og fremmest bygget op om 3 kilder, som er behandlet i detaljer. Disse er givet til os som primærkilder, dvs. at de pågældende matematikere selv har skrevet teksterne og der er således hverken lavet om på indholdet eller digtet mere til. Disse kilder er altså yderst troværdige når vi behandler 1600-tallets matematik. Vi har dog været nødt til at benytte sekundær litteratur når vi skulle se tingene i deres historiske kontekst. En vigtig andenhåndskilde er Katz: A history of mathematics. Vi har tilladt at betragte oplysningerne i denne som troværdige og bruge dem uden at forholde os yderligere til dem. Dette gælder også vores øvrige sekundærlitteratur, hvor det dog skal bemærkes at biografierne hentet fra MacTutor er knap så udførlige og detaljerede som dem hentet fra Dictionary of Scientific Biography. Specielt er der uenighed om Fermats fødselsdato i de to biografier af ham, hvilket gør at vi må overveje troværdigheden af MacTutors artikel . Vi har dog ikke fundet andre uoverensstemmelser hvorfor vi antager (med dette enkelte forbehold) at vi også kan stole på oplysningerne hentet fra MacTutor.

Den historiske baggrund I århundreder havde den græske matematik været i rivende udvikling. Store matematikere som bl.a. Eudoxus, Euklid, Archimedes, Pappus og Apollonius havde bidraget til dette, men i 476 e.v.t., da det Vestromerske Rige faldt, begyndte udviklingen at vende. Kollapset medførte bl.a. at den videnskabelige udvikling blev sat i stå og den blev ikke genoptaget før meget senere. Den græske matematik holdt stadig stand i det Østromerske Rige, men uden at blomstre som den tidligere havde gjort. I 391 blev kristendommen under Theodosius den Store udnævnt til at være den eneste tilladte religion1 og dette fik betydning for de græske skoler. Disses ideer og filosofier blev som følge af kristendommens indtog anset for hedenske og i 529 blev de lukket. Den matematik der blev bevaret i Vesteuropa efter Romerrigets fald var på ingen måde på højde med tidligere. De store kulturelle og sproglige omvæltninger gjorde at den græske matematik trådte i baggrunden og efterhånden blev glemt. Bl.a. Pythogoras’ læresætning blev offer for den proces. Mens den græske matematik gik tilbage i Europa, blomstrede den i den arabiske verden. I takt med arabernes erobringer voksede interessen for de nye indtagne områder, og dette kom matematikken til gavn. I Bagdad, det nye Alexandria, blev viden fra det gamle Grækenland, Indien og Mesopotamien studeret. Således blev matematikken udviklet af araberne og skrifter af bl.a. Euklid, Archimedes, Apollonius og Ptolemaios levede videre på arabisk og undgik på den måde at gå til grunde for evigt. I renæssancen genopstod den store interesse for græske værker og tænkere, som havde været undertrykt i hele middelalderen pga. kristendommens indtog i Europa. Man oversatte teksterne fra arabisk til latin og nød således godt af arabernes arbejde. Man granskede i de gamle græske kilder og genoptog de ideer som havde præget antikken. De blev ofte ligefrem anset som ”den store sandhed”, topmålet af indsigt og viden. De gamle grækeres indsigt i matematikkens verden kunne således bane vejen for forbedrede og nye teorier. Kilderne som havde været gemt væk på klostre i århundreder blev taget frem og udforsket og store matematikere byggede deres teorier på de græske udsagn.2 1 2

Politikens Verdenshistorie s. 88, 2.søjle n Katz Side 432, m+mn

Den store viden man opnåede udbredtes via universiteterne. Man diskuterede uendelighed og irrationelle tal, begreber som havde været tabu i det gamle Grækenland, og dette banede vejen for studier af mere avanceret matematik. Man ønskede f.eks. en forenkling af de stringente og besværlige græske modstridsbeviser (reductio ad absurdum). Archimedes var en stor inspirationskilde til matematikerne i det 17. århundrede og hans beviser og bevismetoder ansås for at være de ideelle. Man ønskede nye resultater og hurtige metoder til at nå frem til disse, i stedet for de trættende og besværlige beviser man kendte. Specielt ønskede man at finde en simplere måde at beregne areal og volumen under kurver. Det var f.eks. praktisk at kunne beregne et præcist rumfang af en tønde. Den voksende internationale handel gjorde det nødvendigt at vide ret nøjagtigt hvor meget vin man lastede sit skib med så man fik den rette betaling. Det samme gjaldt når man ville bestemme udbyttet af høsten, hvor beregning af markens areal er af meget stor betydning. Således har handelen med forskellige varer muligvis betydet en øget motivation for at udtænke de metoder til at finde areal (og rumfang) som bliver grundigt behandlet i det følgende. En ting der bl.a. lettede processen var Viètes og dernæst Descartes’ udvikling af den symbolske algebra, hvor man brugte symboler i stedet for at skrive alting ud i ord. Det er her infinitesimalteknikken kommer i spil. Begyndelsen til integral- og differentialregningen.

Kepler Johannes Kepler (1571-1630) var en tysk astronom og matematiker. Han er bedst kendt for sit arbejde med hvordan solsystemet er opbygget. Til grund for disse teorier, samt for hans andre værker, ligger nogle meget komplicerede matematiske udregninger.3 Kepler fik inspirationen til værket ”Nova stereometria doliorum vinariorum” (”Ny rumgeometri af vintønder”, 1615) fra nogle østrigske vinhandleres metoder til at finde ud af

3

Edwards (1979), s. 99 ff.

hvor meget vin der var tilbage i en tønde4. De følgende to teoremer er taget fra den første del af værket og handler om hhv. cirklens omkreds og areal.

Teorem 1 Dette teorem handler om sammenhængen mellem cirklens omkreds og diameter. Kepler vil altså vise at den værdi af π, som man havde fået fra Archimedes, var korrekt. Formålet med beviset er ikke at finde en ny eller mere præcis værdi af π, men blot at have en værdi, som Kepler kan bruge til de følgende udregninger. Kepler kunne for så vidt næsten lige så godt have skrevet ”Vi ved at π tilnærmelsesvis er lig med 22/7”. Især fordi gennemgangen af bevisets sidste dele er særdeles uformel. Kepler tager først en regulær sekskant CDB og lader den være indskrevet i en cirkel med centrum A. Da BD er en af sekskantens sider, vil B og D være to punkter på cirklen. Kepler lader nu skæringspunktet mellem tangenterne i B og D være F, og skæringspunkterne mellem linien AF og linien DB være G, mens han kalder skæringspunktet mellem AF og kurven DB for E. Han observerer nu at linien DGB er lige og dermed må være kortere end kurven DEB. Beviset frem til dette punkt er meget klart og stringent. Men herefter bliver argumenterne mindre præcise. Kepler ønsker at vise at kurven EB er kortere end linien FB. For at gøre dette kigger han på, hvad der ville ske, hvis kurven EB var lige. Han argumenterer for, at dette er acceptabelt ved at sige, at hvis cirklen deles ind i meget små dele, så vil hver af disse dele være lige. Denne argumentation er et eksempel på de infinitesimale metoder, der på Keplers tid i stadig stigende grad var ved at afløse tidligere tiders udmattelsesbeviser5. I dag synes det måske klart at cirkelen kan opfattes som en slags grænseværdi for regulære n-kanter, n → ∞, men det var langt fra almindeligt accepteret, endsige bevist, da Kepler skrev denne tekst i 1615. Påstanden om at en cirkelbue kan opfattes som en ret linie blev da også kritiseret af Paul Guldin, en schweizisk matematiker, fordi der ikke fandtes noget geometrisk bevis for påstandens sandhed.6 Derefter argumenter Kepler for, at eftersom kurven DEB er indeholdt i trekanten DBF, må kurven være kortere en linierne DF, FB. Kepler bemærker, at dette kun gælder fordi 4

MacTutor, artikel om Kepler Edwards (1979), s. 98 6 Struik’s noter til ”Nova Stereometria…”, note 1 5

kurven DEB er en cirkelbue, og at det ikke ville være sandt, hvis kurven var snoet. Igen argumenterer Kepler for sin påstand ved hjælp af et simplere og mere intuitivt bevis, i stedet for, som Archimedes, at give et formelt, geometrisk bevis. Herefter argumenterer Kepler for at kurven DEB må svare til en sjettedel af cirklen, og at cirklens omkreds dermed må være længere end seks DB, men kortere end tolv DF. Da DB er siden i den regulære sekskant CDB, der er indskrevet i cirklen, må DB være lig med radius AB. Cirklens omkreds er altså længere end seks radiuser eller tre diametre, svarende til forholdet 21/7 mellem omkreds og diameter. Desuden viser Kepler at hvis cirklen har en diameter på 7, så må cirklens omkreds være mindre end 24-1/10. Selvom dette er sandt er det faktisk ikke det rigtige resultat af de udregninger Kepler udfører. Keplers argumentation viser kun at omkredsen af en cirkel med diameter 7, må være mindre end 24,25. Dette er den eneste egentlige fejl i beviset. Resten af beviset er ikke altid lige stringent, men pointerne indtil dette punkt er korrekte. Efter denne (fejlagtige) konklusion argumenterer Kepler meget løst for at π må være cirka 22/7 ved at sige at det klart ses at kurven DEB ligge tættere på linierne DF, FB end på linien DGB. Det er her det tydeligst træder frem at Kepler formentlig ikke er interesseret i dette bevis, og at sikkert han godt er klar over at det er meget løst. Han henviser til Archimedes for er mere stringent bevis og siger at Archimedes desuden har bevist hvor lille forskellen på omkredsen og 22/7 gange diameteren er, altså hvor lille forskellen på 22/7 og π er. Som afslutning på beviset nævner Kepler at Adrianus Romanus har vist, at hvis diameteren af en cirkel inddeles i 2*1016 dele, så vil omkredsen af cirklen blive 62,831,853,071,795,862 af disse dele. Adrianus Romanus (1561-1615), eller Adriaen van Roomen, havde fundet denne værdi af π i 1593 ved hjælp af 230-sidede regulære polygoner7. Værdien er korrekt på de første 16 decimaler, og altså en langt bedre tilnærmelse end 22/7. Kepler har altså godt vidst, at der fandtes mere præcise værdier for forholdet mellem diameter og omkreds i en cirkel end 22/7, men har åbenbart valgt ikke at bruge dem. Dette kan tænkes, at være fordi det ville være særdeles besværligt at regne med van Roomen’s værdi, især hvis værdien 22/7 er præcis nok til praktiske formål. 7

MacTutor, artikel om Adriaan van Roomen

Teorem 2 Dette teorem omhandler forholdet mellem en cirkels areal og arealet af et kvadrat med cirklens diameter som sidelængde. Kepler ønsker at vise at dette forhold er omkring 11:14 og fremhæver at Archimedes har givet et indirekte bevis, hvori han konkluderer, at hvis arealet bliver større end dette forhold, så er det for stort. I første del af beviset finder Kepler sammenhængen mellem cirklens omkreds og areal. Da Kepler i det foregående teorem har fundet forholdet mellem cirklens diameter og omkreds er det klart, at han, ved at finde denne nye sammenhæng, også finder forholdet mellem cirklens diameter og omkreds.

Pierre de Fermat En anden matematiker som arbejdede med infinitesimalmetoder var Pierre de Fermat (1601-1665). Fermat var uddannet jurist og dyrkede matematikken som hobby ved siden af arbejdet. Fermat betragtede matematik som et pusterum, noget han kunne slappe af ved, og dette gjorde at han aldrig offentliggjorde nogle af sine teorier (med en enkelt undtagelse8). En offentliggørelse ville nemlig kræve stor matematisk nøjagtighed og efterfølgende diskussioner med andre dygtige matematikere, hvilket Fermat ikke var interesseret i. Dette giver naturligvis visse vanskeligheder når vi i dag er interesserede i matematikeren Fermat og hvilke matematiske teorier han stod for. De manglende publiceringer af hans ideer giver os mindre førstehåndsmateriale at arbejde med. Heldigvis korresponderede Fermat livligt med andre matematikere og fra disse breve, samt fra en offentliggørelse af Fermats manuskripter (ved hans søn), kan vi nu danne os et nogenlunde helstøbt billede af ham. Dog er Fermats redegørelser til tider noget rodede og usystematiske. Han kunne godt lide at ”drille” sine samtidige kolleger ved at give dem små hints til løsningerne på sine problemer, men det var ikke altid de blev fulgt op af en egentlig redegørelse eller bevisførelse.9 8 9

Dictionary of Scientific Biography side 572, spalte 2 n Katz Side 433, biografien

Som det fremgår af følgende citat brugte Fermat meget tid på at studere gamle græske værker: ”Fermat followed Viète and others in seeking to restore those lost texts, such as Apollonius’ Plane Loci… Another supposed source of insight was Diophantus’ Arithmetica, to which Fermat devoted a lifetime of study. These ancient sources, together with the works of Archimedes, formed the initial elements in a clear pattern of development that Fermat’s research followed”10. Dette kommer også tydeligt til udtryk I den kilde vi nu vil behandle. I kilden finder Fermat arealet af området mellem en hyperbel, den vandrette asymptote og en lodret linje mellem hyperblen og den vandrette asymptote. Kilden hedder ”On the Transformation and Simplification of the Equations of Loci” og er fra ca. 1640. Før vi går i gang er det værd at bemærke, at Fermat kun arbejdede med en enkelt akse. Han havde ikke en anden-akse som vi kender det i dag, endskønt han forstod sammenhængen mellem en kurve og en ligning med to ubekendte.11 Dette gør naturligvis at han i kilden ikke refererer til akserne. I stedet benytter han sig af en vandret og en lodret asymptote. Fermat indleder med at stille et spørgsmål om hvorfor Archimedes12 ikke bruger kvotientrækken, men kun differensrækken når han sammenligner forskellige størrelser. Det eneste tilfælde hvor Archimedes anvender kvotientrækken er parabolens kvadratur. Er det mon fordi han finder kvotientrækken mindre egnet i forbindelse med kvadratur? Eller fordi hans metode mht. parabolens kvadratur hvor han bruger kvotientrækken kun vanskeligt kan overføres til andre tilfælde? Fermat besvarer ikke spørgsmålene, men hævder at han finder kvotientrækken særdeles nyttig, både når det gælder parabler og hyperbler. Indledningen viser tydeligt den respekt som Fermat havde for Archimedes og det bekræfter Fermats fascination af den græske matematik, som før nævnt. Hvad der er vigtigt er at vi her har at gøre med en førstehåndskilde og denne viser os tydeligt hvor ideerne kommer fra. Det har interesseret Fermat hvad Archimedes har tænkt mht. brugen af differens- og kvotientrækker og han har derfor indledt sin tekst med at fortælle 10

Dictionary of Scientific Biography side 566, spalte 1 m Katz Side 442 ø 12 Archimedes 287-212 f.kr. Græsk fysiker og matematiker. 11

hvordan Archimedes gik frem, og dernæst fortæller han så hvad han selv vil gøre. Han bruger også senere en af Archimedes’ ideer, samt en ide af den græske matematiker Diophantus13, men det vender vi tilbage til. Metoden bygger på en egenskab ved kvotientrækker, nemlig: “Given a geometric progression the terms of which decrease indefinitely, the difference between two consecutive terms of this progression is to the smaller of them as the greater one is to the sum of all following terms”.14 (*) Sagt på en anden måde: Hvis vi har givet rækken a+ar2+ar3+…+arn+… , 0
Diophantus ca. 200-284 e.kr. Græsk matematiker Kilde 3, side 1, spalte 2 m. 15 Struik’s note 5 14

osv.

∫

∞

0

ydx .15

Påstanden er at det ubegrænsede areal som begrænses af den lodrette linje EG, kurven ES og asymptoten GOR, lad os kalde det a1, er lig med arealet af et bestemt parallelogram bestående af rette linjer, lad os kalde det b. Vi betragter nu leddene i en ubegrænset aftagende kvotientrække. Fermat lader AG være det første led, AH det andet led, AO det tredje led, AM det fjerde led osv. Det antages så at leddene er så tæt på hinanden at vi, hvis vi bruger Archimedes’ metode, kan tilnærme os en bestemt værdi ifølge Diophantus. Fermat vil med andre ord approksimere det retlinede parallelogram GE × GH til firkanten GHIE, som ikke er retlinet, da den ”øverste” side er en del af kurven. Desuden antages at intervallerne GH, HO, OM, MR osv. er passende lig hinanden, idet vi så kan bruge Archimedes’ Exhaustionsmetode angående omskrevne og indskrevne polygoner. Fermat hævder at denne metode er kendt af alle matematikere og mener derfor ikke at en uddybelse er nødvendig. ”It is enough to make this remark once and we do not need to repeat it and insist constantly upon a device well known to mathematicians”16 Vi ved at Fermat generelt var meget skeptisk overfor de samtidige matematikere som f.eks. Descartes og Roberval. ”He claimed that Descartes had not correctly deduced his law of refraction since it was inherent in his assumptions” 17 og “Fermat claimed that he had a precise demonstration and doubted that Roberval had one.”18 Vi kan derfor igen tydeligt se hvordan han på helt anden vis respekterede Archimedes’ ideer, som han ikke så grund til at betvivle eller uddybe. For at vende tilbage til matematikken har vi nu at AG AH AO = = AH AO AM

og det medfører at

AG GH HO = = AH HO OM

For parallelogrammerne har vi EG × GH HI × HO = HI × HO ON × OM

16

Kilde 3, side 2, 2.spalte n MacTutor History of Mathematics, Article by J J O’Connor and E F Robertson side 2, mn 18 Katz side 482 ø 17

Faktisk består forholdet på venstresiden af forholdene

EG GH og ,og som før nævnt er HI HO

GH AG EG AG = hvilket betyder at venstresiden kan opløses til brøkerne og . HO AH HI AH Fermat definerede tidligere leddene i kvotientrækken til at være proportionale. Som før nævnt er EG AO EG AH 2 = = og pga. proportionaliteten kan vi skrive . 2 HI AG HI AG Derfor kan brøken

EG × GH AO AG opløses til brøkerne og . HI × HO AG AH

Fermat opløser derefter også

AO AO AG til og . Altså fås forholdene AH AG AH

EG × GH AO AH = = HI × HO AH AG HI × HO AO = Tilsvarende vises det at NO × MO AH . Fra før har vi jo at linjestykkerne AO, AH, AG som netop er elementerne i ovennævnte brøker definerer en kvotientrække. Således vil de uendeligt mange parallelogrammer EG × GH , HI × HO, NO × OM osv. udgøre en kvotientrække, hvor forholdet mellem leddene er

AH . AG

Ifølge (*) har vi, idet vi ser på intervallerne AG og AH, at forholdet mellem GH (som er differensen mellem intervallerne) og AG vil være lig forholdet mellem parallelogrammet GE × GH (idet GE = AG ) og summen af de uendeligt mange resterende

parallelogrammer. Ifølge Archimedes er denne sum netop den ubegrænsede figur begrænset af den lodrette linje HI, asymptoten HR og kurven IND. Multiplicerer vi GH og AG med EG får vi forholdet

GH EG × GH = AG EG × AG

Fermat bemærker dernæst at forholdet mellem parallelogrammet EG × GH og det uendelige areal til højre for linjen HI , lad os kalde det a2, er lig forholdet mellem EG × GH og EG × AG . Men så er jo b = a 2 . Lægger vi EG × GH til hhv. b og a2 dvs. EG × GH + b = EG × GH + a 2 = a1 får vi det ønskede resultat idet EG × GH vil reduceres til ingenting når vi foretager en uendelig inddeling af intervallerne. Vi har altså at b = a1 som var det ønskede. Fermat mener at påstanden nemt kan bestyrkes hvis man fører et bevis a la Archimedes og at det ikke er svært at udvide resultatet til alle hyperbler undtagen Apollonius’ hyperbel. Som nævnt må dette være typisk for Fermat. Han gav hints og omrids af sine ideer, men man måtte selv udføre detaljerne for at få et helt stringent bevis.

Roberval Gilles Roberval (1602-1675) var en fransk matematiker der især arbejdede indenfor integration og tangenter. I 1632 blev han udnævnt til professor i filosofi ved Collège Gervais i Paris. Han ernærede sig som matematiklærer og rejste meget rundt i Frankrig. Her mødte han blandt andet Fermat og han arbejdede senere sammen med både Pascal og Picard. På grund af konkurrence om universitetsstillingerne er det ikke meget Roberval har publiceret. To publikationer i henholdsvis 1636 og 1644. Han var nødt til at have ”noget at komme med” når stillingerne skulle generhverves hvert 3 tredje år. Han står derfor noget i skyggen af Fermat, Descartes og Pascal. Dog er noget af hans arbejde blevet publiceret efter hans død.19 Han beskæftigede sig også med cykloiden, som beviset herunder drejer sig om.

19

”Dictionary of scientific biogaphy”

fig.1: Cykloiden.

Cykloiden fremkommer ved at man ”følger” et punkt på en cirkel der ruller langs 1aksen. På figur 2 herunder er skitseret hvordan et punkt der befinder sig i (0,0) bevæger sig i rummet når cirklen ruller en halv omgang mod højre.

fig.2: Cykloiden fremkommer ved at følge et punkt på en cirkel der bevæger sig langs 1aksen. En anden kurve der er interessant er “The Companion of the Cykloid”. Det er den kurve der fremkommer hvis man projekterer højden af punktet man følger for at danne cykloiden ind på den lodrette diameter. På figur 3 er cirklen drejet ca. en kvart omgang og punktet A har bevæget sig op ad cykloiden. Samtidig projekteres A´s højde ind på diameteren.

Figur 3. Punktet A bevæger sig på cykloiden når cirklen bevæger sig hen af 1-aksen. A’s højde afbildes på den lodrette diameter og danner derved “The Companion of the Cykloid”.

Der påstås to ting: 1: at arealet mellem cykloiden og “The Companion of the Cykloid” er lig arealet af cirklen. Her betyder cykloiden én buelængde af figur1.

2: at arealet mellem cykloiden og 1- aksen er 3 gange cirklens areal.

Bevis 1: Først inddeler vi halvcirklen og x-aksen i uendeligt mange lige store dele.

Fig. 4: Halvcirklen og x-aksen deles ind i uendeligt mange lige store stykker.

Dvs at AM=MN=NO=… og AE=EF=FG=…. Da AGB = AC må der derfor også gælde at AM=AE=MN=EF, osv.

Fig. 5 EE1=M2M1,FF1=N2N1,GG1=O2O1,… Halvcirklen inddeles i uendeligt mange striber med samme areal som dem der inddeler figur AM1…D…N2A. Figuren AM1N1…D…N2M2A inddeles i uendeligt mange striber med længde M2M1,N2N1, .. og højder AE1,E1F1,…

Tilsvarende inddeles halvcirklen AGB i uendeligt mange striber med længde EE1,FF1,.. og højder AE1,E1F1,.. Striberne har altså samme højde og da EE1=M2M1,FF1=N2N1,.. har de to figurer samme areal, dvs. det halve af cirklens areal. Dvs. under en hel cykloide buelængde er arealet lig cirklens areal.

Bevis 2: “The Companion of the Cykloid” halverer parallelogrammet ACDB(se figur 6). Dvs at arealet mellem “The Companion of the Cykloid” og x-aksen er halvdelen af parallelogrammets areal. Dette areal er lig │AC│*│AB│, men │AC│ var jo lig med halvdelen af cirklens omkreds(π*r)(r er cirklens radius). │AB│ =2r, så parallelogrammets areal bliver : │AC│*│AB│= (π*r)*(2r) = 2*π*r2. Dvs 2 gange cirklens areal.

Fig. 6: “The Companion of the Cykloid” halverer parallelogrammet ACDB, da der til enhver linie i AM1N1..DCA svarer en linie på samme længde i AM1N1…DCA.

I bevis 1 så vi at arealet mellem cykloiden og “The Companion of the Cykloid” var lig arealet af cirklen. Så i alt er arealet mellem cykloiden og x-aksen: 3/2*arealet af cirklen. Da cykloiden her er en halv buelængde, er det samlede areal derfor lig 3*cirklens areal.

Kommentar: I bevis 1 er det Cavalieris ”method of indivisibles” der bruges. Højderne af striberne bliver uendeligt små, dvs. det er det er linjer der er tale om. Dette kaldes i dag Cavalieris princip:”if two plane figures have equal altitudes and if sections made by lines parallel to the bases and at equal distances from them are always in the same ratio, then the plane figures are also in this ratio”20. Roberval påstår selv at han har det direkte fra Archimedes, uden at kende til Cavalieris metode21. Cavalieri publicerede sit arbejde i 1635 og Roberval bestemte i 1637 arealet under cykloiden. Det kan derfor virke usandsynligt at Roberval ikke har kendt til Cavalieri’s arbejde, men i Robervals publication lader han sine striber få uendeligt lille areal, men han siger ikke at de bliver til linjer. Så det det kan være sandt at han ikke kendte Cavalieri’s arbejde.

Konklusion: De to kurver har følgende parametrisering: Cykloiden:

x(t)=t-sin(t) y(t)=1-cos(t)

20

Kirsti Andersen, “Cavalieri’s Method of Indivisibles”, Archive for History af Exact Sciences 31 (1985),p.316 21 Dictionary af scientific biography

“The Companion of the Cykloid”

x(t)=t y(t)=1-cos(t)

I moderne integration ville beregningerne derfor se således ud(radius=1): Areal1 =

2π

2π

2π

0

0

0

2 ∫ (1 − cos(t )) d (t − sin t ) − ∫ (1 − cos(t )) dt = ∫ ( cos (t ) − cos(t ))dt =π

Arealet mellem cykloiden og “The Companion of the Cykloid” når man ser på en buelængde er netop arealet af en cirkel med radius 1.

Areal 2 =

2π

2π

0

0

∫ (1 − cos(t )) d (t − sin t ) = ∫ (1 − 2 cos(t ) + cos

Arealet mellem cykloiden og x-aksen er netop 3

2

)

(t ) dt = 3π