Progresia Aritmetica

RECAPITULARE: şiruri de numere reale determinarea termenilor unui Şir ce respectĂ anumite particularitĂŢi

1) Fie şirul ( a n ) n≥1 , având termenul general a n = 6 − 2n

Să se determine a5 şi a10

2) Fie şirul ( a n ) n≥1 , având primul termen 5 şi relaţia de recurenţă:

a n +1 = 2a n + 3

Să se determine termenul de rang 5, adică a 5

3) Să se completeze cu încă 3 termeni fiecare şir: • • • • •

1, 5, 9, 13, 17, ......, ......., ..... 2, 12, 22, 32, ......, ......., ..... 7, 9, 11, 13, ......, ......., ..... 19, 16, 13, 10, ......, ......., ..... 36, 31, 26, 21, ......, ......., .....

titlul lecţiei:

Pro gre sia aritme tică

Obiectivele urmărite în lecţie: • să poată identifica o progresie aritmetică • să poată determina orice termen al unei progresii aritmetice, având anumite ipoteze • să utilizeze legătura cu media aritmetică a termenilor unei progresii aritmetice • să calculeze suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice, în diverse ipoteze

Definiţie: Un şir de numere reale în care orice termen, începând cu al doilea, se obţine din termenul precedent adunat cu acelaşi număr se numeşte progresie aritmetică. Aşadar, progresia aritmetică este un şir ( a n ) n≥1 definit prin relaţia de recurenţă a n +1 = a n + r , unde r este un număr real fixat, numit raţie.

Exemple de progresii aritmetice • • • •

1,2,3,4,5,... cu raţia r = 1 -10,-5,0,5,10,15,... cu raţia r = 5 99,96,93,90,87,84,81,..., cu raţia r = -3 19,17,15,13,11,9,7,5,3,1,..., cu raţia r = -2

Proprietăţile unei progresii aritmetice

P1) Un şir ( a n ) n≥1 este progresie aritmetică dacă şi numai dacă orice termen începând cu al doilea este medie aritmetică a termenilor vecini lui, adică pentru n ≥ 2 avem: a n −1 + a n +1 an = 2

Exemplu Fie ( a n ) n≥1 o progresie aritmetică pentru care avem a8 = 17 şi a10 = 25. Să se afle a 9 şi raţia r. Soluţie: Avem:

a8 + a10 17 + 25 a9 = = = 21 2 2

Termenii consecutivi cunoscuţi sunt: 17, 21, 25, adică r = 4.

P2) Într-o progresie aritmetică ( a n ) n≥1 , termenul general este dat de formula:

a n = a1 + (n − 1) ⋅ r

Exemplu Fie ( a n ) n≥1 o progresie aritmetică pentru care avem a1 = 24 şi r = -5. Să se afle a 9 Soluţie: a9 = 24 + (9 − 1) ⋅ (−5) = 24 − 40 = −16

P3) Suma primilor n termeni ai progresiei aritmetice ( a n ) n≥1 este dată de formula: S n = a1 + a 2 + a3 + ... + a n =

( a1 + a n ) ⋅ n 2

Exemplu Să se calculeze suma S = 2+4+6+8+...+24. Soluţie: Avem o progresie aritmetică cu raţia r = 2 şi cu numărul de termeni n = 12. Atunci: S

( 2 + 24 ) ⋅12 = = 26 ⋅ 6 = 156 2

Exerciţii orale • 1) Care din următoarele şiruri este progresie aritmetică: a) 7, 5, 3, 1, -1, -3, ... b) 2, 3, 5, 6, 8, 9, ...

Exerciţii orale 2) Care este raţia unei progresii aritmetice cu a1 =10 şi a 2 = 15

Exerciţii orale • 3) Să se determine x real pentru care tripletul 4, x, 12 formează o progresie aritmetică.

Muncă independentă • Manual pag: 79 ex E3, E7 a, b

Prof: Tulvan Emilia