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- Words: 630
- Pages: 2
MAT128
Analyse ´el´ementaire UE propos´ ee en S2 : 6 cr´ edits 18 CM - 6TDI - 18 TD - utilisation de machines en libre-service Les objectifs : maˆıtriser les outils de base du calcul differentiel et integral: • en augmentant son bagage de fonctions usuelles, • en sachant appliquer correctement toutes les r`egles de calcul de d´eriv´ees, • en utilisant `a bon escient les formules d’integration par parties et du changement de variable pour le calcul des primitives et int´egrales d´efinies, • en sachant int´egrer les equations differentielles lineaires du premier ordre `a cœfficients variables et du second ordre `a cœfficients constants, • en se familiarisant avec les developpements limites et leurs applications. Le programme • Derivees et primitives – les techniques de calcul des d´eriv´ees : r`egles de d´erivation usuelles (combinaison lin´eaire, somme, produit, quotient, compos´ee, application r´eciproque), manipulation de logarithmes et d’exponentielles En th´eorie, des r´evisions du Secondaire!
– les th´eor`emes utilisant les d´eriv´ees : le th´eor`eme de Rolle, le th´eor`eme et l’in´egalit´e des accroissements finis, sens de variation d’une fonction, extrˆemum, point d’inflexion, formule de Leibniz
– des fonctions nouvelles : les fonctions circulaires r´eciproques (introduction motiv´ee par le calcul des primitives), les fonctions hyperboliques (les fonctions hyperboliques r´eciproques ne seront abord´ees qu’en td, o` u l’on pourra ´etablir leur expression logarithmique)
– les techniques de calcul des primitives : table des d´eriv´ees et primitives des fonctions usuelles `a savoir par cœur, cas des primitives des fractions rationnelles (forme de la d´ecomposition `a connaˆıtre et savoir trouver uniquement dans le cas de pˆ oles tous r´eels et simples, sinon la donner), la formule d’int´egration par parties (lien avec la d´eriv´ee d’un produit de fonctions), la formule du changement de variables (lien avec la d´eriv´ee de la compos´ee de deux fonctions)
• Equations differentielles – du premier ordre : a` variables s´epar´ees et lin´eaires `a coefficients variables, structure de l’ensemble des solutions, principe de superposition, m´ethode de variation de la constante
– lin´eaires du second ordre avec un premier membre ` a coefficients constants et un second membre d’un certain type
• Limites et developpements limites – calcul de limites “´el´ementaires” th´eor`emes de comparaison, croissance compar´ee des fonctions usuelles, utilisation des ´equivalents (pour lever une ind´etermination dans un calcul de limites), retour (en particulier) sur la d´efinition du nombre d´eriv´e (qui fournit un certain nombre d’´equivalents classiques)
– continuit´e continuit´e ` a droite, continuit´e `a gauche, fonction prolongeable par continuit´e
d´erivabilit´e d´erivabilit´e ` a droite, nombre d´eriv´e `a droite, d´erivabilit´e `a gauche, nombre d´eriv´e `a gauche, point anguleux, ´ecriture analytique de la d´erivabilit´e en x0 qui ´equivaut `a l’existence d’un DL en x0 ` a l’ordre 1
– les d´eveloppements limit´es d´eveloppements limit´es des fonctions de r´ef´erence (la formule de Taylor-Young est admise), op´erations sur les d´eveloppements limit´es
– des applications des d´eveloppements limit´es calcul de limites (en cas d’ind´etermination et si les ´equivalents ne suffisent pas), tangente ´eventuelle ` a une courbe et position par rapport `a cette tangente, asymptote ´eventuelle `a une courbe et position par rapport `a cette asymptote
Des commentaires Que l’´etudiant ne se laisse pas abuser par l’accessibilit´e toute relative de cette UE ! En effet, mˆeme si les termes qui apparaissent dans le programme peuvent lui sembler familiers, la maˆıtrise totale des outils qui y sont pr´esent´es demande un entrainement intensif : - en apprenant le cours au fur et `a mesure qu’il est fait (et en interrogeant son enseignant en cas de trouble), - en pr´eparant les s´eances de travaux dirig´es de mani`ere `a les rentabiliser au maximum, - en reprenant soigneusement chez soi les exercices qui y auront ´et´e trait´es tout en d´ecortiquant leurs m´ecanismes, - en s’entraˆınant en temps limit´e avec les annales, une excellente note `a cette UE est cependant `a la port´ee de tout ´etudiant consciencieux.
Analyse ´el´ementaire UE propos´ ee en S2 : 6 cr´ edits 18 CM - 6TDI - 18 TD - utilisation de machines en libre-service Les objectifs : maˆıtriser les outils de base du calcul differentiel et integral: • en augmentant son bagage de fonctions usuelles, • en sachant appliquer correctement toutes les r`egles de calcul de d´eriv´ees, • en utilisant `a bon escient les formules d’integration par parties et du changement de variable pour le calcul des primitives et int´egrales d´efinies, • en sachant int´egrer les equations differentielles lineaires du premier ordre `a cœfficients variables et du second ordre `a cœfficients constants, • en se familiarisant avec les developpements limites et leurs applications. Le programme • Derivees et primitives – les techniques de calcul des d´eriv´ees : r`egles de d´erivation usuelles (combinaison lin´eaire, somme, produit, quotient, compos´ee, application r´eciproque), manipulation de logarithmes et d’exponentielles En th´eorie, des r´evisions du Secondaire!
– les th´eor`emes utilisant les d´eriv´ees : le th´eor`eme de Rolle, le th´eor`eme et l’in´egalit´e des accroissements finis, sens de variation d’une fonction, extrˆemum, point d’inflexion, formule de Leibniz
– des fonctions nouvelles : les fonctions circulaires r´eciproques (introduction motiv´ee par le calcul des primitives), les fonctions hyperboliques (les fonctions hyperboliques r´eciproques ne seront abord´ees qu’en td, o` u l’on pourra ´etablir leur expression logarithmique)
– les techniques de calcul des primitives : table des d´eriv´ees et primitives des fonctions usuelles `a savoir par cœur, cas des primitives des fractions rationnelles (forme de la d´ecomposition `a connaˆıtre et savoir trouver uniquement dans le cas de pˆ oles tous r´eels et simples, sinon la donner), la formule d’int´egration par parties (lien avec la d´eriv´ee d’un produit de fonctions), la formule du changement de variables (lien avec la d´eriv´ee de la compos´ee de deux fonctions)
• Equations differentielles – du premier ordre : a` variables s´epar´ees et lin´eaires `a coefficients variables, structure de l’ensemble des solutions, principe de superposition, m´ethode de variation de la constante
– lin´eaires du second ordre avec un premier membre ` a coefficients constants et un second membre d’un certain type
• Limites et developpements limites – calcul de limites “´el´ementaires” th´eor`emes de comparaison, croissance compar´ee des fonctions usuelles, utilisation des ´equivalents (pour lever une ind´etermination dans un calcul de limites), retour (en particulier) sur la d´efinition du nombre d´eriv´e (qui fournit un certain nombre d’´equivalents classiques)
– continuit´e continuit´e ` a droite, continuit´e `a gauche, fonction prolongeable par continuit´e
d´erivabilit´e d´erivabilit´e ` a droite, nombre d´eriv´e `a droite, d´erivabilit´e `a gauche, nombre d´eriv´e `a gauche, point anguleux, ´ecriture analytique de la d´erivabilit´e en x0 qui ´equivaut `a l’existence d’un DL en x0 ` a l’ordre 1
– les d´eveloppements limit´es d´eveloppements limit´es des fonctions de r´ef´erence (la formule de Taylor-Young est admise), op´erations sur les d´eveloppements limit´es
– des applications des d´eveloppements limit´es calcul de limites (en cas d’ind´etermination et si les ´equivalents ne suffisent pas), tangente ´eventuelle ` a une courbe et position par rapport `a cette tangente, asymptote ´eventuelle `a une courbe et position par rapport `a cette asymptote
Des commentaires Que l’´etudiant ne se laisse pas abuser par l’accessibilit´e toute relative de cette UE ! En effet, mˆeme si les termes qui apparaissent dans le programme peuvent lui sembler familiers, la maˆıtrise totale des outils qui y sont pr´esent´es demande un entrainement intensif : - en apprenant le cours au fur et `a mesure qu’il est fait (et en interrogeant son enseignant en cas de trouble), - en pr´eparant les s´eances de travaux dirig´es de mani`ere `a les rentabiliser au maximum, - en reprenant soigneusement chez soi les exercices qui y auront ´et´e trait´es tout en d´ecortiquant leurs m´ecanismes, - en s’entraˆınant en temps limit´e avec les annales, une excellente note `a cette UE est cependant `a la port´ee de tout ´etudiant consciencieux.
