Profilul_real.pdf

CONCURSUL NAȚIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 16 martie 2019 Filiera Teoretică : profilul Real - Științe ale Naturii

BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE Clasa a IX -a

Problema 1. a) Determinați intervalele de monotonie ale funcției [ )( b) Rezolvați ecuația (√ ) ( √ SOLUȚIE: [ a) (

]

( )

√

)

(√

√

√ ) (√

√

( )

√

√ )

√

√

]

√

( ) √ . √ ) . (Concurs GM, ediția a V-a, prelucrare)

√

................................................................................................... 1p

[ ] √ ( ) ( ) Dacă este strict √ √ √ ] ................................................................................................................................. 1p crescătoare pe [ [ ] √ ( ) ( ) Dacă este strict √ √ √ ] .......................................................................................................................... 1p descrescătoare pe [ [ ].............................................................. 1p b) Din condițiile de existență ale radicalilor avem că ( ) ( ) .......................................................................................................................... 1p ( ) ( ) [ ) ( ] Ecuația nu are soluții [ ) ( ] ... 1p Cum este soluție, concluzionăm că ecuația are o singură soluție: . .................................. 1p

Problema 2. {

Să se rezolve în SOLUȚIE: Notând [ ( ) Cum [

]

} ecuația:

[

(

]

) [

]

( ) ], obținem ................................................................... 1p ( ) ( ) ......................................................................................... 1p .................................................................................................................................. 1p [

]

......................................................................................... 1p (

)

] [ ). ( { } ..................................................................................................................... 1p ( )( ) ( ) ( )................. 1p

Cum

√

{

} și

(

√

√

)

{

√

} care verifică ecuația ............................................. 1p

Problema 3. O dreaptă care trece prin centrul de greutate al triunghiului punctul și segmentul ( )în punctul . Notăm cu și a) Să se arate că ⃗⃗⃗⃗⃗ b) Arătați că c) Arătați că

⃗⃗⃗⃗⃗

intersectează segmentul (

) în

.

⃗⃗⃗⃗⃗ .

. și

sunt concurente dacă și numai dacă

SOLUȚIE: ̅̅̅̅

⃗⃗⃗⃗⃗

a) ̅̅̅̅ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ...................................................................................................... 1p ⃗⃗⃗⃗⃗ )

b) Analog se arată că ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ............................................................................. 1p

⃗⃗⃗⃗⃗ .......................................................................................... 2p

Vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ sunt coliniari

............................................ 1p

c) Din teorema lui Ceva și reciproca teoremei lui Ceva avem că și sunt concurente ( ) ( ) ( ) ......................................................................................................................... 1p .................................................................................................. 1p Problema 4. Pe ambele laturi ale unui unghi drept în direcția vârfului unghiului se mișcă două corpuri. Primul corp se mișcă cu viteza de m/min, iar al doilea cu viteza de m/min. La un moment dat distanța dintre corpuri a fost egală cu m. Trei minute mai târziu distanța dintre corpuri a devenit de m. La ce distanță de vârful unghiului erau situate corpurile în primul moment fixat de timp? SOLUȚIE: Notăm cu distanța de la primul corp la vârful unghiului în primul moment fixat de timp, distanța de la al doilea corp la vârful unghiului în primul moment fixat de timp. ......................................................................................................................................... 1p ( ) ( ) .................................................................................................................. 1p ( ) ( ) ( ) ( ) ......................................................................................................................................... 1p (

(

) .............................................. 2p ) m ...................................................................................................................... 1p m ................................................................................................................................................... 1p

Notă. Orice altă rezolvare corectă va fi punctată conform baremului.

CONCURSUL NAȚIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 16 martie 2019 Filiera Teoretică: profilul Real - Științe ale Naturii BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE Clasa a X -a Problema 1. a) Demonstraţi că a2  b2  c2  ab  bc  ca , oricare ar fi numerele reale a, b şi c. Când se atinge egalitatea? b) Determinaţi numerele reale x pentru care 4x  9x  36x  6x  12x  18x . SOLUŢIE: 2 2 2 a) Inegalitatea revine la  a  b    b  c    c  a   0 . ......................................................................... 2p Egalitatea se atinge pentru a  b  c . ....................................................................................................... 1p b) Pentru a  2x , b  3x , c  6x , se atinge egalitatea în inegalitatea de la a). ............................................. 2p Rezultă că 2x  3x  6x , de unde x  0 . .................................................................................................... 2p Problema 2. Se consideră numerele a 

log 2 24 log 2 192  şi b  2log6 18  3log6 3 . log96 2 log12 2

Arătaţi că 2a  b  0 . SOLUŢIE: Fie x  log 2 3 ; atunci a   3  x  5  x    6  x  2  x   3 

. ............................................................ 3p

 u  2v   u  v   u  v   u  v  lg 6 , lg18 lg 3  lg 2   lg 3  lg 6 lg 6 uv uv prin urmare b  6  . .............................................................................................................................. 3p Rezultă că 2a  b  2  3  6  0 . ................................................................................................................ 1p Fie u  lg 2, v  lg3 ; atunci lg b 

Problema 3. a) Arătaţi că funcţia f :



, f  x   3 2 x  1 este bijectivă.

b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 3 2 x  1  x3  1 .

2

2

SOLUŢIE: a) Funcţia f se obţine prin compunere de funcţii strict crescătoare; rezultă că f este strict crescătoare, deci y3  1  cu proprietatea că f  x   y , aşadar f este surjectivă. ..... 3p injectivă. Pentru y  , există x  2 b) Considerând funcţia de la a), ecuaţia se scrie sub forma f  x   f 1  x  , echivalentă cu f  x   x ....2p  1  5  Soluţiile acestei ecuaţii sunt 1,  . ............................................................................................... 2p 2  

Problema 4. Numerele complexe z1 , z2 , z3 şi z4 sunt astfel încât z1  z2  2, z2  z3  2, z3  z4  3 2 , z4  z1  4 şi z2  z4  2 5 . Calculaţi z1  z3 . Gazeta Matematică 12/2018 (Supliment) SOLUŢIE: Considerăm punctele A, B, C, D având afixele z1 , z2 , z3 , respectiv z4 . Ipoteza problemei spune că AB  2, BC  2, CD  3 2, DA  4 şi BD  2 5 . ............................................................................... 2p









Cum AB2  AD2  BC 2  CD2  BD2 , rezultă că m BAD  m BCD  90 . ........................................ 2p Ducem înălţimile AA şi CC  în triunghiurile dreptunghice ABD, respectiv CBD şi considerăm proiecţia M a punctului A pe dreapta CC  . Folosind teorema catetei şi teorema înălţimii în triunghiurile ABD şi CBD, apoi teorema lui Pitagora în triunghiul MAC, obţinem că AC  10 , prin urmare z1  z3  10 . .................................................................................................................................................................... 3p (Altfel: patrulaterul ABCD are două unghiuri opuse suplementare, deci este inscriptibil. Folosind teorema lui Ptolemeu: AB  CD  AD  BC  AC  BD , obţinem că AC  10 .) Notă. Orice altă rezolvare corectă va fi punctată conform baremului.

CONCURSUL NAȚIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 16 martie 2019 Filiera Teoretică: profilul Real - Științe ale Naturii BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE Clasa a XI -a

Problema 1.

1 0 1 2 1 Fie matricele A    .  şi B   4  4 2 3 0





Demonstraţi că  I 2  iA   I 2  iB   1  i   1  A  B  , n  n

n

n



.

Gazeta Matematică 11/2018 (Supliment) SOLUŢIE: Avem că An  A şi Bn  B , oricare ar fi n  Cu formula binomului,

 I 2  iB 

n



 I 2  iA



n



. ..................................................................................... 2p

 I 2  A  C1ni  Cn2i 2 





 Cnni n   I 2  A 1  i   1 n

şi, analog,

 I 2  B 1  i   1 . ............................................................................................................... 4p n

Scăzând membru cu membru, obţinem relaţia dorită. .............................................................................. 1p

Problema 2.  x 2  1, x  0  x  1, x  1 Se consideră funcţiile f , g :  , f  x    , g  x   x . x0  ln x, x  1 e , Determinaţi funcţiile f g şi g f şi studiaţi continuitatea lor.

SOLUŢIE:

ln  x 2  1 , x   2   f g :  ,  f g  x    x 2  2, x   2, 0 ............................................................................ 2p  x0  x,  x 2  2 x, x  1 ............................................................................................ 2p g f :  ,  g f  x    x , x  1  Funcţiile f şi g sunt continue, cu excepţia punctelor de racordare a ramurilor, întrucât operaţiile cu funcţii elementare au ca rezultat funcţii continue. ................................................................................................ 1p Calculând limitele laterale şi valorile funcţiilor în punctele de racordare a ramurilor, obţinem că f g





este continuă în  2 şi discontinuă în 0, iar g f este discontinuă în 1. ............................................... 2p

Problema 3. a) Dacă funcţia f : 1, 2   2,5 este continuă, demonstraţi că ecuaţia f  x   x 2  1 are cel puţin o soluţie în intervalul 1, 2 . b) Daţi exemplu de o funcţie g : 1, 2   2,5 pentru care ecuaţia g  x   x 2  1 nu are soluţii în intervalul 1, 2 . SOLUŢIE: a) Considerăm funcţia h : 1, 2 

, h  x   f  x    x 2  1 . Cum h este continuă, h 1  f 1   2  0

şi h  2   f  2   5  0 , rezultă că funcţia h se anulează pe intervalul 1, 2 , de unde cerinţa problemei. .................................................................................................................................................................... 4p   3 8  3 x, x  1, 2     b) Un posibil exemplu este g : 1, 2   2,5 , g  x    . ......................................... 3p 3    6  2 x, x  , 2    2 

Problema 4. Date trei numere naturale de câte trei cifre m  abc, n  def şi p  ghi , le asociem determinantul a b c   m, n, p   d e f . g h i a) Dacă m, n, p sunt numere divizibile cu 29, arătaţi că   m, n, p  este un număr divizibil cu 29. b) Dacă m, n, p sunt numere prime, rezultă că   m, n, p  este un număr prim? SOLUŢIE: a) Adunăm de 100 de ori prima coloană şi de 10 ori a doua coloană peste cea de-a treia coloană; în acest fel, putem da 29 factor comun de pe coloana a treia, prin urmare   m, n, p  este un număr divizibil cu 29. .................................................................................................................................................................... 4p b) Nu neapărat: de exemplu,  101,103,107   0 , care nu este număr prim. ......................................... 3p Notă. Orice altă rezolvare corectă va fi punctată conform baremului.

CONCURSUL NAȚIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 16 martie 2019 Filiera Teoretică : profilul Real - Științe ale Naturii

BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE Clasa a XII -a

Problema 1. Fie n un număr natural impar. Pe , definim operația algebrică x y a) Demonstrați că , este grup. b) Demonstrați că , , . c) Pentru n 2019, rezolvați ecuația x x ... x 2019.

n

xn

y n ,x, y

.

2019ori

SOLUŢIE: a) Se verifică axiomele grupului................................................................................................................. 2p b) Se consideră funcția f : , f ( x) x n , n ,n impar. Evident, f este bijectivă ............................... 2p f ( x y)

f

n

c) x x ... x

xn 2019

yn

xn

yn

2019 x 2019

f ( y ) ......................................................................................... 1p

f ( x)

2019

x

2019

20192018 .......................................................................... 2p

2019ori

Problema 2. Fie M1

a 0 0 0 b 0 | a, b, c 0 0 c

a b | a, b, c, d c d

,M 2

,a

b

c

d .

a) Demonstrați că M1, M 2 au structuri de monoid, relativ la operația de înmulțire. b) Determinați mulțimile elementelor simetrizabile U M1 ,U M 2 . SOLUŢIE: a) Se verifică axiomele monoidului ........................................................................................................... 2p b)

1 1 1 ......................................................................................................................................... 1p , , ab ac bc 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

U M1

0 1 0, 0 1 0 0 1 0 0

0 , 0 1 0

1 0, 0 0 1 0

1 0, 0 0 1 0

1 0

0 , 0 1 0

1 0

0 , 0 1 0

1 0 , 0 0 1 0

1 0

.................................................................................................................................................................... 2p U M2

a

1 a |a a 1 2 a

a

1 a |a 1 a a

a a 1

1 a |a a

a a 1

1 a |a 2 a

.

.................................................................................................................................................................... 2p

0 1

Problema 3. Fie f : a, a

o funcție pară și continuă, a 0. a

a

f ( x)

a) Demonstrați că

1 e a 1 2

dx kx

f ( x)dx,( )k 0

1

b) Calculați 1

1 2

x

2

.

dx.

e2019 x

1

SOLUŢIE: a

a)

f ( x)

1 e a

kx

0

a

f ( x)

dx

1 e a

dx

kx

0 0

t și obținem că

Alegem x

f ( x) 1 ekx f ( x)

1 ekx a

dx ................................................................................................. 1p 0

a

f  pară a

f ( t)

dx

1 e

dt kt 0

1

f (t ) dt 1 ekt

a

0

f (t )ekt 1 ekt

a

dt 0

f ( x)ekx 1 ekx

dx

.................................................................................................................................................................... 3p Finalizare.................................................................................................................................................... 1p 1 2

1

b) 1 2

1 2

1

1

dx

x 2 e2019 x

1

1

0

x2

dx

1 arcsin( x) 2 0

6

......................................................................2p

Problema 4. Se consideră funcția f : , f ( x) {x} {x} 2 2. a) Demonstrați că f este periodică de perioadă T 1. 2019

1

f ( x)dx și

b) Calculați 0

f ( x)dx. 2019

SOLUŢIE: a) f ( x 1) {x 1}({x 1} 2) 2 {x}({x} 2) 2 1

b)

1

f ( x)dx

0 2019

x( x

2 dx

0 2018

f ( x)dx 2019

2)

4 . .......................................................................................................... 1p 3

2017

f ( x)dx 2019

0

f ( x)dx 2018

f ( x) ...................................................................... 2p

...

1

f ( x)dx 1

2019

f ( x)dx 0

f ( x)dx ............................. 2p

... 2018

Din faptul că f este periodică de perioadă T = 1, obținem că 2019

1

f ( x)dx 4038 2019

f ( x)dx

5384 ............................................................................................................ 2p

0

Notă. Orice altă rezolvare corectă va fi punctată conform baremului.