Produto Vetorial E Tensor Levicivita

1 Nesta etapa vamos expressar a componente do produto vetorial usando o tensor de Levi-Civita. Também podemos expressar as componentes e do produto vetorial usando o mesmo raciocínio. Estes e outros estudos semelhantes estão escritos no meu blog: http://elisiofisica.blogspot.com/ . Divirta-se.

COMPONENTE DO PRODUTO VETORIAL EM TERMOS DO TENSOR DE LEVICIVITA O

produto

vetorial

entre

mostrar que a componente

No

estudo

dois

vetores

é

dado pela equação . Neste estudo vamos

pode ser expressa como

sobre

o tensor de Levi-Civitai foi visto que as bases são positivas (sentido anti-horário) para o sistema de refeferência e são bases negativas (sentido horário) do mesmo sistema. Usamos os índices (1,2,3) ordenados nos sentidos do nosso parafuso imaginário, ou seja, no sentido horário e anti-horário, para definir o símbolo de permutação . Para o sentido permutações

anti-horário

chegamos .

(1) Para o sentido horário obtivemos , e para as demais permutações,

(3)

ou quando houver dois ou mais índices iguais, por exemplo: .

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(4)

(2)

as

2

Obs: se

, como expressaríamos

Assim: .

(5)

Sabemos que o produto vetorial entre dois vetores

é dado pela equação .

A componente

(6)

deste prroduto vetorial é dado pela expressão .

Usando a notação

e

(7)

podemos escrever a equação (7) como (8)

que poderia ser escrita, usando o tensor de Levi-Civita da seguinte maneira: , pois sabemos que e

(9)

(10) .

(11)

ou seja, uma permutação no sentido anti-horario (que termina no 1 ou x) e outra permutação no sentido horário (que termina no 1 ou x). Portanto, a equação (9) torna-se (12)

Primeiro passo: quem é o índice repetido? É o grupo pois aparece 2 vezes no termo e, lembrando, índices repetidos indicam soma - no caso teremos dois símbolos de somatório. Sabemos que o varia de 1 a 3. Sabemos que (13) Portanto a equação (12) torna-se

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3

.

(14)

Pela definição do tensor de Levi-Civita, temos que (15) que resulta em (16)

Enfim, podemos expressar a componente

do produto vetorial da seguinte maneira:

(17) OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Baseado no que foi exposto acima a componente da seguinte forma:

do produto vetorial será escrita

(18) E o produto vetorial em termos do tensor de Levi-civita será escrito como:

(19) onde

é o versor na direção .

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