Producto De Dos Binomios Conjugados.docx

2.1.2. Producto de dos binomios conjugados

El producto 103 por 97 que es una operación aritmética, se puede escribir como (100 + 3) (100 - 3) dado que 103 = 100 + 3 y 97 = 100 – 3. Quedando el producto (103)(97) = (100 + 3)(100 3), observamos que el producto dado se puede escribir como el producto (103)(97) = (100 + 3)(100 - 3), de dos binomios, los cuales tienen un término común (100) y un término (3) que difieren sólo en el signo (uno es positivo y el otro es negativo) dado que 103 = 100 + 3 y 97 = 100 - 3. Quedando el producto observamos que el producto dado se puede escribir como el producto de dos binomios, los cuales tienen un término común (100) y un término (3) que difieren sólo en el signo (uno es positivo y el otro es negativo). De esta manera, también en Álgebra se presenta este tipo de expresiones, por ejemplo: (x - 4)(x + 4) Donde x es el término común y los otros términos sólo difieren en el signo. (y - k)(y + k) Donde y es el término común y los otros términos sólo difieren en el signo

1 (

1 + 3a)(-

2

+ 3a) 2

Donde 3a es el término común y los otros términos sólo difieren en el signo. En este tipo de expresiones los términos que sólo difieren en el signo se les llama conjugados o simétricos. Para que puedas identificar este tipo de productos observa detenidamente los siguientes ejemplos:

Producto de dos binomios

Término común o igual

1. 2. 3. 4. 5.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

(a + x)(a - x) (2a + 3b)(2a - 3b) (2x2 - 1)(1 + 2x2) (-3ax + y)(3ax + y) (6x3 – m2x4)(6x3 + m2x4)

a 2a 2x2 y 6x3 xm

Término simétrico o conjugado 1. 2. 3. 4. 5. 6.

+x; -x +3b; - 3b -1; +1 -3ax; +3ax -m2x4; +m2x4 -yn; yn

6. (xm - yn)(xm + yn)

A los productos de binomios como los anteriores se les llama productos de binomios conjugados, porque tienen una parte idéntica y una parte simétrica. Si a los ejemplos 1, 3, 5, se les aplica el procedimiento para multiplicar binomios, se tiene:

1. (a + x)(a -x)

= a2 + ax – ax – x2 = a2 + [(x - x)] a – x2

3. (2x2 - 1)(1 + 2x2)

= a2 – x2 = 2x2 + 4x4 – 1 – 2x2 = 4x4 + [(2)+(-2)]x2 – 1

5. (6x3 – m2x4)(6x3 + m2x4)

= 4x4 - 1 = 36x6 + 6m2x7 – 6m2x7 – m4x8 = 36x6 + [(6)+(-6)]m2x7 – m4x8 =36x5 – m4x8

En los ejemplos anteriores observamos que el modelo matemático para el desarrollo del producto de binomios conjugados es: (x + y)(x - y) = x2 – y2 Analicemos la aplicación de la regla paso por paso: Para (6 + 3x)(6 – 3x) 1er. Paso: (6 + 3x)(6 – 3x) = 62 El cuadrado del término idéntico. 2do. Paso: (6 + 3x)(6 – 3x) = 36 – (+3x)2 (6 + 3x)(6 – 3x) = 36 – 9x2 Menos el cuadrado del término simétrico.

2 2 Para (6x2 - )(-6x2 - ) 5 5

2 2 2 1er. Paso: (6x2 - )(-6x2 - ) = ( )2 5 5 5 El cuadrado del término idéntico, que en este caso no solo es el primero que aparece en los binomios.

2

2

2

4

2

2do. Paso: (6x - )(-6x - ) = - (+6x2)2 5 5 25 Menos el cuadrado del término simétrico.

2 2

2

4

2

(6x - )(-6x - ) = - 36x4 5 5 25 Ahora apliquemos directamente estos dos pasos:

8 (y2 -

8 )(y2 +

5

64 ) = y4 -

5

25

(mx - 2)(-mx - 2) = 4 – m2x (5x3 – m2x4)( 5x3 + m2x4) = 25x6 – m4x8