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Procesamiento de Minerales y Materiales I

KOBASHICAWA C HINEN, Juan Antonio Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Geológica, Minera y Metalúrgica Lima-Perú Ciclo: 2007 - I Actualizado al: May 28, 2007

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Overview Overview

Introducción

Introducción Balance de Masa

Balance de Masa

Corrección de Leyes

Corrección de Leyes

Caracterización de las partículas

Caracterización de las partículas

Conminución

Conminución

Trituración Tamizado Industrial

Trituración Tamizado Industrial

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Overview Introducción Procesamiento de minerales Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales? Balance de Masa

Introducción

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial

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Procesamiento de minerales Overview

Mineral proveniente de la mina

Introducción Procesamiento de minerales Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales? Balance de Masa Corrección de Leyes

Planta conc.

Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial

Concentrado

Relave Mineral valioso Mineral no-valioso

Figura 1: Esquema del procesamiento de minerales. UNI-FIGMM

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Overview

1. Liberar el mineral valioso.

Introducción Procesamiento de minerales

 Reducción de tamaños

Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales? Balance de Masa

 Clasificación por tamaños

2. Separar el mineral valioso del estéril (concentración).

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

 Flotación.  Gravimetría.

Conminución Trituración Tamizado Industrial

 Electrostática.  Magnética.  Escogido selectivo.

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Balance Metalúrgico Overview Introducción Procesamiento de minerales

Por ejemplo: Se tiene una planta X la cual extrae Cobre (como calcopirita), y:

Balance Metalúrgico

 procesa 100000 toneladas diarias (i.e. gran minería),

¿Por qué procesar/concentrar minerales?

 con una ley de cabeza de 1.3%Cu,

Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

 reporta una recuperación del 92.5%  y una ley de concentrado de 27.6%.

Conminución Trituración Tamizado Industrial

Contenido metálico El contenido metálico de Cobre (en este caso Cobre fino) que ingresa a la planta es: Contenido metálicoAlimento = 100000 · 1.3% = 1300tCu /d

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Overview

Recuperación La recuperación se define/calcula según:

Introducción Procesamiento de minerales

Recuperación =

Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales? Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

Contenido metálico en el Concentrado Contenido metálico en el Alimento

(1)

Por lo que el contenido metálico en el concentrado será: Contenido metálicoConcentrado = 1300tCu /d · 92.5% = 1202.5tCu /d Y la ley en el concentrado se define como según como:

Conminución

Ley en el concentrado =

Trituración

Contenido metálico en el Concentrado Peso total del Concentrado

(2)

Tamizado Industrial

Por lo que el peso1 del concentrado será:

1202.5tCu /d = 4356.9t/d Peso total del Concentrado = 27.6% 1

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En realidad es Flujo, al estar expresado en masa/tiempo J. A. Kobashicawa: [email protected] – 7 / 144

Overview

Radio de Concentración El radio de concentración se calcula según:

Introducción Procesamiento de minerales Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales?

Radio de concentración

=

Flujo alimentado Flujo del concentrado

(3)

100000t/d = 22.95 4356.9t/d

Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial

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Overview Introducción Procesamiento de minerales Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales?

Porcentaje de Calcopirita en el Concentrado - Aproximado Si asumimos que todo el Cobre esta presente como Calcopirita (caso no-real) la ley máxima de Cobre que tendría el concentrado sería la ley de un Concentrado perfecto (i.e. solo existe el(los) mineral(es) deseado(s)2 .) La ley de Cobre en un Concentrado perfecto de Calcopirita se calcula según:

Balance de Masa Corrección de Leyes

% Cu - Conc. Perfecto

Caracterización de las partículas

=

P.A. Cu P.M. CuF eS2

= 34.63%

=

63.546 63.546 + 55.845 + 2 · 32.065

Conminución Trituración Tamizado Industrial

Tómese en cuenta, que un concentrado de Calcopirita nunca superará la ley de 34.63% de Cobre.

2

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se coloca en plural en caso de que el concentrado sea Bulk J. A. Kobashicawa: [email protected] – 9 / 144

Overview

La cantidad de Calcopirita que existe en el concentrado sería:

Introducción Procesamiento de minerales Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales? Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial

Peso total de Calcopirita =

1202.5tCu /d = 3472.8t/d 34.63%

Por lo que el porcentaje de Calcopirita en el concentrado es:

3472.8 = 79.7% % de calcopirita en el concentrado = 4356.9 Tómese en cuenta que este es el porcentaje máximo de calcopirita en el concentrado debido a que se ha asumido que todo el Cobre está presente solo como Calcopirita. Se cumple que: % de calcopirita en el concentrado

= =

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% Cu en concentrado % Cu en concentrado perfecto

27.6% = 79.7% 34.63%

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Overview Introducción Procesamiento de minerales Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales? Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

Porcentaje de Distribución Es la fracción que esta presente un elemento (compuesto) M en un flujo F respecto a la alimentación. La recuperación es un caso particular, en donde el flujo F es el Concentrado. La cantidad de Cobre que se va al relave es:

Contenido metálicoRelave Contenido metálicoRelave

= Contenido metálicoAlimento −Contenido metálicoConcentrado

= 1300tCu /d − 1202.5tCu /d = 97.5tCu /d

El porcentaje de distribución de Cobre en el Relave será:

Tamizado Industrial

% DistribuciónRelave % DistribuciónRelave

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= =

Contenido metálico en el Relave Contenido metálico en el Alimento

97.5 = 7.5 1300 J. A. Kobashicawa: [email protected] – 11 / 144

Overview

En este caso, coincide también que:

Introducción Procesamiento de minerales Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales? Balance de Masa

% DistribuciónRelave = 100% − % DistribuciónConcentrado Obsérvese que en este caso: % DistribuciónConcentrado = % Recuperación de Cobre

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial

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La cantidad de relave producido será: FlujoRelave

= FlujoAlimento − FlujoConcentrado

= 100000 − 4356.9 = 95643.1t/d

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Overview

La ley del relave será:

Introducción Procesamiento de minerales Balance Metalúrgico

LeyRelave =

¿Por qué procesar/concentrar minerales? Balance de Masa

LeyRelave =

Contenido metálicoRelave FlujoRelave

97.5tCu /d = 0.102% 95643.1t/d

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial

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Overview

El balance metalúrgico se resume en la Tabla 1:

Introducción Procesamiento de minerales Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales?

Tabla 1: Balance Metalúrgico (solo Cobre) Flujos (t/d) Ley Cu (%) Distribución (%)

Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución

Alimento Concentrado Relave

100000.0 4356.9 95643.1

1.300% 27.600% 0.102%

100.0% 92.5% 7.5%

R. C.

22.95

Trituración Tamizado Industrial

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¿Por qué procesar/concentrar minerales? Overview Introducción Procesamiento de minerales Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales? Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial

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Overview Introducción Balance de Masa Balance de Masa Alimentación Fresca Otros Flujos Corrección de Leyes

Balance de Masa

Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial

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Balance de Masa Overview

Todo lo que entra es igual a lo que sale (Sólidos y líquidos)

Introducción Balance de Masa Balance de Masa Alimentación Fresca Otros Flujos Corrección de Leyes

Por ejemplo, se tiene el siguiente circuito de molienda (ver Figura 2), en el cual se deben de completar los cuadros del diagrama de flujos. Se procesa a 250t/h un mineral de densidad de 2.65g/cc. El circuito es cerrado e inverso.

Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial

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Alimento fresco

Agua al molino

250 2.65 1

0 1

Underflow del hidrociclón

Overflow del hidrociclón

2.65 1

75%

2.65 1

75% Agua al sumidero

Descarga del molino

0

Fracción de sólidos al Overflow

2.65 1

1

30% 45%

65%

Alimento al hidrociclón

2.65 1 50%

Leyenda Sólidos (t/h)

Sólidos (g/cc)

Sólidos (m3/h)

Líquido (t/h)

Líquido (g/cc)

Líquido (m3/h)

Pulpa (t/h)

Pulpa (g/cc)

Pulpa (m3/h)

% de sólidos

Dilución

Figura 2: Ejemplo de Balance de masa en un circuito de molienda cerrado e inverso.

Alimentación Fresca Overview

El flujo de solidos (m3 /h) se estima según:

Introducción Balance de Masa Balance de Masa Alimentación Fresca

Volúmen Sólidos

Otros Flujos Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

Volúmen Sólidos





m3 h m3 h

 

= =

Peso Sólidos Densidad Sólidos

t h




t m3




250t/h 3 = 94.3m /h 2.65t/m3

(4)

(5)

(Nota: 1g/cc = 1t/m3 )

Tamizado Industrial

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Overview

El Porcentaje de Sólidos se define como:

Introducción Balance de Masa Balance de Masa Alimentación Fresca

% Sólido

=

Otros Flujos Corrección de Leyes

=

Peso Sólido Peso Pulpa Peso Sólidos Peso Sólido + Peso Líquido

Caracterización de las partículas

por lo que el peso de líquido puede calcularse según: Conminución Trituración Tamizado Industrial

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 1 Peso Líquido = − 1 · Peso Sólido %S     t t 1 Peso Líquido = − 1 · 250 = 83.3 h 0.75 h 

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Overview

El Volúmen del Líquido se estima según:

Introducción Balance de Masa Balance de Masa

Volúmen Líquido =

Peso Líquido Densidad Líquido

= 83.3m3 /h

Alimentación Fresca Otros Flujos

El Peso de Pulpa se calcula según:

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

Peso Pulpa

= Peso Sólido + Peso Líquido

Conminución

= 250t/h + 83.3t/h = 333.3t/h

Trituración Tamizado Industrial

El Volúmen de Pulpa se calcula según:

Volúmen Pulpa

= Volúmen Sólido + Volúmen Líquido = 94.3m3 /h + 83.3m3 /h = 177.6m3 /h

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Overview

La Densidad de pulpa se calcula según:

Introducción Balance de Masa

Densidad pulpa

Balance de Masa

=

Alimentación Fresca

=

Otros Flujos Corrección de Leyes

=

Caracterización de las partículas

Peso Pulpa Volúmen Pulpa Peso Sólido + Peso Líquido Volúmen Sólido + Volúmen Líquido

333.3t/h 3 = 1.88t/m 177.6m3 /h

Conminución Trituración Tamizado Industrial

La Dilución se define como: Dilución

= =

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Peso Líquido Peso Sólido

:1

83.3t/h : 1 = 0.33 : 1 250t/h

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Otros Flujos Overview Introducción

1. El Peso de Sólidos del Overflow del Hidrociclón es igual al Peso de Sólidos de la Alimentación Fresca.

Balance de Masa Balance de Masa Alimentación Fresca Otros Flujos Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

2. Estimar la Alimentación al Hidrociclón por la fracción de sólidos que se reporta en el Overflow (Peso Alimentación HC · F actor = Peso Overflow HC) 3. Se cumple que:

Conminución Trituración

Peso Alimentación HC = Peso Overflow + Peso Underflow

Tamizado Industrial

4. EL peso de sólidos que alimenta al molino es igual al del Underflow del Hidrociclón

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Alimento fresco

Agua al molino

0 --0 Underflow del 62.7 1 62.7 hidrociclón 62.7 1 62.7 305.6 2.65 115.3 0 --101.9 1 101.9 407.4 1.88 217.2 75% 0.33

250 2.65 94.3 83.3 1 83.3 333.3 1.88 177.6 75% 0.33

Agua al sumidero

0 307.7 307.7 0

--1 1 ---

0 307.7 307.7

Descarga del molino

Fracción de sólidos al Overflow

305.6 2.65 115.3 164.5 1 164.5 470.1 1.68 279.8 65% 0.54

Alimento al hidrociclón

555.6 555.6 1111.1 50%

2.65 1 1.45 1

209.6 555.6 765.2

Overflow del hidrociclón

250 2.65 94.3 583.3 1 583.3 833.3 1.23 677.7 30% 2.33 45%

Leyenda Sólidos (t/h)

Sólidos (g/cc) Sólidos (m3/h)

Líquido (t/h)

Líquido (g/cc) Líquido (m3/h)

Pulpa (t/h)

Pulpa (g/cc)

% de sólidos

Dilución

Figura 3: Balance de masa completo.

Pulpa (m3/h)

Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados

Corrección de Leyes

Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

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Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange

Para poder realizar el balance metalúrgico del circuito mostrado en la Figura 4 cuyas las leyes se presentan en la Tabla 2 se debe de corregir previamente las leyes para hacerlos “matemáticamente consistentes”. Estas correcciones deben de ser lo mínimo posible para que sean los más cercanos a los valores originales.

Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas

1

3

5

Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange

2

4

Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

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Figura 4: Circuito de Flotación Bulk Cu-Mo y Zn. 1: Alimento, 2: Concentrado Bulk Cu − P b, 3 Relave Bulk, 4: Concentrado de Zinc, 5: Relave General. J. A. Kobashicawa: [email protected] – 26 / 144

Overview Introducción Balance de Masa

Flujo

Tabla 2: Leyes de la Planta Concentradora X. Cu (%) Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) Fe (%)

1 2 3 4 5

1.880 42.280 0.175 2.018 0.100

Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados

3.504 6.714 0.241 58.285 0.138

61.860 1236.089 11.219 84.880 9.900

237.808 5319.722 24.048 242.686 20.760

0.012 0.060 0.007 0.054 0.002

5.456 15.811 5.196 2.397 9.870

Pb (%) 0.023 0.432 0.006 0.034 0.002

Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

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Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Overview Introducción

Se establece las ecuaciones de balance de masa: Para los Flujos:

Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes

F1 = F2 + F3

(6)

F3 = F4 + F5

(7)

Para el elemento i (Balance por contenido metálico): (i)

(i)

(i)

(i)

(i)

(i)

L1 · F1 = L2 · F2 + L3 · F3

(8)

L3 · F3 = L4 · F4 + L5 · F5

(9)

Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

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Ecuaciones normalizadas Overview Introducción Balance de Masa

Si se normaliza los flujos (dividimos entre F1 , es decir, el flujo de alimentación) obtenemos: Para los Flujos:

Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas

(i)

(11)

Multiplicadores de Lagrange

donde:

(i)

(i)

(i)

(i)

(12)

L3 · φ3 = L4 · φ4 + L5 · φ5

(13)

(i)

Parte II: Corrección de las leyes

Caracterización de las partículas

φ3 = φ4 + φ5

= L2 · φ2 + L3 · φ3

L1

Cálculo de los caudales normalizados

Corrección de las leyes

(10)

Para el elemento i (Balance por contenido metálico):

Errores debido a los Flujos Normalizados

Solución

1 = φ2 + φ3

Fk φk = F1

Conminución Trituración

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Errores debido a los Flujos Normalizados Overview

Los errores son calculados según:

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados

(i) ∆Q1 (i)

∆Q2

=

(i) L1 (i)

−



(i) L2



· φ2 + (i)

(i) L3

· φ3 (i)



= L3 · φ3 − L4 · φ4 + L5 · φ5

(14)



(15)

Se establece φ3 y φ4 como flujos independientes, entonces de (10) y (11) obtenemos:

Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución

φ2 = 1 − φ3

φ5 = φ3 − φ4

(16) (17)

Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

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Overview

Si se reemplaza (16) y (17) en (14) y (15):

Introducción Balance de Masa

(i) ∆Q1

Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange

(i)

∆Q2

Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas

Si:

(i)

Ω1−2 (i) Ω2−3

= =



(i) L1

(i) L2





(i) L2

(i) L3



· φ3     (i) (i) (i) (i) = L3 − L5 · φ3 − L4 − L5 · φ4 =

−

(i)

L1 − L2 L2 − L3

Ω3−5 (i) Ω4−5

+

= =

−

(18) (19)

L3 − L5 L4 − L5

Las ecuaciones de error por flujos se pueden calcular según:

(i)

∆Q1

(i)

∆Q2

(i)

(i)

= Ω1−2 + Ω2−3 · φ3

(20)

= Ω3−5 · φ3 − Ω4−5 · φ4

(21)

(i)

(i)

Conminución Trituración

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Cálculo de los caudales normalizados Overview

Si se deriva parcialmente respecto a los flujos independientes e iguala a cero

Introducción

f (φi ) se obtiene los caudales normalizados que minimizan los valores ∆Q1 (i) y ∆Q2 . Adicionalmente se aplican factores de ponderación (i.e. P (i) ) con los

Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange

(i)

cuales se podría hacer influir un elemento químico más que otro(s) en el cálculo en cuestión:

Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas

f (φi ) =

Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

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k X

P

i=1

Donde: k X

i=1 k X i=1

P (i) ·

2 ∆Q(i) 1

P (i) ·

2 ∆Q(i) 2

=

=

(i)

·

(i) 2 ∆Q 1

k X

i=1 k X i=1

+

k X

P

(i)

i=1

P (i) ·

 

(i) Ω1−2

(i)

+

·

(i) 2 ∆Q 2

(i) Ω2−3

· φ3 (i)

(22)

2

P (i) · Ω3−5 · φ3 − Ω4−5 · φ4

2

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Overview

Derivando con respecto a φ3

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados

k

 i h X ∂f (φi ) (i) (i) (i) =0 = 2· P (i) · Ω1−2 + Ω2−3 · φ3 · Ω2−3 ∂φ3 i=1 k X

+2 ·

Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados

Solución

φ3 ·

Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

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(i) Ω3−5

· φ3 −

(i) Ω4−5



· φ4 ·

(i) Ω3−5

i

Simplificando se obtiene:

Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange

i=1

P (i) ·

h

−φ4 ·

k X i=1

k X i=1

P

(i)

·

(i) 2 Ω 2−3

(i)

(i)

+

k X

P

i=1 k X

P (i) · Ω3−5 Ω4−5 = −

i=1

(i)

·

(i) 2 Ω 3−5

(i)

! (i)

P (i) · Ω1−2 · Ω2−3

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Overview

Derivando con respecto a φ4

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados

k

  i h X ∂f (φi ) (i) (i) (i) =0=2· P (i) · Ω3−5 · φ3 − Ω4−5 · φ4 · −Ω4−5 ∂φ4 i=1

Simplificando se obtiene:

Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes

−φ3 ·

k X i=1

P

(i)

·

(i) Ω3−5

·

(i) Ω4−5

+ φ4 ·

k X i=1

P

(i)

·

(i) 2 Ω 4−5

=0

Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

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Pk Pk 2 2 (i) (i) (i) · (i) (i) − P · Ω + P P · Ω 2−3 3−5 i=1 i=1 i=1 Pk P (i) (i) k (i) − i=1 P (i) · Ω3−5 · Ω P 4−5 i=1 # " P (i) (i) − ki=1 P (i) · Ω1−2 · Ω2−3

" P k



0

¯2 y φ¯5 se calculan utilizando (16) y (17) respectivamente. Los flujos φ

(i) (i) Ω3−5 · Ω4−5 2 (i) · Ω 4−5

#   ¯ φ · ¯3 = φ4

Parte II: Corrección de las leyes Overview

Calculo de los errores para cada elemento i.

Introducción Balance de Masa

(i) ∆M1

Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange

(i) ∆M2

Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes

=

(i) L1

=

(i) L3

−



· φ¯3 −

Se establece las correcciones como: (i)

∆L1 (i) ∆L2 (i) ∆L3

= = =

(i) ¯ (i) L1 − L 1 (i) (i) ¯ L2 − L 2 (i) (i) ¯ L3 − L 3

(i) L2

(i)

∆L4 (i) ∆L5



(i) L3

· φ¯3

· φ¯4 +

(i) L5

· φ¯2 + (i) L4

= =



· φ¯5

(23)



(24)

(i) ¯ (i) L4 − L 4 (i) (i) ¯ L5 − L 5

Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

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Overview

Si se reemplaza en (23) y (24) se obtiene:

Introducción Balance de Masa

(i) ∆M1

Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas

(i)

∆M2

=



(i) ∆L1

+

¯ (i) L 1



− 

h

(i) ∆L2

+

¯ (i) L 2



· φ¯2

i  (i) (i) ¯ · φ¯3 + ∆L3 + L 3   h  (i) ¯ (i) · φ¯4 ¯ (i) · φ¯3 − ∆L(i) + L = ∆L3 + L 4 4 3 i   (i) (i) ¯ · φ¯5 + ∆L5 + L 5

Se debe de cumplir lo siguiente:





¯ (i) · φ¯3 ¯ (i) · φ¯2 + L ¯ (i) − L 0 = L 3 2 1   (i) (i) (i) ¯ · φ¯5 ¯ · φ¯3 − L ¯ · φ¯4 + L 0 = L 5 3 4

(25) (26)

Conminución Trituración

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Overview

Por lo tanto, los errores por las leyes serán:

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados

(i) ∆M1 (i)

∆M2

=

(i) ∆L1

−



(i) ∆L2



· φ¯2 +

(i) ∆L3

· φ¯3



(i) (i) (i) = ∆L3 · φ¯3 − ∆L4 · φ¯4 + ∆L5 · φ¯5

(27)



(28)

Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

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Multiplicadores de Lagrange Overview

Se define la función Lagrangiana como:

Introducción Balance de Masa

L(χ, λ) = f (χ) − (λ1 · g1 (χ) + λ2 · g2 (χ))

Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange

(29)

en donde:

Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes

L(χ, λ): Función Lagrangiana. f (χ): Función objetivo a minimizar. λ1 , λ2 : Son los Multiplicadores de Lagrange. (i)

χ: Son las correcciones (i.e. ∆L1 , . . . ). g1 , g2 : Son las ecuaciones restrictivas (que deben ser iguales a cero).

Caracterización de las partículas Conminución Trituración

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Overview

Ecuaciones Restrictivas:

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados

  (i) ¯ (i) ¯ (30) g1 (χ) = − + ∆L2 · φ2 + ∆L3 · φ3   (i) (i) ¯ (i) ¯ (i) ¯ g2 (χ) = ∆M2 − ∆L3 · φ3 + ∆L4 · φ4 + ∆L5 · φ5 (31) (i) ∆M1

(i) ∆L1

La función objetivo se define como:

f (χ) =

(i) W1

·

(i) 2 ∆L 1

+

(i) W2

·

(i) 2 ∆L 2

+ ... +

(i) W5

Los Factores de Ponderación están representados por W (i) .

·

(i) 2 ∆L 5

Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

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Overview

Si se deriva L(χ, λ) respecto a las correcciones obtiene:

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange

∂L(χ, λ) (i)

∂∆L1

(i)

(i) ∆L1

Parte I: Cálculo de los flujos normalizados

(i)

= 0 = 2 ∆L1 · W1 − λ1 (−1)

Ecuaciones normalizadas

1 λ1 = − · (i) 2 W 1

(32)

Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes

∂L(χ, λ) (i)

∂∆L2

(i)

(i)

= 0 = 2 ∆L2 · W2 − λ1 (φ2 )

(i) ∆L2

1 λ1 · φ2 = + · 2 W (i) 2

(33)

Caracterización de las partículas Conminución Trituración

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Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange

∂L(χ, λ) (i)

∂∆L3

(i)

1 (λ1 − λ2 ) · φ3 = + · (i) 2 W3

(i) ∆L3

Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange

(i)

= 0 = 2 ∆L3 · W3 − λ1 (φ3 ) − λ2 (−φ3 )

∂L(χ, λ) (i)

∂∆L4

(i)

(34)

(i)

= 0 = 2 ∆L4 · W4 − λ2 (φ4 ) (i)

∆L4

1 λ2 · φ4 = + · 2 W (i) 4

(35)

Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

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Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados

∂L(χ, λ) (i)

∂∆L5

(i)

(i)

= 0 = 2 ∆L5 · W5 − λ2 (φ5 ) (i)

∆L5

1 λ2 · φ5 = + · 2 W (i) 5

(36)

Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

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Overview

Si se deriva L(χ, λ) respecto a los multiplicadores de Lagrange se obtiene:

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados

  ∂L(χ, λ) (i) ¯ (i) ¯ (i) (i) = 0 = ∆M1 − ∆L1 + ∆L2 · φ2 + ∆L3 · φ3 ∂λ1   ∂L(χ, λ) (i) (i) ¯ (i) ¯ (i) ¯ = 0 = ∆M2 − ∆L3 · φ3 + ∆L4 · φ4 + ∆L5 · φ5 ∂λ2

Las expresiones resultantes son idénticas a g1 y g2 , por lo que si se reemplazan las correcciones en dichas ecuaciones se obtiene:

Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

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1 λ1 − · (i) 2 W 1

(i)

0 = ∆M1 − 0 =

(i) ∆M2

!

1 (λ1 − λ2 ) · φ3 ¯ 1 λ1 · φ2 ¯ · φ + · φ3 · · 2 (i) (i) 2 W 2 W3 2

+

1 (λ1 − λ2 ) · φ3 ¯ − · · φ3 + (i) 2 W3

1 λ2 · φ4 ¯ 1 λ2 · φ5 ¯ · φ4 + · · φ5 · 2 W (i) 2 W (i) 4 5

Reordenando, resulta la siguiente ecuación matricial:

 

1 (i) W1

+

φ¯22

+

(i) W2 φ¯23 (i) W3

−

φ¯23

(i) W3

φ¯23

(i)

W3

− +

φ¯23

(i) W3 φ¯24 (i) W4

+

!

φ¯25

(i)

W5



·



λ1 λ2



= −2 ·



∆M1 ∆M2



!

Solución Overview

Tomando como factores de ponderación a:

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange

Tabla 3: Factores de Ponderación para cada elemento

Parte I: Cálculo de los flujos normalizados

Cu (%)

Factores de Ponderación (P (i) ) Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) Fe (%)

Pb (%)

10

7

0

Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados

1

0

1

0

Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes

Estos factores deben de ser mayores o iguales a cero. A mayores valores, mayor influencia de dicho elemento en el cálculo. Si el factor es cero, dicho elemento es omitido en el cálculo.

Caracterización de las partículas Conminución Trituración

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Overview

La ecuación matricial para estimar los caudales normalizados resulta:

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados



     ¯ φ3 1455433.75 1518330.00 −142.26 · ¯ = 0 −142.26 29326.31 φ4

Los flujos normalizados obtenidos son: φ2 = 0.0414, φ3 = 0.9586, φ4 = 0.0047, φ5 = 0.9539

Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

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Los porcentajes de distribución3 se presentan en la Tabla 4.

Tabla 4: Balance Metalúrgico: Porcentajes de Distribución Cu (%) Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) Fe (%) Alimento Conc. Cu-Mo Relave Bulk Conc. Zn Relave

100.00 93.16 8.92 0.50 5.07

100.00 7.94 6.59 7.73 3.76

100.00 82.77 17.38 0.64 15.27

100.00 92.67 9.69 0.47 8.33

100.00 20.71 55.92 2.09 15.90

100.00 12.00 91.29 0.20 172.57

Obsérvese que podría presentarse valores mayores a 100% (i.e. F e en el Relave).

3

Por razones de espacio no se presenta el balance metalúrgico completo.

Pb (%) 100.00 77.81 25.01 0.69 8.30

Corrección de las leyes Overview

Los errores debido a las leyes son:

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados

∆M1 ∆M2

Cu (%)

Tabla 5: Errores debido a las leyes. Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%)

Fe (%)

Pb (%)

-0.039 0.063

2.995 -0.172

-0.180 -4.446

-0.001 0.004

-0.098 0.916

-5.609 2.120

0.003 0.005

Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

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Overview Introducción

Los Factores de Ponderación para las leyes son calculados por: Para las leyes en porcentaje:

Balance de Masa

W

Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados

(i)

Para las leyes en (g/t):

Ecuaciones normalizadas

W (i)

Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

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100 = [Ley(%) · (100 − Ley(%))]2 106 = [Ley(%) · (100 − Ley(%))]2

La ecuación matricial para estimar los caudales normalizados resulta:



     ¯ φ 1518330.00 −142.26 1455433.75 · ¯3 = −142.26 29326.31 φ4 0

Los flujos normalizados obtenidos son: φ2 = 0.0414, φ3 = 0.9586, φ4 = 0.0047, φ5 = 0.9539 J. A. Kobashicawa: [email protected] – 50 / 144

Los errores debido a las leyes son:

Tabla 6: Multiplicadores de Lagrange.

λ1 λ2

Cu (%)

Zn (%)

Ag (g/t)

Bi (g/t)

Mo (%)

Fe (%)

Pb (%)

-0.00004 -0.03388

-0.00501 0.03808

-0.00024 -1.11982

0.00001 -0.76337

-0.91298 -2.71182

0.00056 0.00108

-0.06289 -2.06287

Tabla 7: Correcciones de las leyes. Alimento Conc. Cu-Mo Relave Bulk Conc. Zn Relave

Cu (%)

Zn (%)

Ag (g/t)

Bi (g/t)

Mo (%)

Fe (%)

Pb (%)

0.006 -0.046 0.049 -0.031 -0.016

2.864 -0.407 -0.119 5.233 0.034

0.001 -9.931 0.532 -0.004 -0.425

-0.004 107.072 1.221 -2.128 -0.985

0.007 -0.007 0.004 -0.002 -0.001

-0.745 0.206 -0.599 0.001 4.058

0.002 -0.024 0.003 -0.001 0.000

Tabla 8: Leyes corregidas. Alimento Conc. Cu-Mo Relave Bulk Conc. Zn Relave

Cu (%)

Zn (%)

Ag (g/t)

Bi (g/t)

1.874 42.326 0.126 2.049 0.116

0.640 7.121 0.360 53.052 0.104

61.859 1246.020 10.687 84.884 10.325

237.812 5212.650 22.827 244.814 21.745

Mo (%)

Fe (%)

Pb (%)

0.005 0.067 0.003 0.056 0.003

6.201 15.605 5.795 2.396 5.812

0.021 0.456 0.003 0.035 0.002

Tabla 9: Porcentajes de Distribución Alimento Conc. Cu-Mo Relave Bulk Conc. Zn Relave

Cu (%)

Zn (%)

Ag (g/t)

Bi (g/t)

Mo (%)

Fe (%)

Pb (%)

100.00 93.58 6.42 0.51 5.91

100.00 46.06 53.94 38.52 15.42

100.00 83.44 16.56 0.64 15.92

100.00 90.80 9.20 0.48 8.72

100.00 50.98 49.02 4.78 44.24

100.00 10.42 89.58 0.18 89.40

100.00 88.55 11.45 0.75 10.70

Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide

Caracterización de las partículas

Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial

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Tamaño de partícula Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes

1 cm

Caracterización de las partículas Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos

2 cm

Ejemplo Conminución

Figura 5: ¿Cual es el tamaño de la partícula? (¿1cm?, ¿2cm?, ¿1.5cm?), . . .

Trituración Tamizado Industrial

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Por ejemplo: Un elipsoide Overview

La ecuación para el elipsoide es:

Introducción

Tamaño de partícula

x2 x2 x2 + 2 + 2 =1 2 a b c Para los diámetros: dx = 2.4cm, dy = 2.2cm, dz = 9.4cm (i.e. a = 1.2cm, b = 1.1cm, c = 4.7cm)

Por ejemplo: Un elipsoide

El área superficial es:

Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

(37)

Análisis Granulométrico

ElipsoideArea = 54.69cm2

Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo

El volúmen es:

ElipsoideV olumen = 25.99cm3

Conminución Trituración Tamizado Industrial

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Overview Introducción

El diámetro de superficie es el diámetro de una esfera que tiene la misma área de superficie que la partícula.

Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

dS

Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide



Area = π = 4.17cm

1/2

= 54.69cm2

Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos

El diámetro de volúmen es el diámetro de una esfera que tiene el mismo volúmen que la partícula.

Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial

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dV



V olumen π = 3.67cm

=

6·

1/3

= 25.99cm2

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Overview Introducción Balance de Masa

Por los diámetros se entiende que la partícula no es mayor que 9.4cm ni menor de 2.2cm El diámetro promedio geométrico resulta

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

(2.4 · 2.2 · 9.4)(1/3) cm = 3.68cm

Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad

El diámetro promedio aritmético resulta

2.4 + 2.2 + 9.4 cm = 4.67cm 3

Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos

El diámetro promedio armónico resulta

Ejemplo Conminución Trituración

3 1 2.4

+

1 2.2

+

1 9.4

cm = 3.07cm

Tamizado Industrial

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Análisis Granulométrico Overview

 Mallas

Introducción Balance de Masa

 Difracción láser

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico

 Procesamiento de imágenes  Elutriación  Microscopía

Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución

 Sedimentación  Conteo  ...

Trituración Tamizado Industrial

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Función de densidad de Probabilidad Overview Introducción

La función de densidad de probabilidad puede expresarse en función de la fracción acumulada pasante (F ) según:

Balance de Masa

dFi (x) fi (x) = dx

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Tamaño de partícula

(38)

Donde:

Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial

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Tabla 10: Notación del subíndice i i Método

0 1 2 3

Conteo Longitud Area Volúmen J. A. Kobashicawa: [email protected] – 61 / 144

se cumple que: Overview

La fracción acumulada pasante respecto a x es:

Introducción

Z

Balance de Masa

fi (x)dx = Fi (x)

(39)

0

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

x

La fracción que se encuentra en el intervalo < xM in , xM ax >

Tamaño de partícula

Z

Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos

fi (x)dx = pi (xP )

(40)

xM in

Donde xP es el tamaño promedio del intervalo en cuestión, el cual puede ser calculado por:

Ejemplo Conminución

xM ax

Media Aritmética

xM in +xM ax 2

Trituración Tamizado Industrial

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Media Geométrica

Media Armónica

√

1

xM in · xM ax 2

1

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se cumple que: Overview

Aproximando 38 se obtiene

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo

fi (xP ) ≃

∆Fi (x) pi (xP ) Fi (xM ax ) − Fi (xM in ) = = ∆x xM ax − xM in xM ax − xM in Z

∞

fi (x)dx = 1

(100%)

0

En forma discreta, siendo n el número de intervalos de tamaño. n X

pi (x) = 1

(100%)

i.t.=1

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Estadísticos Overview

Media:

Introducción Balance de Masa

µ =

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

µ =

Tamaño de partícula

i.t.=1

Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico

Varianza:

Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos

σ

2

=

Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial

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R∞ Z ∞ x · f (x)dx 0R = x · f (x)dx ∞ 0 0 f (x)dx Pn n X x · p (x ) i P i.t.=1 P P = xP · pi (xP ) n i.t.=1 pi (xP )

σ2 =

R∞ 0

2

(x − µ) · f (x)dx R∞ = 0 f (x)dx

Z

0

∞

(x − µ)2 · f (x)dx

n 2 X (x − µ) · p (x ) i P i.t.=1 Pn P (xP − µ)2 · pi (xP ) = i.t.=1 pi (xP )

Pn

i.t.=1

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Overview

Desviación Estándar:

σ=

Introducción

√

σ2

Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

Coeficiente de Variación:

C.V. =

σ µ

Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial

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Conversión de Análisis Granulométricos Overview Introducción

Las ecuaciones generales son: En forma contínua:

Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

En forma discreta:

xk−j · fj (x) fk (x) = R ∞ k−j · fj (x)dx 0 x

(41)

Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos

fk (xP ) = Pn

xk−j · fj (xP ) P

k−j x i.t.=1 P

· pj (xP )

(42)

Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial

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Ejemplo Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes

Por ejemplo, se desea convertir las Fracciones en Número a Fracciones en Peso de la distribución de bolas del molino de Bond (para determinar Work Index). La carga es la siguiente:

Caracterización de las partículas Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial

Tabla 11: Carga de bolas del molino de Bond i.t. φ (pulg) # de Bolas % en Número (p0 ) 1 2 3 4 5

1.500 1.250 1.000 0.875 0.750 Total

UNI-FIGMM

25 39 60 68 93

8.77 13.68 21.05 23.86 32.63

285

100.00

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Overview Introducción

Estimar la función densidad de probabilidad a partir de las Fracciones en Número.

Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución

Donde se Obtiene:

p0 (xP ) f0 (xP ) = xM ax − xM in

i.t.

Diam (pulg)

xM ax

xM in

∆x

f0

1 2 3 4 5

1.500 1.250 1.000 0.875 0.750

1.625 1.375 1.125 0.9375 0.8125

1.375 1.125 0.875 0.8125 0.6875

0.250 0.250 0.250 0.125 0.125

0.351 0.547 0.842 1.909 2.611

Trituración Tamizado Industrial

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Overview Introducción

Por ejemplo para convertir la función de densidad de probabilidad en Numero a Area será: j = 0 (número) y k = 2 (área) en (42), con lo que resulta:

Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide

x2P · f0 (xP ) f2 (xP ) = Pn 2 i.t.=1 xP · p0 (xP )

Por ejemplo, para el primer intervalo de tamaños (bolas de diámetro 1.5′′ )

Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial

UNI-FIGMM

1.52 · 0.351 f2 (1.5) = = 0.799 2 2 2 1.5 · 0.0877 + 1.25 · 0.1368 + . . . + 0.75 · 0.3263 Para las bolas de 1.25′′

1.252 · 0.547 f2 (1.25) = = 0.866 2 2 2 1.5 · 0.0877 + 1.25 · 0.1368 + . . . + 0.75 · 0.3263

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Overview

Estimar las fracciones en número según:

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos

p2 (xP ) = f2 (xP ) · (xM ax − xM in ) Por lo que para el primer intervalo de tamaños la fracción en área resulta:

p2 (1.5) = 0.799 · (1.625 − 1.375) = 0.1998

(19.98%)

Para el segundo intervalo, la fracción resulta:

p2 (1.25) = 0.866 · (1.625 − 1.375) = 0.2164

(21.64%)

Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial

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Resultados Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos

φ

Tabla 12: Resultado de las conversiones utilizando (42) fdp Fracciones

(pulg)

f0

f1

f2

f3

p0

p1

p2

p3

1.500 1.250 1.000 0.875 0.750

0.351 0.547 0.842 1.909 2.611

0.544 0.708 0.871 1.728 2.025

0.799 0.866 0.852 1.479 1.486

1.105 0.998 0.786 1.194 1.028

8.77 13.68 21.05 23.86 32.63

13.61 17.70 21.78 21.60 25.32

19.98 21.64 21.31 18.49 18.58

27.63 24.95 19.65 14.92 12.85

Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial

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Resultados Overview Introducción

Para el caso de bolas, la forma más simple de obtener dichos resultados es (cálculos solo para el primer intervalo de tamaños):

Balance de Masa Corrección de Leyes

Por Número

Caracterización de las partículas

p0 (xP ) =

Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide

p0 (1.5) =

Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad

#Bolas(xP ) Pn i.t.=1 #Bolas(xP ) 25 25 + . . . + 93

Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución

Por Longitud

Trituración Tamizado Industrial

UNI-FIGMM

p1 (xP ) = p1 (1.5) =

xP · #Bolas(xP ) Pn i.t.=1 xP · #Bolas(xP ) 1.5 · 25 = 0.1361 (13.61%) 1.5 · 25 + . .J..A.+Kobashicawa: 0.75 · 93 [email protected] – 72 / 144

Overview

Por Area

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Tamaño de partícula

p2 (xP ) = p2 (1.5) =

Por ejemplo: Un elipsoide

π · x2P · #Bolas(xP ) Pn 2 · #Bolas(x ) π · x P i.t.=1 P

π · 1.52 · 25 = 0.1998 (19.98%) 2 2 π · 1.5 · 25 + . . . + π · 0.75 · 93

Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad

Por Volúmen

Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo

p3 (xP ) =

Conminución Trituración Tamizado Industrial

UNI-FIGMM

p3 (1.5) =

π 3 · #Bolas(x ) · x P Pn6 Pπ 3 i.t.=1 6 xP · #Bolas(xP ) π 3 · 25 · 1.5 6 π 3 · 25 + . . . + π · 0.753 · 1.5 6 6

· 93

= 0.2763 (27.63%)

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i.t.

Malla

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

-1/2" +m3/8" -3/8" +m3 -m3 +m4 -m4 +m6 -m6 +m8 -m8 +m10 -m10 +m14 -m14 +m20 -m20 +m28 -m28 +m35 -m35 +m48 -m48 +m65 -m65 +m100 -m100 +m150 -m150 +m200 -m200 +m270 -m270 +m400 -m400

Tamaño (µm) Maximo Minimo Promedio 12700 9500 6800 4750 3400 2360 1700 1180 850 600 425 300 212 150 106 75 53 38

9500 6800 4750 3400 2360 1700 1180 850 600 425 300 212 150 106 75 53 38 0

10984 8037 5683 4019 2833 2003 1416 1001 714 505 357 252 178 126 89 63 45 19

% en Peso 0.03 0.43 2.03 4.17 6.97 9.59 10.94 10.80 9.91 8.42 7.12 6.10 5.23 4.38 3.85 2.91 2.14 4.98

Fracciones Acumuladas Retenidas Pasantes 0.03 0.46 2.49 6.66 13.63 23.22 34.16 44.96 54.87 63.29 70.41 76.51 81.74 86.12 89.97 92.88 95.02 100.00

99.97 99.54 97.51 93.34 86.37 76.78 65.84 55.04 45.13 36.71 29.59 23.49 18.26 13.88 10.03 7.12 4.98 0.00

Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución

Conminución

Conminución Trituración Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR) Energía Trituración Tamizado Industrial

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Conminución Overview

 Para liberar el mineral valioso.

Introducción Balance de Masa

 Primera etapa de conminución: Voladura.

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución

 Trituración  Ultima etapa de conminución: Molienda.

Conminución Trituración Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR) Energía Trituración Tamizado Industrial

UNI-FIGMM

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Trituración Overview Introducción

 Reduce de tamaño las partículas provenientes de la mina (Run of Mine

ore) para que puedan ser molidas.

Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Conminución

 Fracturamiento de partículas por Compresión o por Impacto.  Superficies del medio (e.g. quijada fija, quijada movil, rodillos, cono, . . . )

son rígidas o con movimiento restringido.

Trituración Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR) Energía

 Generalmente en seco.  Varias etapas. Los radios de reducción en cada una varían entre 3 a 6.

Trituración Tamizado Industrial

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Molienda Overview Introducción Balance de Masa

 Última etapa de conminución.  Fracturamiento de partículas por Abrasión y por Impacto.

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

 Los medios moledores no estan conectados (i.e caída libre de dichos

medios) Conminución Conminución Trituración

 Medios moledores:

Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR)

 Bolas

Energía

 Barras

Trituración

 Guijarros (Pebbles)

Tamizado Industrial

 El mismo mineral  Generalmente en húmedo.

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High Pressure Grinding Rolls (HPGR) Overview

 Comprime la cama de partículas.

Introducción Balance de Masa

 Produce fracturas internas en las partículas (microcracking).

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

 Radio de reducción mayor que en trituradoras de rodillos

convencionales.

Conminución Conminución Trituración Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR) Energía

 Beneficios posteriores:  Menor consumo energético en molienda.  Mejora en la lixiviación.

Trituración Tamizado Industrial

 Mas eficiente (entre 20 a 50%) que trituradoras convencionales o

molinos .

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Energía Overview Introducción

 Una pequeña fracción de la energía se utiliza en fracturar las partículas.

La mayor parte la absorbe la máquina.

Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución

 Agua reduce la energía requerida en conminución. Así mismo existen

reactivos químicos que se adsorben en el sólido y que disminuyen la energía requerida.

Conminución Trituración Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR) Energía Trituración Tamizado Industrial

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Teoría de Von Rittinger (1867) Overview Introducción

 Energía consumida es proporcional al área de la nueva superficie

producida

Balance de Masa Corrección de Leyes

 Area superficial es inversamente proporcional al diámetro.

Caracterización de las partículas

E = KR ·

Conminución Conminución Trituración Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR)



1 1 − Df Di



Donde:

Di Tamaño inicial de la partícula

Energía Trituración

Df Tamaño final de la partícula

Tamizado Industrial

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Teoría de Kick (1885) Overview Introducción

 Trabajo requerido es proporcional a la reducción en volúmen de las

partículas.

Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

E = KK ·

Conminución Conminución

log R log 2

Donde:

Trituración Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR) Energía

R Radio de reducción (R = f /p) f Diámetro de partículas alimentadas.

Trituración Tamizado Industrial

UNI-FIGMM

p Diámetro de partículas del producto.

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Teoría de Bond (1952) Overview

 Trabajo requerido es proporcional a la longitud de la fractura producida.

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes

W = 10 · Wi ·

Caracterización de las partículas Conminución



1 1 √ −√ P80 F80



(43)

Donde:

Conminución Trituración

Wi Work Index.

Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR)

F80 Tamaño X80 del Alimento.

Energía Trituración

P80 Tamaño X80 del Producto.

Tamizado Industrial

Work Index  Expresa la resistencia de un material a la fragmentación. UNI-FIGMM

 Trabajo requerido (kW-h/tc) para reducir de tamaño una partícula de J. A. Kobashicawa: [email protected] – 83 / 144

Ecuación general de Hukki (1975) Overview

 Plantea una ecuación general.

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución

Kick Partículas mayores a 1cm. Bond Partículas en molienda con barras y/o bolas. Rittinger Partículas en molienda fina 10 − 1000µm

Conminución Trituración Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR) Energía Trituración Tamizado Industrial

UNI-FIGMM

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Propuesta de Morrell (2004) Overview

 Basado en la evaluación de Hukki.

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

 Ha sido demostrado que es válido en la mayoría de circuitos modernos

(i.e. 0.1 − 100mm).

Conminución Conminución

W = K · Mi ·

Trituración Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR)

1 f (P ) P80 80

−

1 f (F80 )

F80

!

Donde:

Energía Trituración Tamizado Industrial

UNI-FIGMM

Mi Material Index. Relacionado con la propiedad de fractura del mineral. K Constante para balancear las unidades de la ecuación.

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Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución

Trituración

Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial

UNI-FIGMM

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Modelo de Whiten Overview

 Propuesto por Whiten (1972)

Introducción Balance de Masa

 Modelo Estático (existe un modelo dinámico propuesto por Oblad).

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

 Mecanismo de trituración modelado como una combinación de

clasificación y fractura de las partículas minerales.

Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo

 Aplicable a trituradoras de quijada, giratorias y cónicas (Standard o de

Cabeza Corta -Short Head-).

Tamizado Industrial

Opening En esta operación, el material se dirige hacia abajo (zona de descarga) y parte del material es retenido y la otra parte sale de la trituradora como producto (mecanismo de Clasificación) (ver la Figura 6).

Nipping En esta operación, el material es comprimido y fragmentado (mecanismo de Fractura). UNI-FIGMM

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Esquema de la trituradora Overview Introducción Balance de Masa

Alimento (A)

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

Nipping Conminución

Opening Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial

Material en la Trituradora (T)

Producto (P)

Figura 6: Esquema de la fragmentación en una Trituradora

UNI-FIGMM

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Nomenclatura Overview Introducción

N i

: :

pFi pi M bi,j

: : : :

mi

:

ci

:

Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial

W UNI-FIGMM

:

Número de intervalos de tamaños Subíndice para designar un intervalo de tamaños i = 1, 2, · · · , N i = 1 Corresponde al intervalo de partículas más gruesas i = N Corresponde al intervalo de partículas más finas Fracción en peso del Alimento en el intervalo de tamaños i Fracción en peso del Producto en el intervalo de tamaños i Masa retenida en el triturador Función Fractura o fracción de partículas que aparecen en el intervalo de tamaños i proveniente de la reducción de material del intervalo de tamaños j Fracción en peso del material en la trituradora correspondiente al intervalo de tamaños i

c(di ) Fracción en peso de material en el intervalo de tamaños i que es retenido para fracturarse en el siguiente ciclo. Masa total del alimento que es aceptado en un ciclo. Masa del producto descargado

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Balance de Masa Overview Introducción Balance de Masa

Tabla 13: Descripción de balance de masa en la trituradora Para el intervalo de tamaños i Muestra Masa total Masa Fracción en peso

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución

A

Alimento

Modelo de Whiten

T

En la trituradora

Cálculo de los parámetros del modelo

P

Producto

Trituración

W M W

W pFi M mi W pi i

pFi mi pi

Tamizado Industrial

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Material en la Trituradora Overview Introducción Balance de Masa

La cantidad de masa en el intervalo de tamaños i presente en la trituradora es la suma del material fresco que ingresa a la trituradora y el material que ha sido fracturado, clasificado y retenido, por lo tanto:

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo

W pFi Es el material fresco perteneciente al intervalo de tamaños i que ingresa a la trituradora.

cj M mj bi,j Es la fracción del material de intervalo de tamaño inicial j que ha sido clasificado y fracturado al intervalo de tamaños i el cual permanece en la trituradora.

Tamizado Industrial

M mi = W pFi + c1 M m1 bi,1 + c2 M m2 bi,2 + · · · + ci M mi bi,i La expresión anterior puede expresarse como:

UNI-FIGMM



i−1



X M M 1 F pi + cj mj bi,j  mi = W 1 − ci bi,i W

(44)

j=1 J. A. Kobashicawa: [email protected] – 91 / 144

Producto de la Trituradora Overview Introducción Balance de Masa

El producto de la trituradora correspondiente al intervalo de tamaños i corresponderá al material que ha sido clasificado y pasado por la trituradora, por lo tanto, puede establecerse que:

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución

(1 − ci )M mi Es la fracción del material de intervalo de tamaño i que ha sido clasificado y descargado de la trituradora. Es decir:

Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial

W pi = (1 − ci )M mi La expresión anterior puede expresarse como:

M pi = (1 − ci ) mi W

UNI-FIGMM

(45)

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Modelo Matemático Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución

El modelo corresponde a (44) y (45). Para tener un modelo más fácil de manejar y que represente a todos los intervalos de tamaño se convertirán en expresiones matriciales (ver Figura 7), por lo tanto: Los análisis granulométricos son expresados como vectores columna de tamaño N , la suma de los componentes de cada vector debe de sumar uno (100%).

Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial

UNI-FIGMM

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M Wm

pF

= pF + b c

M W

m

Función de Clasificación

p = (I − c)

c bc

M W

m c

M W

m

Función Fractura

b

Figura 7: Diagrama de bloques del modelo de la trituradora

M W

m

Análisis granulométrico del alimento Overview Introducción

Vector columna correspondiente al análisis granulométrico del alimento fresco a la trituradora.

Balance de Masa



Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial

UNI-FIGMM

pF(N ×1)

pF1 pF2 pF3 pF4

     =  ..  .   pF N −1 pFN

          

PN

F =1 p i=1 i

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Análisis granulométrico del material en la trituradora Overview Introducción

Vector columna correspondiente al análisis granulométrico del material en la trituradora.

Balance de Masa



Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial

UNI-FIGMM

m(N ×1)

m1 m2 m3 m4

     =  ..  .   mN −1 mN

          

PN

i=1 mi

=1

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Análisis granulométrico del producto Overview Introducción

Vector columna correspondiente al análisis granulométrico del producto de la trituradora.

Balance de Masa



Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial

UNI-FIGMM

p(N ×1)

p1 p2 p3 p4

     =  ..  .   pN −1 pN

          

PN

i=1 pi

=1

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Matriz de Clasificación Overview Introducción

Los valores ci de la Matriz de Clasificación están entre el rango de 0 (pasa todo por la trituradora) y 1 (retiene todo en la trituradora)

Balance de Masa



Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial

UNI-FIGMM

c(N ×N )

     =    

c1 0 0 0 0 c2 0 0 0 0 c3 0 0 0 0 c4

... ... ... ...

0 0 0 0

0 0 0 0

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

..

0 0

0 0

0 0

0 0

. . . cN −1 0 ... 0 cN

.

          

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Matriz de la Función Fractura Overview Introducción

Los valores de bi,j están en el rango de 0 a 1 y deben de cumplir que la suma de los componentes en cada columna sea uno (100%).

Balance de Masa Corrección de Leyes



Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial

b(N ×N )

b1,1 b2,1 b3,1 b4,1

0

0 0 0

... ... ... ...

0 0 0 0

0 0 0 0

 b2,2   b3,2 b3,3   b4,2 b4,3 b4,4 =  .. .. .. .. .. .. ..  . . . . . . .   bN −1,1 bN −1,2 bN −1,3 bN −1,4 . . . bN −1,N −1 0 bN,1 bN,2 bN,3 bN,4 . . . bN,N −1 bN,N N X i=1

UNI-FIGMM

0 0

bi,j = 1

;

          

∀j

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Overview Introducción

El modelo matricial es derivada de (44) y (45) (recuérdese que son modelos en Régimen Permanente - Steady State -) y se expresan de la siguiente manera:

Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

M M F m=p +bc m W W M m = (I − b c)−1 pF W

(46)

M p = (I − c) m W

(47)

Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial

Si se reemplaza (46) en (47) se obtiene el modelo matricial de la trituradora:

p = (I − c) (I − b c)−1 pF

(48)

Donde I es la matriz Identidad de tamaño (N × N ).

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Función Clasificación Overview

La función de Clasificación puede ser simplificada mediante:

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

  n d −dp  Si d1 < dpi < d2  1 − d22 −d1i ci = 0 Si dpi ≤ d1   1 Si dpi ≥ d2

(49)

Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial

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Parámetro de Control Overview Introducción Balance de Masa

El control de la granulometría del producto de las trituradoras cónicas (Standard y de Cabeza Corta) se hace variando la abertura de la trituradora (Closed Side Set - CSS). Para esto se tiene las siguientes relaciones:

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

d1 = α1 CSS

(50)

d2 = α2 CSS + d∗

(51)

Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial

Donde los rangos son:

0.5 . α1 . 0.95 1.7 . α2 . 3.5

UNI-FIGMM

1.

n

.3

d∗

∼

0

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Overview Introducción

Open Side Set (OSS) Abertura máxima de la descarga de la trituradora (ver Figura 8)

Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución

Closed Side Set (CSS) Abertura mínima de la descarga de la trituradora Throw Es la distancia definida como: Throw = OSS − CSS

Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial

CSS

OSS

Figura 8: Esquema: Open Side Set (OSS) (Abertura máxima de descarga) y Closed Side Set (CSS) (Abertura mínima de descarga) UNI-FIGMM

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Función Fractura Overview

La función Acumulativa de Fractura B se puede representar mediante:

Introducción Balance de Masa

B(x, y) =

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

 n1

 n2

(

1

: : :

Tamaño Mínimo de partículas del intervalo i Tamaño Promedio de partículas del intervalo j Parámetros a estimar

K

x y

+ (1 − K)

x y

Para x < y Para x ≥ y

(52)

Donde:

Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial

x y K , n1 , n2

Donde los rangos son:

0≤ K ≤1 n1

n2 UNI-FIGMM

0.5 Para trituradoras Standard y de Cabeza Corta  2.5 Para trituradoras de Cabeza Corta = 4.5 Para trituradoras Standard =

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Matriz de la Función Fractura Acumulada Overview

Los elementos de la matriz b se calcularán mediante:

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes

bi,j bj,j

Caracterización de las partículas Conminución

= B(Di−1 , dpj ) − B(Di , dpj )

= 1 − B(Dj , dpj )

Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial

UNI-FIGMM

(54)

Se cumple también:

Trituración Modelo de Whiten

(53)

Bi,j = 1 −

i X k=1

bk,j

;

∀j

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Para evitar el cálculo tedioso de los parámetros de la matriz b, es posible determinarlo mediante una expresión matricial, para esto se define: Esta matriz se obtiene a partir de (52)



B(N ×N )

B1,1 B2,1 B3,1 B4,1

1 B2,2 B3,2 B4,2

1 1 B3,3 B4,3

1 1 1 B4,4

... ... ... ...

1 1 1 1

1 1 1 1

     =  .. .. .. .. .. .. ..  . . . . . . .   BN −1,1 BN −1,2 BN −1,3 BN −1,4 . . . BN −1,N −1 1 BN,1 BN,2 BN,3 BN,4 . . . BN,N −1 BN,N

          

Matriz de Transformación R Overview

Esta matriz, es una matriz triangular inferior de valores 1.

Introducción



Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial

UNI-FIGMM

R(N ×N )

     =    

1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 1

... ... ... ...

0 0 0 0

0 0 0 0

.. .

.. .

.. .

.. .

..

.. .

.. .

.

1 1 1 1 ... 1 0 1 1 1 1 ... 1 1

          

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Matriz de Transformación Ones Overview

Esta es una matriz cuyos elementos son 1.

Introducción



Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial

UNI-FIGMM

Ones(N ×N )

     =    

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

... ... ... ...

1 1 1 1

1 1 1 1

.. .

.. .

.. .

.. .

..

.. .

.. .

.

1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 ... 1 1

          

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Overview

La relación se expresa de la siguiente manera:

Introducción

B = Ones − R b

Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

Por lo tanto, la matriz de Fractura b se calculará por la siguiente ecuación:

b = R−1 (Ones − B)

Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo

Matriz R−1

La matriz R−1 queda resuelta como:



Tamizado Industrial

R−1 (N ×N )

UNI-FIGMM

(55)

     =    

1 0 0 −1 1 0 0 −1 1 0 0 −1

0 0 0 1

... ... ... ...

0 0 0 0

0 0 0 0

..

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

0 0

0 0

0 0

0 ... 1 0 0 . . . −1 1

.

          

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Cálculo de los parámetros del modelo Overview Introducción Balance de Masa

Datos requeridos Para poder calcular los parámetros del Modelo, se deberá de disponer de: 1. Análisis Granulométrico del Alimento

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

2. Closed Side Set (CSS )

Conminución

3. Análisis Granulométrico del Producto referido al CSS .

Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial

Cantidad de parámetros a calcular Los parámetros que debemos de calcular son los referidos a las matrices de Clasificación (c) y de Fractura (b).

: N N (N + 1) Matriz de Fractura : 2 N (N + 1) Cantidad total de parámetros : N + 2 J. A. Kobashicawa: [email protected] – 110 / 144 Matriz de Clasificación

UNI-FIGMM

Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

Cálculo utilizando Regresión No Lineal Debido a la gran cantidad de parámetros, es posible reducirlos si es que se utilizan las ecuaciones (49) y N (N +1) se calcularán solo siete (52). Es decir, en lugar de calcular N + 2 parámetros, cuatro para la ecuación de Clasificación (α1 , α2 , d∗ y n) y tres para la función Fractura (K , n1 y n2 ).

Conminución Trituración Modelo de Whiten

Función a minimizar La Regresión No Lineal consiste básicamente en minimizar la siguiente función:

Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial

C(Θ) =

N X i=1

Vector de parámetros

Θ=

UNI-FIGMM



Data

pi

Modelo 2

− pi




K n1 n2 α1 α2 n

(56)

d∗



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Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución

Tamizado Industrial

Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

UNI-FIGMM

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Tamizado Industrial Overview

 Clasificar las partículas por tamaño.

Introducción Balance de Masa

 Eficiencia disminuye con la finura del material

Corrección de Leyes

30cm hasta ∼ 40µm

Caracterización de las partículas

 Desde ∼

Conminución

 Seco: Limitado hasta un tamaño de 5mm

Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

 Húmedo: Comúnmente hasta 250µm  Tamaños menores de 250µm se pueden aplicar otros métodos (e.g.

Hidrociclones, Stokes, . . . ).  La superficie consta de muchas aberturas u hoyos (normalmente de

dimensiones uniformes).

UNI-FIGMM

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Eficiencia Overview Introducción

 No existe un método aceptado universalmente para determinar la

eficiencia.

Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

 Consideraciones:  Tomando un tamiz de abertura xZ

Conminución Trituración

 Alimentación F (t/h)

Tamizado Industrial

 Producto grueso Oversize (Coarse) C (t/h) (i.e. material que

Tamizado Industrial

queda retenido en el tamiz).

Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

 Producto fino Undersize U (t/h) (i.e. material que pasa a través

del tamiz).

UNI-FIGMM



f : Fracción mayor a xZ en el Alimento. f = GF (xZ )



c: Fracción mayor a xZ en el Oversize. c = GC (xZ )



u: Fracción mayor a xZ en el Undersize. u = GU (xZ )



G(x) es la Fracción Acumulada Retenida. J. A. Kobashicawa: [email protected] – 114 / 144

Balance de Masa Overview

General:

F =C +U

(57)

f ·F =c·C +u·U

(58)

(1 − f ) · F = (1 − c) · C + (1 − u) · U

(59)

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes

Material Grueso (Oversize)

Caracterización de las partículas Conminución Trituración

Material Fino (Undersize)

Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

Por lo que:

C f −u = F c−u c−f U = F c−u

UNI-FIGMM

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Eficiencia Overview

Eficiencia de la Fracción Gruesa (i.e. material grueso en el Oversize).

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

c·C c · (f − u) EC = = = Material Grueso en el Alimento f ·F f · (c − u) Material Grueso en el Oversize

(60)

Eficiencia de la Fracción Fina (i.e. material fino en el Undersize).

Conminución Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial

(1 − u) · U (1 − u) · (c − f ) = = EU = Material Fino en el Alimento (1 − f ) · F (1 − f ) · (c − u) Material Fino en el Undersize

(61)

Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

Eficiencia Global

E = EC · EU

UNI-FIGMM

(62)

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Tabla 14: Análisis Granulométrico de los productos de una Zaranda (Porcentajes en Peso). Alimentación=596t/h, Longitud=4.27m, Ancho=2.13m, Abertura de la malla=14.0mm. Tamaño (mm) Porcentaje en Peso I.T. Mallas Máximo Mínimo Promedio Alimento Oversize Undersize 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-3” + 2” -2” + 1 1/2” -1 1/2” + 1” -1” + 3/4” -3/4” + 1/2” -1/2” + 3/8” -3/8” + m4 -m4 + m6 -m6 + m8 -m8 + m10 -m10 + m14 -m14

76.20 50.80 38.10 25.40 19.05 12.70 9.53 4.75 3.35 2.36 1.70 1.18

50.80 38.10 25.40 19.05 12.70 9.53 4.75 3.35 2.36 1.70 1.18 0.00

62.22 43.99 31.11 22.00 15.55 11.00 6.73 3.99 2.81 2.00 1.42 0.59

6.30 16.70 25.25 12.22 11.03 3.20 5.49 2.11 2.01 1.66 1.68 12.35

12.92 25.75 32.03 15.76 11.33 1.01 0.31 0.02 0.01 0.00 0.00 0.86

0.00 0.00 0.00 0.27 5.33 7.42 18.84 7.44 7.20 5.90 5.91 41.69

Tabla 15: Análisis Granulométrico de los productos de una Zaranda (Porcentajes Acumulados Retenidos). Alimentación=596t/h, Longitud=4.27m, Ancho=2.13m, Abertura de la malla=14.0mm. Tamaño (mm) Porcentaje Acumulado Retenido I.T. Mallas Mínimo Alimento Oversize Undersize 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

<2” <1 1/2” <1” <3/4” <1/2” <3/8” -m4 -m6 -m8 -m10 -m14

50.80 38.10 25.40 19.05 12.70 9.53 4.75 3.35 2.36 1.70 1.18 0.00

6.30 23.00 48.25 60.47 71.50 74.70 80.19 82.30 84.31 85.97 87.65 100.00

12.92 38.67 70.70 86.46 97.79 98.80 99.11 99.13 99.14 99.14 99.14 100.00

0.00 0.00 0.00 0.27 5.60 13.02 31.86 39.30 46.50 52.40 58.31 100.00

Cálculo de la eficiencia Overview

xZ = 14.0mm, por lo que se obtiene (utilizando interpolación lineal):

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes

f

= GF (14.0mm) = 69.24%

Caracterización de las partículas

c = GC (14.0mm) = 95.47%

Conminución

u = GU (14.0mm) = 4.51%

Trituración Tamizado Industrial

Eficiencia de la Fracción Gruesa:

Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

UNI-FIGMM

EC

c · (f − u) f · (c − u) 0.9547 · (0.6924 − 0.0451) = 0.6924 · (0.9547 − 0.0451) = 0.9812 (98.12%)

=

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Overview

Eficiencia de la Fracción Fina:

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes

EU

Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial

(1 − u) · (c − f ) (1 − f ) · (c − u) (1 − 0.0451) · (0.9547 − 0.6924) = (1 − 0.6924) · (0.9547 − 0.0451) = 0.8952 (89.52%)

=

Tamizado Industrial Eficiencia

Eficiencia Global:

Ejemplo de Curva de Partición

E = EC · EU

= 0.9812 · 0.8952

= 0.8784

UNI-FIGMM

(87.84%)

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Curva de Eficiencia o Partición Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes

 Eje X : Tamaño promedio (geométrico) del intervalo de tamaños. Escala

logarítmica.  Eje Y : Fracción del alimento que se reporta en el Oversize.

Caracterización de las partículas Conminución

ED (Xp(i) ) =

Trituración Tamizado Industrial

=

Tamizado Industrial Eficiencia

Fracción del tamaño Xp(i) en el Oversize Fracción del tamaño Xp(i) en el Alimento

fC (Xp(i) ) C · (i) fF (Xp ) F

Ejemplo de Curva de Partición

 Se debe de corregir los análisis granulométricos.  Multiplicadores de Lagrange con Factores de Ponderación.  Fracciones Acumuladas Retenidas (utilizar Pasantes da el mismo

resultado). UNI-FIGMM

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Corrección de los Análisis Granulométricos Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes

El método es similar al desarrollado para corregir las leyes (ecuaciones análogas). Método para Zaranda de un solo piso (i.e. una entrada y dos salidas, puede aplicarse también para hidrociclones, clasificadores helicoidales, . . . ):

Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial

1 Obtener los análisis granulométricos. 2 Obtener el caudal normalizado C/F (relación de flujo del Oversize respecto al Alimento) mediante la siguiente ecuación:

Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

UNI-FIGMM

C B = F A

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Overview

Donde:

Introducción Balance de Masa

A =

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

B =

Conminución

N  X i=1 N h X i=1

Trituración

(i)

(i)

(i) GC

(i) GU

GC − GU −

2 

i   (i) (i) · GF − GU

Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

(i)

GC Fracción Acumulada Retenida para el intervalo de tamaños i (si se utilizan Fracciones acumuladas Pasantes arrojan el mismo resultado).

F , C , U Denotan el Flujo de Alimentación, Oversize y Undersize respectivamente.

N Número total de intervalo de tamaños. UNI-FIGMM

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Overview Introducción

3 Obtener el caudal normalizado U/F

C U =1− F F

Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

4 Hallar los errores para cada intervalo de tamaños:

Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

UNI-FIGMM

∆M

(i)

=

(i) GF

−



(i) GC

C (i) U · + GU · F F



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Overview

5 Hallar los Factores de Ponderación cada intervalo de tamaños:

Introducción

(i) WF

Balance de Masa Corrección de Leyes

(i)

Caracterización de las partículas

WC

Conminución

WU

(i)

Trituración Tamizado Industrial

(i) GF



(i) GF



· 1−   (i) (i) = GC · 1 − GC   (i) (i) = GU · 1 − GU

=

Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

6 Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños:

λ

UNI-FIGMM

(i)

∆M (i) = −2 · (i)
(i) (i) C 2 WF + WC · F + WU ·


U 2 F

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Overview

7 Hallar las correcciones:

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución

(i)

∆GF

(i) ∆GC

Trituración

(i)

Tamizado Industrial Tamizado Industrial

∆GU

(i)

(i) WF = −λ · 2 (i) W = +λ(i) · C 2 (i) W = +λ(i) · U 2

C · F U · F

Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

UNI-FIGMM

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Overview

8 Corregir los análisis granulométricos:

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución

¯ (i) = G(i) − ∆G(i) G F F F

¯ (i) = G(i) − ∆G(i) G C C C

¯ (i) = G(i) − ∆G(i) G U U U

Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

UNI-FIGMM

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Ejemplo de la Corrección de los Análisis Granulométricos Overview Introducción

1 Los análisis granulométricos utilizados son los que se presentan en la Tabla 15.

Balance de Masa Corrección de Leyes

2 El caudal normalizado C/F :

Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

A = (0.1292 − 0.0000)2

+ (0.3867 − 0.0000)2 +...

+ (0.9914 − 0.5831)2

+ (1.0000 − 1.0000)2

= 4.4672

UNI-FIGMM

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Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial

B = (0.1292 − 0.0000) · (0.0630 − 0.0000)

+ (0.3867 − 0.0000) · (0.2300 − 0.0000)

+...

+ (0.9914 − 0.5831) · (0.8765 − 0.5831)

+ (1.0000 − 1.0000) · (1.0000 − 1.0000)

= 3.1517

Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

UNI-FIGMM

C 3.1517 = = 0.7055 F 4.4672

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3 Obtener el caudal normalizado U/F

U = 1 − 0.7055 = 0.2945 F

4 Hallar los errores para cada intervalo de tamaños:

∆M (1) = 0.0630 − (0.1292 · 0.7055 + 0.0000 · 0.2945) = −0.0282

∆M (2) = 0.2300 − (0.3867 · 0.7055 + 0.0000 · 0.2945) = −0.0428 .. .

=

.. .

∆M (11) = 0.8765 − (0.9914 · 0.7055 + 0.5831 · 0.2945) = 0.0053

∆M (12) = 1.0000 − (1.0000 · 0.7055 + 1.0000 · 0.2945) = 0.0000

Overview Introducción

5 Hallar los Factores de Ponderación cada intervalo de tamaños. Para el primer intervalo de tamaños:

Balance de Masa

(1)

Corrección de Leyes

WF

Caracterización de las partículas

(1)

WC

Conminución

(1)

WU

Trituración

= 0.0630 · (1 − 0.0630) = 0.0590 = 0.1292 · (1 − 0.1292) = 0.1125 = 0.0000 · (1 − 0.0000) = 0.0000

Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

6 Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños. Para el primer intervalo de tamaños:

λ

UNI-FIGMM

(1)

0.0630 = −2 · 0.0590 + 0.1125 · (0.7055)2 + 0.0000 · (0.2945)2 = 0.4895 J. A. Kobashicawa: [email protected] – 131 / 144

Overview

7 Hallar las correcciones. Para el primer intervalo de tamaños:

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

(1) ∆GF (1)

∆GC

Conminución

(1)

Trituración Tamizado Industrial

∆GU

0.0590 = −0.4895 · = −0.0144 2 0.1125 = +0.4895 · · 0.7055 = 0.0194 2 0.0000 = +0.4895 · · 0.2945 = 0.0000 2

Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

UNI-FIGMM

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Overview Introducción

8 Corregir los análisis granulométricos. Para el primer intervalo de tamaños:

Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración

¯ (1) = 0.0630 − (−0.0144) = 0.0774 G F

¯ (1) = 0.1292 − 0.0194 = 0.1098 G C

¯ (1) = 0.0000 − 0.0000 = 0.0000 G U

(7.74%) (10.98%) (0.00%)

Tamizado Industrial Tamizado Industrial

Se puede verificar, evaluando el error

Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

UNI-FIGMM

¯ (1) = 0.0774 − (0.1098 · 0.7055 + 0.0000 · 0.2945) = 0.0000 ∆M

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Tabla 16: Análisis Granulométrico Corregidos de los productos de una Zaranda (Porcentajes Acumulados Retenidos). Tamaño (mm) Porcentaje Acumulado Retenido I.T. Mallas Mínimo Alimento Oversize Undersize 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

<2” <1 1/2” <1” <3/4” <1/2” <3/8” -m4 -m6 -m8 -m10 -m14

50.80 38.10 25.40 19.05 12.70 9.53 4.75 3.35 2.36 1.70 1.18 0.00

7.74 25.57 49.40 60.96 70.70 73.63 79.42 81.63 83.75 85.48 87.22 100.00

10.98 36.24 70.02 86.29 97.85 98.85 99.14 99.16 99.17 99.16 99.16 100.00

0.00 0.00 0.00 0.27 5.66 13.21 32.17 39.62 46.81 52.70 58.60 100.00

Tabla 17: Análisis Granulométrico Corregido de los productos de una Zaranda (Porcentajes en Peso). Tamaño (mm) Porcentaje en Peso I.T. Mallas Máximo Mínimo Promedio Alimento Oversize Undersize 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-3” + 2” -2” + 1 1/2” -1 1/2” + 1” -1” + 3/4” -3/4” + 1/2” -1/2” + 3/8” -3/8” + m4 -m4 + m6 -m6 + m8 -m8 + m10 -m10 + m14 -m14

76.20 50.80 38.10 25.40 19.05 12.70 9.53 4.75 3.35 2.36 1.70 1.18

50.80 38.10 25.40 19.05 12.70 9.53 4.75 3.35 2.36 1.70 1.18 0.00

62.22 43.99 31.11 22.00 15.55 11.00 6.73 3.99 2.81 2.00 1.42 0.59

7.74 17.83 23.83 11.56 9.74 2.93 5.79 2.21 2.12 1.73 1.74 12.78

10.98 25.26 33.78 16.27 11.56 1.00 0.29 0.02 0.01 0.00 0.00 0.84

0.00 0.00 0.00 0.27 5.39 7.55 18.96 7.45 7.19 5.89 5.90 41.40

Ejemplo de Curva de Partición Overview

Para el primer intervalo de tamaños:

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial

ED (62.22) = ED (43.99) = .. .

=

ED (1.42) =

Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

UNI-FIGMM

ED (0.59) =

0.1098 · 0.7055 = 1.0000 0.0774 0.2526 · 0.7055 = 1.0000 0.1783

(100.00%) (100.00%)

.. .

0.0000 · 0.7055 = 0.0000 0.0174 0.0084 · 0.7055 = 0.0461 0.1278

(0.00%) (4.61%)

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Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

UNI-FIGMM

Tabla 18: Data de la Curva Tromp i.t. Tamaño promedio (mm) ED 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

62.22 43.99 31.11 22.00 15.55 11.00 6.73 3.99 2.81 2.00 1.42 0.59

100.00 100.00 100.00 99.32 83.70 24.05 3.57 0.57 0.25 0.00 0.00 4.61

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Overview Introducción

100

Real Ideal

Balance de Masa

80

Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

Trituración

ED

Conminución

60 40

Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

20 0 −1 10

0

10

1

10

Tamaño de partículas (mm)

2

10

Figura 9: Curva de Partición (Tromp). La curva ideal indica que todas las partículas mayores a la abertura de la malla se presentan en la fracción gruesa y todas las partículas menores se presentan en la fracción fina. UNI-FIGMM

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Modelos empíricos Overview

Curvas de Partición:

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas

 Actual:

Eua (dp)

 Corregida:

Euc (dp) (Elimina el cortocircuito Rf ) Eua (dp) − Rf Euc (dp) = 1 − Rf

Conminución Trituración

(63)

Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

UNI-FIGMM

Eur (dp/d50c ) (Similar a la corregida, pero los valores de tamaño son divididos entre el valor del d50c i.e. la curva cruza por la coordenada (1, 0.5)).

 Reducida:

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d50 Overview

Obsérvese que:

Introducción Balance de Masa

Eua (d50) = 0.50

Corrección de Leyes

Euc (d50c ) = 0.50

Caracterización de las partículas

Eur (1) = 0.50

Conminución Trituración Tamizado Industrial

Se define el Sharpness Index (SI ) como

Tamizado Industrial

d25c SI = ; d75c

Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

SI ∈ [0, 1]

(64)

Donde:

Euc (d25c ) = 0.25 Euc (d75c ) = 0.75 UNI-FIGMM

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Modelos de la curva corregida Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

UNI-FIGMM

Reid-Plitt ó Rosin-Rammler

a    dp Euc (dp) = 1 − exp ln(0.50) · d50c

(65)

Whiten ó Suma Exponencial



dp d50c



−1 exp a ·   Euc (dp) = dp exp a · d50 + exp (a) − 2 c

(66)

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Overview

Distribución Log-Normal

Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes

Euc (dp) =

0

Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

UNI-FIGMM

Z

Logística

dp

   2  x ln d50c 1   √ · exp −  dx 2 2 · a 2·π·a·x 1

Euc (dp) = 1+



dp d50c

−a

(67)

(68)

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Overview Introducción

1

Real Corregida

Balance de Masa

Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial

0.8 0.6 0.5 0.4

ED

Corrección de Leyes

Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

Rf

0.2 0 0 10

1

10

2

d50c 10 d50 Tamaño de partículas (mm)

Figura 10: Curva de Partición (Tromp) Real y Corregida. UNI-FIGMM

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Curvas Anzuelo (fish hook) o tipo Gancho Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición

UNI-FIGMM

Finch

a      d0 − dp dp + Rf · Euc (dp) = 1 − exp ln(0.50) · d50c d0

(69)

Whiten ó Suma Exponencial



1 + β · β∗ ·  Euc (dp) = 1 − exp a · β ∗ ·

dp d50c dp d50c





· (exp (a) − 1)

(70)

+ exp (a) − 2

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