Probleme Rezistenta

7

REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B ÎNCOVOIEREA SIMPLĂ A UNEI BARE DREPTE FĂRĂ CONSOLE SITUATĂ PE DOUĂ REAZEME PUNCTUALE RIGIDE 1. ENUNŢ Se consideră o bară dreaptă de arie constantă pe lungimea sa (rigiditate EI constantă) care este supusă la încovoiere simplă prin acţiunea a două sarcini cunoscute ca module, direcţii şi poziţie pe bară şi acţionând normal pe axa barei: forţă concentrată P, o sarcină uniform distribuită q Conform axiomei legăturilor din Mecanică, în lucul reazemelor punctuale, rigide se introduc două forţe concentrate V1

şi V2

,

necunoscute ca module, denumite

reacţiuni. În fig.1b.1 este prezentată configuraţia generală de încărcare cu sarcinile (module, poziţii şi valori) şi reacţiunile (module, poziţiile în reazeme şi sensurile lor), precum şi forma secţiunii transversale a barei. 4

3

1

5

V1

2

q

P a

6

Forma [i dimensiunile

b

c L

V2

d

λs

0,9λs

O C2

y0 y2

C1 C

y1 yc

Fig. 1b.1 Se cere: 1) Să se determine reacţiunile V1 şi V2;

s z

2) Să se traseze diagramele de forţe tăietoare şi momente încovoietoare şi să se detremine momentul maxim şi poziţia secţiunii corespunzătoare pe bară; PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

8 3) momentul de inerţie şi modulul de rezistenţă al secţiunii în funcţie de s; 4) parametrului s al secţiunii (dimensionarea barei); 5) deplasarea şi rotirea secţiunii 6 aflată la distanţa d de capătul barei (w6 şi ϕ6) 6) tensiunea tangenţială maximă (conform formulei lui Juravski); 2. MODEL DE REZOLVARE PENTR UN CAZ PARTICULAR Pentru un caz particular se consideră valorile parametrilor din tabelul următor: a

b

c

d

L

P

q

λ

(m)

(m)

(m)

(m)

(m)

(kN)

(kN/m)

-

2

2

6

7

8

12

1,5

2,5

σa=120 MPa; E= 2⋅105MPa; Pentru datele din tabel, configuraţia reală a barei este cea din fig. 1b.2 3

1

4

P=12k 2

q=1,5 kN/m

6

V1

6

7

2

w6, ϕ6

V2 8 Fig. 1b.

1. Determinarea reacţiunilor se face în acest caz folosind următoarele relaţii:

∑M ∑M

2y

1y

=0

=0

⇒ V1 =

P ⋅( L − a ) + q ⋅( c − b )⋅( L − L

c+b P ⋅ a + q ⋅( c − b )⋅ 2 ⇒ V2 = L

c+b ) 2 ;

Relaţia de verificare este: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

9

∑F

z

= 0 ⇒ P + q( c − b ) = V1 + V2

Înlocuind valorile numerice se obţine: V1 = 9 ,409kN ; V2 = 5,647kN ; Verificarea rezultatelor: 9 ,409 + 5,647 ≅ 11,25 + 3,24( 1,645 − 0 ,47 );

15,056 ≅ 15,057

2. Diagramele de eforturi T şi M, forţa tăietoere şi momentul maxim (fig.1b.3)

Se trasează diagramele T=T(x) şi M=M(x) din 3

1

4

P=12k 2

2

q=1,5 kN/m

6

V1=12k

V2=6kN

8

+ DIAGRAMA T

12kN

-

-6kN

+

+ DIAGRAMA M

24kNm

12kNm Fig. 1b. 3

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

10 Din diagrama T(x) se determină efortul tăietor maxim Tmax=12kN, iar din

diagrama M(x) se determină momentul încovoietor maxim Mmax= 24 kNm precum şi poziţia secţiunii corespunzătoare pe bară: xM= 2m 3. Momentul de inerţie, modulul de rezistenţă şi momentul static al secţiunii

În figura 1b.4 este reprezentată secţiunea barei şi axele y0, y1, y2, yC , care trec prin punctele O, C1, C2 şi C, unde : • punctul O este un punct de referinţă al secţiunii; • punctul C1 este centrul de greutate al dreptunghiului; • punctul C2 este centrul de greutate al triunghiului; • punctul C este centrul de greutate al secţiunii. 0,9λs

Se notează cu : λs

• z1 distanţa OC1 ; z2 distanţa OC2

O C2

y0 y2

C1 C

y1 yC

zC distanţa OC • d1 distanţa CC1; d2 distanţa CC2

s

• zmax distanţa până la fibra extremă • A1 aria dreptunghiului; A2 aria triunghiului

Fig.1a.4

z

• Iy1 momentul de inerţie al dreptunghiului faţă de axa ce trece prin C1 (C1y) • Iy2 momentul de inerţie al triunghiului faţă de axa ce trece prin C2 (C2y) • IyC momentul de inerţie al suprafeţei faţă de axa ce trece prin C (Cy) • Wy modulul de rezistenţă la încovoiere faţă de axa ce trece prin C (Cy) Relaţiile de calcul utilizate sunt: • centrul de greutate al suprafeţei: A1 z1 − A2 z 2 λs 2 ⋅ 0,5λs − 0 ,5 ⋅ 0 ,9λs 2 ⋅ 0 ,3λs zC = = = 0 ,6636λ s A1 − A2 λs 2 − 0,5 ⋅ 0 ,9λs 2 unde

A1=λs2; z1=0,5s ;

A2=0,5⋅0,9λ s2=0,45λs2 ; z2=0,9λs/3=0,3λs ;

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

11 • momentul de inerţie ale suprafeţei date (compuuse) în raport cu axa ce trece prin

centrul ei de greutate este: I yC = I y1C − I y 2C unde momentele de inerţie ale celor două suprafeţe simple (dreptunghi şi triunghi) în raport cu axe ce trec prin centrele lor de greutate sunt :

I y1 =

s ⋅ ( λ s )3 s ⋅ ( 0 ,9λs )3 ; I y2 = 12 36

şi faţă de axa ce trece prin punctul C (formula formulei lui STEINER): I y1C

s ⋅ ( λ s )3 = + A1 ⋅ d12 ; 12

I y 2C

unde: d1=zC -0,5λs= 0,1636λ s;

s ⋅ ( 0 ,9λs )3 = + A2 ⋅ d 212 36 d2= zC - 0,3λ s =0,3636 λs;

s ⋅ ( λ s )3 + A1 ⋅ d12 = 0 ,1101λ3 s 4 ; 12 s ⋅ ( 0 ,9λs )3 = + A2 ⋅ d 22 = 0 ,0797λ3 s 4 36

I y1C = I y 2C

Deci: I yC = I y1C − I y 2C = 0 ,0304λ3 s 4

Modulul de rezistenţă al secţiunii Wy se calculează astfel: Iy

0 ,0304λ3 s 4 Wy = = = 0 ,0458λ2 s 3 z max 0 ,6636λs Momentul static al jumătăţii superioare a secţiunii se determină astfel 5 zC3 S yC = = 0 ,054λ2 s 3 27λ Înlocuind în expresiile obţinute valoarea lui λ=1,5 se obţin urătoarele rezultate: z C = 0 ,9954 s; I yC = 0 ,1026 s 4 ; W y = 0 ,103 s 3 ; S yC = 0 ,1215s 3 . 4. Dimensionarea barei la solicitarea de încovoiere

W ynec =

M iy max σa

M iy max

; 0 ,103s 3 =

M iy max σa

24⋅ 10 6 s=3 =3 = 124 ,75 mm 0 ,103σ a 0 ,103⋅ 120

;

se adoptă s=125 mm;

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

12 5. Calculul deplasării şi rotirii secţiunii 6 (w6 şi ϕ6)

Relaţiile folosite pentru sunt calculul deplasării şi rotirii secţiunii 6 sunt: EIw = EIw0 + EIϕ 0 x + Φ ( x);

EIϕ = EIϕ 0 + Φ ′( x)

În cazul particular al aceastei probleme, aceste relaţii devin:

EIw6 = EIw0 + EIϕ 0 d + Φ( d ); w0 = 0 ⇒ EIw6 = EIϕ 0 d + Φ( d ) EIw2 = EIϕ 0 L + Φ( L ) = 0 ; EIw6 = −

Φ( L ) ⋅ d + Φ( d ); L

⇒ EIϕ 0 = −

Φ( L ) L

EIϕ 6 = EIϕ 0 + Φ′( d ) = −

Φ( L ) + Φ′( d ) L

unde Φ(x) şi Φ'(x)este funcţia de încărcare, respectiv derivata funcţiei de încărcare:

Φ(d)= - (12⋅73)/6+(12⋅53)/6+1,5⋅(54 -14)/24= - 397 kNm3= - 397⋅1012 Nmm3 Φ(L)= - (12⋅83)/6+(12⋅63)/6+1,5⋅(64 -24)/24= - 512 kNm3= - 512⋅1012 Nmm3 Φ'(d)= - (12⋅72)/2+(12⋅52)/2+1,5⋅(53 -13)/6= - 113 kNm3= - 113⋅109 Nmm2 deci: EIw6 = −

Φ( L ) ⋅ d + Φ( d ); înlocuind valorile numerice: ⇒ w6 = 10,18 mm L

EIϕ 6 = −

Φ( L ) + Φ ′( d ) ; L

înlocuind valorile numerice: ⇒ ϕ6 = -0,56o

6. Calculul tensiunii tangenţiale maxime (cu ajutorul formulei lui Juravski)

Tensiunea tangenţială maximă corespunde liniei ce trece prin centrul de greutate, deoarece momentul static al secţiunii aflate deasupra sau dedesupt SyC este maxim şi se determină cu ajutorul fomulei lui JURAVSKI: τ max =

Tmax ⋅ S cy I yef ⋅ b

unde: Tmax=12kN; Iyef=0,1026 s4 ; b=0,368 s este lăţimea secţiunii în dreptul centrului de greutate al secţiunii; SCy=0,1215s3 este momentul static al jumătăţii secţiunii . ⇒ τ max =

Tmax ⋅ S cy* I yef

12 ⋅ 10 3 ⋅ 0 ,1215 ⋅ 1253 = = 2 ,471MPa . ⋅b 0 ,1026 ⋅ 0 ,368 ⋅ 1255

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

13

PROBLEME EXAMEN - TIP 1B PROBLEMA 1b.1

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE λs

a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

2

2

6

7

8

-10

1,5

1,5

0,9λs

2

y1 yc

C s z

REZULTATE V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

-4,5

0,5

9

90

-2,29 0,138

5,5

2,185

0,995 0,1026 0,1031

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 3

1

4

2

q=1,5 kN/m 2m

P=10kN

6m

V1=-4,5kN

V2=0,5kN 8m

+ DIAGRAMA T 5,5kN + x=3,667m

-

-0,5kN

-4,5kN -9kNm + 1,083kNm 1kNm

+

DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

14

PROBLEMA 1b.2 DATE DE INTRARE a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

1,5 3,5 REZULTATE

3,5

4

10

2,5

2

3

λs

0,9λs

2

y1 yc

C s z

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

0.200

76

4.375

y0 y2

O C

10.625 10.313 1.311 0.263

3,672 -0,392 10,625 2,007

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 1

4

3

5

P=10kN

q=2,5 kN/m 1,5m

1,5m 3,5m V1=4,375kN

V2=10,625kN 4m

+ DIAGRAMA T 4,375kN +

0,625kN -9,375kN -10,625kN

+ 5,313kNm

6,5625kNm +

2

DIAGRAMA M

10,313kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

15

PROBLEMA 1b.3

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

3,5

0,5

2,5

3,5

4

18

2

1,25

λs

0,9λs

2

y1 yc

C s z

REZULTATE V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

4,75

17,25

8,625

0,819 0,064 0,078

98

5,206 -0,527 17,25

3,136

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 3

1

4 q=2 kN/m

0,5m

5

2 P=18kN

2m 2,5m

V1=4,75kN

V2=17,25kN 4m

+ DIAGRAMA T 4,75kN +

0,75kN -

-17,25kN

2,375kNm

+

DIAGRAMA M

+

8,25kNm

8,625kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

16

PROBLEMA 1b.4

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

1

1

3

4

5

10

2

1,75

λs

0,9λs

2

y1 yc

C s z

REZULTATE V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

10,4

3,6

10,4

7,627 -0,396

10,4

1,883

1,147 0,176 0,153

83

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 3

1

4

P=10kN

1m

2

q=2 kN/m

2m 5m

V1=10,4 kN

V2=3,6 kN

+ DIAGRAMA T 10,4 kN +

0,4 kN x=0,2

+

-3,6kN

7,2kNm

10,4kNm 10,44kN +

DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

17

PROBLEMA 1b.5

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

1

2

3

2,5

4

15

2

1,4

λs

0,9λs

2

y1 yc

C s z

REZULTATE V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

12

5

12

0,098

101

7,589 -0,176

12

1,834

0,918 0,09

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 3

1

4 P=10kN

1m

5 q=2 kN/m 1m

1m 4m

V2=5 kN

V1=12 kN + DIAGRAMA T 12 kN +

-3 kN -5 kN

+

5kNm 9kNm

+

2

12kNm DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

18

PROBLEMA 1b.6

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

1

2

3

1,5

4

12

3

1,8

λs

0,9λs

2

y1 yc

C s z

REZULTATE V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

10,125

4,875

10,125

1,18 0,191 0,162

81

8,557 0,109 10,125

1,871

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 3

1

4 P=12kN

1m

5 q=3 kN/m 1m

1m 4m

V2=4,875 kN

V1=10,125 kN + DIAGRAMA T 10,125 kN +

-1,875 kN -4,875 kN

+

4,875kNm 8,25kNm

+

2

10,125kNm DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

19

PROBLEMA 1b.7

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE λs

a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

1,5

1

3

1,5

4

22

3

1,3

0,9λs

2

C s z

REZULTATE V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

16,75

11,25

24,75

0,852 0,072 0,085

135

y1 yc

6,754 0,108 16,75

1,543

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 3

1

4 P=22kN

1m

5 q=3 kN/m 1,5m

0,5m 4m

V2=11,25 kN

V1=16,75 kN + DIAGRAMA T 16,75kN

15,25kN +

-

-6,75 kN

-11,25 kN

+ 16,75kNm +

2

11,25kNm

24,75kNm

DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

20

PROBLEMA 1b.8

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE λs

a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

1,5

1

3

3

4

4

3

1,4

0,9λs

2

C s z

REZULTATE V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

5,5

4,5

7,857

0,098

88

7,58 -0,355

5,5

1,107

0,918 0,09

y1 yc

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 3

1

4

P=4kN

1m

2

q=3 kN/m

2m 4m

V1=5,5kN

V2=4,5 kN

+ DIAGRAMA T 5,5 kN +

1,5 kN x=0,5 -4,5kN

+ 4,5kNm 5,5kNm +

5,875kNm

DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

21

PROBLEMA 1b.9

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

2,5

1

3

2,5

4

8

6

1,6

λs

0,9λs

2

y1 yc

C s z

REZULTATE V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

9

11

15,75

8,048 -0,141

11

1,471

1,049 0,134 0,128

101

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 3

1

4

5

q=6 kN/m 1,5m

1m

2

P=8kN

0,5m

4m

V2=11 kN

V1=9kN + DIAGRAMA T 9kN +

-8 kN -11 kN

+ 9 kNm +

DIAGRAMA M

11 kNm 15,75 kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

22

PROBLEMA 1b.10

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

3

1

2

2,5

4

6

3

1,5

λs

0,9λs

2

y1 yc

C s z

REZULTATE V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

3,375

5,625

5,625

0,983 0,111 0,113

75

12,316 -0,18 15,625

1,455

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 3

1

4

5 P=6kN

q=3 kN/m 1m

2

1m

1m 4m

V2=5,625 kN

V1=3,375 kN + DIAGRAMA T 3,375 kN +

0,375 kN -5,625 kN

+ 3,375kNm 5,25 kNm +

DIAGRAMA M

5,625 kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

23

PROBLEMA 1b.11

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

3

1

2

2,5

4

12

2

1,2

λs

0,9λs

2

C s z

REZULTATE V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

4,25

9,75

9,75

9,463 -0,113

9,75

1,608

0,787 0,057 0,072

105

y1 yc

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 3

1

4

5 P=6kN

q=3 kN/m 1m

2

1m

1m 4m

V2=9,75 kN

V1=4,25 kN + DIAGRAMA T 4,25 kN 2,25 kN

+

-9,75 kN

+ 4,25kNm +

DIAGRAMA M

7,5 kNm 9,75 kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

24

PROBLEMA 1b.12

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

1,7625

0

20

8,511

1,5

1,175 1,175 2,35

λs

0,9λs

2

y1 yc

C s z

REZULTATE V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

12,5

17,5

3,407 0,021

17,5

3,008

10,281 0,983 0,111 0,113

92

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 3

1

4

5

2

P=6kN q=3 kN/m 1m

1m

1m

V2=3,375 kN

4m

V1=-0,375 kN + DIAGRAMA T

2,265 kN + -0,375 kN

-

x=0,125m -3,375 kN -0,375 kN

-0,398 kN 0,75 kNm

+

+

DIAGRAMA M 3,375 kNm PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

25 PROBLEMA 1b.13

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

4

1

4

5

6

20

5

2,25

λs

0,9λs

2

y1 yc

C s

REZULTATE

z

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

15,417 19,583 39,167 1,475 0,374 0,253

109

6,616 -0,344 19,583

1,599

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 1

4

3

P=20kN

q=5 kN/m 1m V1=15,417 kN

2

3m 6m V2=19,583 kN

+ DIAGRAMA T 15,417 kN +

0,417 kN -19,583kN

+ 15,417kNm +

DIAGRAMA M

39,166kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

26 PROBLEMA 1b.14

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

2

0

4

5

6

15

5

2,5

λs

0,9λs

2

y1 yc

C s

REZULTATE

z

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

23,333 11,667 36,667 1,639 0,513 0,313

100

5,444 -0,29 23,333

2,037

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 3

1

4

P=15kN

q=5 kN/m

2m

2

2m 6m

V1=23,333 kN

V2=11,667 kN

+ DIAGRAMA T 23,333 kN 13,333 kN + -1,667kN

-11,667kN

+ 23,334kNm +

DIAGRAMA M

36,666kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

27 PROBLEMA 1b.15 DATE DE INTRARE a

b

c

d

y0 y2

O C L

P

λ

q

λs

0,9λs

2

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

C

6

4

8

7

8

16

2

2,75

s

REZULTATE

y1 yc

z

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

6

18

32

89

9

-0,477

18

1,803

1,803 0,683 0,379

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 1

4

3

2

P=16kN

q=2 kN/m 2m

4m 8m

V2=18 kN

V1=6 kN + DIAGRAMA T 12 kN 2 kN

+

-

-18 kN

+ 24kNm +

DIAGRAMA M

32kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

28 PROBLEMA 1b.16 DATE DE INTRARE

0,9λs

2

a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

C

5

2

5,5

5,5

6

12

1

3

s

λs

REZULTATE

y1 yc

z

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

3,313

y0 y2

O C

12,188 12,063 1,967 0,886 0,451

61

5,034 -0,553 12,188

2,383

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 1

3

4 P=16kN

q=2 kN/m

2

0,5m

3m

2m

5

8m V2=12,188 kN

V1=3,313 kN + DIAGRAMA T 3,313 kN 0,313 kN

+

-11,687 kN

6,626kNm

+

DIAGRAMA M

-12,188 kN

+ 6,094kNm 12,065kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

29 PROBLEMA 1b.17 DATE DE INTRARE a

b

m

c

m

1

d

m

2 3 REZULTATE

y0 y2

O C L

P

λ

q

λs

0,9λs

2

m

m

kN

kN/m

-

C

2

3

6

2

1,5

s

y1 yc

z

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

4,333

3,667

4,333

0,983 0,111 0,113

69

5,642 -0,212 4,333

1,324

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 3

1

4

P=6kN

1m

2 q=2 kN/m

1m 3m

V1=4,333 kN

V2=3,667 kN

+ DIAGRAMA T 4,333 kN + -

-1,667 kN

-3,667 kN

+ 2,666 kNm +

DIAGRAMA M

4,333 kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

30 PROBLEMA 1b.18

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

2

0

4

4,5

5

10

2

1

λs

0,9λs

2

y1 yc

C s

REZULTATE

z

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

10,8

7,2

17,6

0,05

144

4,033 -0,45

10,8

1,137

0,656 0,033

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 1

3 q=2 kN/m 2m

2

4

P=10 kN

2m 5m

V1=10,8 kN

V2=7,2 kN

+ DIAGRAMA T 10,8 kN 6,8 kN + -3,2 kN

-7,2 kN

+ 7,2 kNm +

DIAGRAMA M

17,6 kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

31 PROBLEMA 1b.19

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

2

4

6

5

6

6

2

1

λs

0,9λs

2

y1 yc

C s

REZULTATE

z

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

4,667

5,333

9,333

5,333

0,865

0,656 0,033

0,05

116 12,971 -0,67

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 3

1

4

P=6kN

2m

2 q=2 kN/m

2m 6m

V1=4,667 kN

V2=5,333 kN

+ DIAGRAMA T 4,667 kN + -

-1,333 kN

-5,333 kN

+ 6,668 kNm +

DIAGRAMA M

9,334 kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

32 PROBLEMA 1b.20

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

4

0

4

6

8

16

2

1

λs

0,9λs

2

y1 yc

C s

REZULTATE

z

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

14

10

40

189 18,148 -0,429

14

0,855

0,656 0,033

0,05

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 1

3

2 P=16kN

q=2 kN/m 4m 8m

V2=10 kN

V1=14 kN + DIAGRAMA T 14 kN 6 kN

+

-10 kN

+

+

DIAGRAMA M

40 kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

33 PROBLEMA 1b.21 DATE DE INTRARE a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

6

0

6

7

8

20

1,5

1,5

λs

0,9λs

2

s z

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

Mpa

36,75

y1 yc

C

REZULTATE

10,625 18,375

y0 y2

O C

0,983 0,111 0,113

140 10,906 -0,584 18,375

1,364

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 1

3

2

P=20 kN

q=1,5 kN/m 6m 8m V1=10,625 kN

V2=18,375 kN

+ DIAGRAMA T 10,625 kN

+

1,625 kN

-

-18,375 kN

+ +

DIAGRAMA M 36,75 kNm PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

34 PROBLEMA 1b.22

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

2

2

4

5

6

9

1,5

1,5

λs

0,9λs

2

y1 yc

C s

REZULTATE

z

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

7,5

4,5

15

8,392 -0,448

7,5

1,009

0,983 0,111 0,113

104

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 3

1

P=9kN

2m

4

2

q=1,5 kN/m

2m 6m

V1=7,5 kN

V2=4,5 kN

+ DIAGRAMA T 7,5 kN +

-1,5 kN

-4,5 kN

+ 9 kNm +

DIAGRAMA M

15 kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

35 PROBLEMA 1b.23 DATE DE INTRARE a

b

c

y0 y2

O C

d

L

P

λ

q

λs

0,9λs

2

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

C

2

0

4

5

6

12

2

2

s

REZULTATE

y1 yc

z

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

13,333

6,667

0,2

99

22,667 1,311 0,263

6,476 -0,346 13,333

1,484

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 1

3 q=2 kN/m 2m

2

4

P=12 kN

2m 6m

V1=13,333 kN

V2=6,667 kN

+ DIAGRAMA T 13,333 kN 9,333 kN + -2,667 kN

-6,667 kN

+ 13,334 kNm +

DIAGRAMA M

22,666 kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

36 PROBLEMA 1b.24 DATE DE INTRARE a

b

c

y0 y2

O C

d

L

P

λ

q

λs

0,9λs

2

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

C

4

0

2

5

6

6

3

2

s

REZULTATE

y1 yc

z

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

7

5

10

0,2

75

7

1,358

1,311 0,263

10,934 -0,569

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 3

1

4

q=3 kN/m

2

P=6kN

2m

2m 6m

V1=7 kN

V2=5 kN

+ DIAGRAMA T 7 kN +

1 kN

-5 kN

+

+

DIAGRAMA M

8 kNm

10 kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

37 PROBLEMA 1b.25 DATE DE INTRARE a

b

c

y0 y2

O C

d

L

P

λ

q

λs

0,9λs

2

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

C

3

1

5

4

8

20

4

1,5

s

REZULTATE

y1 yc

z

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

22,5

13,5

59,5

164 20,914 -0,044

22,5

1,217

0,983 0,111 0,113

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 4

3

1

2

P=20kN

q=4 kN/m

1m

5

2m

2m 8m

V1=22,5 kN

V2=13,5 kN

+ DIAGRAMA T 22,5 kN 14,5 kN

+

-

-5,5 kN

-13,5kN

+

22,5 kNm

40,5 kNm +

DIAGRAMA M

59,5 kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

38 PROBLEMA 1b.26

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE

0,9λs

2

a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

C

1

1

3

4

6

30

2

1,5

s

λs

y1 yc

REZULTATE

z

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

27,667

6,333

27,227 0,983 0,111 0,113

127 11,047 -0,233 27,667

2,496

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 3

1

P=30 kN

4

2

q=2 kN/m

2m

1m

6m

V1=27,667 kN

V2=6,333 kN

+ DIAGRAMA T 27,667 kN + -

-2,333 kN -6,333 kN

+ 19 kNm +

27,667 kNm DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

39 PROBLEMA 1b.27 DATE DE INTRARE a

b

c

y0 y2

O C

d

L

P

λ

q

λs

0,9λs

2

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

C

2

1

3

4

8

25

8

1,5

s

REZULTATE

y1 yc

z

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

30,75

10,25

57,5

0,983 0,111 0,113

163 19,056 -0,073 30,75

1,684

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE

q=8 kN/m

1m

5

4

3

1

1m

2

P=25 kN

1m 8m

V1=30,75 kN

V2=10,25 kN

+ DIAGRAMA T 30,75 kN 22,75 kN +

-

-2,25 kN -10,25kN

+

30,75 kNm

+

DIAGRAMA M

57,5 kNm

51,25 kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

40 PROBLEMA 1b.28

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

2

0

3

4

6

20

5

2,5

λs

0,9λs

2

y1 yc

C s

REZULTATE

z

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

24,583 10,417 39,167 1,639 0,513 0,313

102

8,701 -0,178 24,583

2,063

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 1

4

3

2

P=20 kN

q=5 kN/m

1m 6m

2m V1=24,583 kN

V2=10,417 kN

+ DIAGRAMA T 24,583 kN 14,583 kN + -

-5,417 kN -10,417 kN

+ 31,251 kNm +

DIAGRAMA M

39,166 kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

41 PROBLEMA 1b.29 DATE DE INTRARE a

b

c

d

y0 y2

O C L

P

λ

q

λs

0,9λs

2

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

C

1

0

3

3

5

30

5

2

s

REZULTATE

y1 yc

z

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

34,5

10,5

32

0,2

111

8,122 -0,132

34,5

3,055

1,311 0,263

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 3

1

P=30 kN

1m

2

4 q=5 kN/m

2m 5m

V1=34,5 kN

V2=10,5 kN

+ DIAGRAMA T 34,5 kN 29,5 kN +

-0,5 kN

-10,5 kN

+

21 kNm

32 kNm +

DIAGRAMA M

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

42 PROBLEMA 1b.30

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

1,5

0

3

3

4

20

8

2

λs

0,9λs

2

y1 yc

C s

REZULTATE

z

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

27,5

16,5

32,25

0,2

111

3,975 -0,188

27,5

2,435

1,311 0,263

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 1

3 P=20 kN

q=8 kN/m 1,5 m

2

4

1,5 m 4m

V1=27,5 kN

V2=16,5 kN

+ DIAGRAMA T 27,5 kN 15,5 kN + -4,5 kN

-16,5 kN

+ 16,5 kNm +

DIAGRAMA M

32,25 kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

43 PROBLEMA 1b.31

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

1,5

0

3

3

4

20

-10

2,2

λs

0,9λs

2

y1 yc

C s

REZULTATE

z

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

-6,25

-3,75

1,187

1,422 0,349 0,242

41 -18,987 0,725 3,375

2,213

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 1

3

2

4

P=20 kN q=10 kN/m 1,5 m

1,5 m 4m

V1=-6,25 kN

V2=-3,75 kN

+ DIAGRAMA T

x2=1,125m 8,75 kN

x1=0,625m

3,75 kN

+

+

-

-

-6,25 kN -11,25 kN

-4,453 -3,75 kNm

-1,953 -

+ 1,875 kNm +

DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

44 PROBLEMA 1b.32

y0 y2

O C

DATE DE INTRARE a

b

c

d

L

P

q

λ

m

m

m

m

m

kN

kN/m

-

1,5

0

3

3

4

-10

8

2,3

λs

0,9λs

2

y1 yc

C s

REZULTATE

z

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

mm

-

-

mm

mm

grade

kN

MPa

8,75

5,25

4,125

14,402 -0,64

8,75

3,192

1,508 0,399 0,265

51

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 1

3

2

4

q=8 kN/m 1,5 m

1,5 m P=20 kN 4m

V1=8,75 kN

V2=5,25 kN

+ DIAGRAMA T 8,75 kN 6,75 kN +

+ -

-

-3,25 kN x2=1,094

x1=1,094

-5,25 kN

+

+

DIAGRAMA M

4,785 kNm 4,125 kNm

5,25 kNm 6,973 kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1B

45

MODELUL 1C ÎNCOVOIEREA SIMPLĂ A UNEI BARE DREPTE CU CONSOLE SITUATĂ PE DOUĂ REAZEME PUNCTUALE RIGIDE

Se consideră o bară dreaptă cu console (fig.1c.1), având secţiunea constantă pe lungimea sa (rigiditate la încovoiere constantă EI) şi secţiunea având forma din fig.1c.2, cu două console de lungimi a şi c şi distanţa între reazeme b, care este solicitată la încovoiere simplă prin acţiunea următoarelor sarcini exterioare: o forţă concentrată P ce acţionează la distanţa d; o sarcină uniform distribuită q ce acţionează între distanţele e şi f. un cuplu concentrat N ce acţionează la distanţa g; Conform axiomei legăturilor în lucul reazemelor punctuale şi rigide se introduc cele două forţe de legătură V1 şi V2 (reacţiunile) - necunoscute ca module, având direcţia şi sensul din fig. 1c.1. 2

a

e

4 N

q

P

d

z

6

1 a+b/2

3

0

5

1,5s

C3

s

V1

b f

V2 g

Fig. 1c.1

c

x λs

C2

y3 y2

C

yC

C1

s

y1 s

s

Fig. 1c.2

1. 2. 3. 4. 5.

Se cere: să se determine reacţiunile V1 şi V2 (2p); să se traseze diagramele de forţe tăietoare şi momente încovoietoare (2p); să se dimensioneze bara (determinarea parametrului s al secţiunii)(2p); să se determine tensiunea tangenţială maximă (formula lui Juravski) (1p); să se determine deplasările şi rotirile secţiunilor capătului din stânga (w0 şi ϕ0) şi respectiv cea situată la mijlocul distanţei între reazeme (w6 şi ϕ6) (2p); PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

46 CAZ PARTICULAR Pentru un caz particular se dau valorile parametrilor în tabelul următor: a

b

c

d

e

f

g

m 2,45

m 1,55

m 4,22

m 0

m 3,55

m 6,44

m 8,22

λ 2

P

q

N

kN 22,3

kN/m 5,7

kNm -12

σa=120 MPa; E= 2,1⋅105MPa; Figura corespunzătoare acestui caz particular este 1c.3. 1

0

6 3

2

4

5

3,225 q=5,7kN/m

P=22,3kN 2,45 3,5

1,5

V2

V1

N=-12kNm 4,22

x

6,4

z

Fig. 1c.3

Determinarea celor două reacţiuni se face în acest caz folosind ecuaţiile de echilibru din Mecanică: e+ f   P ⋅( a + b − d ) + N + q ⋅( f − e )⋅ a + b −  2   = 39 ,232 ( kN ) ∑ M 2 y = 0 ⇒ V1 = b ;  e+ f − P ⋅( a − d ) − N + q ⋅( f − e )⋅ − a 2   = −0 ,459 ( kN ) ∑ M 1 y = 0 ⇒ V2 = b Relaţia pentru verificare este:

∑F

z

= 0 ⇒ P + q( f − e ) = V1 + V2 ⇔ 38,733 =39,232 − 0,459 = 22,3 + 5,7 ⋅ ( 6,44 − 3,55 )

2. Diagramele de eforturi tăietoare şi momente încovoietoare Folosind regulile stabilite la construcţia diagramelor de eforturi se trasează diagramele T=T(x) şi M=M(x) din fig.1c.4 şi fig.1c.5 din care rezultă forţa tăietoare maximă: Tmax=22,3 kN, momentul încovoietor maxim Mmax= 54,635 kNm, precum şi poziţia secţiunii corespunzătoare momentului maxim faţă de capătul barei: xM= 2,45 m. PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

47 1

0

3

2

4

5

+ 16,932

14,367 13,908

T

Fig. 1c. 4

-22,3

0

1 -54,635

M

+

3

2

-36,010

4

5

-28,967 -12

Fig. 1c. 5

3. Dimensionarea barei la încovoiere Relaţia de dimensionare la solicitarea de încovoiere este: M Wyznec = iy max ; unde σa

Wy este modulul de rezistenţă al barei şi se calculează cu ajutorul relaţiei: I Wy = y , unde zmax= max[zC; (λs+2,5s-zC)] este distanţa maximă până la z max fibra extremă. 1,5s În figura 1C.6 este reprezentată secţiunea barei C3 y3 (constantă pe lungimea sa) şi axele y0, y1, y2, y3, yC , s C2 y2 care trec prin punctele O, C1, C2 , C3 şi C C yC unde : λs C1 • punctul O este un punct de referinţă al secţiunii; zC y1 • punctul C1 este centrul de greutate al dreptunghiului 1; y0 O • punctul C2 este centrul de greutate al dreptunghiului 2; s s s • punctul C3 este centrul de greutate al triunghiului 3; • punctul C este centrul de greutate al secţiunii. Fig. 1C. 6 PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

48 Centrul de greutate C al suprafeţei secţiunii se A z + A2 z 2 + A3 z3 determină cu ajutorul relaţiei: zC = 1 1 A1 + A2 + A3

unde s-a notat cu : z1 = 0,5λs - distanţa OC1; A1=λs2- aria dreptunghiului 1 A2=3s2- aria dreptunghiului 2 z2 = (0,5+λ)s - distanţa OC2; A3=2,25s2- aria triunghiului 3 z3 = (1,5+λ)s - distanţa OC3 ; 0 ,5λ2 + 5,25λ + 4,875 după înlocuiri rezultă: zC = s; λ + 5,25 pentru cazul considerat (λ=2) rezultă: zC / s = 2,397 Momentul de inerţie ale suprafeţei IyC în raport cu axa ce trece prin centrul ei de greutate se determină astfel: I yC = I y1C + I y 2 C + I y 3C , unde: s ⋅ ( λ s )3 + A1 ⋅ d12 ; I y1C = 12 3s ⋅ ( s )3 + A2 ⋅ d 22 ; I y 2C = 12 3s ⋅ ( 1,5s )3 + A3 ⋅ d 32 ; I y 3C = 36 Rezultă după înlocuiri:

unde: d1 = zC-0,5λs este distanţa CC1 d2 = λs+0,5s- zC este distanţa CC2 d3 = λs+1,5s- zC este distanţa CC3

2

I yC

2

2

λ3 + 6 ,375 4 z   z   z  = s + λ C − 0 ,5λ  s 4 + 3 − C + 0 ,5 + λ  s 4 + 2 ,25 − C + 1,5 + λ  s 4 12   s   s   s înlocuind λ=2 pentru cazul considerat rezultă : IyC / s4=7,87 Modulul de rezistenţă Wy pentru cazul considerat este: Wy / s3=3,284 M Relaţia de dimensionare la solicitarea de încovoiere W yznec = iy max devine: σa

3,284s = 3

M iy max σa

M iy max

54,635⋅ 10 6 ⇒s=3 =3 = 51,756 mm 3,284⋅ σ a 3,284⋅ 120

Se adoptă s=52 mm;

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

49

C

C

τma

τma

4. Calculul tensiunii tangenţiale maxime (formula lui Juravski) Tmax ⋅ S cy* τ max = I yef ⋅ b

Tensiunea tangenţială maximă se calculează în secţiunea în care forţa zc tăietoare este maximă Tmax şi corespunde liniei ce trece prin b zc>λs centrul de greutate (când zC <λs, fig. a zc<λs 1c.7a) sau în dreptul saltului de Fig. 1c.7 lăţime a secţiunii unde lăţimea b (când zC >λs , fig. 1c.7b). Momentul static al secţiunii (S*zc) se determină deci pentru cele două cazuri: cînd zC< λs (fig. 1c.6b): S*yc= (zC )2⋅ 0,5 s cînd zC >λs (fig. 1c.6a): S*yc= λ s2(zC-0,5λs) pentru cazul considerat (λ=2): zC =2,397s > λs, rezultă S*yc= λ s2(zC-0,5λs)= 2,794 s3 Tmax ⋅ S cy* 22 ,3 ⋅ 10 3 ⋅ 2 ,794 ⋅ 52 3 τ max = = = 2 ,928 MPa; 57554834 ⋅ 52 I yef ⋅ b zc

5. Calculul deplasării şi rotirii secţiunii 0 (w0 şi ϕ0) şi 6 (w6 şi ϕ6) Relaţiile folosite pentru calculul deplasării /rotirii sunt: EIw = EIw0 + EIϕ 0 x + Φ( x ) EIϕ = EIϕ 0 + Φ ′( x )

unde Φ(x) şi Φ'(x) este funcţia de încărcare, respectiv derivata funcţiei de încărcare în secţiunea barei situată la distanţa x de capăt • Pentru calculul deplasării/rotirii secţiunii corespunzătoare capătului din stânga al barei w0, ϕ0 se folosesc ecuaţiile deplasărilor din dreptul reazemelor 1 şi 2: EIw1 = 0 = EIw0 + EIϕ0 a + Φ1

EIw2 = 0 = EIw0 + EIϕ 0 ( a + b ) + Φ 2 ⇒ EIϕ0 =

Φ1 − Φ 2 a  a ; EIw0 = − Φ1 1 +  + Φ 2 ; b b  b

• Cu valorile EIϕ0 şi EIw0 astfel calculate se determină deplasarea/rotirea secţiunii 6 EIw6 şi EIϕ6 : PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

50

Φ1 + Φ 2 + Φ6 2 Φ − Φ2 ⇒ + Φ′6 EIϕ 6 = EIϕ 0 ( a + b / 2 ) + Φ′6 EIϕ 6 = 1 b Pentru cazul considerat, valorile funcţiilor de încărcare Φ1 , Φ2, Φ6 şi Φ‘6 se determină după cum urmează: 22,3 ⋅ 2 ,453 Φ1 = = 54,658kNm 3 6 22,3 ⋅ 43 39,231 ⋅ 1,553 5,7 ⋅ ( 0 ,454 − 0 ) Φ2 = − + = 213,527 kNm 3 6 6 24 3 3 22,3 ⋅ 3,225 39,231 ⋅ 0,775 Φ6 = − = 121,621 kNm 3 6 6 22,3 ⋅ 3,225 2 39,231 ⋅ 0 ,775 2 Φ′6 = − = 104 ,185 kNm 2 2 2 Înlocuind aceste valori în expresiile lui w0, ϕ0, w6, ϕ6, se obţine: Φ − Φ2 EIw0 = − 1 ⋅ a − Φ1 = 196 ,457 kNm 3 = 196 ,457⋅ 1012 Nmm 3 ; b Φ − Φ2 EIϕ0 = 1 = −102 ,496kNm 2 = −102 ,496⋅ 10 9 Nmm 2 ; b Φ + Φ2 EIw6 = − 1 + Φ 6 = −12,472 kNm 3 = −12,472 ⋅ 1012 Nmm 3 2 Φ − Φ2 EIϕ6 = 1 + Φ′6 = 1,689 kNm 2 = 1,689 ⋅ 109 Nmm 2 b Înlocuind valorile E=2⋅105MPa şi Iz=57.554.834 mm4 în expresiile deplasărilor şi rotirilor se obţine: 196 ,457⋅ 1012 196,457⋅ 10 7 = 17 ,067 mm; = w0 = 2 ⋅ 57554834 EI EIw6 = EIw0 + EIϕ0 ( a + b / 2 ) + Φ 6

ϕ0 =

⇒

EIw6 = −

− 102,496⋅ 10 4 180 ⋅ = −0 ,510 0 2 ⋅ 57554834 π

12 ,472⋅ 1012 12 ,472⋅ 10 7 =− w6 = − = −1,084 mm; 2 ⋅ 57554834 EI 1,689 ⋅ 10 4 180 ϕ6 = ⋅ = 0 ,008 0 2 ⋅ 57554834 π

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

51

PROBLEME EXAMEN - TIP 1C PROBLEMA 1c.1

y3

1,5s

DATE DE INTRARE a

b

c

d

e

f

g

λ

m

m

m

m

m

m

m

-

2

3

1

6

0

5

0

1

P

q

N

C y C C y2

s

kN kN/m kNm s 2

1

5

s

REZULTATE

zC

C s

y

s

V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w0

ϕ0

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

kN

kNm

-

-

-

mm

mm

grade

mm

grade

kN

MPa

5.167

1.833

7

1.7

31

38.57

-1.56

-6

3.615 2.008

0.05 3.166

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 6 1 2

0

N=5kNm

q=1kN/

3 P=2kN

V1

2m

3m

x

V2

1m

3,166kN

z + DIAGRAMA T

+

2kN

+ 0,167kN

-2kN -7kNm

-

-5kNm

0.588

-2kNm

+ DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

52 PROBLEMA 1c.2 1,5s

s

DATE DE INTRARE

a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

1.5

1

1.8

0

1.5

4.3

1.5

2

-15

q

N

zC

kN/m kNm 2s 4

V2

Mmax

kN

kN

kNm

-26.98

23.18

22.5

y1

C1 s

zC/s Iy/s4 Wy/s3 -

s

w0

-

mm

mm

3.284

39

-5.288

-

2.397 7.87

ϕ0

w6

ϕ6

grade mm grade 0.29

s

6

1

τmax

kN

MPa

0.032 -0.009 15.98

N=15kN

2

3

q=4kN/m

x P=15k

V1

1,5

z + DIAGRAMA T

V2

1m

1,8

15kN 7,2kN

+

+ -

-11,98kN

-15,98kN -6,48kN

+ + DIAGRAMA M

7,5kNm 22,5kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

s

Tmax

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 0

y3 y2 yC

15

REZULTATE

V1

C3 C2 C

2.67

53 PROBLEMA 1c.3 1,5s

s

DATE DE INTRARE

a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

0

3

1.5

4.5

1.2

3

1.2

3

12

q

N

kN/m kNm 3

3s

V2

Mmax

kN

kN

kNm

-7.047

24.447

18

y3 y2

C

y1

zC

s

zC/s Iy/s4 Wy/s3 -

-

3.045 15.327

s

w0

-

mm

mm

5.033

32

0

ϕ0

w6

ϕ6

grade mm grade -0.12

yC

-8

REZULTATE

V1

C C C

-2

-0.02

s

s

Tmax

τmax

kN

MPa

12.447

3.569

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 3 6 2 4

0 1

N=8kNm

q=3kN/m

P=12kN

x

1,2m

V1

V2

3m

1,5m

z 12kN

+ DIAGRAMA T

+ -

-7,047kN

-12,447kN -18kNm -8,456kNm -0,456kNm

-

+ DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

54 PROBLEMA 1c.4

1,5s

s

DATE DE INTRARE

a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

0

8

2

2

0

10

6

4

-30

q

N

kN/m kNm 4s 2

-2

V2

Mmax

kN

kN

kNm

-15.25

5.25

34.5

zC/s Iy/s4 Wy/s3 -

-

3.662 26.621

s

w0

-

mm

mm

7.269

35

0

ϕ0

C

yC

C1

y1

ϕ6

w6

s

-16.94 0.097

s

Tmax

τmax

kN

MPa

19.25

3.958

grade mm grade -0.5

y3 y2

s

REZULTATE

V1

C3 C2

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 0 6 2 3 4 1

5

q=2kN/m

2m

P=30kN

V1

N=2kNm

6m

x V2 2m

8m

z + DIAGRAMA T 10,75kN

4kN

+

+

-

-1,25kN -19,25kN

-15,25kN

-34,5kNm

-7,44kNm

-

-5,44kNm

-4kNm

+ DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

55 PROBLEMA 1c.5

1,5s

s

DATE DE INTRARE

a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

0

2

0.4

2.4

0.6

2.4

0.6

5

-2

q

N

kN/m kNm 3

5s

V2

Mmax

kN

kN

kNm

2.75

0.65

1.65

y3 y2

C

yC

C1

y1

zC

2

REZULTATE

V1

C3 C2

zC/s Iy/s4 Wy/s3 -

-

4.256 42.338

s

w0

-

mm

mm

9.948

12

0

ϕ0

w6

ϕ6

Tmax

τmax

kN

MPa

2.75

4.085

grade mm grade 0.2

1.8

s

s

s

0.023

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 0 1

6

3 N=2kNm

4

2 q=3kN/m

0,6m

V2

V1

2m

P=2kN 0,4m

z + DIAGRAMA T 2,75kN

+ -0,8kN X=0,916m

-

-1,45kN

-2kN

-0,35kNm

+

+

-0,56kNm

0,910kNm 1,65kNm

+ DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

x

56 PROBLEMA 1c.6 y3

1,5s

DATE DE INTRARE

a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

0

1.3

0.7

0.7

1

2

1

1

-12

q

N

C y C C y2

s

kN/m kNm s 5

-10

s

REZULTATE

zC/s Iy/s4 Wy/s3

V1

V2

Mmax

kN

kN

kNm

-

-

-14

7

10.4

1.7

3.615

s

w0

-

mm

mm

2.008

36

0

zC

C s

s

Tmax

τmax

grade mm grade

kN

MPa

-0.154 -1.221 -0.015

14

1.928

ϕ0

w6

ϕ6

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 0 1

6

3

2

4 q=5kN/m

N=10kNm

0,7m

V1

1m

x

P=12kN

V2 0,7m

1,3m

z + DIAGRAMA T

3,5kN

+ -

-2kN

-

-3,5kN -10,4kNm

-14kN

-9,8kNm

-

-1,225kNm -0,40kNm

-

+ DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

y

57 PROBLEMA 1c.7 1,5s

s

DATE DE INTRARE

a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

0

2.5

1.8

1.5

2.5

4.3

1.5

2

20

q

N

zC

kN/m kNm 2s 15

V2

Mmax

kN

kN

kNm

-0.12

47.12

24.3

y1

C1 s

zC/s Iy/s4 Wy/s3 -

s

w0

-

mm

mm

3.284

40

0

-

2.397 7.87

y3 y2 yC

4

REZULTATE

V1

C3 C2 C

s

s

Tmax

τmax

grade mm grade

kN

MPa

-0.032 -0.691 -0.031

27

4.288

ϕ0

w6

ϕ6

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 0

2

6

1

3

P=20kN

q=15kN/m

N=4kNm

V1

1,5m

1m

z + DIAGRAMA T

x

V2

1,8m

27kN

+ -0,12kN

-20,12kN

-4,18kNm

-24,3kNm

-

-0,18kNm

+ DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

58 PROBLEMA 1c.8 1,5s

s

DATE DE INTRARE

a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

1.5

2

0

0

1.5

3.5

2.5

3

-12.8

q

N

kN/m kNm 3s 6.4

zC

Iy/s4

Wy/s3

s

w0

-

-

mm

mm

5.033

32

Mmax zC/s

kN

kN

kNm

-12.8

12.8

19.2 3.045 15.327

-

ϕ0

w6

ϕ6

grade mm grade

-11.698 0.532

y1

C1

s

V2

yC

6.4

REZULTATE

V1

y3 y2

C3 C2 C

1.908 -0.048

s

s

Tmax

τmax

kN

MPa

12.8

3.67

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 0

6

1 q=6,4kN/m

N=6,4kNm

x

P=12,8kN 1,5m

z

2

V1

1m

1m

V2

+ DIAGRAMA T 12,8kN

+ -

+ + DIAGRAMA M

9,6kNm 16kNm

19,2kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

-12,8kN

59 PROBLEMA 1c.9 1,5s

s

DATE DE INTRARE

a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

0

4

1

5

0

4

1

4

20

q

N

kN/m kNm 4s 10

V2

Mmax

kN

kN

kNm

17.5

42.5

20

y3 y2

C

yC

C1

y1

10

s

REZULTATE

V1

C3 C2

zC/s Iy/s4 Wy/s3 -

-

3.662 26.621

s

w0

-

mm

mm

7.269

29

0

s

s

Tmax

τmax

grade mm grade

kN

MPa

0.133

22.5

6.739

ϕ0

w6

1.549

ϕ6 -0.44

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 0 1

6

3

2

4

q=10kN/m

V1

P=20kN

x

N=10kNm

1m

V2

4m

1m

z + DIAGRAMA T

20kN

17,5kN

+

+ -

x=1,75m

-22,5kN -20kNm

+

2,5kNm 12,5kNm

+ 5,3125kNm

+ DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

60 PROBLEMA 1c.10

1,5s

s

DATE DE INTRARE

a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

0.3

1.5

0.5

1.2

0

2.3

0.3

5

-12

q

N

kN/m kNm 20

5s

zC

V2

Mmax

kN

kN

kNm

12.467

21.533

4.145

zC/s Iy/s4 Wy/s3 -

s

w0

-

mm

mm

9.948

16

-1.166

-

4.256 42.338

C

yC

C

y1

-4

REZULTATE

V1

y3 y2

C C

ϕ0

w6

ϕ6

s s Tmax

s τmax

kN

MPa

grade mm grade 0.220

1.092 -0.053 11.533

9.637

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 0

6

1 N=4kNm

0,3m

V1

3

4

2

q=20kN/m P=12kN

1,5m

V2

1,2m

0,5m

z + DIAGRAMA T

10kN

6,467kN

-

+

0,467kN

+

-

-

-6kN

-11,533kN

x=0,323m

-11,533kN -2,5kNm

-

-0,9kNm

+

0,824kNm

3,1kNm

+ DIAGRAMA M

4,145kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

x

61 PROBLEMA 1c.11

a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

1.5

2.4

0

2.7

0

1.5

1.5

1

9.6

s

w0

mm

mm

42

-9.466

q

N

zC/s Iy/s4 Wy/s3

V2

Mmax

kN

kN

kNm

-

7.4

11.8

16.8

1.7

-

-

3.615 2.008

C y C C y2

s

kN/m kNm s 6.4

C

-24

s

REZULTATE

V1

y3

1,5s

DATE DE INTRARE

zC

s

s

Tmax

τmax

grade mm grade

kN

MPa

0.339

11.8

1.194

ϕ0

w6

ϕ6

3.918 -0.043

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 0

1 q=6,4kN/

6

N=24kNm

2

P=9,6kN

x z

V1

1,5

1,2

1,2

+ DIAGRAMA T

-2,2kN

-

-9,6kN -11,8kN -7,2kNm

+ 16,8kNm

14,16kNm

+ DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

V2

y

62 PROBLEMA 1c.12 1,5s

s

DATE DE INTRARE

a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

0.7

2

0

0.4

0

1.9

1.9

2

5

q

N

zC

kN/m kNm 2s 12

V2

Mmax

kN

kN

kNm

16.7

11.1

9.12

y1

C1 s

zC/s Iy/s4 Wy/s3 -

-

2.397 7.87

s

w0

-

mm

mm

3.284

29

2.493

y3 y2 yC

-18

REZULTATE

V1

C3 C2 C

s

s

Tmax

τmax

grade mm grade

kN

MPa

-0.214 -0.977 0.079

13.4

4.05

ϕ0

w6

ϕ6

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 0

6

1

3 P=5kN

N=18kNm

q=12kN/m

0,4m

x

V1

0,7m

2

4

0,8m

1,2m

z + DIAGRAMA T

3,3kN

+ -4,8kN

-

-

x=0,275m

-9,8kN

-11,1kN

-13,4kN

-9,12kNm -4,44kNm -0,96kNm

-3,986kNm

+

+ DIAGRAMA M

8,88kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

V2

63 PROBLEMA 1c.13

1,5s

s

DATE DE INTRARE

a

b

c

d

e

f

g

λ

P

q

N

kN/m kNm 3s

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

0.6

1.2

0

1

0

1

1.3

3

-2

s

w0

-

mm

mm

5.033

17

1.855

3

zC

-4

V2

Mmax

kN

kN

kNm

-1.417

2.417

2.792

zC/s Iy/s4 Wy/s3 -

-

3.045 15.327

yC y1

C1

s

REZULTATE

V1

y3 y2

C3 C2 C

s

s

Tmax

τmax

grade mm grade

kN

MPa

-0.183 -0.781 0.057

4.417

4.487

ϕ0

w6

ϕ6

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 0

3

1

6

4

2 N=4kNm

q=3kN/m

V1 z

x

P=2kN 0,3m 1,2m

0,4m

0,6m

V2

+ DIAGRAMA T

-1,8kN -3,217kN

-2,417kN -4,417kN -2,792kNm -2,067kNm

-0,54kNm

+

+ DIAGRAMA M

1,208kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

64 PROBLEMA 1c.14 1,5s

s

DATE DE INTRARE

a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

0

1.2

1.8

3

0

1.2

3

4

-10

q

N

kN/m kNm 4s 20

-20

V2

Mmax zC/s

kN

kN

kNm

10.333

3.667

20

Iy/s4

Wy/s3

s

w0

-

-

mm

mm

7.269

29

0

-

3.662 26.621

ϕ0

w6

ϕ6

grade mm grade 0.016

y3 y2

C

yC

C1

y1

s

REZULTATE

V1

C C

s

s

Tmax

τmax

kN

MPa

0.096 -0.002 13.667

4.093

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 0 1

6

3

2

q=20kN/

N=20kN

x V1

V2

1,2m

P=10k

1,8m

z + DIAGRAMA T 10,333kN

+ -

x=0,516m -13,667kN

-2kNm

-10kN

-10kN -20kNm

-

2,67kNm

+ DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

65 PROBLEMA 1c.15

1,5s

s

DATE DE INTRARE

a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

0.75

2.55

1.16

4.46

0

1.85

3.3

5

19.4

q

N

kN/m kNm 8.2

5s

zC

V2

Mmax

kN

kN

kNm

7.735

26.835

22.504

y3 y2

C

yC

C1

y1

6.2

REZULTATE

V1

C3 C2

Tmax

s τmax

grade mm grade

kN

MPa

-0.087 -1.288 -0.023

19.4

5.693

s

s

zC/s Iy/s4 Wy/s3 -

-

4.256 42.338

s

w0

-

mm

mm

9.948

27

1.12

ϕ0

w6

ϕ6

DIAGRAMELE DE EFORTURI TĂIETOARE SI DE MOMENTE 0

1

3

6

2

q=8,2kN/m

4 P=19,4kN

N=6,2kNm

x

z

0,75m

V1

1,1m

V2

2,55m

1,16m

19,4kN

+ DIAGRAMA T

+

1,585kN

-

-

-6,15kN x=0,193

-22,504kNm

-7,435kN -16,304kNm

-5,523kNm -2,306kNm -2,155kNm

-

+ DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

66 PROBLEMA 1c.16 1,5s

DATE DE INTRARE a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

0.4

2.5

0

0

0.4

1.6

2.2

1

30

s

w0

mm

mm

50

-0.715

q

N

kN/m kNm 20

s

C C C

s

C

40

s

y3 y y2

zC

s

s

REZULTATE V1

V2

Mmax

kN

kN

kNm

69.04

-

-15.04 29.472

-

1.7

-

3.615 2.008

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 3 6 1

0 P=30kN

0,4m

ϕ0

w6

ϕ6

grade mm grade 0.092

2.39 0.009

Tmax

τmax

kN

MPa

39.04

2.787

4

2

N=40kNm

q=20kN/m

V1 z

zC/s Iy/s4 Wy/s3

x

1,2m

0,6m

V2

2,5m

+ DIAGRAMA T 39,04kN 15,04kN

15,04kN

+ -30kN

-12kNm

-10,528kNm

-

+

+ DIAGRAMA M

20,448kNm

29,472kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

y

67 PROBLEMA 1c.17 1,5s

s

DATE DE INTRARE a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

1.2

2

0

0

0.8

2.2

2.2

2

-10

q

N

kN/m kNm 15

zC 2s

V2

Mmax

kN

kN

kNm

-8.15

19.15

19.15

-

s

w0

-

mm

mm

3.284

37

-5.288

-

2.397 7.87

y1

C s

zC/s Iy/s4 Wy/s3

ϕ0

w6

ϕ6

grade mm grade 0.299

1.445 0.041

s

6

1

3

τmax

kN

MPa

19.15

3.555

2

N=20kN

q=15kN/

x z

P=10k

V1

0,4m

0,8m

1m

1m

+ DIAGRAMA T 10kN

+

4k -4,15kN

-19,15kN -0,85kNm

+

+

8kN

+ DIAGRAMA M

10,8kNm -19,15kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

s

Tmax

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 0

y3 y2 yC

-20

REZULTATE V1

C C C

V2

68 PROBLEMA 1c.18 1,5s

s

DATE DE INTRARE a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

0

6

2

8

0

6

4

3

2

q

N 3s

kN/m kNm 1

zC

C C C

y3 y2

C

y1

-8

s

REZULTATE V1

V2

Mmax zC/s

kN

kN

kNm

1

7

4

-

Iy/s4

Wy/s3

s

w0

-

-

mm

mm

5.033

19

0

3.045 15.327

s

6

3

1

τmax

grade mm grade

kN

MPa

-0.048 -5.319 -0.048

5

4.067

ϕ6

w6

4

2

N=8kNm

q=1kN/m

P=2kN

x V1

4m

z

V2 6m

2m

2kN

+ DIAGRAMA T 1kN

+

+ -

x=1m

-5kN -

-

-

+

+

0,5kNm

+ DIAGRAMA M

s

Tmax

ϕ0

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 0

yC

4kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

69 PROBLEMA 1c.19 1,5s

s

DATE DE INTRARE a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

1.2

1.8

0

2.4

0

1.6

1.6

4

-8

q

kN/m kNm 4s

V2

Mmax

s

kN

kN

kNm

-0.69

-2.511

4.115

zC/s Iy/s4 Wy/s3 -

-

-

3.662 26.621 7.269

y1

C

-7

REZULTATE V1

yC

C

N

3

y3 y2

C C

ϕ0

ϕ6

w6

s

s

Tmax

τmax

kN

MPa

s

w0

mm

mm

grade mm grade

17

3.775

-0.208 -0.182 -0.035 5.489

4.784

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 0

1

z

2

4

N=7kNm

q=3kN/m

1,2m

6

3

V1

0,4m

0,8m

x P=8kN

1,8m

+ DIAGRAMA T

2,511kN

+ -

-3,6kN -4,289kN

-5,489kN -4,115kNm -2,16kNm

-1,506kNm

-

+

+ DIAGRAMA M

2,884kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

V2

70 PROBLEMA 1c.20

1,5s

s

DATE DE INTRARE a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

1

5

2

4

0

4

8

5

6

q

N

5s

kN/m kNm 10

zC

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

s

w0

kN

kN

kNm

-

-

-

mm

mm

33

13

21.45 4.256 42.338

9.948

27

-6.607

C

yC

C

y1

-7

REZULTATE V1

y3 y2

C C

s

s s Tmax

τmax

grade mm grade

kN

MPa

0.373

23

6.749

ϕ0

ϕ6

w6

11

-0.03

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 0

6

1

3

4

2 P=6kN

q=10kN/m

N=7kNm

x V1

1m

V2

3m 5m

z

2m

+ DIAGRAMA T 23kN

-10kN

x=2,3m

-7kN -13kN

-5kNm

-13kN -7kNm

-

-

+ + DIAGRAMA M

19kNm 21,45kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

71 PROBLEMA 1c.21 y3

1,5s

DATE DE INTRARE a

b

c

d

e

f

g

λ

P

q

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

0.4

1

0

0.9

0

0.4

0.9

1

10

s

w0

N

kN/m kNm 20

s

C y C C y2

s

C s

-15

zC

s

s

REZULTATE zC/s Iy/s4 Wy/s3

V1

V2

Mmax

kN

kN

kNm

-

-

-

mm

mm

-0.4

18.4

9.2

1.7

3.615

2.008

34

0.287

Tmax

τmax

grade mm grade

kN

MPa

-0.044

18.4

2.84

ϕ0

w6

ϕ6

0.112 0.078

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 0

1

3

6

2

4

P=10k

q=20kN/

x N=15kN

V1

0,4m

z + DIAGRAMA T

-8kN

0,5m

0,5m

-

-8,4kN

-18,4kN -5,8kNm -1,6kNm

+

+ DIAGRAMA M

9,2kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

V2

y

72 PROBLEMA 1c.22 1,5s

DATE DE INTRARE

s

a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

1

3

2

6

1

4

0

2

-5

q

N

zC

kN/m kNm 3

2s

-10

s zC/s Iy/s4 Wy/s3

V2

Mmax

kN

kN

kNm

4.5

-0.5

13.375 2.397 7.87

-

ϕ0

s

w0

-

mm

mm

3.284

33

-

y1

C1

REZULTATE V1

y3 y2 yC

C3 C2 C

w6

ϕ6

grade mm grade

-12.522 0.871

7.722

0

s

s

Tmax

τmax

kN

MPa

5

1.167

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 0

6

1

3

2

q=3kN/m

N=10kN

x z

V1

1m

V2

3m

2m

P=5kN

+ DIAGRAMA T 4,5kN

+ -

x=1,5m -4,5kN

-5,5kN

+

10kNm

10kNm

+ DIAGRAMA M

13,375kN

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

-5,5kN

73 PROBLEMA 1c.23 1,5s

s

DATE DE INTRARE a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

1.2

1.2

0

0.4

1.2

2.4

0

3

-2.5

q

N

zC

kN/m kNm 3s 8

C C C

y3 y2

C

y1

-10

s

REZULTATE V1

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

kN

kN

kNm

-

-

-

-7.7

14.8

12

3.045 15.327

s

w0

ϕ0

w6

ϕ6

mm mm grade mm grade

5.033

28

yC

-7.642 0.553

0.688 -0.018

s

s

Tmax

τmax

kN

MPa

14.8

5.543

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 0

1

3

6

2

q=8kN/m

N=10kN

P=2,5k

0,4m

z + DIAGRAMA T

V1

0,8m

x V2

1,2m

2,5kN

+ -5,2kN

-

-14,8kN

+ 10kNm

+ DIAGRAMA M

12kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

74 PROBLEMA 1c.24 1,5s

s

DATE DE INTRARE a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

0

1.5

0.4

0.6

0

1.2

1.9

4

-7.5

q

N

kN/m kNm 5.5

4s

V2

Mmax

kN

kN

kNm

6.127

-7.027

10

y3 y2

C

yC

C

y1

10

s

REZULTATE V1

C3 C2

zC/s Iy/s4 Wy/s3 -

s

w0

-

mm

mm

7.269

23

0

-

3.662 26.621

ϕ0

w6

ϕ6

grade mm grade 0.082

0.83

0.027

s

s

Tmax

τmax

kN

MPa

10.327

4.917

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 6

3

0 1

q=5,5kN/

V1

4

2 N=10kN

x P=7,5kN

0,6

z + DIAGRAMA T

0,3

0,6

V2

0,4

10,327kN 7,027kN

6,127kN 2,827kN

+

+ 2,686kN

+ DIAGRAMA M

7,892kN 10kN

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

75 PROBLEMA 1c.25

1,5s

s

DATE DE INTRARE a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

0

1.5

0.4

0.4

0.4

1.9

0

5

8

q

N

kN/m kNm -2

5s

zC

V2

Mmax

kN

kN

kNm

1.433

3.567

6.173

zC/s Iy/s4 Wy/s3 -

s

w0

-

mm

mm

9.948

18

0

-

4.265 42.338

ϕ0

w6

ϕ6

grade mm grade 0.234

C

yC

C

y1

-5.6

REZULTATE V1

y3 y2

C C

1.245 -0.032

s

s s Tmax

τmax

kN

MPa

6.567

4.336

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 0

6

3

1 N=5,6kNm

V1

4

2

P=8kN

1,1

0,4

q=2kN/m

x V2

0,4

z + DIAGRAMA T 1,433k

+ -

-0,8kN -4,367kN

-6,567kN

+ 5,6kNm

0,16kNm

6,173kN

+ DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

76 PROBLEMA 1c.26 DATE DE INTRARE

y3

1,5s

a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

2

1.5

1.5

0

2

5

2

1

-8

q

N

s

C y C C y2

s

C

kN/m kNm 10

16

s

REZULTATE zC/s Iy/s4 Wy/s3

V1

V2

Mmax

kN

kN

kNm

-

-

-8

30

16

1.7

3.615

w0

-

mm

mm

2.008

41

-9.066

y

s

s Tmax

τmax

grade mm grade

kN

MPa

0.409

15

1.592

ϕ0

s

zC

w6

ϕ6

-0.452 -0.02

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 1

0

6

2

3

q=10kN/m

N=16kN

x

P=8kN

V1

2m

z + DIAGRAMA T

V2

1,5

1,5

15kN

8kN

+

+ -

-15kN -11,25kNm

+ + DIAGRAMA M

16kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

77 PROBLEMA 1c.27 1,5s

DATE DE INTRARE

s

a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

1.5

1

1.8

0

2.5

4.3

1.5

2

10

q

N

kN/m kNm 2s 4

zC

V2

Mmax

kN

kN

kNm

33.52

-16.32

30

y1

C s

zC/s Iy/s4 Wy/s3 -

s

w0

-

mm

mm

3.284

43

5.179

-

2.397 7.87

s

6

1 P=10k

τmax

grade mm grade

kN

MPa

-0.238 -0.424 0.01

23.52

3.232

w6

ϕ6

2

3 q=4kN/m

N=15kN

x V1

1,5

z

+ DIAGRAMA T

1m

V2

1,8

23,52kN

+

7,2kN

-10kN -30kNm -15kNm

-

s

Tmax

ϕ0

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 0

y3 y2 yC

15

REZULTATE V1

C C C

-6,48kN

+ DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

78 PROBLEMA 1c.28 1,5s

s

DATE DE INTRARE a

b

c

d

e

f

g

λ

m

m

m

m

m

m

m

-

kN kN/m kNm

1

2

0

0

0

3

1

3

-10

P

q

N

6.4

3s

zC

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

kN

kN

kNm

-

-

-

8.65

0.55

11.7

3.045 15.327

5.033

s

ϕ0

w0

w6

ϕ6

mm mm grade mm grade 27

y1

C

s

V2

yC

-18.5

REZULTATE V1

y3 y2

C C C

1.923 -0.061 -0.977 0.034

s

s

Tmax

τmax

kN

MPa

12.25

4.934

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 0

1

6

2 q=6,4kN/

N=18,5kN

x

P=10k

V1

1m

z

+ DIAGRAMA T

V2

2m

12,25k

10kN

+

3,6kN

+

-0,55kN

x=1,914m -11,7kNm

0,024kNm

+ 6,8kNm

+ DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

79 PROBLEMA 1c.29 1,5s

s

DATE DE INTRARE a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

2

0.8

1.2

0

2

2.8

4

4

5

q

N

kN/m kNm 25

4s

-15

V2

Mmax

kN

kN

kNm

8.75

16.25

15

0

zC/s Iy/s4 Wy/s3 -

-

-

3.662 26.62 7.269

ϕ0

y3 y2

C

yC

C

y1

s

REZULTATE V1

C C

ϕ6

τmax

kN

MPa

w0

mm

mm

grade mm grade

26

8.878

-0.333 -0.356 -0.004 16.25

2

6.055

3 N=15kN

q=25kN/m

P=5kN

s

Tmax

s

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 6 1

w6

s

x V1

2m

z + DIAGRAMA T

V2

0,8

1,2

3,75kN

+ -

-5kN

x=0,15m -16,25kN -15kNm -10kNm

-15kNm

-9,718kNm

-

+ DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

80 PROBLEMA 1c.30

1,5s

s

DATE DE INTRARE a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

0

1.2

1.8

3

1.2

3

1.2

5

10

q

N

kN/m kNm 2.5

5s

zC

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

kN

kN

kNm

-

-

-

22.05

yC

C

y1

s

s

V2

-1.708 16.208

C

20

REZULTATE V1

4.256 42.338

s

ϕ0

w0

w6

ϕ6

mm mm grade mm grade

9.948

27

0

y3 y2

C C

-0.005 -0.041 -0.001

s

Tmax

τmax

kN

MPa

14.5

4.255

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 0 1

6

3

2 N=20kN

q=2,5kN/

P=10k

x V1

V2

1,2m

z + DIAGRAMA T

1,8m

14,5kN 10kN

+

-1,708kN

-22,05kNm

-2,05kNm

-

+ DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

81 PROBLEMA 1c.31

1,5s

s

DATE DE INTRARE a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

0

1.2

1.8

3

1.2

3

1.2

5

-10

q

N

kN/m kNm 2.5

5s

zC

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

kN

kN

kNm

-

-

-

28.292 -33.792 33.95

4.256 42.338

9.948

s

ϕ0

w0

w6

ϕ6

mm mm grade mm grade 31

0

0.05

C

yC

C

y1

20

REZULTATE V1

y3 y2

C C

0.391 0.012

s

s s Tmax

τmax

kN

MPa

10

2.226

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 0 1

6

N=20kN

V1

V2

1,2m

z + DIAGRAMA T

3

2 q=2,5kN/

P=10k 1,8m

28,292kN

+ -

-5,5kN

-10kN

-22,05kNm

+ + DIAGRAMA M

13,95kN 33,95kN

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

x

82 PROBLEMA 1c.32

1,5s

s

DATE DE INTRARE a

b

c

d

e

f

g

λ

P

m

m

m

m

m

m

m

-

kN

0

1.2

1.8

3

1.2

3

1.2

5

10

q

N

kN/m kNm -2.5

5s

zC

V2

Mmax

zC/s

Iy/s4

Wy/s3

kN

kN

kNm

-

-

-

5.042

0.458

13.95

4.256 42.338

s

w0

ϕ0

w6

ϕ6

mm mm grade mm grade

9.948

23

0

0.029

C

yC

C

y1

20

REZULTATE V1

y3 y2

C C

0.23 0.007

s

s s Tmax

τmax

kN

MPa

10

4.044

DIAGRAMELE DE EFORTURI T SI M 0 1

6

3

2 N=20kN

P=10k

x V1

q=2,5kN/

V2

1,2m

1,8m

z + DIAGRAMA T

10kN 5,5kN

5,042kN

+

-13,95kNm

+ + DIAGRAMA M

6,05kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 1C

83

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR MODELUL 2A - GRINDA CONTINUĂ PE TREI REAZEME PUNCTUALE RIGIDE (3R) ENUNŢ Modelul îşi propune rezolvarea unui caz particular şi anume o bară dreptă de secţiune constantă, încărcată cu diferite sarcini concentrate şi distribuite uniform, situată pe 3 reazeme punctuale rigide la acelaşi nivel, prezentat în figura generală 2a.1: bara care este supusă la încovoiere simplă prin acţiunea unor sarcini exterioare întâlnite curent în aplicaţii, care sunt cunocute ca module, direcţii şi poziţie: două forţe concentrate P1, P2 acţionând normal pe axa barei în planul pricipal, două sarcini uniform distribuite q1, q 2 , normale la axa barei în planul pricipal, două cupluri concentrate N1, N2 dirijate după axa Oy,cunoscute ca sens şi module. f2 d2 e1

g1

d1

f1

e2

g2

P2 q1

P1

q2

N1 a

V1

N2 V2

b2

b3

V3

c

Fig. 2a.1 Conform axiomei legăturilor cele trei reazeme punctuale rigide prin care bara este legată de mediul fix, se înlocuiesc cu reactiunile V1, V2, V3 cunoscute ca direcţie si poziţie, dar necunoscute ca module. Pentru determinarea celor 3 reacţiuni se utilizează două ecuaţii din Mecanică: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

84

ΣZs ↓ =V1+V2+V3

(1)

ΣM3s=V1 (b2+b3)+V2 b3

(2)

şi o ecuaţie de deformaţii care se poate scrie cu ajutorul ecuaţiei celor trei săgeţi (fig.2a.2): EI [wi L j − w j ( L j + Li ) + wk Li ] = Φ i L j − Φ j ( L j + Li ) + Φ k Li

unde Φi, Φj, Φk

sunt funcţiile de încărcare din secţiunile aflate la distanţele xi, xj, respectiv xk .

xi

Li

xj

wk

wj

wi

Lj

xk Fig.2a.2

Funcţiile de încărcare reprezintă a doua integrală a momentului înconvoietor, prin

d 2w rezolvarea ecuaţiei diferenţiale : EI 2 = − M iz ; dx Funcţiile de încărcare se determină cu ajutorul următoarelor relaţii matematice: Ni ( x − gi ) Pi ( x − d i )2 ( x − gi + x − gi ) + ∑ ( x − di + x − di ) + Φ( x ) = ∑ 2 ⋅ 2! 2 ⋅ 3! q i ( x − f i )3 qi ( x − ei )3 +∑ ( x − ei + x − ei ) − ∑ ( x − fi + x − fi ) 2 ⋅ 4! 2 ⋅ 4! O regulă mult mai simplă pentru calculul acestor funcţii într-un punct k al barei este dată în fig. 2.a.3: k

N

N⋅ rN2 2

Φ ′k =

N⋅ rN 1

P⋅ rP2 Φk = 6

Φ ′k =

P⋅ rP2 2

Φk =

r

P

k rP

q

k

Rq

rq

Φk =

q( Rq4 − rq4 ) 24

Φ ′k =

Fig.2.a.3

q( Rq3 − rq3 ) 6

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

85 Pentru grinda din fig. 2a.1 se scrie ecuaţia celor 3 săgeţi pentru punctele 1-2-3 :

EI [w1b3 − w2 ( b2 + b3 ) + w3b2 ] = Φ1b3 − Φ 2 ( b2 + b3 ) + Φ 3b2

(3)

Dacă se înlocuiesc valorile săgeţilor în rezemele punctuale (w1=w2=w3=0) şi valorile pentru funcţiile de încărcare din reazeme :

V1 (b2 + b3 ) V2b33 V1b23 ; Φ3 = Φ3 s − Φ1 = Φ1s ; Φ 2 = Φ 2 s − − 6 6 6 3

(4)

unde Φ1S, Φ2S, Φ3S sunt funcţiile de încărcare ale sarcinilor exterioare cunoscute, care înlocuite în ecuaţia (3) se obţine: 3  V1 (b2 + b3 ) V2b33  V1b23    b2 = 0 Φ1s b3 −  Φ 2 s − − (b2 + b3 ) +  Φ 3 s − (5) 6  6 6    Notând cu A2s expresia : A2 s = Φ1s b3 − Φ 2 s ( b2 + b3 ) + Φ 3 s b2 ; atunci ecuaţia (5) se scrie: 3 V1b23 (b2 + b3 ) V1 (b2 + b3 ) b2 V2b2b33 − − = − A2 s 6 6 6 Rezolvând sistemul de ecuaţii (1), (2), (7) rezultă: s   3 A2 s b3 1  − ∑ M 3 s  V1 = b2 (b2 + b3 )  b2b3 2  s  b  1 V2 = ∑ M 3 s − 1 + 2 V1 b3  b3 

V3 = ∑ Z i ↓ − V1 − V2

(6) (7)

(10) (11) (12)

Pentru rezolvarea problemei se utilizează formulele obţinute (10), (11), (12) calculându-se mai întâi funcţiile de încarcare ale sarcinilor exterioare Φ1S, Φ2S, Φ3S

,

suma tuturor forţelor exterioare (fără reacţiunile necunoscute) cu sensul plus indicat

(ΣZS↓) şi suma momentelor tuturor sarcinilor exterioare (fără reacţiuni) faţă de reazamul 3 ΣM3S (care sunt pozitive dacă au sens trigonometric).

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

86 2. CAZ PARTICULAR

Pentru un caz particular se consideră valorile parametrilor din tabelul următor: b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

3

0

20

6

30

0

5

a

4

2

q1

e2

25

f2

6

7

q2 35

g1 N1 5

15

g2

N2

10 -40

Tensiunea admisibilă: σa=150 MPa, modulul de elasticitate E=2,1.105 MPa

secţiunea are forma unei coroane circulare de diametre 2d şi 3d; Se cere: a. să se detremine valorile celor trei reacţiuni: V1 ,V2 ,V3; b. să se traseze diagramele T(x) şi M(x) ; c. să se dimensioneze barala solicitarea principală de încovoiere (dimensiunea d); d. să se calculeze deplasarea şi rotirea secţiunii din capătul din stânga al barei v0 şi ϕ0 e. să se detremine tensiunea tangenţială maximă τmax ( formula lui JURAVSKI). Înlocuind valorile din tabel în figura generală 2a.1 rezultă figura particulară din fig. 2a.4. 30 kN 20 kN

25 kN/m

35 kN/m

15 kN.m

40 kN.m x

1 1m

2 V1

z

4m

3

1m V2

2m

V3

3m

Fig. 2a.4 a. Calculul reacţiunilor

Se calculează pentru toate sarcinile aplicate barei, suma proiecţiilor pe axa Oz cu sensul pozitiv în jos:

∑Z

i

↓ =P1 + P2 + q1⋅(f1 - e1) + q2⋅(f2-e2) = 210 kN

Se calculează pentru toate sarcinile aplicate barei, suma momentelor în raport cu reazemul cel mai din dreapta (3), cu sensul pozitiv trigonometric : PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

87 s ∑ M 3 S =P1⋅(a + b2 + b3 - d1) + P2⋅(a + b2 + b3 - d2) + q1⋅(f1 - e1) ⋅[a + b2 + b3 -

(f1 + e1)/2] + q2⋅(f2- e2) ⋅[a + b2 + b3 - (f2 + e2)/2] + N1 + N2 = 725 kN⋅m Se calculează numai pentru sarcinile aflate în stânga reazemului 1 , valoarea funcţiei de încărcare Φ1S în acest reazem:

Φ1S = P1⋅(a - d1)3 /6 + q1⋅(a - e1)4/24 = 4,375 kN⋅m3 Se calculează numai pentru forţele aflate în stânga reazemului 2, valoarea funcţiei de încărcare Φ2s în acest reazem:

Φ2S= P1⋅(a + b2-d1)3/6 + q1⋅(a +b2-e1)4/24=1067,708 kN⋅m3 Se calculează numai pentru forţele aflate în stânga reazemului , valoarea funcţiei de încărcare Φ3s în acest reazem:

Φ3S=20⋅73/6 + 30⋅13/6 + 25⋅(74- 24)/24 + 35⋅14/24 +15⋅22/2 = 3664,167 kN⋅m3 Folosind valorile funcţiei de încărcare şi distanţele între reazeme se calculează mărimea A2s care reprezintă echivalentul reacţiunii fictive pe reazemul intermediar (metoda Clapeyron):

A2s = b3⋅Φ1s - (b2 + b3) ⋅Φ2s + b2⋅Φ3s = 8259,170 kNm4 Înlocuind valorile acestor mărimi în expresiile reacţiunilor (10), (11), (12) se obţin următoarele rezultate :

V1 = 98,841kN ; V2 = 65,977 kN ; V3 = 45,182 kN. Pentru verificare se scrie una din ecuaţiile independente de echilibru a momentelor în raport cu rezemele 1 sau 2 :

∑M

1

= 20⋅1-25⋅5⋅1,5+15+65,977⋅4-30⋅5-35⋅1⋅5,5+45,182⋅6-40=0

b. Diagramele de eforturi tăietoare T(x) şi înconvoietoare M(x)

Odată determinate reacţiunile problema poate fi continuată la fel ca în cazul barei pe două reazeme: trasarea diagramelor T=T(x) şi M=M(x), este dată în fig. 2a.5 Din diagrama de momente rezultă momentul de încovoiere şi efortul tăietor maxim:

Mmax= 40 kN⋅m ; Tmax=53,841 kN PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

88 30 kN 20 kN

25 kN/m

35 kN/m

15 kN.m

40 kN.m x

1

2

3

V1=98,841 z

kN

1m

4m

1m

53,841

-20

-

3m

1m

19,818 +

T

V3=45,182

V2=65,977

+ -

2,154m

-10,182

-46,159

-45

-45,182

-40 -32,136

-32,5

-17,136

-12,318

-

-

M

+ 25,477

kN m

Fig. 2a.5

c. Dimensionarea barei la încovoiere

Relaţia de dimensionare la solicitarea de încovoiere este:

Wynec =

M iy max

C

; σa unde: Wynec - este modulul de rezistenţă necesar care se dint= 2d exprimă în funcţie de dimensiunea necunoscută d (fig.2a.6): dext=3d Iy π[( 3d )4 − ( 2d )4 ] 2 65πd 3 = ⋅ = Wynec = Fig.2a.6 64 3d 96 z max σa - tensiunea admisibilă la încovoiere a materialului (σa =150 MPa);

Înlocuind în relaţia de dimensionare rezultă: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

y

89

65πd 3 96 ⋅ 40 ⋅ 10 6 3 40 ⋅ 10 = ⋅ σa ⇒ d = = 50mm 96 65 ⋅ π ⋅ 150 6

d. Calculul deplasărilor şi rotirilor capătului din stânga al barei w0 şi ϕ 0

Relaţiile generale folosite pentru calculul deplasărilor şi rotirilor diferitelor secţiuni ale barei sunt: EIw = EIw0 + EIϕ 0 x + Φ( x ); EIϕ = EIϕ 0 + Φ′( x )

Pentru reazemele 1 şi 2, aceste relaţii se scriu : EIw1 = 0 = EIw0 + EIϕ 0 a + Φ1 EIw2 = 0 = EIw0 + EIϕ 0 ( a + b2 ) + Φ 2 unde Φ1 = Φ1s ;

Φ 2 = Φ 2s −

V1b23 6

Înlocuind valorile pentru Φ1S ,Φ2S ,V1 determinate anterior rezultă: Φ1s − Φ 2 s V1b22 EIϕ0 = + = −2 ,257 kNm 2 b2 6 EIw0 =

Φ 2 s − Φ 1s V b2a ⋅ a − Φ1s − 1 2 = −2 ,117 kNm 3 b2 6

unde w0 = wA şi ϕ

0

=ϕ

A

sunt deplasarea , respectiv rotirea secţiunii A (capătul

din stânga al barei). Înlocuind valorile lui EI în expresiile de mai sus rezultă: w0 = - 0,505 mm

ϕ 0 = - 0,0310 e. Calculul tensiunii tangenţiale maxime

Formula lui Juravski pentru calculul tensiunii tangenţiele maxime este: τ max =

Tz ⋅ S *y b⋅ Iy

unde:

Tz= 53,841kN este efortul tăietor maxim; b=d=50 mm , lăţimea secţiunii după linia care trece prin centrul de greutate; PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

90

Iy =

65π d 4 , momentul de inerţie al secţiunii coroană circulară; 64

38d 3 S = A ⋅z = , momentul static al unei jumătăţi a secţiunii; 24 * y

*

* C

π( 3 d )2 − π( 2d )2 5πd 2 A = = , aria unei jumătăţi a secţiunii (fig. 2a.7); 8 8 *

π( 3 d )2 2( 3d ) π( 2 d )2 2( 2d ) ⋅ − ⋅ * π 8 3 8 3π = 38d zc = 2 π5 d 15π 8

C O

este distanţa de la centrul coroanei circulare până la centrul de greutate al jumătăţii secţiunii OC (fig. 2a.7)

dint= 2d dext=3d

Înlocuind valorile găsite mai sus rezultă: τ max =

Tz ⋅ S *y b⋅ Iy

304 Tz 304 ⋅ 53,841 ⋅103 = = = 10,7 MPa 195 π d 2 195 ⋅ π ⋅ 50 2

Fig.2a.7

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

yC yO

91

PROBLEME EXAMEN - TIP 2a PROBLEMA 2a.1 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa)

a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

1

2

20

6

30

3

5

2

2

q1

e2

20

f2

0

q2

0

g1 N1

0

0

d

g2

10

N2

0

0

REZULTATE

Φ1S

A2S ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 kN kNm

kN

kN

kN

kNm

65,625

30

5

Φ2S

Φ3S

48,333 228,333 273,333

90

80

15,625 8,75

ϕ0

w0

mm grade mm 46

-0,215 2,083

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T(x) ŞI M(x) 0

2

4

1

3 q=20 kN/m

P1=20 kN

N=10 kNm

5 P2=30 kN

x V1

1m z + DIAGRAMA T

V3

V2 1m

2m

1m

1m 30kN

15,625kN

+

4,375kN

+ -

+

-4,375kN

-35,625kN -30kNm

-10kNm

-

+ 5,625kNm

1,25kNm 1,728kNm

+ DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

92

PROBLEMA 2a.2 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa)

a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

1

2

20

0

0

0

2

2

2

q1

e2

10

3

f2

q2

5

g1 N1

30

6

d

g2

10

N2

0

0

REZULTATE

Φ1S

Φ2S

Φ3S

ϕ0

A2S ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

0,417 36,666 336,667 527,5 100

210

25,203 58,594 18,203 15,522

37

w0

-0,121 1,783

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 0

2

4

1

3 q=30 kN/m

P1=20 kN

q=10 kN/m

5 N=10 kNm x

V1

1m

V3

V2 1m

2m

1m

z

1m

41,797kN

+ DIAGRAMA T

13,203kN

+

+

3,203kN

-

-

-

-10kN

x=1,393m

-16,797kN

-13,594kNm

-5kNm

-

+ 3,203kNm

+ DIAGRAMA M

-18,203kN

+ 15,522kNm

10kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

93

PROBLEMA 2a.3 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa)

a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

1

0

20

6

30

3

5

2

2

q1 20

e2 0

f2

q2

0

g1 N1

0

2

d

g2

10

N2

0

0

REZULTATE

Φ1S

Φ2S

Φ3S

ϕ0

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4

kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

3.333

90

95

A2S

475

576.667

120

39.063 -18.125 69.063

30

46

w0

-0.378 5.486

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 0

2

4

1

P1=20 kN

3

N=10 kNm

5 P2=30 kN

q=20 kN/m

x V1

1m

V3

V2 1m

2m

1m

1m

z

30kN

+ DIAGRAMA T

19,063kN

+

+

0,938kN

-

x=0,047m

-20kN

-39,062kN -30kNm

-20kNm -10,937kNm

-

-0,937kNm

+ DIAGRAMA M

-

+ 8,126kNm 8,148kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

94

PROBLEMA 2a.4 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa)

a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

1

0

20

6

30

3

6

2

2

q1 20

e2 0

f2

q2

0

g1 N1

0

2

d

g2

10

N2

0

0

REZULTATE

Φ1S

Φ2S

Φ3S

A2S

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 3.333

95

475

ϕ0

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

576.667 110

110

40.313 -25.625 95.313

40

51

-0.24

w0

3.447

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 0

2

4

1

P1=20 kN

3

5

q=20 kN/m

N=10 kNm

P2=30 kN

x V1

1m

V3

V2 1m

2m

1m

1m

z

50kN

+ DIAGRAMA T

30kN

20,312kN

+

+ -

-5,312kN

-

-20kN -45,312kN -40kNm -20kNm -9,688kNm

-

0,312kNm

+ 10,624kNm

+ DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

95

PROBLEMA 2a.5 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa)

a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

1

0

10

7

20

1

4

3

2

q1 10

e2 0

f2 0

q2

g1 N1

0

0

d

g2

0

N2

0

0

REZULTATE

Φ1S

Φ2S

Φ3S

ϕ0

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

28.417

1.458

30.125

A2S

1.667 140.417 613.75

1142.5

60

145

20

40

w0

-0.121 1.142

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 0

1

3

2

4

q=10 kN/m

P1=10 kN

P2=20 kN

x

1m

V3

V2

V1

2m

3m

1m

z

+ DIAGRAMA T 18,416kN

20kN

+

+ -

-

x=1,841m

-11,584kN

-10kN

-20kNm

-10kNm

-

+

0,23kNm

6,96kNm

+ DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

96

PROBLEMA 2a.6 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa)

a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

1

5

20

7

-30

1

4

3

2

q1

e2

10

f2

0

0

q2

g1 N1

0

0

d

g2

15

0

N2 0

REZULTATE

Φ1S

Φ3S

ϕ0

A2S ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

7.5

Φ2S

153.75 527.083

827.5

20

170

16.25

44.375 -40.625

30

46

w0

-0.466 5.625

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 0

1

2

q=10 kN/m

N=15

3

4

5

P1=20 kN

x

z

V2

V1

1m

P2=30 kN

V3 1m

3m

1m

1m

30,625kN

+ DIAGRAMA T 16,25kN

+

10,625kN

+ -

x=1,625m

-13,75kN

-15kNm

-

-11,25kNm

-30kN

-1,796kNm

+ + DIAGRAMA M 19,375kN

30kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

97

PROBLEMA 2a.7 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa)

a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

1

4

60

14

30

7

13

6

6

q1 10/3

e2

f2

0

q2

0

g1 N1

0

g2

4 -180

N2

0

0

REZULTATE

Φ1S

Φ2S

Φ3S

A2S

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 0

-540

180

7560

ϕ0

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

110

-7,5

80

37.5

157,5

390

d

80

w0

0.094

-1.64

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 5

3

2

4

1

0

q=10/3 kN/m

P1=60 kN

P2=30 kN x

N=180 kNm

V1 3m

1m

V3

V2 6m

3m

1m

z

+

30kN

DIAGRAMA T 12,5kN

+

+

-

x=3,75m

-7,5kN

-7,5kN

-67,5kN -45kNm -22,5kNm

-

-30kNm -21,56kNm

+

+ DIAGRAMA M 157,5kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

98

PROBLEMA 2a.8 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa)

a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

1

0

30

14

80

7

13

6

6

q1

e2

10

0

f2

q2

0

g1 N1

0

4

d

g2

100

N2

0

0

REZULTATE

Φ1S

Φ2S

Φ3S

A2S

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 5

2165 15575

67500

ϕ0

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

170

590

53.542 -8.75 125.208

80

64

w0

-0.198

3

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 1

0

2 q=10 kN/m

N=100 kNm

P1=30 kN

5

3

P2=80 kN x

3m

1m

V3

V2

V1

6m

3m

1m

z

80kN 4

+

DIAGRAMA T

23,542kN

+

14,792kN

+

x=1,479m

-

-

-30kN

-42,208kN -80kNm -59,374kNm

-30kNm

-

+ + DIAGRAMA M

+

11,25 kNm 22,19 kNm 40,626kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

99

PROBLEMA 2a.9 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa)

a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

1

0

30

14

80

7

13

6

6

q1

e2

10

0

f2

q2

0

g1 N1

0

g2

4 -100

N2

0

0

REZULTATE

Φ1S

Φ2S

Φ3S

A2S

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 5

1265

7475

29700

ϕ0

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

170

390

18.125 28.75 123.125

d

80

64

w0

-0.516 8.562

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 4

1

0

2 q=10 kN/m

N=100 kNm

P1=30 kN

5

3

P2=80 kN x

1m

V3

V2

V1 3m

6m

3m

1m

z

80kN

+ DIAGRAMA T

16,875kN

+

+ -

-

x=1,687m

-11,875kN -30kN

-43,125kN -80kNm -62,625kNm

-30kNm

+ + DIAGRAMA M

-

-1,25 kNm

+ 12,988 kNm

34,375kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

100

PROBLEMA 2a.10 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa)

a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

2

0

30

15

20

1

7

6

6

q1

e2

30

0

f2

q2

0

0

g1 N1 10

g2

50

N2

0

0

REZULTATE

Φ1S

Φ2S

Φ3S

A2S

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 5

3335 35510

173070

ϕ0

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

d

230 2020 116.146 104.375 9.479 93.685

67

w0

0.602 -10.878

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 1

0

2 q=30 kN/m

P1=30 kN

5

3

4

P2=20 kN

N=50 kNm

x V3

V2

V1

3m

3m

6m

1m

2m

z

+ DIAGRAMA T

86,146kN

20kN 10,521kN

+

+

-

-

-30kN

x=2,871m

-93,854kN

-71,563 kNm

-53,124kNm -40kNm

-30kNm

-

-

-21,563 kNm

+

+ DIAGRAMA M

93,685 kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

101

PROBLEMA 2a.11 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

2

0

20

4

30

7

13

6

6

q1 25

e2

f2

0

0

q2 0

g1 N1 4

-20

g2

N2

15

10

REZULTATE Φ2S

A2S ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

Φ1S

Φ3S

3.333 1188. 333 11508.33 54810 200

970

ϕ0

d

23.021 115.625 61.354 85.286

w0

65 -0.284 4.685

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 1

0

P1=20 kN

P2=30 kN

q=25 kN/m

N2=10 kNm

x

N1=20 kNm

V3

V2

V1 1m

3m

6m

3m

z

2m

86,646kN

+ DIAGRAMA T

+

+3,021kN

-

-

-20kN

-

x=3,546m

-26,979kN

-61,354kN

-71,874kNm

-20kNm

-10,937kNm

-

5

3

2

4

-

9,063kNm

10kNm

+ + DIAGRAMA M

85,286 kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

102

PROBLEMA 2a.12 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

2

3

30

15

20

7

13

6

6

q1

e2

20

f2

0

q2

0

g1 N1

0

0

g2

0

N2

0

0

REZULTATE Φ2S

Φ1S

Φ3S

A2S

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 0

320

6080

32640

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

11.944

79.444

170

620

78.612 48.336

ϕ0

d

54

w0

0.184 -3.218

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 4

1

0

2

5

3 q=20 kN/m

P1=30 kN

P2=20 kN x

1m

V3

V2

V1 2m

6m

4m

z

2m

61,388kN

+ DIAGRAMA T

20kN 11,944kN

+

+

+

-

-

x=3,069m

-18,056kN

-58,612kN

-48,336kNm

-40kNm

+

+

23,888kNm 45,876kNm

+ DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

103

PROBLEMA 2a.13 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

2

3

20

13

20

7

11

6

4

q1 20

e2

f2

0

q2

0

g1 N1

0

0

g2

0

N2

0

0

REZULTATE Φ2S

Φ1S

Φ3S

A2S

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 0

213.333 1920 9386.666 120

280

10.222

44.444 65.333

40

ϕ0

d

51

w0

0.236 -5.687

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 1

0

4

2

5

3 q=20 kN/m

P1=20 kN

P2=20 kN x

4m

4m

2m

1m

V3

V2

V1 z

2m

34,666kN

+ DIAGRAMA T

20kN 10,222kN

+

+

+

-9,778kN

-

x=1,733m

-45,334kN -40kNm -18,668kNm

-

+

+ DIAGRAMA M

+ 11,375 kNm

20,444 kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

104

PROBLEMA 2a.14 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

3

6

10

10

20

1

5

4

2

q1

e2

30

f2

0

q2

0

g1 N1

0

6

d

g2

-30

N2

0

0

REZULTATE Φ2S

Φ1S

Φ3S

kNm3 kNm3 kNm3 0

320 1586.666

A2S

ΣYS ΣM3S V1

V2

V3

Mmax

kNm4

kN kNm kN

kN

kN

kNm mm grade mm

42.5

55

4426.667 150

400

52.5

60

58

ϕ0

w0

0.453 -7.913

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 0

q=30 kN/m

1

4

2

1

N=30 kNm P1=10 kN

V2

4

V1

5

3

1

1

P2=20 kN

V3

3

z

+ DIAGRAMA T

52,5kN 20kN

+

+ -25kN

x=1,75m

-67,5kN

-35kN -55kNm

-30kNm

-60kNm

-25kNm

+ + DIAGRAMA M

45,937kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

x

105

PROBLEMA 2a.15 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

3

3

30

10

-20

3

7

4

2

q1 20

e2

f2

0

q2

0

g1 N1

0

0

d

g2

-10

N2

7

40

REZULTATE Φ2S

Φ1S

Φ3S

A2S

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 -5

-71.66 288.33 1573.33

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

90

370

9.167

157.5 -76.666

100

ϕ0

68

w0

0.164 -2.521

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 0

4

1 P1=30 kN

N1=10 kNm

1m

V1

q=20 kN/m

N1=40 kNm

V2

2m

2m

5

3

2

2m

V3

x

3m P2=20

z

96,667kN

+ DIAGRAMA T 56,667kN

+

9,167kN

+ -

-

-20,833kN

-20kN -60,833kN -30kNm

+

10kNm

28,334kN

+ DIAGRAMA M

+ 60kNm 100kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

106

PROBLEMA 2a.16 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

3

6

20

10

40

0

5

4

2

q1 20

e2

f2

0

q2

0

g1 N1

0

3

d

g2

40

N2

0

0

REZULTATE ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

Φ1S

Φ2S

Φ3S

0.833 600.83 2310.83

A2S

5640

160

390

71.875 -20.625 108.75

120

ϕ0

73

w0

0.125 -2.234

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 1

0

q=20 kN/m

1m

2m

V1

5

2

4

P1=20 kN

N1=10 kNm

2m

1m V2

z

6

3 P2=40 kN

3m

1m V3

96,667kN

+ DIAGRAMA T

40kN

51,875k

+

+

-20kN

-28,125kN -48,75kN

x=2,594m

-68,75kN

-51,25kNm

-120kNm

-

-10kNm

+ DIAGRAMA M

+ 43,75kNm

-2,5kNm

47,275kNm 53,75kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

x

107

PROBLEMA 2a.17 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

1

5

-10

0

0

1

5

3

2

q1 10

e2

f2

0

0

q2

g1 N1

0

0

d

g2

-15

7

N2 20

REZULTATE Φ1S

Φ2S

Φ3S

A2S

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 -7.5 -86.25 -11.666

381.25

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

30

115

5.042

44.896 -19.938

20

ϕ0

40

w0

1.129 -15.34

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 1

0

5

3

4

2 q=10 kN/m

N1=15 kNm

N2=20 kNm x

P1=10 kN V1

1m

V2

3m

1m

1m

V3

1m

z

+ DIAGRAMA T

19,938kN

19,938kN

5,042kN

+

+

9,938kN

0,504m -24,958kN -14,874kNm

-

0,064kNm

+ 15kNm

16,271kNm

+ DIAGRAMA M

+ 20kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

108

PROBLEMA 2a.18 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

2

10

-30

15

20

1

7

6

6

q1

e2

-10

f2

7

q2

13

g1 N1

20

0

g2

10

N2

0

0

REZULTATE Φ2S

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 kN kNm

kN

kN

kN

kNm

72.813

46.959

Φ1S

5

Φ3S

A2S

-295 -6310

-34290

50

-300 -27.188 4.375

d

ϕ0

w0

mm grade mm 53 -1.226 20.451

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 1

0

2

5

3

4

P2=20 kN

q2=20 kN/m

N=10 kNm

x

q1=10 kN/m

P1=30 kN

V2

V1

3m

3m

6m

1m z

V3 2m

37,187kN 32,812kN

+ DIAGRAMA T

20kN

+

7,187kN

+ -

-

-

-22,813 kN

-27,188kN x1=2,719m

x2=1,859 x3=2,871 -46,959kNm

-10kNm

-40kNm

-

6,872kNm

+ DIAGRAMA M

-52,813kN

+

28,435 kNm

29,73 kNm 41,444 kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

109

PROBLEMA 2a.19 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a b2 b3 m m m

c m

d1 m

P1 kN

d2 m

P2 kN

e1 m

f1 q1 e2 f2 q2 g1 N1 g2 N2 m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

2

0

30

150 -20

1

7

6

6

30

7

13

50

15

20

0

0

REZULTATE Φ2S Φ3S A2S ΣYS ΣM3S Φ1S 3 3 kNm kNm kNm3 kNm4 kN kNm 5

3335

V1 kN

V2 kN

V3 kN

Mmax kNm

37875 187380 490 2870 97.292 283.75 108.958 166.248

d w0 ϕ0 mm grade mm 81

0.057 -1.17

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 1

0

2

P1=30 kN

5

3

4 q2=50 kN/m

q1=30 kN/m

N=20 kNm x

P2=20 kN

V2

V1 z

3m

3m

6m

1m

V3 2m

171,042k

+ DIAGRAMA T 41,042kN

+

67,292kN

+ -

21,042kN

-

-30kN

-112,708kN

x1=2,243m

x2=0,821m -108,958kN

-166,248kNm

-

-10kNm

+ +

45,472kNm

+ DIAGRAMA M

121,878kNm

20kNm

138,718kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

110

PROBLEMA 2a.20 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

2

3

-20

13

50

7

11

A2S

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kNm4

kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

6

4

q1 20

e2

f2

0

0

q2

g1 N1

0

0

g2

-10

0

N2 0

REZULTATE Φ2S

Φ1S

Φ3S

kNm3 kNm3 kNm3 -5

-458.33 -2098.33 -8026.667 110 -110 -13.056 5.139 117.917

100

d

ϕ0

w0

68 -0.011 0.543

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 1

0

4

2

5

3 q=20 kN/m

N1=10 kNm

P2=50 kN x

P1=20 kN

V1

4m

4m

2m

1m

V3

V2

2m

z

50kN

+ DIAGRAMA T

+

12,083kN 6,944kN

+

-

-

-13,056kN x=0,604m

-67,917kN -100kNm

-16,112 kNm

-

-

+

11,664 kNm

10 kNm

+ 15,314 kNm

+ DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

111

PROBLEMA 2a.21 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

2

3

20

13

-20

3

11

6

4

q1 10

e2 0

f2 0

q2 0

g1 N1 0

g2

-20

N2

0

0

REZULTATE Φ1S

Φ2S

Φ3S

A2S

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 -10

-170 2203.333 14880

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

14.333

89.167

-23.5

80

500

d

54

56

ϕ0

0.98

w0

-15.58

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 1

0

4

2

P1=20 kN

N1=20 kNm

5

3

q=10 kN/m

x

4m

4m

2m

1m

V3

V2

V1

P2=20 kN 2m

z

+ DIAGRAMA T

43,5kN

14,333kN

+

+ -5,667kN

3,5kN

-

-45,667kN

-20kN

-54kNm

+

+

20 kNm

+ DIAGRAMA M

48,666 kNm

40kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

112

PROBLEMA 2a.22 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

2

0

30

13

20

7

13

6

4

q1

e2

10

0

f2

q2

0

0

g1 N1 3

g2

-50

N2

0

0

REZULTATE Φ2S

Φ1S

Φ3S

A2S

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 5

1315 5161.667 17840

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

27.167

7.083

75.75

110

300

ϕ0

d

60

w0

58 -0.418 6.638

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 1

0

4

2 q=10 kN/m

N1=50 kNm

P1=30 kN

5

3

P2=20 kN x

2m

1m

V3

V2

V1

4m

4m

2m

z

40kN

+ DIAGRAMA T +

4,25kN

-

-2,833kN

x=0,425m

-

-30kN -35,75kN -60kNm -32,833 kNm

-30 kNm

-

+

+

DIAGRAMA M

3kNm

3,905 kNm

17,167 kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

20kN

113

PROBLEMA 2a.23 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

1

4

30

14

20

7

13

6

6

q1

e2

20

0

f2

q2

0

g1 N1

0

0

d

g2

0

N2

0

0

REZULTATE Φ2S

Φ1S

Φ3S

A2S

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 0

135

4725

26730

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

170

610

5.521

90.625 73.854 56.874

ϕ0

57

w0

0.086 -1.502

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 0

1

3

2

4

5

q=20 kN/m

P1=30 kN

P2=20 kN

x

1m

3m

6m

3m

z

+

V3

V2

V1

1m

66,146kN

DIAGRAMA T

20kN

+

5,521kN

+

+ -

-

x=3,307m

-24,479kN

-53,854kN -56,874kNm

-20kNm

-

-

+ 16,563kNm

+ DIAGRAMA M

+ 52,508kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

114

PROBLEMA 2a.24 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

1

4

-20

14

30

7

13

6

6

q1 10

e2 0

f2 0

q2

g1 N1

0

0

d

g2

-10

N2

0

0

REZULTATE Φ2S

Φ1S

Φ3S

A2S

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 -5

-335

-2735

-12420

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

70

-40

-12.708 18.75

63.958

30

ϕ0

46

-0.406

w0

8.75

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 0

1

5

3

2

4

q=10 kN/m

N=10 kNm

P2=30 kN

x P1=20 kN

V1 3m

1m

V3

V2 6m

3m

1m

z 30kN

+

26,042kN

DIAGRAMA T

7,292kN

-

+ + x=2,604m

-12,708kN

-

-33,958kN -28,124kNm

-

-30kNm -6,248kNm

-

+ 10kNm

27,661kNm

+ DIAGRAMA M PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

115

PROBLEMA 2a.25 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

2

0

20

10

-20

1

7

6

6

q1

e2

10

7

f2

q2

13

g1 N1

-10

15

g2

20

N2

0

0

REZULTATE Φ2S

Φ1S

Φ3S

kNm3 kNm3

A2S ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kNm3 kNm4 kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

3.333 1683.33 14793.33

68580

0

580

55.208 -13.75 -41.458 59.378

ϕ0

d

58

0.387

w0

-7.2

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 1

0

2

P1=20 kN

5

3

4

N=20 kNm

q1=10 kN/m

V2

V1

q2=10 kN/m

V3

P2=20 kN 3m

3m

6m

1m

x

2m

z 41,458kN

+ DIAGRAMA T 35,208kN

+

11,458kN

+ -

-

-20kN

-8,542kN

-24,792kN x1=3,521m

-38,542kN

-59,378kNm

-20kNm

-

+ + DIAGRAMA M

11,208kNm

+ 20kNm

41,98kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

116

PROBLEMA 2a.26 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

3

3

30

10

-20

3

7

4

2

q1 20

e2 0

f2

q2

0

g1 N1

0

0

d

g2

10

N2

10

40

REZULTATE Φ1S

Φ2S

Φ3S

A2S

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 5

178.333 778.333 2053.33

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

90

390

15.833

147.5 -73.333

100

68

ϕ0

w0

-0.004 -0.271

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 0

P1=30 kN

N1=10 kNm

1m

2

4

1

q=20 kN/m

N2=40 kNm

V2

2m

2m

V1

5

3

2m

V3

x

3m P2=20 kN

z

93,333kN

+ DIAGRAMA T 15,833k

+

53,333kN

+ -

-

-14,167kN

-20kN -54,167kN -46,668kNm

-10kNm

+ 21,666kNm

+

+ DIAGRAMA M 100kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

40kNm

117

PROBLEMA 2a.27 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

2

0

30

15

-20

1

7

6

6

q1 30

e2 7

f2

q2

13

g1 N1

-30

15

g2

20

N2

0

0

REZULTATE Φ2S

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 kN kNm

kN

kN

kN

kNm

Φ1S

5

Φ3S

3335 33665

A2S

162000 10

1530 123.75

7.5

ϕ0

d

w0

mm grade mm

-121,25 116.484

72

0.597 -10.691

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 1

0

2

P1=30 kN

4

3

N=20 kNm

q1=30 kN/m

V2

V1

V3

6m

6m

1m

x

q2=30 kN/m

P2=20 kN 2m

z

+ DIAGRAMA T

93,75kN

101,25kN

x2=2,625m

+

+

-

-

-

-30kN

-20kN -110,859kNm

-78,75kNm

x1=3,125m

-86,25kN

-

-30kNm -7,5kNm

-

+

+ + DIAGRAMA M

60kNm 116,484kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

20kNm

118

PROBLEMA 2a.28 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

2

0

30

15

20

1

7

6

6

q1

e2

-10

f2

7

q2

13

g1 N1

-20

0

g2

10

0

N2 0

REZULTATE Φ2S

A2S ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

21.25

-132.5

-18.75

Φ1S

10

Φ3S

1420

2650

-1080 -130 -540

ϕ0

d

87.5

w0

65 -0.515 8.152

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 1

0

2

4

3

P1=30 kN

P2=20 kN

N=10 kNm x

q1=10 kN/m

V1

6m

6m

1m

V3

q2=20 kN/m

V2

2m

z

+ DIAGRAMA T

51,25k

x2=4,0625m 38,75kN

x1=0,875m

-

+

20kN

+

-8,75kN

-

-30kN

-77,539kNm -40kNm -43,828kNm -10kNm

-81,25kN

-40kNm

-

+

+ DIAGRAMA M

87,5kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

119

PROBLEMA 2a.29 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

2

3

40

13

50

1

11

6

4

q1 10

e2

f2

0

q2

0

g1 N1

0

0

d

g2

-10

N2

13

10

REZULTATE Φ2S

Φ1S

Φ3S

A2S

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 -5

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade

721.666 6975 34613.333 190

720

48.111

59.722 82.167

90

66

ϕ0

w0 mm

0.755 -12.786

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 1

0

4

2

P2=50 kN

q=10 kN/m

P1=40 kN

N1=10 kNm

5

3

N2=10 kNm x

4m

4m

2m

1m

V3

V2

V1

2m

z

+ DIAGRAMA T +

50kN

x=0,783m

48,111kN 28,111kN

-11,889kN

+

7,833kN

-

-

-32,167kN -90kNm

-51,889kN -41,334 kNm

-

+

10 kNm

+ DIAGRAMA M

-38,264 kNm

86,222kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

+10kNm

120

PROBLEMA 2a.30 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

2

3

20

13

-20

0

11

6

4

q1

e2

10

0

f2

q2

0

0

g1 N1 0

g2

-20

0

N2 0

REZULTATE Φ1S

Φ2S

Φ3S

kNm3 kNm3 kNm3

A2S

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kNm4

kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

-9.583 723.75 6597.083 32306.66 110

785

41.139

d

93.403 -24.542 58.166

57

ϕ0

w0

1.009 -16.263

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 1

0

4

2 q=10 kN/m

P1=20 kN

N1=20 kNm

5

3

x

4m

4m

2m

1m

P2=20 kN

V3

V2

V1

2m

z

+ DIAGRAMA T

44,542kN

31,139kN

+ -10kN

11,139kN

-8,861kN

+

4,542kN

-

-

-20kN

-48,861kN -58,166 kNm

-

15 kNm

+

+

20 kNm

+ DIAGRAMA M

57,278kNm

40kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

121

PROBLEMA 2a.31 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

2

0

20

13

-20

0

11

6

4

q1

e2

10

f2

0

0

q2 0

g1 N1 3

g2

20

N2

0

0

REZULTATE Φ1S

Φ2S

Φ3S

A2S

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4 3.75 2303.75 11177

44040

ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

110

885

62,25

ϕ0

d

65,625 -17,875 40,178

w0

51 -0.124 1.342

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 1

0

4

2

P1=20 kN

q=10 kN/m x

N1=20 kNm 4m

4m

2m

z

P2=20 kN

V3

V2

V1 1m

5

3

2m

x=3.8875m

+ DIAGRAMA T

38,875kN

32,25kN

+

+ -

-20kN

-30kN x=3.225m

-2,125kN

-

-27,75kN

-20kN

-31,5 kNm

-25 kNm

-

-

+ 20 kNm

+ DIAGRAMA M

+ 7,003kNm

+ 40,178kNm 40kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

122

PROBLEMA 2a.32 DATE DE INTRARE (secţiunea este inelară 2d şi 3d, σa=150 MPa, E=2,1.105 MPa) a

b2 b3

c

d1

P1

d2

P2

e1

f1

m m m

m

m

kN

m

kN

m

m kN/m m m kN/m m kNm m kNm

1

2

8

20

13

-20

0

11

6

4

q1 10

e2 0

f2

q2

0

g1 N1

0

0

-20

g2

N2

13

20

REZULTATE ΣYS ΣM3S

V1

V2

V3

Mmax

kNm3 kNm3 kNm3 kNm4

kN kNm

kN

kN

kN

kNm mm grade mm

-9.583 510.147 4980.42 24740

110

Φ1S

Φ2S

Φ3S

A2S

705

20,042 106,146 -24,188

ϕ0

d

60

58

w0

0.616 -9.496

SCHEMA DE ÎNCĂRCARE ŞI DIAGRAMELE T ŞI M 1

0

4

2 P1=20 kN

q=10 kN/m

N1=20 kNm

5

3

N2=20 kNm x V3

V2

V1 6m

1m

3m

1m

2m

P2=20 kN

z 64,188kN

+ DIAGRAMA T

54,188kN 34,188kN

18.042kN

4,188kN

+

+

-

-

-10kN

-20kN -41,958kN x=1,804m

-56,748 kNm

+ 20 kNm

15 kNm

32,275kNm

+ DIAGRAMA M

+

20kNm

60kNm

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - MODEL 2A

123

MODEL 3 SISTEM DE DOUĂ ORI STATIC NEDETERMINAT DE TIP CADRU REZOLVAT PRIN METODA EFORTURILOR 1. Enunţ Se consideră un cadru (o bară cotită) de rigiditate constantă pe lungimea sa, încastrat la un capăt şi articulat la celălalt, supus la încovoiere , forfecare şi întinderecompresiune datorită acţiunii unor forţe exterioare (sarcini) concentrate şi distribuite cunoscute ca module şi poziţii (fig. 3.1.a). În locul legăturilor sale cu mediul fix (conform axiomei legăturilor), vor acţiona forţe şi momente de legătură (reacţiuni) necunoscute ca module dar cunoscute ca direcţii şi poziţie. Sistemul este de două ori static nederminat întrucât numărul reacţiunilor este cu 2 mai mare decat numărul de ecuaţii de echilibru ce se pot scrie (în plan 3 ecuaţii). Gradul de nedeterminare este deci diferenţa dintre numărul de necunoscute şi numărul de ecuaţii de echilibru ce se pot scrie 2. Relaţii pentru rezolvare Pentru rezolvarea acestui tip de probleme se foloseşte metoda eforturilor: 1. Se alege un sistem de bază care este un sistem static determinat ce se obţine din sistemul real prin suprimarea unui număr de legături exterioare sau interioare astfel încât el devine sistem static determinat şi introducerea în locul lor a necunoscutelor static nedeterminate Xi; 2. Se exprimă deplasările în punctele caracteristice (punctele unde au fost introduse necunoscutele static nedeterminate)

folosind principiul suprapunerii efectelor

pentru cele două seturi de sarcini , astfel: • deplasările δi0 ce sunt produse de sarcinile exterioare pe direcţia necunoscutei static nedeterminate Xi în sistemul de bază; • deplasările δik ce sunt produse de necunoscuta static nedeterminate unitară Xk=1 pe direcţia necunoscutei static nedeterminate Xi în sistemul de bază;

124

Aceste deplasări trebuie să fie identice cu cele din sistemul real (adică nule):

δ1= δ10 + δ11X1 + δ12X2 +⋅⋅⋅+ δ1nXn = 0 δ2= δ20 + δ21X1 + δ22X2 +⋅⋅⋅+ δ2nXn = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

δn = δn0 + δn1X1 + δn2X2 +⋅⋅⋅+ δnnXn = 0 3. Deplasările δi0 , δik se calculează prin metoda Mohr-Maxwell (sau altă metodă cunoscută) , regula lui Vereşceaghin de integrare grafică (sau regula lui Simson) luând în calcul numai solicitarea principală de încovoiere:

mi M o δ i0 = ∑ ∫ dx = ∑ A(j o ) yCj( i ) EI mm δ ik = ∑ ∫ i k dx = ∑ A(j k ) yCj( i ) EI 4. După înlocuirea valorilor δi0 , δik se rezolvă sistemul de n ecuaţii liniare cu n necunoscute : X1, X2, ... Xn; 5. Eforturile N, T şi M din sistemul real, se pot trasa după determinarea necunoscutelor : X1, X2, ... Xn prin suprapunerea a trei diagrame astfel (principul suprapunerii efectelor):

N = No + n1⋅ X1+ n2⋅ X2 +⋅⋅⋅+ nn⋅ Xn T = To + t1⋅ X1 + t2⋅ X2 +⋅⋅⋅+ tn⋅ Xn M = Mo + m1⋅ X1 + m2⋅ X2 +⋅⋅⋅+ mn⋅ Xn unde: -

No, To şi Mo reprezintă eforturile axiale, tăietoare şi încovoietoare din

sistemul de bază sub acţiunea sarcinilor exterioare; -

nk, tk şi mk reprezintă eforturile axiale, tăietoare şi încovoietoare din

sistemul de bază sub acţiunea sarcinilor unitare Xk=1

CAZ PARTICULAR Se consideră cadrul încastrat în A şi articulat în B încărcat cu un sistem de forţe ca figura 3.1.a. Se cunosc: P = 20 KN; L=1m, secţiunea barei circulară de diametru

d, tensiunea admisibilă a materialului:σa=150 MPa,modul de elasticitate 2,1.105MPa

125

Se cere: a) să se determine reacţiunile din încastrarea A şi articulaţia B: VA, HA, MA, VB, HB.

b) să se traseze diagramele de eforturi pentru acest cadru: N (forţe axiale), T (forţe tăietoare) şi M (momente încovoietoare); c) să se dimensioneze bara la solicitarea principală de încovoiere (diametrul d); d) să se calculeze deplasarea punctului de aplicaţie al forţei F1=P. Rezolvare 1. Sistemul fiind de două ori static nedeterminat se alege sistemul de bază ca în fig.

3.1.b, prin suprimarea articulaţiei C şi introducerea necunoscutelor static

nedeterminate X1 şi X2. 2. Ecuaţiile deplasărilor aplicând metoda eforturilor în acest caz particular se scriu:

δ1 = δ10 + δ11X1+ δ12X2=0 δ2 = δ20 + δ21X1+ δ22X2=0

3. Deplasările se calculează folosind metoda Mohr-Maxwell conform relaţiilor:

m2 M o m1 M o ( o ) (1) δ10 = ∑ ∫ dx = ∑ A(j o ) yCj( 2 ) dx = ∑ A j yCj ; δ 20 = ∑ ∫ EI EI 2 m mm δ11 = ∑ ∫ 1 dx = ∑ A(j 1 ) yCj( 1 ) ; δ12 = δ 21 = ∑ ∫ 1 2 dx = ∑ A(j 1 ) yCj( 2 ) ; EI EI L/2

VA HA

MA

L/2

L/2

P

P A

C

A

L/2

C L/2

L/2 2P

2P

L/2

L/2 B

a)

HB

X1

b)

VB

B X2

Fig.3.1

Pentru calculul integralelor de mai sus se parcurg următorii paşi:

• se construieşte diagrama de momente încovoietoare (Mo) când în sistemul de bază acţionează numai sarcinile exterioare P şi 2P ( fig.3.2.a);

126

• se construiesc diagramele de momente încovoietoare: (m1) când în sistemul de bază acţionează numai sarcina X1=1 (fig.3.2.b) , respectiv (m2) când în sistemul de bază acţionează numai sarcina X2=1 (fig.3.2.c) .

• se calculează integralele de mai sus aplicând regula lui VEREŞCEAGHIN de integrare grafo-analitică: δ ik = ∑ A(j k ) y Cj( i ) -3PL/2 L

-PL -

A

L

L +

C

-

-PL

A

L C

+ A

C

+ Mo

a)

m2

m1

D

B

b)

B

B c)

Fig. 3.2

δ10 = ∑ A(j o ) y Cj( 1 ) =

1 1 L 5L 1 L  PL   4 PL3 ( ) ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ = − PL L ( PL ) L L   EI  2 2 6 2 2  2   3EI

δ 20 = ∑ A(j o ) yCj( 2 ) =

1 EI

L 1 L  PL  5 L  29 PL3 1 L ( ) ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ = − 0 PL L ( PL )   2 2 2 2 2  2  6  48EI 

3 m12 1 1 2L  4L (1) (1) δ11 = ∑ ∫ ⋅L⋅L⋅ + L ⋅ L ⋅ L = dx = ∑ A j y Cj = EI EI  2 3  3EI 3 mm 1  L L δ12 = ∑ ∫ 1 2 dx = ∑ A(j 1 ) y Cj( 2 ) = L⋅L⋅  =  EI EI  2  2 EI

δ 22 = ∑ ∫

m22 1 dx = ∑ A(j 2 ) y Cj( 2 ) = EI EI

2 L  L3 1 ⋅ ⋅ ⋅ = L L  2 3  3EI

Rezultă următorul sistem de ecuaţii cu două necunoscute:

4 PL3 4 L3 L3 41P − + X1 ⋅ + X2 ⋅ = 0 ⇒ X1 = = 0,732 P ; 3EI 3EI 2 EI 56 29 PL3 L3 L3 5P − + X1 ⋅ + X2 ⋅ = 0 ⇒ X2 = = 0,714 P 48EI 2 EI 3EI 7 Reacţiunile cerute(ele au sensul axelor de coordonate) sunt: VA =0,268 P; HA =1,268 P; MA= 0,054 PL VB=X2=0,714 P; HB. =X1=0,732 P

127

4. Trasarea diagramelor de eforturi N, T şi M

Acestea se determină pe baza principiului suprapunerii efectelor astfel prin suprapunerea diagramelor corespunzătoare, aşa cum rezultă din fig. 3.3, 3.4 şi 3.5:: N = No+ n1 X1+ n2 X2 -0,714P

0,732P

+ -

-1,268P

-2P

+

N0

0,714P n2

+

0,732P n1

-

=

-

N -0,714P

Fig. 3.3

T=To+ t1⋅ X1 + t2⋅ X2; 0,268P P

-

2P

+

-

+

-0,714P

-0,714P

To

+

+

-

0,732t1

0.714t2

-

1,268P

T

=

+ -

-0,732P -0,732P

Fig. 3.4

M = Mo+ m1⋅ X1 +m2⋅ X2 ; -3PL/2 -

A

+

E

C -

Mo

D B

-PL

+

A 0,732P m1

-0,054PL

+

0,732PL

C

-0,268PL

0,714PL

0,732PL

-PL

A

A

C

+

+ B Fig. 3.5

0,714P m2

= B

E +

0,089PL 0,366PL

M

-

-0,268PL

C

-

+ D B

128

5. Dimensionarea barei la încovoiere

Din diagrama M (fig.3.5) se determină momentul maxim | Mmax | = 0,366PL şi poziţia lui pe bară (în punctul D). Valoarea numerică a momentului maxim este Miymax=7,32 kNm=7,32⋅106 Nmm Relaţia de dimensionare la solicitarea de încovoiere este: M M iy max ≤ σ a ⇒ W ynec = iy max ; σa Wy I y πd 3 = unde: Wy - este modulul de rezistenţă al secţiunii: W y = z max 32 Înlocuind valorile obţinute rezultă: 3 M 32M iy max 32 ⋅ 7.320.000 πd = iy max ⇒ d = 3 =3 = 79,21mm 32 σa πσ a π ⋅ 150 se adopta d = 80mm 6. Calculul deplasării punctului de aplicaţie al forţei P

Pentru calculul deplasării punctului de aplicaţie al forţei F1=P se foloseşte metoda Mohr Maxwell :

δ =∫

mM dx EI

unde M este diagrama pentru forţele date şi necunoscutele static nedeterminate calculate X1 şi X2 din sistemul de bază (fig. 3.6.b). (s-a determinat la punctul 4) iar diagrama m tot pentru sistemul de bază este dată de o forţă unitară P =1 (fig. 3.6.a). L/2

L/2

L/2

-L/2

A

P

-0,054PL

P=1

L/2

A

C

-0,268PL C

0,089PL

L/2 2P

m a)

M b)

B

0,366PL L/2

X1=0,732P

Fig.3.6

Aplicând regula lui Simson rezultă: mM 1 L dx = ⋅ (− 0,054 PL ⋅ (−0,5 L) + 4 ⋅ 0,0175 PL ⋅ (−0,25 L) + 0,089 PL ⋅ 0 ) EI 6 EI 2 PL3 20 ⋅ 1012 ⋅ 64 δ = 0,792 ⋅ 10− 3 = 0,792 ⋅ 10 − 3 = 0,0187 mm EI 2,1 ⋅ 105 π ⋅ 80 4

δ =∫

B

X2=0,714P

129

Problema nr. 3.1. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10 35 P ⋅ L3 ⋅ 48 E ⋅ I

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

d

− 17 P ⋅ L3 ⋅ 48 E ⋅ I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

− L3 2⋅E ⋅I

L3 2⋅E⋅I

-0,339P

0,553P

0,169PL

62 mm

130

Problema nr. 3.2. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

37 P ⋅ L3 − ⋅ 48 E ⋅ I

− 3 P ⋅ L3 ⋅ 8 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 2⋅E⋅I

L3 3⋅ E ⋅ I

X1 0,357P

X2 0,589P

Mmax

d

0,178PL

63 mm

131

Problema nr. 3.3. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10 11 P ⋅ L3 ⋅ 72 E ⋅ I

δ20 −

1 P ⋅ L3 ⋅ 24 E ⋅ I

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

d

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 2⋅E⋅I

L3 3⋅ E ⋅ I

-0,369P

0,678P

0,358PL

79 mm

132

Problema nr. 3.4. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

d

31 P ⋅ L3 ⋅ 12 E ⋅ I

7 P ⋅ L3 ⋅ 8 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 2⋅E⋅I

L3 3⋅ E ⋅ I

-2,178P

0,643P

1,089PL

114 mm

133

Problema nr. 3.5. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10 41 P ⋅ L3 ⋅ 96 E ⋅ I

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

d

7 P ⋅ L3 − ⋅ 48 E ⋅ I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 − 2⋅E⋅I

L3 3⋅ E ⋅ I

-0,143P

0,473P

0,336PL

78 mm

134

Problema nr. 3.6. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

d

33 P ⋅ L3 − ⋅ 24 E ⋅ I

5 P ⋅ L3 − ⋅ 8 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 2⋅E⋅I

L3 3⋅ E ⋅ I

0,75P

0,75P

0,375PL

80

135

Problema nr. 3.7. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10 −

41 P ⋅ L3 ⋅ 24 E ⋅ I

−

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

d

11 P ⋅ L3 ⋅ 12 E ⋅ I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 2⋅E⋅I

L3 3⋅ E ⋅ I

0,571P

1,893P

0,536PL

90 mm

136

Problema nr. 3.8. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10 −

37 P ⋅ L3 ⋅ 24 E ⋅ I

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

d

5 P ⋅ L3 − ⋅ 8 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 2⋅E⋅I

L3 3⋅ E ⋅ I

1,036P

0,321P

0,518PL

89 mm

137

Problema nr. 3.9. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

61 P ⋅ L3 − ⋅ 48 E ⋅ I

53 P ⋅ L3 − ⋅ 96 E ⋅ I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 2⋅E⋅I

L3 3⋅ E ⋅ I

X1 0,759P

X2 0,518P

Mmax

d

0,379PL

81 mm

138

Problema nr. 3.10. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

15 P ⋅ L3 − ⋅ 32 E ⋅ I

1 P ⋅ L3 − ⋅ 4 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 2⋅E⋅I

L3 3⋅ E ⋅ I

X1 0,161P

X2 0,509P

Mmax

d

0,089PL

50 mm

139

Problema nr. 3.11. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

5 P ⋅ L3 − ⋅ 24 E ⋅ I

1 P ⋅ L3 ⋅ 4 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 2⋅E⋅I

L3 3⋅ E ⋅ I

X1 P

X2 -2,25P

Mmax

d

1,125PL

116 mm

140

Problema nr. 3.12. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10 −

7 P ⋅ L3 ⋅ 24 E ⋅ I

δ20

δ11

9 P ⋅ L3 ⋅ 8 E⋅I

1 L3 ⋅ 3 E⋅I

δ12 −

L3 2⋅E ⋅I

δ22 4 L3 ⋅ 3 E⋅I

X1

X2

-0,893P -1,178P

Mmax

d

0,589PL

93 mm

141

Problema nr. 3.13. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10 13 P ⋅ L3 ⋅ 4 E⋅I

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

d

11 P ⋅ L3 ⋅ 8 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 2⋅E⋅I

L3 3⋅ E ⋅ I

-2,036P

1,071P

2,035PL

141 mm

142

Problema nr. 3.14. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

1 P ⋅ L3 − ⋅ 6 E⋅I

1 P ⋅ L3 − ⋅ 4 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 2⋅E⋅I

L3 3⋅ E ⋅ I

X1 -0,357P

X2 1,286P

Mmax

d

0,821PL

104 mm

143

Problema nr. 3.15. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10 −

17 P ⋅ L3 ⋅ 48 E ⋅ I

δ20

δ11

1 P ⋅ L3 ⋅ 2 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

δ12 −

L3 2⋅E⋅I

δ22

X1

X2

Mmax

d

L3 3⋅ E ⋅ I

-0,678P

-2,518P

1,081PL

114 mm

144

Problema nr. 3.16. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10 9 P ⋅ L3 − ⋅ 4 E⋅I

δ20 −

23 P ⋅ L3 ⋅ 24 E ⋅ I

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

1 L3 ⋅ 2 E⋅I

1 L3 ⋅ 3 E⋅I

1,393P

0,786P

0,571PL

d 92 mm

145

Problema nr. 3.17. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10 10 ⋅

P ⋅ L3 E⋅I

δ20 −

56 P ⋅ L3 ⋅ 3 E⋅I

δ11 52 L3 ⋅ 3 E⋅I

δ12 − 15 ⋅

L3 E⋅I

δ22 27 ⋅

L3 E⋅I

X1

X2

Mmax

0,041P

0,714P

0,654PL

d 97 mm

146

Problema nr. 3.18. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

5 P ⋅ L3 ⋅ 81 E ⋅ I

1 P ⋅ L3 ⋅ 3 E⋅I

5 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

0,205P

-0,404P

0,929PL

d 108 mm

147

Problema nr. 3.19. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10 −

27 P ⋅ L3 ⋅ 16 E ⋅ I

δ20 −

693 P ⋅ L3 ⋅ 256 E ⋅ I

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

5 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

-0,374P

3,605P

1,355PL

d 123 mm

148

Problema nr. 3.20. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10 47 P ⋅ L3 ⋅ 8 E⋅I

δ20 −9⋅

P ⋅ L3 E⋅I

δ11 8 L3 ⋅ 3 E⋅I

δ12 − 3⋅

L3 E⋅I

δ22

X1

X2

Mmax

20 L3 ⋅ 3 E⋅I

-1,386P

0,726P

1,548PL

d 129 mm

149

Problema nr. 3.21. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

0

1 P ⋅ L3 ⋅ 12 E ⋅ I

5 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

0,068P

-0,114P

0,386PL

d 80 mm

150

Problema nr. 3.22. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

1 P ⋅ L3 ⋅ 24 E ⋅ I

1 P ⋅ L3 ⋅ 6 E⋅I

5 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

0,091P

-0,193P

0,398PL

d 82 mm

151

Problema nr. 3.23. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

+PL +

+PL +

M0

+ +PL -PL

Rezultate: δ10

δ20

δ11

17 P ⋅ L3 ⋅ 8 E⋅I

5 P ⋅ L3 ⋅ 3 E⋅I

8 L3 ⋅ 3 E⋅I

δ12 3⋅

L3 E⋅I

δ22

X1

X2

Mmax

20 L3 ⋅ 3 E⋅I

-1,044P

0,220P

1,56PL

d 129 mm

152

Problema nr. 3.24. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

421 P ⋅ L3 ⋅ 384 E ⋅ I

7 P ⋅ L3 ⋅ 12 E ⋅ I

5 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

-0,719P

0,102P

0,398PL

d 82 mm

153

Problema nr. 3.25. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

91 P ⋅ L3 − ⋅ 24 E ⋅ I

13 P ⋅ L3 − ⋅ 4 E⋅I

5 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

1,477P

1,330P

1,671PL

d 132 mm

154

Problema nr. 3.26. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

33 P ⋅ L3 ⋅ 48 E ⋅ I

1 P ⋅ L3 ⋅ 4 E⋅I

5 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

-0,545P

0,222P

0,278PL

d 73 mm

155

Problema nr. 3.27. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

5 P ⋅ L3 − ⋅ 6 E⋅I

5 P ⋅ L3 − ⋅ 4 E⋅I

5 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

-0,114P

1,023P

0,148PL

d 59 mm

156

Problema nr. 3.28. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

17 P ⋅ L3 ⋅ 24 E ⋅ I

1 P ⋅ L3 − ⋅ 4 E⋅I

5 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 − E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

X1

X2

-0,568P -0,239P

Mmax 0,261PL

d 71 mm

157

Problema nr. 3.29. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

1 P ⋅ L3 − ⋅ 8 E⋅I

1 P ⋅ L3 − ⋅ 2 E⋅I

5 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

-0,273P

0,579P

0,921PL

d 108 mm

158

Problema nr. 3.30. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10 3 P ⋅ L3 − ⋅ 4 E⋅I

δ20 −

29 P ⋅ L3 ⋅ 24 E ⋅ I

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

5 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

-0,170P

1,034P

0,347PL

d 80 mm

159

Problema nr. 3.31. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

1 P ⋅ L3 ⋅ 3 E⋅I

7 P ⋅ L3 ⋅ 12 E ⋅ I

5 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

0,114P

-0,523P

0,2725PL

d 72 mm

160

Problema nr. 3.32. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

25 P ⋅ L3 ⋅ 24 E ⋅ I

7 P ⋅ L3 − ⋅ 96 E ⋅ I

5 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

-1,196P

0,952P

0,598PL

d 94 mm

161

Problema nr. 3.33. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

17 P ⋅ L3 ⋅ 8 E⋅I

41 P ⋅ L3 ⋅ 24 E ⋅ I

5 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

-0,920P

-0,591P

0,591PL

d 93 mm

162

Problema nr. 3.34. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10 31 P ⋅ L3 − ⋅ 48 E ⋅ I

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

0

5 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

0,704P

-0,528P

1,204PL

d 118 mm

163

Problema nr. 3.35. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

7 P ⋅ L3 ⋅ 12 E ⋅ I

1 P ⋅ L3 − ⋅ 2 E⋅I

5 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

1,045P

1,159P

0,5225PL

d 90 mm

164

Problema nr. 3.36. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

5 P ⋅ L3 − ⋅ 2 E⋅I

53 P ⋅ L3 ⋅ 24 E ⋅ I

5 L3 ⋅ 3 E⋅I

δ12 −

L3 E⋅I

δ22

X1

X2

Mmax

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

0,920P

-0,966P

0,574PL

d 92 mm

165

Problema nr. 3.37. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

3 P ⋅ L3 − ⋅ 8 E⋅I

3 P ⋅ L3 − ⋅ 8 E⋅I

5 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

0,102P

0,204P

0,704PL

d 99 mm

166

Problema nr. 3.38. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10 31 P ⋅ L3 − ⋅ 24 E ⋅ I

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

0

5 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

1,409P

-1,057P

0,943PL

d 109 mm

167

Problema nr. 3.39. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

35 P ⋅ L3 − ⋅ 24 E ⋅ I

5 P ⋅ L3 − ⋅ 6 E⋅I

5 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

0,909P

-0,057P

0,4545PL

d 86 mm

168

Problema nr. 3.40. Se cunosc: P, L, EI, forma secţiunii (circulară, de diametru d) Se cer: δ10, δ20, δ11, δ12, δ21, δ22, X1, X2, Mmax, d.

Rezultate: δ10

δ20

δ11

δ12

δ22

X1

X2

Mmax

1 P ⋅ L3 ⋅ 3 E⋅I

25 P ⋅ L3 − ⋅ 24 E ⋅ I

5 L3 ⋅ 3 E⋅I

L3 E⋅I

4 L3 ⋅ 3 E⋅I

-1,216P

1,693P

0,807PL

d 104 mm